Sinussatz - Dreiecke berechnen

Diesen aiMOOC als Battle spielen: Mathematik, Klasse 11-13, G-Niveau

Sinussatz - Dreiecke berechnen

Der Sinussatz hilft Dir, Seiten und Winkel in einem beliebigen Dreieck zu berechnen. Wichtig ist: Jede Seite gehört zu ihrem gegenüberliegenden Winkel.

Lernziele

1. Sinussatz: Du kennst die Formel.
2. Dreieck: Du ordnest Seiten und Gegenwinkel richtig zu.
3. Trigonometrie: Du berechnest fehlende Seiten und Winkel.
4. Modellieren: Du setzt den Sinussatz bei Sachaufgaben ein.

Grundidee

Für ein Dreieck mit den Seiten $a$, $b$, $c$ und den gegenüberliegenden Winkeln $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ gilt:

$\frac{a}{\sin (\alpha )}=\frac{b}{\sin (\beta )}=\frac{c}{\sin (\gamma )}$

Merke: Seite und gegenüberliegender Winkel bilden immer ein Paar.

Bezeichnungen im Dreieck

1. Seite $a$ liegt gegenüber von Winkel $\alpha$.
2. Seite $b$ liegt gegenüber von Winkel $\beta$.
3. Seite $c$ liegt gegenüber von Winkel $\gamma$.

Wann nutzt Du den Sinussatz?

Du brauchst mindestens ein bekanntes Gegenpaar aus einer Seite und ihrem gegenüberliegenden Winkel. Dann kannst Du eine weitere Seite oder einen weiteren Winkel berechnen.

Typische Fälle sind:

1. Zwei Winkel und eine Seite sind bekannt.
2. Zwei Seiten und ein gegenüberliegender Winkel sind bekannt.

Achtung: Beim zweiten Fall kann es manchmal zwei mögliche Dreiecke geben. Prüfe deshalb am Ende die Winkelsumme und die Form des Dreiecks.

Rechenweg

1. Skizziere das Dreieck.
2. Markiere bekannte und gesuchte Größen.
3. Wähle zwei passende Brüche aus dem Sinussatz.
4. Stelle die Gleichung nach der gesuchten Größe um.
5. Rechne im Gradmaß und runde sinnvoll.
6. Prüfe: Alle Winkel ergeben zusammen $180^{\circ }$.

Beispiel

Gegeben sind $\alpha =40^{\circ }$, $\beta =65^{\circ }$ und $a=8\text{cm}$.

Zuerst:

$\gamma =180^{\circ }-40^{\circ }-65^{\circ }=75^{\circ }$

Dann:

$b=\frac{8\cdot \sin (65^{\circ })}{\sin (40^{\circ })}\approx \mathrm{11,3}\text{cm}$

$c=\frac{8\cdot \sin (75^{\circ })}{\sin (40^{\circ })}\approx \mathrm{12,0}\text{cm}$

Probe: Der größte Winkel ist $\gamma$. Deshalb ist auch die gegenüberliegende Seite $c$ am längsten.

Einen Winkel berechnen

Sind zwei Seiten und ein Gegenwinkel bekannt, stellst Du zuerst nach dem Sinuswert um:

$\sin (\beta )=\frac{b\cdot \sin (\alpha )}{a}$

Dann nutzt Du am Taschenrechner die Umkehrfunktion:

$\beta ={\sin }^{-1}\left(\frac{b\cdot \sin (\alpha )}{a}\right)$

Stelle den Taschenrechner auf DEG.

Kurze Begründung

Eine Höhe teilt das Dreieck in zwei rechtwinklige Dreiecke. In beiden Teildreiecken kann dieselbe Höhe mit dem Sinus beschrieben werden. Daraus entsteht das gleiche Seiten-Winkel-Verhältnis.

