Arabic:التفاضل ومعدلات التغير

مقدمة

التفاضل هو لغة رياضية تصف كيف تتغير الكميات. عندما تسأل عن سرعة سيارة في لحظة محددة، أو سرعة ارتفاع مستوى الماء في خزان، أو أفضل أبعاد لمستطيل يعطي أكبر مساحة، فأنت تقترب من أفكار التفاضل ومعدلات التغير. في هذه الدورة ستنتقل تدريجيًا من معدل التغير المتوسط إلى مفهوم النهاية، ثم إلى المشتقة بوصفها معدل تغير لحظيًا وميلًا للمماس، وبعد ذلك تستخدم المشتقات في تحليل الدوال والحركة ومسائل التحسين.

هذه الدورة موجهة إلى طلاب المرحلة الثانوية العليا تقريبًا من عمر 16 إلى 19 سنة. ستحتاج إلى معرفة أساسية بالدوال، والتمثيل البياني، والجبر، والتحليل إلى عوامل، والأسس. ركّز على معنى كل خطوة قبل حفظ القواعد؛ فالهدف هو أن ترى العلاقة بين الرسم والرمز الرياضي والموقف الواقعي.

خريطة الفكرة: معدل تغير متوسط ← نهاية ← مشتقة ← سلوك دالة ← تطبيقات وتحسين.

أهداف التعلم

1. أن تفسر معدل التغير المتوسط من جدول أو رسم أو نموذج واقعي.
2. أن تشرح فكرة النهاية من اليمين واليسار وتستخدمها في أمثلة جبرية بسيطة.
3. أن تربط بين ميل القاطع وميل المماس وبين تعريف المشتقة بالنهاية.
4. أن تحسب مشتقات دوال كثيرة الحدود وتستخدم قواعد الجمع والضرب والقسمة والسلسلة في أمثلة مناسبة.
5. أن تفسر وحدات المشتقة وإشارتها في سياق واقعي.
6. أن تستخدم المشتقات لحساب السرعة والتسارع ومعدلات تغير مرتبطة.
7. أن تحدد فترات التزايد والتناقص والنقاط الحرجة والقيم العظمى والصغرى.
8. أن تبني نموذج تحسين بسيطًا وتبرر الحل بخطوات رياضية واضحة.

من معدل التغير المتوسط إلى فكرة النهاية

إذا كانت كمية تعتمد على كمية أخرى، فيمكن تمثيل العلاقة بدالة. لنفترض أن حجم الماء في خزان ازداد من 40 لترًا إلى 70 لترًا خلال 6 دقائق. معدل التغير المتوسط للحجم هو مقدار التغير في الحجم مقسومًا على مقدار التغير في الزمن:

$\frac{70-40}{6}=5$ لترات في الدقيقة.

هذا العدد يصف التغير على فترة زمنية كاملة، وليس في لحظة واحدة. على الرسم البياني للدالة، يمثّل معدل التغير المتوسط ميل الخط القاطع المار بنقطتين من المنحنى.

يمثل ميل القاطع معدل التغير المتوسط بين نقطتين على المنحنى.

إذا قربنا النقطتين من بعضهما، يصبح ميل القاطع أقرب فأقرب إلى ميل المماس عند نقطة واحدة. هذه الحركة الفكرية تقود إلى مفهوم النهاية.

تحريك إحدى نقطتي القاطع نحو الأخرى يوضح كيف ينشأ ميل المماس بوصفه حدًا لميل القاطع.

مثال خطوة بخطوة: إذا كانت $f(x)=x^2$، فأوجد معدل التغير المتوسط من $x=2$ إلى $x=5$.

1. احسب قيمتي الدالة: $f(2)=4$ و$f(5)=25$.
2. احسب التغير في الناتج: $25-4=21$.
3. احسب التغير في المدخل: $5-2=3$.
4. اقسم: $21/3=7$. إذن معدل التغير المتوسط يساوي 7 وحدات من قيمة الدالة لكل وحدة من $x$.

