Arabic:المتجهات والهندسة التحليلية

مقدمة

تجمع المتجهات والهندسة التحليلية بين التفكير الهندسي والحساب الجبري. فبدلاً من الاكتفاء برسم مستقيم أو مستوى أو زاوية، يمكنك تمثيل هذه الأشكال بإحداثيات ومعادلات ومتجهات، ثم استخدام الجبر للإجابة عن أسئلة هندسية دقيقة: هل مستقيمان متوازيان أم متعامدان؟ أين يلتقي مستقيم بمستوى؟ ما أقصر مسافة من نقطة إلى مستقيم؟ وما الزاوية بين مستويين في الفضاء؟

هذا المقرر موجّه إلى متعلمي المرحلة الثانوية العليا، ويبدأ من المستوى الإحداثي ثنائي الأبعاد ثم يمتد إلى الفضاء ثلاثي الأبعاد. ستتعلم كيف تنقل مسألة من الصورة إلى الرموز، وكيف تتحقق من النتيجة هندسياً، وكيف تختار الأداة المناسبة بين المتجهات والضرب القياسي والضرب الاتجاهي والمعادلات البارامترية ومعادلات المستويات.

تحتاج قبل البدء إلى إتقان أساسيات الجبر، وحل المعادلات الخطية، ونظرية فيثاغورس، والنسب المثلثية، وقراءة الإحداثيات. من المفيد أيضاً أن تكون مرتاحاً مع الجذور التربيعية والكسور والجبر الرمزي.

نظام إحداثي ديكارتي ثنائي الأبعاد؛ تساعدك الشبكة على تحويل المواقع والعلاقات الهندسية إلى أعداد ومعادلات.

أهداف التعلم

بعد إكمال هذا المقرر ستكون قادراً على:

1. تمثيل المتجهات في بعدين وثلاثة أبعاد وقراءة مركباتها وحساب أطوالها ومتجهات الوحدة.
2. إجراء عمليات المتجهات وربط الجمع والطرح والضرب بعدد حقيقي بالتمثيل الهندسي.
3. استخدام الضرب القياسي لحساب الزوايا والإسقاطات واختبار التعامد.
4. استخدام الضرب الاتجاهي في الفضاء لإيجاد متجه عمودي ومساحات هندسية.
5. كتابة معادلات المستقيمات في المستوى والفضاء بصيغ مناسبة للمسألة.
6. كتابة معادلات المستويات وتحديد متجهاتها العمودية وفحص التوازي والتعامد.
7. حساب المسافات بين نقاط ومستقيمات ومستويات في بعدين وثلاثة أبعاد.
8. حساب الزوايا بين متجهين ومستقيمين ومستويين وبين مستقيم ومستوى.
9. تحويل مسألة هندسية إلى نموذج جبري ثم تفسير الناتج هندسياً والتحقق منه.

نظام الإحداثيات في بعدين وثلاثة أبعاد

في المستوى الديكارتي نصف النقطة بزوج مرتب $(x,y)$. يمثل $x$ الإزاحة الأفقية عن الأصل ويمثل $y$ الإزاحة الرأسية. أما في الفضاء فنستخدم ثلاثياً مرتباً $(x,y,z)$، وتكون المحاور الثلاثة متعامدة اثنين اثنين.

المسافة بين النقطتين $P(x_1,y_1)$ و$Q(x_2,y_2)$ في المستوى هي: $d(P,Q)=\sqrt{(x_2-x_1{)}^2+(y_2-y_1{)}^2}$. وفي الفضاء تصبح: $d(P,Q)=\sqrt{(x_2-x_1{)}^2+(y_2-y_1{)}^2+(z_2-z_1{)}^2}$. هاتان الصيغتان امتداد مباشر لفكرة فيثاغورس.

نقطة منتصف القطعة الواصلة بين نقطتين في بعدين هي $(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2})$، وفي ثلاثة أبعاد نضيف متوسط الإحداثيين $z_1,z_2$.

تصور ثلاثي الأبعاد لنظام الإحداثيات؛ أضف المحور الثالث لتحديد موقع أي نقطة في الفضاء.

