Sinus und Kosinus - Ableitung und Nullstellen

Diesen aiMOOC als Battle spielen: Deutsch, Klasse 11-13, G-Niveau

Einleitung

Sinus und Kosinus beschreiben Wellen und regelmäßige Bewegungen. In diesem aiMOOC lernst Du die wichtigsten Ableitungen und Nullstellen. Du arbeitest im Bogenmaß mit der Zahl $\pi$.

Lernziele

Nach dem Kurs kannst Du:

1. Ableitung: Sinus und Kosinus ableiten.
2. Nullstelle: alle Nullstellen mit $k\in \mathbb{Z}$ angeben.
3. Funktionsgraph: Nullstellen, Steigung und Extremstellen verbinden.
4. Kettenregel: einfache Funktionen wie $\sin (3x)$ ableiten.

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Aufgaben zum Video

1. Video-Notizen: Schreibe die beiden Ableitungsregeln auf.
2. Nullstellen: Notiere die allgemeinen Nullstellen von Sinus und Kosinus.
3. Graphen: Zeichne während des Videos eine Periode beider Funktionen.
4. Vergleich: Markiere Stellen, an denen der Graph steigt, fällt oder waagerecht ist.
5. Erklärung: Formuliere mit eigenen Worten, warum bei der Kosinus-Ableitung ein Minuszeichen steht.
6. Selbstkontrolle: Prüfe nach dem Video Deine Ergebnisse mit der Formelsammlung dieses Kurses.

Kurz erklärt

Sinus und Kosinus

Am Einheitskreis ist der Kosinus die x-Koordinate und der Sinus die y-Koordinate.

Beide Funktionen wiederholen sich nach $2\pi$.

Funktion	Startwert bei $x=0$	Periode
$f(x)=\sin (x)$	$0$	$2\pi$
$g(x)=\cos (x)$	$1$	$2\pi$

Ableitungen

Die Ableitung beschreibt die Steigung eines Graphen.

$(\sin (x))=\cos (x)$

$(\cos (x))=-\sin (x)$

Merke: Sinus wird zu Kosinus. Kosinus wird zu Minus-Sinus.

Nullstellen

Eine Nullstelle liegt dort, wo der Graph die x-Achse schneidet oder berührt.

Sinus:

$\sin (x)=0⟺x=k\pi ,k\in \mathbb{Z}$

Kosinus:

$\cos (x)=0⟺x=\frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$

Zusammenhang mit Extremstellen

Ist die Ableitung null, hat der Graph oft eine waagerechte Tangente.

1. Bei $f(x)=\sin (x)$ gilt $f^{\prime }(x)=\cos (x)$. Die möglichen Extremstellen des Sinus liegen deshalb an den Nullstellen des Kosinus.
2. Bei $g(x)=\cos (x)$ gilt $g^{\prime }(x)=-\sin (x)$. Die möglichen Extremstellen des Kosinus liegen deshalb an den Nullstellen des Sinus.

Vertiefung: Kettenregel

Für $a\ne 0$ gilt:

Funktion	Ableitung	Nullstellen
$f(x)=\sin (ax+b)$	$f^{\prime }(x)=a\cos (ax+b)$	$x=\frac{k\pi -b}{a}$
$g(x)=\cos (ax+b)$	$g^{\prime }(x)=-a\sin (ax+b)$	$x=\frac{\frac{\pi }{2}+k\pi -b}{a}$

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Wie lautet die Ableitung von Sinus von x? (Kosinus von x) (!Minus Kosinus von x) (!Sinus von x) (!Minus Sinus von x)

Wie lautet die Ableitung von Kosinus von x? (Minus Sinus von x) (!Sinus von x) (!Kosinus von x) (!Minus Kosinus von x)

Wo liegen alle Nullstellen von sin(x)? (Bei k mal Pi) (!Bei Pi halbe plus k mal Pi) (!Nur bei null) (!Bei zwei Pi plus k)

Wo liegen alle Nullstellen von cos(x)? (Bei Pi halbe plus k mal Pi) (!Bei k mal Pi) (!Nur bei Pi) (!Bei zwei k plus Pi)

Was bedeutet Nullstelle? (Der Funktionswert ist null) (!Die Ableitung ist immer eins) (!Der Graph hat keine Steigung) (!Die Funktion hat keine Periode)

Was beschreibt die erste Ableitung? (Die Steigung des Graphen) (!Nur den Startwert) (!Nur die Nullstellen) (!Die Länge der x-Achse)

An welcher Stelle ist die Ableitung von sin(x) gleich null? (Bei Pi halbe) (!Bei null) (!Bei Pi) (!Bei zwei Pi)

Welchen Wert hat cos(0)? (1) (!0) (!-1) (!Pi)

Wie lautet die Ableitung von Sinus von drei x? (Drei mal Kosinus von drei x) (!Kosinus von drei x) (!Minus drei mal Sinus von drei x) (!Drei mal Sinus von x)

Nach welcher Länge wiederholen sich Sinus und Kosinus? (Nach zwei Pi) (!Nach Pi halbe) (!Nach einem Drittel Pi) (!Nach drei Pi halbe)