فيديو داعم باللغة العربية حول معدل التغير في المرحلة الثانوية:

تحميل الفيديو

يوتيوب

قد يقوم يوتيوب بجمع البيانات الشخصية. سياسة الخصوصية

استمرار تجاهل

النهايات: الاقتراب دون اشتراط الوصول

تصف النهاية القيمة التي تقترب منها الدالة عندما يقترب المتغير من قيمة محددة. الرمز $\underset{x\to a}{lim}f(x)=L$ يعني أن قيم $f(x)$ يمكن جعلها قريبة من $L$ عندما نختار $x$ قريبًا بما يكفي من $a$. لا يشترط في التعريف أن تكون قيمة الدالة عند $a$ مساوية للنهاية، بل قد تكون الدالة غير معرفة أصلًا عند تلك النقطة.

يوضح الرسم أن اختيار المدخلات قريبًا بما يكفي من نقطة معينة يجعل قيم الدالة داخل نطاق صغير حول النهاية.

نهاية من جهتين: لكي توجد نهاية حقيقية للدالة عند نقطة، يجب أن تتفق النهاية من اليمين مع النهاية من اليسار. إذا اختلفتا، فلا توجد نهاية من جهتين عند تلك النقطة.

مثال خطوة بخطوة على إزالة حالة غير معينة: أوجد $\underset{x\to 2}{lim}\frac{x^2-4}{x-2}$.

1. التعويض المباشر يعطي صورة $0/0$، وهي إشارة إلى ضرورة التبسيط وليست قيمة للنهاية.
2. حلل البسط: $x^2-4=(x-2)(x+2)$.
3. عندما $x\ne 2$ يمكن اختصار العامل $x-2$، فتتحول العبارة إلى $x+2$.
4. الآن عندما يقترب $x$ من 2، تقترب $x+2$ من 4، إذن النهاية تساوي 4.

فكرة مهمة: الاستمرارية عند نقطة تعني، على نحو مبسط، أن قيمة الدالة موجودة وأن نهايتها موجودة وتساوي قيمة الدالة. لكن الاستمرارية وحدها لا تضمن وجود مشتقة؛ فالدالة $|x|$ مستمرة عند الصفر ولكن لها زاوية حادة هناك فلا يوجد مماس وحيد الميل.

فيديو داعم باللغة العربية يقدم مقدمة للنهايات لطلاب المرحلة الثانوية:

تحميل الفيديو

يوتيوب

قد يقوم يوتيوب بجمع البيانات الشخصية. سياسة الخصوصية

استمرار تجاهل

المشتقة: معدل تغير لحظي وميل مماس

إذا كانت $y=f(x)$، فإن مشتقة الدالة عند $x=a$ تعرف، عندما تكون النهاية موجودة، بالعلاقة:

$f^{\prime }(a)=\underset{h\to 0}{lim}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$

الكسر قبل أخذ النهاية هو معدل تغير متوسط على فترة صغيرة مقدارها $h$. ومع جعل $h$ أصغر فأصغر نحصل على معدل التغير اللحظي. هندسيًا، تمثل المشتقة ميل المماس للمنحنى عند النقطة.

المشتقة عند نقطة هي ميل المماس للمنحنى عند تلك النقطة.

اشتقاق $f(x)=x^2$ من التعريف عند $x=3$:

1. اكتب خارج الفرق: $\frac{f(3+h)-f(3)}{h}=\frac{(3+h{)}^2-9}{h}$.
2. وسع المربع: $(3+h{)}^2=9+6h+h^2$.
3. بسّط: $\frac{6h+h^2}{h}=6+h$ عندما $h\ne 0$.
4. خذ النهاية عندما $h\to 0$، فتحصل على $f^{\prime }(3)=6$.