فكرة مهمة: المعادلة نفسها قد تصف شكلاً مختلفاً بحسب البعد. فالمعادلة $x=0$ تصف محوراً في المستوى، لكنها تصف مستوى إحداثياً كاملاً في الفضاء ثلاثي الأبعاد.

خطأ شائع: لا تتعامل مع الرسم المنظوري ثلاثي الأبعاد كما لو كان قياساً حقيقياً للزوايا والأطوال على الشاشة. الرسم وسيلة للتصور، أما الحكم الدقيق فيأتي من الإحداثيات والمتجهات والمعادلات.

المتجهات وعملياتها

المتجه كمية لها مقدار واتجاه. إذا انتقلت من النقطة $A(x_1,y_1)$ إلى النقطة $B(x_2,y_2)$ فإن: $\overrightarrow{AB}=⟨x_2-x_1,y_2-y_1⟩$. وفي الفضاء: $\overrightarrow{AB}=⟨x_2-x_1,y_2-y_1,z_2-z_1⟩$.

إذا كان $\overrightarrow{v}=⟨a,b⟩$ فإن طوله هو $\Vert \overrightarrow{v}\Vert =\sqrt{a^2+b^2}$. وفي ثلاثة أبعاد، إذا كان $\overrightarrow{v}=⟨a,b,c⟩$ فإن $\Vert \overrightarrow{v}\Vert =\sqrt{a^2+b^2+c^2}$.

متجه الوحدة في اتجاه متجه غير صفري $\overrightarrow{v}$ هو $\hat{v}=\frac{\overrightarrow{v}}{\Vert \overrightarrow{v}\Vert }$. طول متجه الوحدة يساوي واحداً، ولذلك يفصل بين معلومات الاتجاه ومعلومات المقدار.

تتم عمليات الجمع والطرح مركبةً بمركبة. فإذا كان $\overrightarrow{u}=⟨u_1,u_2⟩$ و$\overrightarrow{v}=⟨v_1,v_2⟩$ فإن $\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}=⟨u_1+v_1,u_2+v_2⟩$. والضرب بعدد حقيقي $k$ يغير الطول بعامل $|k|$، ويعكس الاتجاه إذا كان $k$ سالباً.

جمع متجهين هندسياً؛ النتيجة لا تعتمد على اختيار طريقة المثلث أو متوازي الأضلاع.

مثال: إذا كان $\overrightarrow{u}=⟨3,-1⟩$ و$\overrightarrow{v}=⟨2,4⟩$ فإن $\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}=⟨5,3⟩$، و$2\overrightarrow{u}=⟨6,-2⟩$.

لتحديد توازي متجهين غير صفريين، ابحث عن عدد حقيقي $k$ بحيث $\overrightarrow{u}=k\overrightarrow{v}$. هذا الاختبار أقوى من الاعتماد على الشكل؛ فقد يبدو متجهان متوازيين في رسم غير مضبوط بينما لا تكون مركباتهما متناسبة.

تحميل الفيديو

يوتيوب

قد يقوم يوتيوب بجمع البيانات الشخصية. سياسة الخصوصية

استمرار تجاهل

الضرب القياسي والزوايا والإسقاط

للضرب القياسي ناتج عددي. إذا كان $\overrightarrow{u}=⟨u_1,u_2,u_3⟩$ و$\overrightarrow{v}=⟨v_1,v_2,v_3⟩$ فإن: $\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}=u_1{v}_1+u_2{v}_2+u_3{v}_3$.

ويرتبط الضرب القياسي بالزاوية $\theta$ بين متجهين غير صفريين بالعلاقة: $\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}=\Vert \overrightarrow{u}\Vert \Vert \overrightarrow{v}\Vert \cos \theta$. ومن ثم: $\cos \theta =\frac{\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}}{\Vert \overrightarrow{u}\Vert \Vert \overrightarrow{v}\Vert }$.

إذا كان الضرب القياسي صفراً لمتجهين غير صفريين فهما متعامدان. وإذا كان موجباً فالزاوية الحادة بين اتجاهيهما أقل من تسعين درجة، وإذا كان سالباً فهي منفرجة.

الزاوية بين متجهين تقاس عند وضع بدايتيهما عند النقطة نفسها.

الضرب القياسي يربط مركبة أحد المتجهين في اتجاه الآخر بطولي المتجهين.

