Schriftliche Multiplikation (MediaWiki-Extension Math) - aiMOOC

Diesen aiMOOC als Battle spielen: Deutsch, Klasse 5-6, G-Niveau

Einleitung

Die schriftliche Multiplikation ist ein schriftliches Rechenverfahren, mit dem Du zwei oder mehr natürliche Zahlen, ganze Zahlen oder Dezimalzahlen systematisch multiplizieren kannst. Sie gehört zu den zentralen Verfahren der Arithmetik und wird in der Schule meist nach dem kleinen Einmaleins eingeführt. Das Verfahren ist besonders hilfreich, wenn Faktoren so groß sind, dass Kopfrechnen unübersichtlich wird. Die schriftliche Multiplikation zerlegt eine schwierige Rechnung in überschaubare Teilschritte: Stellenwerte erkennen, einzelne Ziffern multiplizieren, Überträge beachten, Teilergebnisse richtig untereinander schreiben und am Ende addieren.

In diesem aiMOOC lernst Du die schriftliche Multiplikation nicht nur als Rechentechnik, sondern auch als verständlichen Algorithmus. Du untersuchst, warum das Verfahren funktioniert, wie Du es mit der MediaWiki-Extension Math sauber darstellen kannst und wie Du typische Fehler vermeidest. Die Beispiele nutzen das Dezimalsystem, also das Stellenwertsystem zur Basis $10$.

Video laden

YouTube

YouTube sammelt möglicherweise persönliche Daten. Datenschutzrichtlinie

Fortfahren Ausblenden

Grundidee der schriftlichen Multiplikation

Multiplikation als wiederholte Addition und Stellenwertrechnung

Die Multiplikation kann als verkürzte Addition gleicher Summanden verstanden werden. Wenn Du zum Beispiel $23\cdot 4$ rechnest, addierst Du gedanklich viermal die Zahl $23$:

$23\cdot 4=23+23+23+23=92$

Bei größeren Zahlen wäre diese wiederholte Addition sehr aufwendig. Die schriftliche Multiplikation nutzt deshalb die Stellenwerttafel: Jede Zahl wird nach ihren Stellenwerten zerlegt. Die Zahl $347$ besteht zum Beispiel aus $3$ Hundertern, $4$ Zehnern und $7$ Einern:

$347=3\cdot 100+4\cdot 10+7$

Diese Zerlegung ist der Kern des Verfahrens. Statt $347\cdot 26$ auf einmal zu berechnen, kannst Du den zweiten Faktor zerlegen:

$26=20+6$

Dann gilt wegen des Distributivgesetzes:

$347\cdot 26=347\cdot (20+6)=347\cdot 20+347\cdot 6$

Die schriftliche Multiplikation ist also kein Trick, sondern eine geordnete Anwendung von Stellenwerten, Einmaleins und Addition.

Fachbegriffe

1. Faktor: Eine Zahl, die mit einer anderen Zahl multipliziert wird. In $347\cdot 26$ sind $347$ und $26$ die Faktoren.
2. Produkt: Das Ergebnis einer Multiplikation. In $347\cdot 26=9022$ ist $9022$ das Produkt.
3. Teilergebnis: Ein Zwischenergebnis, das entsteht, wenn ein Faktor mit einer einzelnen Ziffer oder einem Stellenwert des anderen Faktors multipliziert wird.
4. Übertrag: Eine Zahl, die beim Multiplizieren einer Stelle entsteht und zur nächsten Stelle weitergegeben wird.
5. Stellenwert: Der Wert einer Ziffer abhängig von ihrer Position, zum Beispiel Einer, Zehner, Hunderter oder Tausender.
6. Algorithmus: Eine eindeutige Schrittfolge, mit der ein Problem gelöst wird.

Das Verfahren Schritt für Schritt

Beispiel: Multiplikation mit einer einstelligen Zahl

Wir berechnen:

$438\cdot 7$

Du beginnst rechts bei den Einern und arbeitest Dich nach links vor.