Vertiefung für Klasse 11–12

Mit dem Umkreisradius $R$ gilt zusätzlich:

$\frac{a}{\sin (\alpha )}=\frac{b}{\sin (\beta )}=\frac{c}{\sin (\gamma )}=2R$

Lernvideo

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Aufgaben zum Video

1. Videonotiz: Stoppe das Video, sobald die Formel des Sinussatzes erscheint. Schreibe sie ohne Hilfe auf.
2. Gegenpaar: Notiere aus der Beispielaufgabe des Videos ein bekanntes Paar aus Seite und gegenüberliegendem Winkel.
3. Rechenweg: Schreibe die im Video gegebenen Größen, die gesuchte Größe und die eingesetzte Gleichung in drei Zeilen.
4. Pausenaufgabe: Stoppe vor dem Ergebnis und rechne selbst weiter. Vergleiche danach Deinen Wert mit dem Video.
5. Fehlercheck: Erkläre in einem Satz, warum Seite und falscher Winkel nicht in denselben Bruch eingesetzt werden dürfen.
6. Video-Zusammenfassung: Erkläre den Lösungsweg des Videos in höchstens vier einfachen Sätzen.

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Welche Formel zeigt den Sinussatz? (a durch Sinus alpha gleich b durch Sinus beta gleich c durch Sinus gamma) (!a Quadrat plus b Quadrat gleich c Quadrat) (!Sinus alpha gleich Ankathete durch Hypotenuse) (!a plus b plus c gleich 180 Grad)

Welche Seite liegt dem Winkel alpha gegenüber? (Seite a) (!Seite b) (!Seite c) (!Die Höhe)

Welche Angabe ist für den Sinussatz besonders hilfreich? (Ein bekanntes Gegenpaar aus Seite und Winkel) (!Nur die drei Winkel) (!Nur eine einzige Seite) (!Nur der Flächeninhalt)

Wie groß ist die Winkelsumme im Dreieck? (180 Grad) (!90 Grad) (!270 Grad) (!360 Grad)

Im Beispiel sind alpha 40 Grad und beta 65 Grad. Wie groß ist gamma? (75 Grad) (!25 Grad) (!105 Grad) (!115 Grad)

Wie wird b aus a durch Sinus alpha gleich b durch Sinus beta berechnet? (b gleich a mal Sinus beta durch Sinus alpha) (!b gleich a mal Sinus alpha durch Sinus beta) (!b gleich a plus Sinus beta) (!b gleich a durch beta)

Welche Einstellung braucht der Taschenrechner bei Winkeln in Grad? (DEG) (!RAD) (!STAT) (!SCI)

Was gilt in jedem Dreieck? (Der größeren Seite liegt der größere Winkel gegenüber) (!Alle Seiten sind gleich lang) (!Alle Winkel sind kleiner als 60 Grad) (!Die längste Seite liegt am kleinsten Winkel)

Was kann beim Fall zwei Seiten und ein gegenüberliegender Winkel auftreten? (Es können zwei Dreiecke möglich sein) (!Es gibt immer ein rechtwinkliges Dreieck) (!Der Sinussatz ist nie anwendbar) (!Alle Winkel sind sofort bekannt)

Was solltest Du nach der Rechnung prüfen? (Ob Größen und Winkelsumme zum Dreieck passen) (!Ob alle Zahlen ganze Zahlen sind) (!Ob jede Seite kürzer als ein Zentimeter ist) (!Ob alle Winkel gleich groß sind)

Memory

Sinussatz	Seiten-Winkel-Verhältnis
Seite a	Winkel alpha
Seite b	Winkel beta
Seite c	Winkel gamma
Gradmaß	DEG
Winkelsumme	180 Grad
Umstellen	Gesuchte Größe allein

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Bedeutung
Seite a	liegt gegenüber von Winkel alpha
Seite b	liegt gegenüber von Winkel beta
Seite c	liegt gegenüber von Winkel gamma
Sinuswert	gehört zum gegenüberliegenden Winkel
Taschenrechner	wird im Modus DEG verwendet

Kreuzworträtsel

Sinussatz	Welcher Satz verbindet Seiten mit den Sinuswerten ihrer Gegenwinkel?
Dreieck	Welche geometrische Figur wird hier berechnet?
Gegenwinkel	Wie heißt der Winkel, der einer Seite gegenüberliegt?
Taschenrechner	Womit berechnest Du Sinuswerte und Umkehrsinus?
Winkelsumme	Welche Summe beträgt im Dreieck 180 Grad?
Umstellen	Was musst Du mit der Formel vor dem Einsetzen oft tun?