الإسقاط المتجهي للمتجه $\overrightarrow{u}$ على $\overrightarrow{v}$ غير الصفري هو: ${\mathrm{proj}}_{\overrightarrow{v}}\overrightarrow{u}=\frac{\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}}{\Vert \overrightarrow{v}{\Vert }^2}\overrightarrow{v}$. هذه الفكرة مفيدة في تحليل قوة إلى مركبة موازية لاتجاه معين، وفي اشتقاق صيغ المسافة العمودية.

مثال: للمتجهين $\overrightarrow{u}=⟨1,2⟩$ و$\overrightarrow{v}=⟨2,-1⟩$ نحصل على $\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}=1\cdot 2+2\cdot (-1)=0$، إذن هما متعامدان.

خطأ شائع: الضرب القياسي لا ينتج متجهاً. إذا حصلت على زوج أو ثلاثي من المركبات بعد عملية تزعم أنها ضرب قياسي، فراجع خطواتك.

الضرب الاتجاهي والهندسة في الفضاء

يُعرّف الضرب الاتجاهي لمتجهين في الفضاء ثلاثي الأبعاد، وناتجه متجه عمودي على كليهما. إذا كان: $\overrightarrow{u}=⟨u_1,u_2,u_3⟩$ و$\overrightarrow{v}=⟨v_1,v_2,v_3⟩$، فإن $\overrightarrow{u}\times \overrightarrow{v}$ يمكن حسابه بالمحدد، ويحقق: $\Vert \overrightarrow{u}\times \overrightarrow{v}\Vert =\Vert \overrightarrow{u}\Vert \Vert \overrightarrow{v}\Vert \sin \theta$.

لذلك يمثل $\Vert \overrightarrow{u}\times \overrightarrow{v}\Vert$ مساحة متوازي الأضلاع المبني على المتجهين، ونصفه مساحة المثلث. أما اتجاه الناتج فيُحدد بقاعدة اليد اليمنى، كما أن ترتيب المتجهين مهم لأن $\overrightarrow{v}\times \overrightarrow{u}=-(\overrightarrow{u}\times \overrightarrow{v})$.

حركة توضح أن الضرب الاتجاهي عمودي على المتجهين، وأن مقداره يعتمد على جيب الزاوية بينهما.

يمكن استخدام الضرب الاتجاهي لإيجاد متجه عمودي على مستوى يمر بثلاث نقاط غير واقعة على مستقيم واحد. كوّن متجهين داخل المستوى من النقاط، ثم احسب ضربهما الاتجاهي؛ الناتج يصلح متجهاً عمودياً على المستوى.

نقل هندسي: في الفيزياء والهندسة يظهر الضرب الاتجاهي عند دراسة العزم، وفي الرسوم الحاسوبية يفيد في حساب الاتجاهات العمودية على الأسطح.

تحميل الفيديو

يوتيوب

قد يقوم يوتيوب بجمع البيانات الشخصية. سياسة الخصوصية

استمرار تجاهل

المستقيمات في المستوى والفضاء

يمكن وصف المستقيم بطريقتين مركزيتين: نقطة واتجاه أو معادلة خطية. في الفضاء، إذا مر المستقيم بالنقطة ${\overrightarrow{r}}_0$ وله متجه اتجاه $\overrightarrow{d}\ne \overrightarrow{0}$، فمعادلته المتجهية: $\overrightarrow{r}={\overrightarrow{r}}_0+t\overrightarrow{d}$ حيث $t$ عدد حقيقي.

إذا كانت ${\overrightarrow{r}}_0=⟨x_0,y_0,z_0⟩$ و$\overrightarrow{d}=⟨a,b,c⟩$، فالمعادلات البارامترية هي: $x=x_0+at,y=y_0+bt,z=z_0+ct$.

في المستوى، المعادلة $Ax+By+C=0$ لها متجه عمودي $\overrightarrow{n}=⟨A,B⟩$، ويمكن اختيار متجه اتجاه $\overrightarrow{d}=⟨B,-A⟩$. إذا كان $B\ne 0$ يمكن إعادة كتابتها بصيغة الميل والمقطع.

مستقيمان في الفضاء قد يكونان متوازيين، أو متقاطعين، أو متخالفين: أي لا يتوازيان ولا يتقاطعان لأنهما لا يقعان في مستوى واحد.