Memory

Ableitung des Sinus	Kosinus
Ableitung des Kosinus	Minus-Sinus
Sinusnullstellen	Ganzzahlige Vielfache von Pi
Kosinusnullstellen	Pi halbe plus ganzzahlige Vielfache von Pi
Periode	Wiederholung nach zwei Pi
Nullstelle	Schnitt mit der x-Achse

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Thema
Kosinuswert	Steigung des Sinus
Negativer Sinuswert	Steigung des Kosinus
Vielfaches von Pi	Nullstelle des Sinus
Ungerades Vielfaches von Pi halbe	Nullstelle des Kosinus
Wiederholung nach zwei Pi	Volle Periode

Kreuzworträtsel

Kosinus	Welche Funktion ist die Ableitung des Sinus?
Sinus	Welche Funktion steht mit einem Minuszeichen in der Ableitung des Kosinus?
Nullstelle	Wie heißt ein x-Wert mit dem Funktionswert null?
Ableitung	Welche Funktion beschreibt die Steigung?
Bogenmass	Welches Winkelmaß arbeitet mit Pi?
Tangente	Welche Gerade zeigt die Steigung an einer Stelle?

Lückentext

Vervollständige den Text.

Die Ableitung des Sinus ist der .

Die Ableitung des Kosinus ist der .

Eine Nullstelle liegt auf der .

Die Nullstellen des Sinus sind .

Die Nullstellen des Kosinus beginnen bei .

Sinus und Kosinus besitzen die Periode .

Ist die Ableitung null, ist die Tangente oft .

Für die Ableitung von sin(3x) braucht man die .

Offene Aufgaben

Leicht

1. Video-Zusammenfassung: Fasse das Lernvideo in vier kurzen Sätzen zusammen.
2. Formelkarten: Gestalte je eine Karte zu Ableitung und Nullstellen von Sinus und Kosinus.
3. Graphenskizze: Zeichne Sinus und Kosinus von $-2\pi$ bis $2\pi$.
4. Nullstellen markieren: Markiere in Deiner Zeichnung alle Nullstellen und beschrifte sie.

Standard

1. Graphenvergleich: Zeichne $\sin (x)$ und $\cos (x)$ in dasselbe Koordinatensystem. Erkläre den Zusammenhang zwischen Funktion und Ableitung.
2. Fehleranalyse: Eine Person behauptet: „Die Ableitung von Kosinus ist Sinus.“ Erkläre den Fehler mit einem Graphen.
3. Kettenregel: Bestimme Ableitung und Nullstellen von $f(x)=\sin (2x)$.
4. Erklär-Audio: Nimm eine einminütige Erklärung zu den Kosinusnullstellen auf.

Schwer

1. Schwingungsmodell: Für $h(t)=2\sin (\pi t)$ bestimmst Du Nullstellen und Ableitung. Deute beide Ergebnisse als Bewegung.
2. Begründung: Erkläre mit Tangentensteigungen, warum die Ableitung des Sinus am Punkt $x=0$ den Wert eins hat.
3. Lernvideo erstellen: Produziere ein kurzes Video mit einem Beispiel zu Ableitung, Nullstellen und Extremstellen.
4. Parameter untersuchen: Erforsche mit einer dynamischen Geometriesoftware, wie $a$ und $b$ die Funktionen $\sin (ax+b)$ und $\cos (ax+b)$ verändern.

Lernkontrolle

1. Zusammenhang erklären: Begründe, warum die Extremstellen des Sinus an den Nullstellen des Kosinus liegen.
2. Vorzeichen deuten: Beschreibe für eine Periode, wann der Sinus steigt und wann er fällt. Nutze das Vorzeichen des Kosinus.
3. Verschiebung untersuchen: Vergleiche die Nullstellen von $\sin (x)$ und $\sin (x-\frac{\pi }{2})$.
4. Transfer auf Bewegung: Ein Gegenstand bewegt sich nach $s(t)=\cos (t)$. Erkläre die Bedeutung von $s^{\prime }(t)$ und seinen Nullstellen.
5. Fehler korrigieren: Prüfe die Aussage $(\cos (4x){)}^{\prime }=-\sin (4x)$. Korrigiere sie und erkläre die Kettenregel.
6. Modell vergleichen: Entscheide, ob Sinus oder Kosinus besser zu einer Schwingung passt, die bei ihrem größten Wert startet. Begründe.

Lernnachweis

Für Deinen Lernnachweis sind wichtig:

1. Formelsicherheit: Du kennst beide Ableitungs- und Nullstellenformeln.
2. Graphisches Verständnis: Du kannst Funktion, Ableitung, Nullstellen und Extremstellen verbinden.
3. Begründung: Du erklärst Rechenwege in eigenen Worten.
4. Transfer: Du wendest die Regeln auf Funktionen mit innerem Faktor oder Verschiebung an.
5. Produkt: Du gibst eine saubere Graphik, Erklärung oder Videoarbeit ab.

Links

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