1. Einerstelle: $8\cdot 7=56$. Schreibe $6$, übertrage $5$.
2. Zehnerstelle: $3\cdot 7=21$. Dazu kommt der Übertrag $5$: $21+5=26$. Schreibe $6$, übertrage $2$.
3. Hunderterstelle: $4\cdot 7=28$. Dazu kommt der Übertrag $2$: $28+2=30$. Schreibe $30$ an den Anfang.

Damit erhältst Du:

$438\cdot 7=3066$

Als schriftliches Schema:

$\begin{array}{c}438\\ \cdot 7\\ 3066\end{array}$

Beispiel: Multiplikation mit einer zweistelligen Zahl

Wir berechnen:

$347\cdot 26$

Der zweite Faktor $26$ besteht aus $2$ Zehnern und $6$ Einern. Deshalb rechnest Du zwei Teilprodukte:

$347\cdot 6=2082$

$347\cdot 20=6940$

Dann addierst Du:

$2082+6940=9022$

Das schriftliche Schema sieht so aus:

$\begin{array}{c}347\\ \cdot 26\\ 2082\\ 6940\\ 9022\end{array}$

Die zweite Zeile $6940$ steht um eine Stelle nach links verschoben, weil mit $20$ und nicht nur mit $2$ multipliziert wird. Manchmal wird statt der Null am Ende nur die Verschiebung notiert. Wichtig ist: Die Stellen müssen korrekt untereinander stehen.

Beispiel: Multiplikation mit einer dreistelligen Zahl

Wir berechnen:

$254\cdot 138$

Der zweite Faktor wird zerlegt:

$138=100+30+8$

Nun entstehen drei Teilprodukte:

$254\cdot 8=2032$

$254\cdot 30=7620$

$254\cdot 100=25400$

Die Summe ergibt:

$2032+7620+25400=35052$

Schriftlich:

$\begin{array}{c}254\\ \cdot 138\\ 2032\\ 7620\\ 25400\\ 35052\end{array}$

Warum das Verfahren funktioniert

Das Verfahren funktioniert wegen des Distributivgesetzes und des Stellenwertsystems. Allgemein kann eine Zahl als Summe ihrer Stellenwerte geschrieben werden. Für das Dezimalsystem gilt zum Beispiel:

$abc=a\cdot 100+b\cdot 10+c$

Wenn Du $254\cdot 138$ berechnest, nutzt Du:

$254\cdot 138=254\cdot (100+30+8)$

Mit dem Distributivgesetz folgt:

$254\cdot 138=254\cdot 100+254\cdot 30+254\cdot 8$

Die schriftliche Multiplikation ordnet diese Teilergebnisse so an, dass die Stellenwerte beim Addieren automatisch passen. Genau deshalb ist die sorgfältige Ausrichtung der Ziffern so wichtig.

Darstellung mit der MediaWiki-Extension Math

Grundregeln für Math-Tags

Mit der MediaWiki-Extension Math kannst Du mathematische Formeln direkt im Wikitext setzen. Die Syntax orientiert sich an LaTeX. Dadurch lassen sich Terme, Gleichungen, Brüche, Tabellen und Rechenschemata sauber darstellen.

Beispiel:

$347\cdot 26=9022$

Schriftliche Multiplikation als Array darstellen

Für ein schriftliches Rechenschema eignet sich die Umgebung array. Das folgende Beispiel zeigt die Rechnung $347\cdot 26$:

$\begin{array}{c}347\\ \cdot 26\\ 2082\\ 6940\\ 9022\end{array}$

Das {r} bedeutet, dass die Inhalte rechtsbündig angeordnet werden. Rechtsbündigkeit ist bei schriftlichen Verfahren wichtig, weil Einer, Zehner, Hunderter und Tausender spaltengenau untereinander stehen sollen.

