Sinus, Kosinus und Tangens

Diesen aiMOOC als Battle spielen: Deutsch, Klasse 7-8, G-Niveau

Einleitung

Mit Sinus, Kosinus und Tangens kannst Du in einem rechtwinkligen Dreieck fehlende Seiten und Winkel berechnen. Du brauchst dafür die drei Seitenbegriffe Hypotenuse, Ankathete und Gegenkathete.

Datei:RechtwinkligesDreieck.svg

Die Seiten im Dreieck

1. Hypotenuse: Sie liegt gegenüber dem rechten Winkel und ist die längste Seite.
2. Ankathete: Sie liegt direkt am betrachteten Winkel.
3. Gegenkathete: Sie liegt dem betrachteten Winkel gegenüber.

Wichtig: Ankathete und Gegenkathete hängen davon ab, welchen Winkel Du betrachtest.

Die drei Formeln

Funktion	Formel	Verwendete Seiten
Sinus	$\sin (\alpha )=\frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}$	Gegenkathete und Hypotenuse
Kosinus	$\cos (\alpha )=\frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}}$	Ankathete und Hypotenuse
Tangens	$\tan (\alpha )=\frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}$	Gegenkathete und Ankathete

Datei:Trigonometry.svg

Merksatz: Prüfe zuerst, welche zwei Seiten gegeben oder gesucht sind. Stelle Deinen Taschenrechner bei Winkelaufgaben auf DEG oder Gradmaß.

Kurzes Beispiel

Die Hypotenuse ist 10 cm lang. Der Winkel beträgt 30°. Gesucht ist die Gegenkathete.

$\sin (30^{\circ })=\frac{g}{10}$

$g=10\cdot \sin (30^{\circ })=5\text{cm}$

Lernvideo: Sine, Cosine, Tangent

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Aufgaben zum Video

1. Video-Notizen: Schreibe die drei Formeln aus dem Video auf.
2. Dreieck beschriften: Zeichne ein rechtwinkliges Dreieck und markiere Hypotenuse, Ankathete und Gegenkathete.
3. Funktionswahl: Erkläre, wann Du Sinus, Kosinus oder Tangens verwendest.
4. Standbild erklären: Pausiere bei einer Dreiecksgrafik und erkläre sie mit eigenen Worten.
5. Eigenes Beispiel: Erfinde eine Aufgabe mit einem Winkel und zwei Seiten. Löse sie mit einer Formel aus dem Video.

Vom Dreieck zum Einheitskreis

Im Einheitskreis ist der Radius 1. Der Kosinus zeigt die waagerechte Koordinate, der Sinus die senkrechte Koordinate. So lassen sich Sinus und Kosinus auch für Winkel über 90° beschreiben.

Datei:Sine and cosine animation.gif

Die Funktionsgraphen

Sinus und Kosinus bilden regelmäßige Wellen. Der Tangens besitzt Stellen, an denen er nicht definiert ist.

Datei:Trigonometric functions.svg

Freies Vertiefungsvideo

Datei:Trigonometrie am rechtwinkligen Dreieck - kolleg24 Mathematik.webm

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Wo liegt die Hypotenuse? (Gegenüber dem rechten Winkel) (!Direkt am rechten Winkel) (!Immer links im Dreieck) (!Immer unter dem Dreieck)

Welche Formel beschreibt den Sinus? (Gegenkathete durch Hypotenuse) (!Ankathete durch Hypotenuse) (!Gegenkathete durch Ankathete) (!Hypotenuse durch Gegenkathete)

Welche Formel beschreibt den Kosinus? (Ankathete durch Hypotenuse) (!Gegenkathete durch Hypotenuse) (!Gegenkathete durch Ankathete) (!Hypotenuse durch Ankathete)

Welche Formel beschreibt den Tangens? (Gegenkathete durch Ankathete) (!Ankathete durch Hypotenuse) (!Hypotenuse durch Gegenkathete) (!Ankathete durch Gegenkathete und Hypotenuse)

Welche Funktion nutzt Gegenkathete und Hypotenuse? (Sinus) (!Kosinus) (!Tangens) (!Quadratwurzel)

Welche Funktion nutzt Ankathete und Hypotenuse? (Kosinus) (!Sinus) (!Tangens) (!Prozentrechnung)

Welche Funktion nutzt die beiden Katheten? (Tangens) (!Sinus) (!Kosinus) (!Pythagoraszahl)

Welchen Wert hat der Sinus von 30 Grad? (0,5) (!0) (!1) (!2)

Welchen Wert hat der Tangens von 45 Grad? (1) (!0) (!0,5) (!2)