إذن إذا كانت $f(x)=x^2$ فإن المشتقة العامة هي $f^{\prime }(x)=2x$. ويمكنك قراءة معنى ذلك من الرسم: كلما ازداد $x$ في الجزء الموجب من المنحنى أصبح المماس أكثر انحدارًا إلى أعلى.

وحدات المشتقة: إذا كانت $s(t)$ تمثل مسافة بالمتر و$t$ بالثانية، فإن $s^{\prime }(t)$ تقاس بالمتر لكل ثانية. هذه الوحدات جزء من معنى الإجابة وليست تفصيلًا شكليًا.

قواعد الاشتقاق وبناء المشتقات

التعريف بالنهاية هو الأساس، لكننا نستخدم قواعد مختصرة لحساب المشتقات بكفاءة بعد فهم هذا الأساس.

1. الثابت: مشتقة أي ثابت تساوي صفرًا.
2. قاعدة القوة: إذا كان $f(x)=x^n$ فإن $f^{\prime }(x)=n{x}^{n-1}$ للقيم المناسبة من $n$ ضمن المستوى الدراسي.
3. الجمع والطرح: مشتقة مجموع دالتين أو فرقهما تساوي مجموع مشتقتيهما أو فرقهما.
4. الضرب: إذا كان $y=u(x)v(x)$ فإن $y^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$.
5. القسمة: إذا كان $y=u/v$ و$v\ne 0$ فإن $y^{\prime }=(u^{\prime }v-u{v}^{\prime })/v^2$.
6. السلسلة: عند تركيب دالة داخل أخرى نشتق الدالة الخارجية ثم نضرب في مشتقة الدالة الداخلية.

مثال خطوة بخطوة على قاعدة القوة والجمع: إذا كانت $f(x)=4x^3-5x^2+7x-9$، فالمشتقة هي $f^{\prime }(x)=12x^2-10x+7$. لاحظ أن الحد الثابت اختفى لأن معدل تغيره صفر.

مثال على قاعدة السلسلة: إذا كانت $y=(3x+1{)}^4$، فالدالة الخارجية هي القوة الرابعة والداخلية هي $3x+1$. لذلك $y^{\prime }=4(3x+1{)}^3\cdot 3=12(3x+1{)}^3$.

مثال على قاعدة الضرب: إذا كانت $y=x^2(x+4)$ فإن $y^{\prime }=2x(x+4)+x^2=3x^2+8x$.

فيديو داعم باللغة العربية حول قواعد الاشتقاق:

تحميل الفيديو

يوتيوب

قد يقوم يوتيوب بجمع البيانات الشخصية. سياسة الخصوصية

استمرار تجاهل

معدلات التغير في الحركة والعلوم

التفاضل يصبح قويًا عندما يتحول الرمز إلى تفسير. إذا كانت $s(t)$ موضع جسم على خط مستقيم، فإن السرعة اللحظية هي $v(t)=s^{\prime }(t)$، والتسارع هو مشتقة السرعة $a(t)=v^{\prime }(t)=s^{″}(t)$.

يمثل ميل القاطع سرعة متوسطة، بينما يمثل ميل المماس سرعة لحظية.

مثال حركة خطوة بخطوة: ليكن موضع جسم بالمتر $s(t)=t^3-6t^2+9t$ حيث الزمن بالثواني.

1. اشتق الموضع: $v(t)=3t^2-12t+9$ متر لكل ثانية.
2. اشتق السرعة: $a(t)=6t-12$ متر لكل ثانية مربعة.
3. عند $t=2$ نجد $v(2)=-3$ متر لكل ثانية، والإشارة السالبة تعني أن الحركة في الاتجاه السالب للمحور.
4. عند $t=2$ نجد $a(2)=0$، أي أن معدل تغير السرعة في تلك اللحظة يساوي صفرًا، ولا يعني ذلك بالضرورة أن السرعة نفسها صفر.