Überträge darstellen

Überträge können in Lernmaterialien mit zusätzlichen Zeilen dargestellt werden. Für die Rechnung $438\cdot 7$ kannst Du zum Beispiel eine Hilfszeile verwenden:

Fehler beim Parsen (Unbekannte Funktion „\small“): {\displaystyle \begin{array}{r} \small{2\ 5} \\ 438 \\ \cdot\ 7 \\ \hline 3066 \end{array} }

Die Hilfszeile ist didaktisch nützlich, aber sie muss klar erklärt werden. In Prüfungen wird oft erwartet, dass Überträge klein über die entsprechenden Stellen geschrieben oder im Kopf behalten werden.

Dezimalzahlen darstellen

Bei Dezimalzahlen rechnest Du zunächst ohne Komma und setzt das Komma am Ende. Die Anzahl der Nachkommastellen im Produkt ist die Summe der Nachkommastellen der Faktoren.

Beispiel:

$\mathrm{3,4}\cdot \mathrm{2,7}$

Zunächst:

$34\cdot 27=918$

Da $\mathrm{3,4}$ eine Nachkommastelle und $\mathrm{2,7}$ eine Nachkommastelle hat, muss das Ergebnis zwei Nachkommastellen haben:

$\mathrm{3,4}\cdot \mathrm{2,7}=\mathrm{9,18}$

Typische Fehler und Strategien

Fehler bei Stellenwerten

Ein häufiger Fehler ist das falsche Einrücken der Teilergebnisse. Bei $347\cdot 26$ darf das Teilprodukt zu $2$ nicht wie $347\cdot 2$ unter die Einer geschrieben werden, denn die $2$ steht im Faktor $26$ an der Zehnerstelle. Es wird also mit $20$ multipliziert.

Falsch gedacht:

$347\cdot 2=694$

Richtig bezogen auf den Stellenwert:

$347\cdot 20=6940$

Merksatz: Jede Stelle nach links bedeutet eine zusätzliche Null oder eine Verschiebung um eine Spalte.

Fehler bei Überträgen

Überträge entstehen, wenn ein Teilprodukt größer als $9$ ist. Bei $8\cdot 7=56$ wird die $6$ geschrieben und die $5$ übertragen. Häufige Fehler sind:

1. Übertrag vergessen: Der Übertrag wird nicht zur nächsten Rechnung addiert.
2. Übertrag doppelt zählen: Der Übertrag wird versehentlich zweimal addiert.
3. Übertrag falsch notieren: Der Übertrag steht über der falschen Stelle.
4. Ziffern vertauschen: Bei $56$ wird statt $6$ die $5$ geschrieben.

Eine gute Strategie ist, Überträge klein und deutlich über die nächste Stelle zu schreiben und nach jeder Teilrechnung kurz zu prüfen, ob der Übertrag eingerechnet wurde.

Fehler bei Dezimalzahlen

Bei Dezimalzahlen liegt der häufigste Fehler beim Komma. Du kannst das vermeiden, indem Du die Nachkommastellen zuerst zählst:

1. Nachkommastellen im ersten Faktor zählen.
2. Nachkommastellen im zweiten Faktor zählen.
3. Beide Anzahlen addieren.
4. Produkt zunächst ohne Komma berechnen.
5. Komma im Ergebnis so setzen, dass die Gesamtzahl der Nachkommastellen stimmt.

Beispiel:

$\mathrm{12,5}\cdot \mathrm{0,4}$

Die Faktoren haben zusammen zwei Nachkommastellen. Ohne Komma rechnest Du:

$125\cdot 4=500$

Mit zwei Nachkommastellen:

$\mathrm{12,5}\cdot \mathrm{0,4}=\mathrm{5,00}=5$

Schriftliche Multiplikation als Algorithmus

Schrittfolge

Die schriftliche Multiplikation kann als Algorithmus beschrieben werden. Für zwei natürliche Zahlen lautet die Schrittfolge:

1. Eingabe: Schreibe die beiden Faktoren stellengerecht untereinander.
2. Zerlegung: Betrachte jede Ziffer des zweiten Faktors mit ihrem Stellenwert.
3. Teilmultiplikation: Multipliziere den ersten Faktor mit jeder Ziffer des zweiten Faktors.
4. Stellenwert: Verschiebe jedes Teilergebnis passend zur Stelle der Ziffer.
5. Addition: Addiere alle Teilergebnisse.
6. Ausgabe: Die Summe ist das Produkt.

