Spezielle quadratische Gleichungen

Diesen aiMOOC als Battle spielen: Mathematik, Klasse 7-8, G-Niveau

Einleitung

Eine quadratische Gleichung enthält ein Quadrat wie x². Manche Formen sind besonders leicht. Du brauchst dann oft keine Mitternachtsformel.

Lernziele

Du kannst spezielle quadratische Gleichungen erkennen, einen passenden Lösungsweg wählen, die Lösungen berechnen und mit einer Probe prüfen.

Lernbereiche

1. Algebra: Gleichungen erkennen und umformen.
2. Quadratische Gleichung: Besondere Formen unterscheiden.
3. Nullprodukt: Faktoren einzeln gleich null setzen.
4. Quadratwurzel: Lösungen mit Plus und Minus bestimmen.
5. Parabel: Lösungen als Nullstellen verstehen.

Die drei wichtigen Formen

Form	Beispiel	Weg
Nullprodukt	(x − 3) · (x + 2) = 0	Jeden Faktor gleich null setzen.
Unvollständige quadratische Gleichung	2x² − 6x = 0	x ausklammern, dann das Nullprodukt nutzen.
Reinquadratische Gleichung	x² − 16 = 0	x² allein stellen, dann die Wurzel ziehen.

Merke: Bei x² = 16 gilt x = 4 oder x = −4. Das Zeichen ± darfst Du nicht vergessen. Bei x² = −16 gibt es in den reellen Zahlen keine Lösung.

Beispiele

Nullprodukt: (x − 3) · (x + 2) = 0 x − 3 = 0 oder x + 2 = 0 x = 3 oder x = −2

Ausklammern: 2x² − 6x = 0 2x · (x − 3) = 0 x = 0 oder x = 3

Wurzelziehen: x² − 25 = 0 x² = 25 x = 5 oder x = −5

Die Lösungen einer quadratischen Gleichung sind die Nullstellen der passenden Parabel.

Lernvideo

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Das Video von Planet Schule zeigt das Nullprodukt, das Ausklammern und das Wurzelziehen.

Aufgaben zum Video

1. Vor dem Video: Erkläre in einem Satz, was an einer speziellen quadratischen Gleichung besonders sein könnte.
2. Während des Videos: Stoppe nach jeder Methode. Schreibe die Gleichungsform und den ersten Rechenschritt auf.
3. Nullprodukt im Video: Löse danach (x − 6) · (x + 1) = 0.
4. Ausklammern im Video: Löse danach 3x² − 12x = 0.
5. Wurzelziehen im Video: Löse danach 2x² − 18 = 0.
6. Nach dem Video: Erstelle eine Mini-Tabelle mit den drei Formen und den passenden Lösungswegen.

Ergänzendes Video: Parabeln

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Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Welche Gleichung ist quadratisch? (2x² − 3x + 1 = 0) (!2x + 1 = 0) (!x³ − 4 = 0) (!5 − x = 0)

Was gilt beim Nullprodukt? (Mindestens ein Faktor ist null) (!Beide Faktoren sind immer eins) (!Die Summe der Faktoren ist null) (!Jeder Faktor wird quadriert)

Welche Lösungen hat das Nullprodukt mit den Faktoren x minus 3 und x plus 2? (x = 3 oder x = −2) (!x = −3 oder x = 2) (!x = 3 oder x = 2) (!x = −3 oder x = −2)

Was fehlt bei 2x² − 6x = 0? (Das absolute Glied) (!Das quadratische Glied) (!Das lineare Glied) (!Das Gleichheitszeichen)

Was ist der erste sinnvolle Schritt bei 3x² + 12x = 0? (x ausklammern) (!Die Wurzel aus 12 ziehen) (!Durch x teilen) (!Die Mitternachtsformel sofort nutzen)

Welche Lösungen hat x² = 16? (x = 4 oder x = −4) (!x = 8 oder x = −8) (!nur x = 4) (!keine reelle Lösung)

Wie viele reelle Lösungen hat x² = −9? (Keine) (!Eine) (!Zwei) (!Neun)

Wie wird x² + 5x richtig faktorisiert? (x mal Klammer x plus 5) (!x mal Klammer x Quadrat plus 5) (!5x mal Klammer x plus 1) (!x mal Klammer x minus 5)

Welche Lösungen hat 3x² − 12x = 0? (x = 0 oder x = 4) (!x = 3 oder x = 4) (!x = 0 oder x = −4) (!x = −3 oder x = 4)

Warum sind spezielle quadratische Gleichungen oft schnell lösbar? (Ein Glied fehlt oder die Gleichung ist schon faktorisiert) (!Sie enthalten nie ein x) (!Sie haben immer nur eine Lösung) (!Sie sind eigentlich lineare Gleichungen)