معدلات مرتبطة: أحيانًا تتغير كميتان مع الزمن وتربطهما معادلة هندسية. إذا كانت مساحة دائرة $A=\pi r^2$ ونصف قطرها يزداد بمعدل $dr/dt=0.4$ سنتيمتر في الثانية، فإننا نشتق بالنسبة إلى الزمن: $\frac{dA}{dt}=2\pi r\frac{dr}{dt}$. عندما يكون $r=5$ سنتيمترات نحصل على $dA/dt=4\pi$ سنتيمترات مربعة في الثانية.

يمكن تطبيق الفكرة نفسها على تغير درجة الحرارة، وتركيز مادة في تفاعل، وارتفاع مستوى سائل، وتكلفة إنتاج، ونمو كمية مع الزمن. في كل حالة اسأل: ما الكمية التابعة؟ ما المتغير المستقل؟ وما وحدات المشتقة؟

فيديو داعم باللغة العربية حول السرعة والتسارع بوصفهما تطبيقين على التفاضل:

تحميل الفيديو

يوتيوب

قد يقوم يوتيوب بجمع البيانات الشخصية. سياسة الخصوصية

استمرار تجاهل

سلوك الدالة والقيم العظمى والصغرى

إشارة المشتقة تساعدك على قراءة اتجاه الدالة. إذا كان $f^{\prime }(x)>0$ على فترة فإن الدالة متزايدة عليها، وإذا كان $f^{\prime }(x)<0$ فهي متناقصة عليها. النقطة الحرجة هي قيمة في مجال الدالة تكون عندها المشتقة صفرًا أو غير موجودة. لكنها ليست بالضرورة قيمة عظمى أو صغرى؛ لذلك نحتاج إلى فحص تغير الإشارة أو استخدام معلومات إضافية.

يساعد مقارنة الدالة بمشتقتها على ربط الميل بإشارة المشتقة وبالمواضع التي قد تظهر عندها نقاط حرجة.

توضح الحركة أن كثيرًا من نقاط القيم العظمى والصغرى الداخلية القابلة للاشتقاق تقابل أصفارًا للمشتقة، مع وجود أصفار قد لا تكون نقاطًا حدية.

القيم الحدية قد تكون محلية داخل جزء من المنحنى أو مطلقة على المجال كله.

اختبار المشتقة الأولى: إذا تغيرت إشارة $f^{\prime }$ من موجبة إلى سالبة عند نقطة حرجة، فهناك قيمة عظمى محلية. وإذا تغيرت من سالبة إلى موجبة، فهناك قيمة صغرى محلية. إذا لم تتغير الإشارة فلا نستنتج قيمة حدية من هذا الاختبار.

تنبيه مهم: كون $f^{\prime }(a)=0$ شرط ضروري لكثير من القيم الحدية الداخلية عندما تكون الدالة قابلة للاشتقاق، لكنه ليس شرطًا كافيًا. فالدالة $f(x)=x^3$ تحقق $f^{\prime }(0)=0$ لكنها لا تملك قيمة عظمى أو صغرى محلية عند الصفر.

التحسين: كيف نبحث عن أفضل قيمة؟

مسألة التحسين تطلب أكبر قيمة أو أصغر قيمة لكمية تحت قيد محدد. اتبع خطة منظمة:

1. حدد الكمية المطلوب تعظيمها أو تصغيرها وسمها بدالة الهدف.
2. اكتب القيد الذي يربط المتغيرات.
3. استخدم القيد لكتابة دالة الهدف بمتغير واحد إن أمكن.
4. اشتق دالة الهدف وحدد النقاط الحرجة في المجال المناسب.
5. قارن المرشحين، ولا تنس نقاط طرف المجال إذا كان المجال مغلقًا.
6. فسّر الجواب في سياق المسألة مع الوحدات وتحقق من معقوليته.