Diese Schrittfolge ist eindeutig und wiederholbar. Deshalb kann sie auch von Computern umgesetzt werden, auch wenn moderne Computer für sehr große Zahlen oft schnellere Multiplikationsalgorithmen verwenden.

Mathematische Formulierung

Im Dezimalsystem kann eine Zahl $x$ mit Ziffern $x_i$ dargestellt werden als:

$x=\sum _{i=0}^n{x}_i\cdot 10^i$

Für zwei Zahlen $x$ und $y$ gilt dann:

$x\cdot y=(\sum _{i=0}^n{x}_i\cdot 10^i)(\sum _{j=0}^m{y}_j\cdot 10^j)$

Durch Ausmultiplizieren entsteht:

$x\cdot y=\sum _{i=0}^n\sum _{j=0}^m{x}_i{y}_j\cdot 10^{i+j}$

Diese Formel beschreibt genau, was beim schriftlichen Multiplizieren passiert: Jede Ziffer des einen Faktors wird mit jeder passenden Ziffer des anderen Faktors multipliziert, und der Stellenwert wird durch die Potenz von $10$ berücksichtigt.

Übungsbeispiele mit Lösungen

Aufgabe 1: Einstelliger Faktor

Berechne:

$672\cdot 8$

Lösung:

$\begin{array}{c}672\\ \cdot 8\\ 5376\end{array}$

Also:

$672\cdot 8=5376$

Aufgabe 2: Zweistelliger Faktor

Berechne:

$528\cdot 34$

Teilprodukte:

$528\cdot 4=2112$

$528\cdot 30=15840$

Summe:

$2112+15840=17952$

Schriftlich:

$\begin{array}{c}528\\ \cdot 34\\ 2112\\ 15840\\ 17952\end{array}$

Aufgabe 3: Dezimalzahlen

Berechne:

$\mathrm{4,8}\cdot \mathrm{3,6}$

Ohne Komma:

$48\cdot 36=1728$

Zusammen gibt es zwei Nachkommastellen. Also:

$\mathrm{4,8}\cdot \mathrm{3,6}=\mathrm{17,28}$

Aufgabe 4: Prüfen durch Überschlag

Berechne und prüfe durch Überschlag:

$397\cdot 52$

Überschlag:

$397\approx 400,52\approx 50$

$400\cdot 50=20000$

Genaue Rechnung:

$397\cdot 52=397\cdot 50+397\cdot 2=19850+794=20644$

Das Ergebnis liegt nahe beim Überschlag $20000$. Deshalb ist es plausibel.

Bedeutung im Mathematikunterricht

Die schriftliche Multiplikation verbindet mehrere wichtige mathematische Ideen. Du wiederholst das kleine Einmaleins, nutzt das Stellenwertsystem, wendest das Distributivgesetz an und stärkst Dein Verständnis für Algorithmen. Das Verfahren ist außerdem ein gutes Beispiel dafür, wie sich ein komplexes Problem in kleine, zuverlässige Schritte zerlegen lässt.

Im Unterricht ist wichtig, dass Du nicht nur das Schema auswendig lernst. Du solltest verstehen, warum Teilprodukte verschoben werden, warum Überträge entstehen und warum das Endergebnis durch eine Addition der Teilprodukte entsteht. Wer diese Zusammenhänge versteht, kann Fehler leichter finden und auch ungewohnte Aufgaben lösen.