Memory

Reinquadratisch	Lineares Glied fehlt
Unvollständig	Absolutes Glied fehlt
Nullprodukt	Mindestens ein Faktor ist null
Ausklammern	Gemeinsamer Faktor kommt vor die Klammer
Wurzelziehen	Plus und Minus beachten
Lösungsmenge	Alle Lösungen einer Gleichung

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Gleichungsform
Faktoren einzeln null setzen	(x − 2) · (x + 1) = 0
x ausklammern	3x² + 6x = 0
x² isolieren	2x² − 18 = 0
Keine reelle Lösung	x² + 4 = 0
Zwei Gegenzahlen als Lösung	x² = 49

Kreuzworträtsel

Parabel	Wie heißt der Graph einer quadratischen Funktion?
Nullprodukt	Welche Regel nutzt man bei einem Produkt mit dem Wert null?
Wurzelziehen	Welche Methode passt zu x² gleich einer positiven Zahl?
Ausklammern	Wie heißt das Herausziehen eines gemeinsamen Faktors?
Nullstelle	Wie heißt eine Lösung der Gleichung f von x gleich null?
Lösungsmenge	Wie heißt die Sammlung aller Lösungen?

Lückentext

Vervollständige den Text.

Bei einem Nullprodukt wird jeder gleich null gesetzt. In der Gleichung ax² + bx = 0 fehlt das Glied. Hier wird zuerst x . Bei ax² + c = 0 fehlt das Glied. Nach dem Isolieren von x² wird die gezogen. Bei einer positiven Zahl unter der Wurzel entstehen meist reelle Lösungen.

Offene Aufgaben

Leicht

1. Formen erkennen: Ordne zwölf selbst gewählte Gleichungen den drei Formen zu.
2. Rechnen: Löse x² − 36 = 0, 4x² − 8x = 0 und (x + 4) · (x − 1) = 0.
3. Videonotizen: Gestalte drei kleine Merkkarten zu den Methoden aus dem Video.
4. Fehler finden: Erkläre, warum die Antwort x = 7 bei x² = 49 unvollständig ist.

Standard

1. Erklärplakat: Gestalte ein Plakat mit je einem Beispiel für Nullprodukt, Ausklammern und Wurzelziehen.
2. Aufgabenwerkstatt: Erfinde zu jeder Form zwei Aufgaben und schreibe eine Lösung dazu.
3. Parabel und Nullstellen: Zeichne y = x² − 9 und vergleiche die Schnittpunkte mit Deinen Lösungen von x² − 9 = 0.
4. Partnerinterview: Erklärt Euch gegenseitig, wie man vor dem Rechnen die passende Methode erkennt.

Schwer

1. Begründung des Nullprodukts: Erkläre mit eigenen Worten, warum aus a · b = 0 folgt, dass a = 0 oder b = 0 gilt.
2. Entscheidungsbaum: Entwickle einen Entscheidungsbaum für die Wahl des Lösungswegs.
3. Rückwärtsaufgabe: Konstruiere drei verschiedene quadratische Gleichungen mit den Lösungen x = −3 und x = 3.
4. Eigenes Lernvideo: Produziere ein kurzes Erklärvideo mit einer Beispielaufgabe und einer typischen Fehlerstelle.

Lernkontrolle

1. Methodenwahl: Entscheide für sechs vorgegebene Gleichungen, welche Methode am kürzesten ist, und begründe jede Wahl.
2. Fehleranalyse: Eine Person teilt bei x² − 4x = 0 durch x und erhält nur x = 4. Erkläre den Fehler und bestimme alle Lösungen.
3. Vergleich: Löse 2x² − 8 = 0 durch Wurzelziehen. Erkläre, warum Ausklammern hier nicht der passende Hauptweg ist.
4. Rückwärtsdenken: Stelle eine Gleichung in Produktform auf, deren Lösungen x = 2 und x = −5 sind. Multipliziere sie danach aus.
5. Graphischer Transfer: Beschreibe, wie viele reelle Lösungen x² + 1 = 0 hat, und begründe dies mit der Lage der Parabel zur x-Achse.
6. Alltagstransfer: Die Fläche eines Quadrats beträgt 81 cm². Stelle eine reinquadratische Gleichung auf und bestimme die mögliche Seitenlänge.

Lernnachweis

Für Deinen Lernnachweis solltest Du:

1. Gleichungsformen sicher erkennen.
2. Lösungswege passend auswählen und erklären.
3. Nullprodukt, Ausklammern und Wurzelziehen korrekt anwenden.
4. Das Zeichen ± beachten und Lösungsmengen angeben.
5. Ergebnisse durch Einsetzen oder durch den Graphen prüfen.

OERs zum Thema

1. Planet Schule: Spezielle quadratische Gleichungen
2. Lernvideo von Planet Schule
3. Freie Medien auf Wikimedia Commons

Links

Spezielle quadratische Gleichungen Quadratische Gleichung Nullprodukt Ausklammern Quadratwurzel Nullstelle Parabel Lösungsmenge