Quadratische Ergänzung

Diesen aiMOOC als Battle spielen: Mathematik, Klasse 7-8, G-Niveau

Einleitung

Mit der quadratischen Ergänzung formst Du einen quadratischen Term in ein vollständiges Quadrat um. So kannst Du den Scheitelpunkt einer Parabel finden oder eine quadratische Gleichung lösen.

Die Grundidee

Für einen Term der Form

$x^2+px+q$

halbierst Du den Koeffizienten vor $x$ und quadrierst das Ergebnis:

${\left(\frac{p}{2}\right)}^2$

Dann addierst und subtrahierst Du diese Zahl. Der Wert des Terms bleibt gleich.

$x^2+px+q={(x+\frac{p}{2})}^2+q-{\left(\frac{p}{2}\right)}^2$

Einfaches Beispiel

$x^2+6x+5$

Die Hälfte von $6$ ist $3$. Das Quadrat davon ist $9$.

$x^2+6x+5=x^2+6x+9-9+5$

$x^2+6x+5=(x+3{)}^2-4$

Die Scheitelpunktform lautet also $(x+3{)}^2-4$. Der Scheitelpunkt ist $S(-3|-4)$.

Falls vor x² eine andere Zahl steht

Bei $a{x}^2+bx+c$ klammerst Du zuerst $a$ aus den ersten beiden Termen aus.

Beispiel:

$2x^2+8x+3=2(x^2+4x)+3$

Danach ergänzt Du innerhalb der Klammer.

Video: 015 Quadratische Ergänzung

Video laden

YouTube

YouTube sammelt möglicherweise persönliche Daten. Datenschutzrichtlinie

Fortfahren Ausblenden

Datei:Quadratische Ergänzung - kolleg24 Mathematik.webm

Aufgaben zum Video

1. Rechenweg notieren: Schreibe die Schritte der quadratischen Ergänzung aus dem Video in eigenen Worten auf.
2. Pausenaufgabe: Stoppe das Video vor einer Umformung und rechne den nächsten Schritt selbst.
3. Ergänzungszahl: Erkläre, wie die Ergänzungszahl aus dem Koeffizienten vor $x$ entsteht.
4. Scheitelpunktform: Suche im Video eine Umformung zur Scheitelpunktform und bestimme den Scheitelpunkt.
5. Fehler erklären: Begründe, warum dieselbe Zahl addiert und wieder subtrahiert werden muss.

Lernbereiche

1. Algebra: Terme umformen und binomische Formeln anwenden.
2. Quadratische Funktionen: Normalform und Scheitelpunktform vergleichen.
3. Quadratische Gleichungen: Gleichungen durch Umformen lösen.
4. Funktionsgraphen: Scheitelpunkte erkennen und Parabeln zeichnen.

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Was entsteht bei der quadratischen Ergänzung? (Ein vollständiges Quadrat) (!Ein linearer Term) (!Ein Bruch ohne Variable) (!Eine dritte Potenz)

Was machst Du zuerst mit dem Koeffizienten vor x? (Halbieren) (!Verdoppeln) (!Subtrahieren) (!Wurzel ziehen)

Welche Zahl ergänzt Du bei x² plus 8x? (16) (!4) (!8) (!64)

Welche Umformung ist richtig? (x² plus 6x wird mit 9 ergänzt) (!x² plus 6x wird mit 3 ergänzt) (!x² plus 6x wird mit 6 ergänzt) (!x² plus 6x wird mit 36 ergänzt)

Welche Scheitelpunktform gehört zu x² plus 6x plus 5? (x plus 3 zum Quadrat minus 4) (!x plus 6 zum Quadrat plus 5) (!x plus 3 zum Quadrat plus 5) (!x minus 3 zum Quadrat minus 4)

Welcher Scheitelpunkt gehört zu x minus 2 zum Quadrat plus 1? (S bei 2 und 1) (!S bei minus 2 und 1) (!S bei 1 und 2) (!S bei 2 und minus 1)