Video laden

YouTube

YouTube sammelt möglicherweise persönliche Daten. Datenschutzrichtlinie

Fortfahren Ausblenden

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Was ist das Ergebnis einer Multiplikation? (Produkt) (!Summe) (!Differenz) (!Quotient)

Warum werden Teilergebnisse bei der schriftlichen Multiplikation manchmal nach links verschoben? (Weil die Ziffer einen höheren Stellenwert hat) (!Weil die Zahl sonst kleiner wird) (!Weil die Addition dann entfällt) (!Weil das Komma immer links steht)

Welches Gesetz erklärt, warum man einen Faktor in Teilwerte zerlegen darf? (Distributivgesetz) (!Kommutativgesetz der Addition) (!Kürzungsregel) (!Vorzeichenregel)

Was ist bei der Rechnung 347 mal 26 das Teilprodukt zu den Zehnern des zweiten Faktors? (6940) (!694) (!2082) (!9022)

Womit beginnt man beim schriftlichen Multiplizieren in der üblichen Schreibweise? (Mit der Einerstelle) (!Mit der größten Zahl) (!Mit dem Komma) (!Mit der Ergebniszeile)

Was bedeutet ein Übertrag beim schriftlichen Multiplizieren? (Ein Wert wird zur nächsten Stelle weitergegeben) (!Eine Zahl wird gestrichen) (!Ein Faktor wird vertauscht) (!Eine Nachkommastelle wird entfernt)

Wie viele Nachkommastellen hat das Produkt von 3,4 und 2,7? (Zwei) (!Keine) (!Eine) (!Drei)

Welche Rechnung passt zur Zerlegung von 26 beim Multiplizieren mit 347? (347 mal 20 plus 347 mal 6) (!347 plus 20 plus 6) (!347 mal 2 plus 347 mal 6) (!347 mal 26 plus 20)

Welche Aussage zur MediaWiki-Extension Math ist richtig? (Formeln werden mit Math dargestellt) (!Formeln werden immer als Bild hochgeladen) (!Formeln dürfen keine Gleichheitszeichen enthalten) (!Formeln funktionieren nur bei Brüchen)

Wie kann man ein Ergebnis der schriftlichen Multiplikation sinnvoll überprüfen? (Mit einem Überschlag) (!Durch Weglassen der Überträge) (!Durch Vertauschen aller Ziffern) (!Durch Löschen der Teilprodukte)

Memory

Faktor	Zahl einer Multiplikation
Produkt	Ergebnis der Multiplikation
Übertrag	Weitergabe zur nächsten Stelle
Stellenwert	Wert durch Position
Teilergebnis	Zwischenprodukt einer Stelle
Math-Tag	Darstellung von Formeln

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Thema
Faktoren aufschreiben	Vorbereitung
Einer multiplizieren	Erste Teilrechnung
Zehner verschieben	Stellenwert beachten
Teilprodukte addieren	Zusammenführen
Überschlag vergleichen	Kontrolle

Kreuzworträtsel

Produkt	Wie heißt das Ergebnis einer Multiplikation?
Faktor	Wie heißt eine Zahl, die multipliziert wird?
Uebertrag	Was wird bei großen Teilprodukten zur nächsten Stelle weitergegeben?
Stelle	Wodurch erhält eine Ziffer im Stellenwertsystem ihren Wert?
Komma	Was muss bei Dezimalzahlen am Ende passend gesetzt werden?
Array	Welche Math-Umgebung eignet sich für schriftliche Rechenschemata?

Lückentext

Vervollständige den Text.

Die schriftliche Multiplikation ist ein , mit dem größere Multiplikationen in überschaubare Teilschritte zerlegt werden. Dabei werden die Faktoren nach ihrem betrachtet. Einzelne Zwischenrechnungen heißen . Wenn ein Teilprodukt größer als neun ist, entsteht häufig ein . Bei der Multiplikation mit Zehnern oder Hundertern müssen die Teilergebnisse passend werden. Die mathematische Grundlage ist unter anderem das . Bei Dezimalzahlen wird zuerst ohne Komma gerechnet und danach die Anzahl der bestimmt. In MediaWiki können Formeln mit der Extension dargestellt werden.