المستقيمان المتخالفان لا يتوازيان ولا يلتقيان في الفضاء.

طريقة فحص التقاطع: اكتب المعادلات البارامترية للمستقيمين، ثم ساوِ الإحداثيات. إذا وجدت قيماً متسقة للبارامترات في الإحداثيات الثلاثة فهناك نقطة تقاطع. إذا لم يوجد حل مع عدم توازي متجهي الاتجاه، فالمستقيمان متخالفان.

المستويات في الفضاء

المستوى في الفضاء يحدد بنقطة ومتجه عمودي غير صفري. إذا كان $\overrightarrow{n}=⟨A,B,C⟩$ متجهاً عمودياً على مستوى يمر بالنقطة $P_0(x_0,y_0,z_0)$، فإن معادلته النقطية العمودية هي: $A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0$. وبالتوسيع نحصل على الصورة العامة: $Ax+By+Cz+D=0$.

إذا أعطيت ثلاث نقاط غير واقعة على استقامة واحدة، فأنشئ متجهين بين هذه النقاط ثم استخدم ضربهما الاتجاهي لإيجاد متجه عمودي على المستوى.

مستويان متوازيان إذا كان متجهاهما العموديان متوازيين. وهما متعامدان إذا كان الضرب القياسي لمتجهيهما العموديين يساوي صفراً.

يمكن للمستقيم أن يقطع المستوى في نقطة، أو يكون موازياً له، أو يقع كله داخل المستوى.

لإيجاد تقاطع مستقيم مع مستوى، عوض إحداثيات المستقيم البارامترية في معادلة المستوى. إذا حصلت على قيمة واحدة للبارامتر فهناك نقطة تقاطع واحدة، وإذا ظهرت مساواة صحيحة لكل القيم فالمستقيم داخل المستوى، وإذا ظهرت استحالة فالمستقيم مواز للمستوى ولا يقطعه.

تحميل الفيديو

يوتيوب

قد يقوم يوتيوب بجمع البيانات الشخصية. سياسة الخصوصية

استمرار تجاهل

المسافات في الهندسة التحليلية

المسافة الهندسية هي أقصر طول بين الكائنات المعنية، وغالباً يكون هذا الطول عمودياً على المستقيم أو المستوى.

من نقطة إلى مستقيم في المستوى: إذا كان المستقيم $Ax+By+C=0$ والنقطة $P(x_0,y_0)$، فإن: $d=\frac{|A{x}_0+B{y}_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$.

أقصر مسافة من نقطة إلى مستقيم تقاس على عمود على المستقيم.

من نقطة إلى مستوى: إذا كان المستوى $Ax+By+Cz+D=0$ والنقطة $P(x_0,y_0,z_0)$، فإن: $d=\frac{|A{x}_0+B{y}_0+C{z}_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$.

من نقطة إلى مستقيم في الفضاء: إذا مر المستقيم بالنقطة $A$ وله اتجاه $\overrightarrow{d}$، فإن المسافة من $P$ إليه هي: $d=\frac{\Vert \overrightarrow{AP}\times \overrightarrow{d}\Vert }{\Vert \overrightarrow{d}\Vert }$.

بين مستقيمين متخالفين: إذا مر الأول بالنقطة $A$ واتجاهه ${\overrightarrow{d}}_1$، ومر الثاني بالنقطة $B$ واتجاهه ${\overrightarrow{d}}_2$، وكانا غير متوازيين، فإن: $d=\frac{|\overrightarrow{AB}\cdot ({\overrightarrow{d}}_1\times {\overrightarrow{d}}_2)|}{\Vert {\overrightarrow{d}}_1\times {\overrightarrow{d}}_2\Vert }$.

تحقق منطقي: المسافة لا تكون سالبة أبداً. لهذا تظهر القيمة المطلقة في صيغ المسافة المعتمدة على معادلات المستقيم والمستوى.

الزوايا بين المستقيمات والمستويات

يمكن اختزال معظم مسائل الزوايا إلى زاوية بين متجهين.