مثال خطوة بخطوة: مستطيل محيطه 40 مترًا. ما أبعاده التي تجعل المساحة أكبر ما يمكن؟

1. إذا كان الطول $x$ والعرض $y$، فالقيد هو $2x+2y=40$، ومنه $y=20-x$.
2. المساحة $A=xy=x(20-x)=20x-x^2$.
3. المشتقة $A^{\prime }(x)=20-2x$.
4. اجعل المشتقة صفرًا: $20-2x=0$، فنحصل على $x=10$.
5. عندها $y=10$، والمساحة $100$ متر مربع. وبما أن الدالة التربيعية مفتوحة إلى أسفل، فهذه قيمة عظمى.

هذا المثال يوضح أن الحل الرياضي لا يبدأ بالاشتقاق مباشرة؛ بل يبدأ ببناء نموذج صحيح للموقف الواقعي.

فيديو داعم باللغة العربية حول تطبيقات القيم العظمى والصغرى في التفاضل:

تحميل الفيديو

يوتيوب

قد يقوم يوتيوب بجمع البيانات الشخصية. سياسة الخصوصية

استمرار تجاهل

أخطاء شائعة وأسئلة للتحقق الذاتي

الخطأ الأول: اعتبار الصورة $0/0$ جوابًا. هذه صورة غير معينة تشير إلى أن التعبير يحتاج إلى تحليل أو تبسيط أو طريقة أخرى.

الخطأ الثاني: الخلط بين $f(a)$ و$f^{\prime }(a)$. الأولى قيمة الدالة، والثانية ميلها أو معدل تغيرها اللحظي.

الخطأ الثالث: نسيان الوحدات في المسائل التطبيقية. مشتقة المسافة بالنسبة إلى الزمن سرعة، ومشتقة المساحة بالنسبة إلى الزمن لها وحدات مساحة لكل زمن.

الخطأ الرابع: الاعتقاد أن كل نقطة مشتقتها صفر قيمة حدية. افحص تغير الإشارة أو استخدم اختبارًا مناسبًا.

الخطأ الخامس: حل مسألة تحسين دون تحديد المجال. قد تعطي المعادلة نقطة حرجة غير ممكنة واقعيًا، كطول سالب.

اسأل نفسك بعد كل مسألة: ماذا تمثل المشتقة هنا؟ هل إشارتها منطقية؟ هل الوحدة صحيحة؟ وهل الرسم التقريبي ينسجم مع الجواب؟

مهام تفاعلية

اختبار: اختبر معرفتك

ما الوصف الأدق لمعدل التغير المتوسط لدالة بين نقطتين؟ (ميل الخط القاطع بين النقطتين) (!قيمة الدالة عند النقطة الأولى فقط) (!ميل المحور الأفقي) (!أكبر قيمة للدالة دائمًا)

إذا اقتربت قيم الدالة من العدد 5 عندما يقترب المتغير من 2 من الجهتين، فما النهاية؟ (5) (!2) (!0) (!لا يمكن أن توجد نهاية)

ما التفسير الهندسي الأساسي للمشتقة عند نقطة على منحنى أملس؟ (ميل المماس عند النقطة) (!مساحة المنطقة تحت المنحنى) (!طول المنحنى كله) (!إحداثي النقطة الأفقي فقط)

إذا كانت الدالة تساوي x تكعيب، فما قيمة مشتقتها عند x يساوي 2؟ (12) (!6) (!8) (!4)

ما قاعدة اشتقاق حاصل ضرب دالتين؟ (مشتقة الأولى في الثانية زائد الأولى في مشتقة الثانية) (!مشتقة الأولى في مشتقة الثانية فقط) (!مشتقة الأولى زائد مشتقة الثانية فقط) (!الأولى في الثانية دون اشتقاق)

إذا كان الموضع دالة في الزمن، فماذا تمثل مشتقته الأولى بالنسبة إلى الزمن؟ (السرعة اللحظية) (!المسافة الكلية دائمًا) (!الزمن الابتدائي) (!التسارع مباشرة في كل حالة)