Lückentext

Vervollständige den Text.

Der Sinussatz gilt in jedem . Die Seite a liegt dem Winkel gegenüber. Ein bekanntes Paar aus Seite und Gegenwinkel heißt hier . Die drei Winkel ergeben zusammen . Beim Rechnen mit Grad stellst Du den Taschenrechner auf . Für einen unbekannten Winkel nutzt Du den . Nach der Rechnung solltest Du das Ergebnis immer .

Offene Aufgaben

Leicht

1. Formelkarte: Gestalte eine kleine Lernkarte mit dem Sinussatz und den drei Gegenpaaren.
2. Dreiecksskizze: Zeichne ein Dreieck und beschrifte Seiten und Winkel richtig.
3. Video-Standbild: Pausiere das Lernvideo bei der Formel und erkläre jedes Zeichen mit eigenen Worten.
4. Taschenrechnerübung: Berechne die Sinuswerte von 30 Grad, 45 Grad und 60 Grad im Modus DEG.

Standard

1. Video-Beispiel: Übertrage die Beispielaufgabe aus dem Video in eine Tabelle mit gegeben, gesucht, Formel, Rechnung und Ergebnis.
2. Dreiecksberechnung: Berechne im Beispiel dieses MOOCs alle fehlenden Größen und kontrolliere die angegebenen Ergebnisse.
3. Messaufgabe: Miss in einer selbst gezeichneten Figur eine Seite und zwei Winkel. Berechne die übrigen Seiten.
4. Fehleranalyse: Erfinde einen typischen Zuordnungsfehler beim Sinussatz und verbessere ihn Schritt für Schritt.

Schwer

1. Herleitung: Erkläre mit einer eingezeichneten Höhe, warum zwei Seiten-Winkel-Verhältnisse gleich sind.
2. Mehrdeutiger Fall: Untersuche mit einer Zeichnung, wann aus zwei Seiten und einem Gegenwinkel zwei Dreiecke entstehen können.
3. Methodenvergleich: Vergleiche Sinussatz, Kosinussatz und Satz des Pythagoras. Formuliere für jeden Satz einen passenden Einsatzfall.
4. Erklärvideo: Produziere ein kurzes eigenes Lernvideo mit Skizze, Formel, Rechnung und Probe.

Lernkontrolle

1. Methodenwahl: Entscheide bei drei unterschiedlich gegebenen Dreiecken, ob Sinussatz, Kosinussatz oder Satz des Pythagoras sinnvoll ist. Begründe jede Wahl.
2. Vermessung: Plane, wie Du die Breite eines unzugänglichen Geländes mit einer gemessenen Grundseite und zwei Winkeln bestimmen kannst.
3. Plausibilitätsprüfung: Ein Ergebnis nennt die längste Seite gegenüber dem kleinsten Winkel. Erkläre den Fehler und verbessere die Aussage.
4. Mehrdeutigkeit: Zeige an einem selbst gewählten Beispiel, warum der Umkehrsinus allein nicht immer alle möglichen Dreiecke liefert.
5. Transfer: Entwickle eine Sachaufgabe zum Sinussatz, löse sie und erkläre, welche Messwerte in der Realität nötig wären.

Lernnachweis

Für Deinen Lernnachweis solltest Du zeigen:

1. Du ordnest jede Seite ihrem Gegenwinkel zu.
2. Du schreibst den Sinussatz richtig auf.
3. Du stellst die Formel nach einer Seite oder einem Winkel um.
4. Du rechnest im richtigen Winkelmodus.
5. Du prüfst Winkelsumme, Größenordnung und mögliche zweite Lösung.
6. Du erklärst einen Rechenweg verständlich.

Links

Sinussatz - Dreiecke berechnen Sinussatz Dreieck Trigonometrie Sinus Winkelsumme Kosinussatz Satz des Pythagoras Umkreis