بين مستقيمين: استخدم متجهي الاتجاه ${\overrightarrow{d}}_1,{\overrightarrow{d}}_2$، وغالباً نأخذ الزاوية الحادة أو القائمة بحيث: $\cos \theta =\frac{|{\overrightarrow{d}}_1\cdot {\overrightarrow{d}}_2|}{\Vert {\overrightarrow{d}}_1\Vert \Vert {\overrightarrow{d}}_2\Vert }$.

بين مستويين: استخدم المتجهين العموديين ${\overrightarrow{n}}_1,{\overrightarrow{n}}_2$ بالطريقة نفسها: $\cos \theta =\frac{|{\overrightarrow{n}}_1\cdot {\overrightarrow{n}}_2|}{\Vert {\overrightarrow{n}}_1\Vert \Vert {\overrightarrow{n}}_2\Vert }$.

بين مستقيم ومستوى: إذا كان $\alpha$ الزاوية الحادة بين المستقيم والمستوى، و$\overrightarrow{d}$ اتجاه المستقيم و$\overrightarrow{n}$ عمودي المستوى، فإن: $\sin \alpha =\frac{|\overrightarrow{d}\cdot \overrightarrow{n}|}{\Vert \overrightarrow{d}\Vert \Vert \overrightarrow{n}\Vert }$. السبب هو أن زاوية المستقيم مع المستوى متممة لزاوية اتجاه المستقيم مع عمودي المستوى.

خطأ شائع: لا تستخدم متجه اتجاه المستوى؛ فالمستوى يحتوي عدداً لا نهائياً من اتجاهات. الأداة القياسية لوصف اتجاه المستوى هي متجه عمودي عليه.

استراتيجية التحليل وحل المسائل

عند مواجهة مسألة هندسة تحليلية، استخدم هذا المسار:

1. حوّل المعطيات إلى رموز: نقاط، متجهات اتجاه، متجهات عمودية، ومعادلات.
2. حدد العلاقة المطلوبة: توازٍ، تعامد، تقاطع، مسافة، زاوية، أو مساحة.
3. طبّق الأداة المناسبة: تناسب المتجهات، ضرب قياسي، ضرب اتجاهي، أو حل نظام معادلات.
4. فسر النتيجة هندسياً وتأكد من الوحدات والإشارة وحدود الزوايا.

مثال متكامل: لتحديد علاقة المستقيم $\overrightarrow{r}=⟨1,2,0⟩+t⟨2,-1,3⟩$ بالمستوى $2x-y+3z-4=0$، لاحظ أن اتجاه المستقيم $\overrightarrow{d}=⟨2,-1,3⟩$ يساوي المتجه العمودي للمستوى $\overrightarrow{n}=⟨2,-1,3⟩$. إذن المستقيم عمودي على المستوى. بعد ذلك يمكنك التعويض في معادلة المستوى لإيجاد نقطة التقاطع.

انعكاس وتطبيق: هذه الأدوات لا تخص الرسوم المدرسية فقط. فهي تدخل في النمذجة الهندسية، والروبوتات، والرسوم الحاسوبية، والملاحة، وتحليل الحركة، وتحديد موضع الكائنات في الفراغ.

مهام تفاعلية

اختبار: اختبر معرفتك

ما متجه الانتقال من النقطة أ ذات الإحداثيين 1 و2 إلى النقطة ب ذات الإحداثيين 5 و7؟ (المتجه ذو المركبتين 4 و5) (!المتجه ذو المركبتين 6 و9) (!المتجه ذو المركبتين سالب 4 وسالب 5) (!المتجه ذو المركبتين 5 و4)

إذا كان متجه في المستوى مركبتاه 3 و4، فما طوله؟ (خمسة) (!سبعة) (!اثنا عشر) (!واحد)

ماذا نستنتج إذا كان الضرب القياسي لمتجهين غير صفريين يساوي صفراً؟ (المتجهان متعامدان) (!المتجهان متوازيان بالضرورة) (!طولا المتجهين متساويان) (!المتجهان متطابقان)

ما المعطيات الأساسية لكتابة معادلة متجهية لمستقيم في الفضاء؟ (نقطة على المستقيم ومتجه اتجاه) (!نقطتان خارج المستقيم) (!متجه عمودي على مستوى فقط) (!مساحة مثلث فقط)