Offene Aufgaben

Leicht

1. Rechenweg erklären: Berechne $234\cdot 3$ schriftlich und erkläre jeden Schritt in eigenen Worten.
2. Stellenwerte markieren: Schreibe die Zahl $586$ in Einer, Zehner und Hunderter zerlegt auf und erkläre, warum diese Zerlegung beim Multiplizieren hilft.
3. Übertrag finden: Erfinde drei Multiplikationsaufgaben mit einstelligem Faktor, bei denen ein Übertrag entsteht, und löse sie.
4. Math-Formel schreiben: Schreibe die Gleichung $48\cdot 7=336$ mit der MediaWiki-Extension Math in Dein Heft oder digitales Dokument.

Standard

1. Zweistellige Multiplikation: Berechne $426\cdot 37$ schriftlich und kennzeichne, welches Teilprodukt zu den Einern und welches zu den Zehnern gehört.
2. Fehleranalyse: Erstelle eine absichtlich fehlerhafte schriftliche Multiplikation und erkläre anschließend, worin der Fehler besteht.
3. Dezimalrechnung: Berechne $\mathrm{5,6}\cdot \mathrm{2,4}$ und erkläre, wie Du das Komma gesetzt hast.
4. Wikitext gestalten: Erstelle ein kleines MediaWiki-Beispiel, in dem eine schriftliche Multiplikation als Array dargestellt wird.

Schwer

1. Algorithmus beschreiben: Formuliere die schriftliche Multiplikation als genaue Schrittfolge, die auch ein Computer ausführen könnte.
2. Begründung mit Distributivgesetz: Erkläre an der Aufgabe $318\cdot 42$, wie das Distributivgesetz im schriftlichen Verfahren sichtbar wird.
3. Vergleich von Verfahren: Vergleiche die schriftliche Multiplikation mit dem Malkreuz. Beschreibe Gemeinsamkeiten und Unterschiede.
4. Lernvideo erstellen: Produziere ein kurzes Erklärvideo oder eine digitale Präsentation zur schriftlichen Multiplikation mit einem selbst gewählten Beispiel und einer Fehlerkontrolle.

Lernkontrolle

1. Transferaufgabe Stellenwert: Erkläre, warum das Teilprodukt zu einer Zehnerziffer nicht direkt unter die Einer geschrieben werden darf. Verwende ein eigenes Zahlenbeispiel.
2. Fehlerdiagnose: Eine Schülerin berechnet $214\cdot 32$ und addiert $428$ und $642$. Erkläre den Fehler und verbessere die Rechnung.
3. Dezimalzahlen verstehen: Begründe, warum $\mathrm{1,2}\cdot \mathrm{0,3}$ nicht $\mathrm{3,6}$, sondern $\mathrm{0,36}$ ergibt.
4. Algorithmisches Denken: Beschreibe, welche Informationen ein Rechenprogramm speichern muss, um schriftliche Multiplikation mit Überträgen korrekt auszuführen.
5. Plausibilitätsprüfung: Berechne $598\cdot 41$ und prüfe Dein Ergebnis mit einem Überschlag. Erkläre, warum Dein Ergebnis plausibel ist.

Links

Schriftliche Multiplikation Multiplikation Schriftliches Rechnen Stellenwertsystem Distributivgesetz Faktor Produkt Übertrag Dezimalzahl Algorithmus MediaWiki-Extension Math

Zusammenfassung

Die schriftliche Multiplikation ist ein zuverlässiges Rechenverfahren für größere Multiplikationen. Sie beruht auf dem Stellenwertsystem, dem kleinen Einmaleins, dem Übertrag und dem Distributivgesetz. Bei mehrstelligen Faktoren entstehen Teilergebnisse, die stellengerecht notiert und anschließend addiert werden. Bei Dezimalzahlen wird zunächst ohne Komma gerechnet; danach wird das Komma so gesetzt, dass die Anzahl der Nachkommastellen stimmt. Mit der MediaWiki-Extension Math lassen sich die Rechenschritte in Lernmaterialien übersichtlich darstellen, besonders mit der Umgebung array.