Welche Taschenrechner-Einstellung brauchst Du für Winkel in Grad? (DEG) (!RAD) (!STAT) (!BASE)

Memory

Sinus	Verhältnis aus gegenüberliegender Kathete und längster Seite
Kosinus	Verhältnis aus anliegender Kathete und längster Seite
Tangens	Verhältnis der beiden Katheten
Hypotenuse	Seite gegenüber dem rechten Winkel
Ankathete	Seite direkt am betrachteten Winkel
Gegenkathete	Seite gegenüber dem betrachteten Winkel

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Bedeutung
Sinus	verbindet Gegenkathete und Hypotenuse
Kosinus	verbindet Ankathete und Hypotenuse
Tangens	verbindet Gegenkathete und Ankathete
Gradmaß	wird am Taschenrechner als DEG angezeigt
Umkehrfunktion	berechnet einen Winkel aus einem Seitenverhältnis

Kreuzworträtsel

Hypotenuse	Wie heißt die längste Seite im rechtwinkligen Dreieck?
Ankathete	Wie heißt die Kathete direkt am betrachteten Winkel?
Gegenkathete	Wie heißt die Kathete gegenüber dem betrachteten Winkel?
Sinus	Welche Funktion verbindet Gegenkathete und Hypotenuse?
Kosinus	Welche Funktion verbindet Ankathete und Hypotenuse?
Tangens	Welche Funktion verbindet die beiden Katheten?

Lückentext

Vervollständige den Text.

Im rechtwinkligen Dreieck liegt die gegenüber dem rechten Winkel. Die Seite am betrachteten Winkel heißt . Die gegenüberliegende Seite heißt . Der Sinus ist Gegenkathete geteilt durch . Der Kosinus ist Ankathete geteilt durch . Der Tangens ist Gegenkathete geteilt durch .

Offene Aufgaben

Leicht

1. Formelkarte: Gestalte eine kleine Karte mit den drei Formeln.
2. Begriffsskizze: Zeichne ein Dreieck und beschrifte alle Seiten.
3. Video-Zusammenfassung: Fasse das Lernvideo in fünf einfachen Sätzen zusammen.
4. Taschenrechner-Test: Berechne Sinus, Kosinus und Tangens für 30°, 45° und 60°.

Standard

1. Funktionsentscheidung: Erfinde drei Dreiecke, bei denen jeweils eine andere Funktion gebraucht wird.
2. Leiteraufgabe: Zeichne eine Leiter an einer Wand und berechne eine fehlende Länge.
3. Fehleranalyse: Erstelle eine falsche Rechnung und erkläre anschließend den Fehler.
4. Erklärbild: Gestalte ein Lernplakat mit Dreieck, Formeln und einem Beispiel.

Schwer

1. Höhenmessung: Bestimme mithilfe eines gemessenen Winkels ungefähr die Höhe eines Gebäudes oder Baumes.
2. Einheitskreis-Modell: Baue ein Modell, das Sinus und Kosinus am Einheitskreis zeigt.
3. Graphenvergleich: Vergleiche die Graphen von Sinus, Kosinus und Tangens.
4. Eigenes Lernvideo: Produziere ein kurzes Erklärvideo mit Beispiel und Kontrollfrage.

Lernkontrolle

1. Passende Funktion begründen: Entscheide bei drei neuen Dreiecksaufgaben, welche Funktion passt, und begründe Deine Wahl.
2. Fehler untersuchen: Eine Person verwechselt Ankathete und Gegenkathete. Erkläre, wie sich dadurch das Ergebnis verändert.
3. Messproblem lösen: Plane eine Methode, mit der Du die Höhe eines schwer erreichbaren Gegenstands berechnen kannst.
4. Zwei Lösungswege: Löse eine Dreiecksaufgabe zuerst trigonometrisch und prüfe sie anschließend mit dem Satz des Pythagoras.
5. Dreieck und Einheitskreis verbinden: Erkläre, warum Sinus und Kosinus im Einheitskreis als Koordinaten erscheinen.

Lernnachweis

Für Deinen Lernnachweis solltest Du zeigen, dass Du:

1. die drei Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks sicher erkennst,
2. die passende trigonometrische Funktion auswählst,
3. Seiten und Winkel mit dem Taschenrechner berechnest,
4. Deinen Rechenweg verständlich erklärst,
5. eine reale Messaufgabe auf ein rechtwinkliges Dreieck überträgst.

Links

Sinus, Kosinus und Tangens Trigonometrie Rechtwinkliges Dreieck Hypotenuse Sinus und Kosinus Tangens und Kotangens Einheitskreis Trigonometrische Funktion