Rang von Matrizen - Berechnung

Diesen aiMOOC als Battle spielen: Mathematik, Klasse 11-13, G-Niveau

Einleitung

Der Rang einer Matrix zeigt, wie viele Zeilen oder Spalten voneinander linear unabhängig sind. Einfach gesagt: Der Rang zeigt, wie viele wirklich neue Informationen in einer Matrix stecken.

Für die Berechnung formst Du die Matrix mit dem Gaußverfahren in eine Zeilenstufenform um. Danach zählst Du die Zeilen, die nicht nur aus Nullen bestehen.

Das Wichtigste

1. Rang: Anzahl der unabhängigen Zeilen oder Spalten
2. Zeilenstufenform: Gestufte Form einer Matrix
3. Pivot-Element: Erstes von null verschiedenes Element einer Zeile
4. Nullzeile: Zeile, die nur Nullen enthält
5. Voller Rang: Größtmöglicher Rang einer Matrix

Berechnung in vier Schritten

1. Schreibe die Matrix sauber auf.
2. Nutze erlaubte Zeilenumformungen.
3. Bringe die Matrix in Zeilenstufenform.
4. Zähle die Zeilen, die keine Nullzeilen sind.

Erlaubt sind: Zeilen tauschen, eine Zeile mit einer Zahl ungleich null multiplizieren und ein Vielfaches einer Zeile zu einer anderen Zeile addieren. Diese Umformungen ändern den Rang nicht.

Beispiel

Gegeben ist:

$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 2& 4& 6\\ 0& 1& 1\end{array}\right)$

Ziehe das Doppelte der ersten Zeile von der zweiten Zeile ab:

$\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 2& 4& 6\\ 0& 1& 1\end{array}\right)⟶\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 0& 0& 0\\ 0& 1& 1\end{array}\right)⟶\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 0& 1& 1\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$

Es bleiben zwei Zeilen übrig, die nicht nur Nullen enthalten. Deshalb gilt:

$\mathrm{rang}(A)=2$

Fehler beim Erstellen des Vorschaubildes:

Merksätze

Der Rang einer Matrix mit $m$ Zeilen und $n$ Spalten kann höchstens $\min (m,n)$ sein. Die Nullmatrix hat Rang null. Eine Matrix hat vollen Rang, wenn ihr Rang so groß wie möglich ist.

Datei:Reduced row echelon form.svg

Datei:Gaussian elimination as multiplication by elementary matrices.png

Lernvideo

Sieh Dir das Video aufmerksam an. Pausiere bei den Rechenschritten und rechne selbst mit.

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Aufgaben zum Video

1. Videonotiz: Schreibe auf, wie der Rang im Video erklärt wird.
2. Zeilenumformung: Notiere drei erlaubte Zeilenumformungen aus dem Video.
3. Stopp-Aufgabe: Pausiere vor einem Rechenschritt und sage den nächsten Schritt voraus.
4. Pivot-Suche: Markiere in einem Beispiel aus dem Video alle Pivot-Elemente.
5. Rang bestimmen: Berechne den Rang eines Beispiels aus dem Video selbst.
6. Vergleich: Vergleiche Deinen Rechenweg mit dem Weg im Video und erkläre einen Unterschied.
7. Fehlerprüfung: Suche eine Stelle, an der leicht ein Rechenfehler entstehen kann.
8. Eigene Matrix: Erfinde eine ähnliche Matrix und bestimme ihren Rang.

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Was beschreibt der Rang einer Matrix? (Die maximale Anzahl linear unabhängiger Zeilen oder Spalten) (!Die Summe aller Einträge) (!Die Anzahl aller Nullen) (!Die Größe des größten Eintrags)

Welches Verfahren wird häufig zur Rangberechnung genutzt? (Das Gaußverfahren) (!Der Dreisatz) (!Die Prozentrechnung) (!Der Satz des Pythagoras)

Was wird nach dem Umformen in Zeilenstufenform gezählt? (Die Zeilen, die nicht nur aus Nullen bestehen) (!Alle Einträge der Matrix) (!Nur die negativen Zahlen) (!Nur die Spalten mit Nullen)

Ändert das Tauschen zweier Zeilen den Rang? (Nein) (!Ja, immer) (!Nur bei quadratischen Matrizen) (!Nur bei Nullmatrizen)

Welchen größten Rang kann eine Matrix mit drei Zeilen und fünf Spalten haben? (Drei) (!Fünf) (!Acht) (!Fünfzehn)

Welchen Rang hat eine Nullmatrix? (Null) (!Eins) (!Zwei) (!Der Rang ist nicht bestimmbar)

Was ist ein Pivot-Element? (Das führende von null verschiedene Element einer Zeile) (!Der größte Eintrag der Matrix) (!Jede Null in der Matrix) (!Der letzte Eintrag jeder Zeile)