في المعادلة العامة لمستوى في الفضاء، ماذا تمثل معاملات المتغيرات الثلاثة؟ (مركبات متجه عمودي على المستوى) (!إحداثيات نقطة الأصل دائماً) (!مركبات متجه مواز لكل مستقيم في المستوى) (!أطوال محاور الإحداثيات)

لماذا تظهر القيمة المطلقة في صيغة المسافة من نقطة إلى مستوى؟ (لضمان أن تكون المسافة غير سالبة) (!لتحويل المستوى إلى مستقيم) (!لجعل المتجه صفرياً) (!لإلغاء الجذر التربيعي)

ما العلاقة الهندسية لناتج الضرب الاتجاهي لمتجهين غير متوازيين؟ (هو متجه عمودي على كليهما) (!هو عدد يساوي مجموع الطولين) (!هو متجه مواز لكليهما) (!هو دائماً متجه وحدة)

متى نسمي مستقيمين في الفضاء متخالفين؟ (عندما لا يتوازيان ولا يتقاطعان) (!عندما يتطابقان تماماً) (!عندما يكونان في المستوى نفسه ويتقاطعان) (!عندما يكون لهما متجه الاتجاه نفسه)

أي متجهين نستخدم عادة لحساب الزاوية بين مستويين؟ (المتجهان العموديان على المستويين) (!متجها الموضع لنقطة الأصل) (!متجهان عشوائيان في الفضاء) (!متجها منتصف قطعتين)

ما الشرط المتجهي المباشر لتوازي متجهين غير صفريين؟ (أن يكون أحدهما مضاعفاً عددياً للآخر) (!أن يكون ضربهما القياسي صفراً) (!أن يكون طولهما واحداً) (!أن تكون مركباتهما كلها موجبة)

لعبة الذاكرة

متجه الوحدة	متجه طوله يساوي واحداً
الضرب القياسي	عملية متجهية ناتجها عدد وتستخدم لحساب الزوايا
الضرب الاتجاهي	عملية في الفضاء ناتجها متجه عمودي على متجهين
متجه الاتجاه	متجه يحدد اتجاه مستقيم
المتجه العمودي	متجه متعامد مع مستوى أو مستقيم بحسب السياق
المستقيمان المتخالفان	مستقيمان فضائيان لا يتوازيان ولا يتقاطعان

السحب والإفلات

طابق الأداة التحليلية مع استخدامها الهندسي الصحيح.	الاستخدام
الضرب القياسي	اختبار التعامد وحساب الزوايا بين الاتجاهات
الضرب الاتجاهي	إيجاد متجه عمودي على متجهين في الفضاء
المعادلة البارامترية	تمثيل نقاط مستقيم بواسطة نقطة واتجاه
المتجه العمودي	تحديد اتجاه مستوى وكتابة معادلته
القيمة المطلقة	ضمان أن تكون صيغة المسافة غير سالبة
حل النظام	اختبار تقاطع مستقيمين أو إيجاد نقطة مشتركة

كلمات متقاطعة

متجه	كمية رياضية لها مقدار واتجاه
تعامد	علاقة هندسية تكون فيها الزاوية قائمة
مستقيم	مجموعة نقاط يمكن تمثيلها بنقطة ومتجه اتجاه
مستوى	سطح مستو في الفضاء يحدد بنقطة ومتجه عمودي
إسقاط	مركبة متجه في اتجاه متجه آخر
مسافة	أقصر طول بين كائنين هندسيين في السياق المعطى

مهام مفتوحة

سهل

1. خريطة متجهات: ارسم شبكة إحداثية وحدد خمس نقاط، ثم كوّن ثلاثة متجهات بين النقاط واكتب مركبات كل متجه وطوله.
2. تصوير الاتجاهات: التقط أو ارسم مشهداً آمناً من محيطك مثل ملعب أو غرفة، وأضف فوقه أسهماً تمثل اتجاهات متوازية ومتعامدة مع شرح قصير.
3. مقارنة المسافات: اختر أربع نقاط على مستوى إحداثي، واحسب المسافات بينها ثم تحقق بالرسم من أي زوج هو الأقرب وأي زوج هو الأبعد.
4. متجه وحدة: أنشئ ثلاثة متجهات غير صفرية مختلفة، واحسب متجه الوحدة لكل واحد ثم تحقق حسابياً من أن طول الناتج يساوي واحداً.