ماذا يعني أن مشتقة دالة موجبة على فترة؟ (الدالة متزايدة على تلك الفترة) (!الدالة ثابتة على تلك الفترة) (!الدالة سالبة القيم دائمًا) (!الدالة غير معرفة على تلك الفترة)

أي عبارة صحيحة عن نقطة داخلية قابلة للاشتقاق تحقق قيمة عظمى محلية؟ (مشتقتها تساوي صفرًا) (!مشتقتها موجبة بالضرورة) (!قيمتها تساوي صفرًا بالضرورة) (!يجب أن تكون نهاية مجال الدالة)

في مسألة تحسين، ما الخطوة التي تسبق الاشتقاق عادة؟ (بناء دالة هدف من القيد والمعطيات) (!اختيار جواب من الرسم دون حساب) (!إهمال مجال المتغير) (!جعل كل المتغيرات تساوي صفرًا)

إذا كانت الدالة تساوي مربع ثلاثة x زائد واحد، فما مشتقتها بعد التبسيط؟ (18x زائد 6) (!9x زائد 1) (!6x زائد 1) (!3x زائد 2)

لعبة الذاكرة

النهاية	القيمة التي تقترب منها الدالة عندما يقترب المتغير من قيمة محددة
المشتقة	معدل التغير اللحظي وميل المماس عند نقطة
القاطع	خط يمر بنقطتين من المنحنى ويعطي ميله معدل تغير متوسطًا
المماس	خط يصف الميل اللحظي للمنحنى عند نقطة ملساء
السرعة	مشتقة الموضع بالنسبة إلى الزمن
التسارع	مشتقة السرعة بالنسبة إلى الزمن

السحب والإفلات

طابق المصطلح مع الوصف الصحيح.	المفهوم
معدل تغير متوسط	ميل قاطع بين نقطتين من منحنى
معدل تغير لحظي	ميل مماس عند نقطة
نقطة حرجة	قيمة في المجال تكون عندها المشتقة صفرًا أو غير موجودة
فترة تزايد	فترة تكون فيها المشتقة موجبة
فترة تناقص	فترة تكون فيها المشتقة سالبة
دالة هدف	الكمية التي نريد تعظيمها أو تصغيرها في مسألة تحسين

كلمات متقاطعة

نهاية	ما المفهوم الذي يصف القيمة التي تقترب منها الدالة قرب نقطة؟
مشتقة	ما الاسم الذي يطلق على معدل التغير اللحظي للدالة؟
مماس	ما الخط الذي يمثل ميله مشتقة الدالة عند نقطة ملساء؟
تزايد	ما وصف سلوك الدالة عندما تكون مشتقتها موجبة على فترة؟
تسارع	ما الكمية التي تساوي مشتقة السرعة بالنسبة إلى الزمن؟
تحسين	ما العملية التي تبحث عن أكبر أو أصغر قيمة تحت قيود؟

مهام مفتوحة

سهل

1. رسم معدل التغير: ارسم منحنى بسيطًا على ورق بياني، واختر نقطتين عليه، ثم ارسم القاطع واشرح بجملة عربية ما الذي يمثله ميله.
2. بطاقة مفاهيم التفاضل: أنشئ بطاقة مرئية تربط بين الكلمات: نهاية، قاطع، مماس، مشتقة، معدل تغير، مع تعريف قصير لكل كلمة.
3. تجربة حركة قصيرة: حرّك جسمًا صغيرًا على مسار مستقيم وسجل موضعه في عدة أزمنة آمنة، ثم احسب معدل تغير متوسطًا بين زمنين وفسره.
4. شرح مشتقة بسيطة: اكتب شرحًا من خمس إلى سبع جمل يبين لماذا مشتقة الدالة x تربيع تساوي اثنين x، مستخدمًا مثالًا عدديًا أو رسمًا.