Was bedeutet voller Rang bei einer Matrix mit vier Zeilen und zwei Spalten? (Der Rang ist zwei) (!Der Rang ist vier) (!Der Rang ist sechs) (!Der Rang ist null)

Welchen Rang hat eine Einheitsmatrix mit drei Zeilen und drei Spalten? (Drei) (!Null) (!Eins) (!Zwei)

Welchen Rang hat eine Matrix mit den Zeilen eins zwei und zwei vier? (Eins) (!Null) (!Zwei) (!Vier)

Memory

Rang	Anzahl unabhängiger Richtungen
Pivot	Führendes Element
Nullzeile	Trägt nicht zum Rang bei
Zeilenstufenform	Gestufte Matrix
Voller Rang	Maximal möglicher Rang
Zeilenumformung	Erhält den Rang

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Rangberechnung
Zeilen tauschen	Reihenfolge ändern
Zeile skalieren	Mit einer Zahl ungleich null multiplizieren
Zeile addieren	Vielfaches einer anderen Zeile addieren
Pivot finden	Führendes Element erkennen
Rang ablesen	Nichtnullzeilen zählen

Kreuzworträtsel

Matrix	Wie heißt eine rechteckige Anordnung von Zahlen?
Pivot	Wie heißt das führende Element einer Stufenzeile?
Rang	Welche Zahl gibt die Anzahl unabhängiger Zeilen an?
Gauss	Nach welchem Mathematiker ist das Eliminationsverfahren benannt?
Nullzeile	Wie heißt eine Zeile, die nur Nullen enthält?
Stufenform	In welche Form wird eine Matrix zur Rangberechnung gebracht?

Lückentext

Vervollständige den Text.

Der Rang zählt unabhängige oder Spalten.

Zur Berechnung nutzt man häufig das .

Ziel der Umformung ist eine .

Eine Zeile, die nur Nullen enthält, heißt .

Für den Rang werden die Zeilen ohne reine gezählt.

Der Rang ist nie größer als die kleinere Zahl von Zeilen und .

Offene Aufgaben

Leicht

1. Begriffe erklären: Erkläre Rang, Pivot und Nullzeile mit eigenen Worten.
2. Rang ablesen: Zeichne drei Matrizen in Zeilenstufenform und lies ihren Rang ab.
3. Videokarte: Erstelle eine kleine Lernkarte mit den wichtigsten Aussagen aus dem Video.
4. Fehler finden: Erfinde eine falsche Rangberechnung und markiere den Fehler.

Standard

1. Matrix umformen: Bringe eine selbst gewählte Matrix in Zeilenstufenform.
2. Rechenplakat: Gestalte ein Plakat mit den vier Schritten der Rangberechnung.
3. Erklärvideo: Produziere ein einminütiges Video zur Rangberechnung.
4. Partneraufgabe: Tausche eine Matrix mit einer anderen Person und kontrolliert eure Lösungen.

Schwer

1. Rang vergleichen: Finde zwei verschiedene Matrizen mit demselben Rang und erkläre die Gemeinsamkeit.
2. Parameter untersuchen: Untersuche, für welche Werte eines Parameters sich der Rang einer Matrix ändert.
3. Lineares Gleichungssystem: Erkläre den Zusammenhang zwischen Rang und Lösbarkeit eines linearen Gleichungssystems.
4. Digitales Experiment: Prüfe mehrere Matrizen mit einer Mathematiksoftware und vergleiche die Ergebnisse mit Deiner Rechnung.

Lernkontrolle

1. Verfahrenswahl: Begründe, warum die Zeilenstufenform das Ablesen des Rangs erleichtert.
2. Fehleranalyse: Eine Person zählt auch die Nullzeilen mit. Erkläre den Fehler und verbessere das Ergebnis.
3. Grenzen des Rangs: Entscheide ohne Rechnung, welche Rangwerte bei einer Matrix mit zwei Zeilen und fünf Spalten möglich sind, und begründe.
4. Abhängigkeit erkennen: Erkläre, warum zwei proportionale Zeilen nicht zwei unabhängige Informationen liefern.
5. Transfer auf Gleichungssysteme: Beschreibe, was ein kleiner Rang über die Unabhängigkeit der Gleichungen eines linearen Gleichungssystems aussagt.
6. Strategievergleich: Vergleiche das Zählen der Pivot-Elemente mit dem Zählen der Nichtnullzeilen.

Lernnachweis

Für Deinen Lernnachweis solltest Du zeigen, dass Du:

1. den Rang in eigenen Worten erklären kannst,
2. erlaubte Zeilenumformungen sicher nutzt,
3. eine Matrix in Zeilenstufenform bringst,
4. Pivot-Elemente und Nullzeilen erkennst,
5. den Rang richtig abliest und begründest,
6. den Rechenweg verständlich dokumentierst.

Links

Rang von Matrizen - Berechnung Matrix Rang einer Matrix Gaußverfahren Zeilenstufenform Pivot-Element Lineare Unabhängigkeit Lineares Gleichungssystem