متوسط

1. تحقيق التوازي والتعامد: صمّم مجموعة من ستة متجهات في بعدين، وصنّف الأزواج المتوازية والمتعامدة مع تبرير باستخدام التناسب والضرب القياسي.
2. نمذجة مستقيم: اختر مساراً مستقيماً في مخطط أو رسم، وحدد نقطة واتجاهاً له، ثم اكتب معادلته البارامترية وولّد خمس نقاط تحققها.
3. تجربة الإسقاط: مثّل قوة أو سرعة بمتجه، واختر اتجاهاً آخر، ثم احسب الإسقاط القياسي والمتجهي واشرح معنى كل منهما في سياقك.
4. عرض ثلاثي الأبعاد: أنشئ رسماً ورقياً أو رقمياً لمحاور ثلاثية الأبعاد، وضع أربع نقاط في الفضاء، ثم صل بينها بمتجهات واحسب طولين وزاوية واحدة.

متقدم

1. تحليل مستوى: اختر ثلاث نقاط غير واقعة على مستقيم واحد، واستخرج متجهين داخل المستوى ثم احسب متجهاً عمودياً واكتب معادلة المستوى وتحقق من النقاط الثلاث.
2. تقاطع مستقيم ومستوى: أنشئ مثالين؛ في الأول يقطع مستقيم مستوى في نقطة، وفي الثاني يكون موازياً له، ثم أثبت الحالتين جبرياً ووضح الفرق برسم.
3. مسافة في الفراغ: ابنِ مسألة من نقطة إلى مستقيم في ثلاثة أبعاد، واحسب المسافة بالضرب الاتجاهي ثم اشرح لماذا تمثل النتيجة أقصر مسافة.
4. مشروع هندسة تحليلية: صمّم نموذجاً صغيراً لغرفة أو منصة أو هيكل بسيط بإحداثيات ثلاثية الأبعاد، ومثّل بعض الحواف بمستقيمات وبعض الأسطح بمستويات، ثم احسب زاويتين ومسافتين ونقطة تقاطع وقدم النتائج في تقرير أو فيديو قصير.

مجالات تعلم مرتبطة

المتجهات والهندسة التحليلية الإحداثيات الديكارتية الجبر الخطي حساب المثلثات الهندسة الإقليدية الفيزياء والمتجهات الرسوم الحاسوبية ثلاثية الأبعاد الروبوتات والملاحة التطبيقات الهندسية

ترتبط هذه الوحدة بموضوعات أوسع مثل المصفوفات والتحويلات الخطية، ونمذجة الحركة في الفيزياء، ووصف الكاميرات والأسطح في الرسوم الحاسوبية، والمسارات في الروبوتات. إتقان المتجهات والمستقيمات والمستويات يبني أساساً قوياً لدراسة الجبر الخطي والتفاضل والتكامل متعدد المتغيرات لاحقاً.

مسرد

المتجه

كمية لها مقدار واتجاه وتمثل بمركبات مرتبة.

المقدار

طول المتجه، وهو عدد غير سالب يحسب من مركباته.

متجه الوحدة

متجه طوله واحد ويستخدم لتمثيل الاتجاه وحده.

الضرب القياسي

عملية بين متجهين ناتجها عدد ويرتبط بالزاوية والإسقاط.

الضرب الاتجاهي

عملية في ثلاثة أبعاد ناتجها متجه عمودي على المتجهين الداخلين فيها.

متجه الاتجاه

متجه غير صفري يحدد اتجاه مستقيم.

المتجه العمودي

متجه متعامد مع مستقيم أو مستوى ويستخدم لوصف اتجاهه الهندسي.

المعادلة البارامترية

معادلة تصف نقاط مستقيم أو منحنى باستعمال معامل متغير.

المستوى

سطح مستو ثنائي البعد داخل الفضاء ثلاثي الأبعاد.

المستقيمان المتخالفان

مستقيمان في الفضاء لا يتوازيان ولا يتقاطعان.

الإسقاط

مركبة متجه في اتجاه متجه آخر.

المسافة العمودية

أقصر مسافة من نقطة إلى مستقيم أو مستوى.