متوسط

1. تحليل رسم بياني: اختر رسمًا لدالة كثيرة حدود، وحدد بصريًا فترات التزايد والتناقص، ثم تحقق قدر الإمكان باستخدام إشارة المشتقة.
2. مقابلة حول معدلات التغير: أجر مقابلة قصيرة مع معلم علوم أو تقني حول موقف مهني يستخدم معدل تغير، ثم لخص المثال دون نشر بيانات شخصية.
3. فيديو الدقيقة الواحدة: أنشئ فيديو تعليميًا قصيرًا يشرح الفرق بين السرعة المتوسطة والسرعة اللحظية باستخدام رسم أو نموذج مادي بسيط.
4. نموذج دائرة متغيرة: صمم جدولًا لعدة قيم لنصف قطر دائرة متغير، واحسب المساحة ومعدل تغيرها في مثال تختاره، ثم اشرح دور الوحدات.

متقدم

1. مشروع تحسين هندسي: صمم مسألة واقعية لتعظيم مساحة أو حجم تحت قيد، وابن دالة الهدف، وحدد المجال، واشتق، ثم تحقق من أن الحل هو الأفضل.
2. دراسة بيانات حركة: اجمع بيانات موضع وزمن من تجربة آمنة أو بيانات تعليمية عامة، وقرب السرعة اللحظية باستخدام فواصل زمنية متناقصة وقارن النتائج.
3. تحقيق نقطة حرجة: قارن دالتين لهما مشتقة تساوي صفرًا عند نقطة، تكون النقطة قيمة حدية في إحداهما وليست حدية في الأخرى، وقدم تفسيرًا بالرسم وإشارة المشتقة.
4. عرض تطبيقات التفاضل: أنشئ عرضًا أو ملصقًا يربط التفاضل بثلاثة مجالات مثل الفيزياء والاقتصاد والهندسة، مع مثال رياضي صحيح لكل مجال ومصادر موثوقة.

مجالات تعلم مرتبطة

التفاضل ومعدلات التغير الدوال والتمثيل البياني النهايات والاستمرارية المشتقات وقواعد الاشتقاق الحركة والسرعة والتسارع القيم العظمى والصغرى مسائل التحسين الرياضي

يرتبط هذا الموضوع أيضًا بموضوعات الجبر والهندسة التحليلية والفيزياء والاقتصاد الرياضي. فهم الدوال والرسوم البيانية يساعدك على تفسير المشتقة بصريًا، بينما تقدم الفيزياء نماذج مباشرة للسرعة والتسارع، ويستخدم التحسين في التصميم والتخطيط واتخاذ القرارات الكمية.

مسرد

الدالة: قاعدة تربط كل قيمة مسموحة من المدخل بقيمة واحدة من المخرج.

معدل التغير المتوسط: نسبة التغير في قيمة الدالة إلى التغير في المتغير المستقل بين نقطتين.

النهاية: القيمة التي تقترب منها الدالة عندما يقترب المتغير من قيمة معينة.

القاطع: خط يمر بنقطتين من منحنى، ويمثل ميله معدل تغير متوسطًا.

المماس: خط يصف الاتجاه اللحظي للمنحنى عند نقطة ملساء، ويمثل ميله المشتقة.

المشتقة: حد خارج الفرق عندما يقترب تغير المدخل من الصفر، وتفسر كمعدل تغير لحظي.

النقطة الحرجة: قيمة من مجال الدالة تكون عندها المشتقة صفرًا أو غير موجودة.

القيمة العظمى المحلية: قيمة للدالة أكبر من القيم القريبة منها ضمن جوار مناسب.

القيمة الصغرى المحلية: قيمة للدالة أصغر من القيم القريبة منها ضمن جوار مناسب.

السرعة اللحظية: مشتقة الموضع بالنسبة إلى الزمن.

التسارع: مشتقة السرعة بالنسبة إلى الزمن.

التحسين: استخدام نموذج رياضي للبحث عن أكبر قيمة أو أصغر قيمة لدالة هدف تحت شروط أو قيود.