Warum wird die Ergänzungszahl auch wieder subtrahiert? (Damit der Termwert gleich bleibt) (!Damit x verschwindet) (!Damit eine Gerade entsteht) (!Damit der Term größer wird)

Was ist bei 3x² plus 12x zuerst sinnvoll? (Die 3 ausklammern) (!Die 12 quadrieren) (!Durch 12 teilen) (!Die Variable entfernen)

Wofür kann die quadratische Ergänzung genutzt werden? (Zum Bestimmen des Scheitelpunkts) (!Zum Zeichnen eines Kreises ohne Rechnung) (!Zum Addieren von Brüchen) (!Zum Kürzen jeder Gleichung)

Welche Formel hilft beim Zusammenfassen? (Die erste oder zweite binomische Formel) (!Der Satz des Pythagoras) (!Die Prozentformel) (!Die Zinsformel)

Memory

Normalform	x² plus px plus q
Scheitelpunktform	Klammerquadrat plus Verschiebung
Halber Koeffizient	p geteilt durch zwei
Ergänzungszahl	Quadrat der Hälfte
Scheitelpunkt	Tiefster oder höchster Punkt
Ausklammern	Vorbereitung bei a ungleich eins

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Thema
Halbieren	Koeffizienten vor x bearbeiten
Quadrieren	Ergänzungszahl bilden
Addieren und subtrahieren	Termwert erhalten
Binomische Formel	Quadrat zusammenfassen
Scheitelpunkt ablesen	Scheitelpunktform nutzen

Kreuzworträtsel

Binom	Ausdruck mit zwei Gliedern
Scheitelpunkt	Höchster oder tiefster Punkt einer Parabel
Normalform	Form x² plus px plus q
Parabel	Graph einer quadratischen Funktion
Wurzel	Umkehrung des Quadrierens
Koeffizient	Zahl vor einer Variablen

Lückentext

Vervollständige den Text.

Die quadratische Ergänzung erzeugt ein vollständiges . Zuerst wird der Koeffizient vor x . Danach wird das Ergebnis . Die Ergänzungszahl wird addiert und wieder . Aus der Scheitelpunktform kann der abgelesen werden.

Offene Aufgaben

Leicht

1. Beispiel markieren: Markiere in $x^2+10x$ den Koeffizienten, seine Hälfte und die Ergänzungszahl.
2. Rechenkarte: Gestalte eine kleine Karte mit den drei wichtigsten Schritten.
3. Parabel zeichnen: Zeichne die Funktion $f(x)=(x-1{)}^2-2$ und markiere den Scheitelpunkt.
4. Video-Satz: Formuliere einen Merksatz zum Planet-Schule-Video.

Standard

1. Term umformen: Forme $x^2+8x+3$ in die Scheitelpunktform um.
2. Fehler finden: Erkläre den Fehler in $x^2+4x=(x+2{)}^2$.
3. Erklärbild: Zeichne ein Flächenmodell zur quadratischen Ergänzung.
4. Partnererklärung: Erkläre einer anderen Person, warum die Ergänzungszahl zweimal vorkommt.

Schwer

1. Faktor ausklammern: Forme $3x^2+12x-1$ in die Scheitelpunktform um.
2. Gleichung lösen: Löse $x^2+6x+5=0$ nur mit quadratischer Ergänzung.
3. Vergleich der Verfahren: Vergleiche quadratische Ergänzung und p-q-Formel an einem Beispiel.
4. Anwendungsproblem: Erfinde eine quadratische Funktion aus einer Sachsituation und bestimme ihren Extrempunkt.

Lernkontrolle

1. Transfer auf Funktionen: Eine Parabel hat die Gleichung $f(x)=x^2-4x+7$. Forme sie um und erkläre, wie sich ihre Lage aus der Scheitelpunktform ergibt.
2. Begründung: Erkläre ohne bloßes Nachrechnen, warum $x^2+10x+25$ ein vollständiges Quadrat ist.
3. Fehleranalyse: Eine Person ergänzt bei $x^2-6x$ die Zahl $-9$. Untersuche den Fehler und verbessere den Rechenweg.
4. Methodenwahl: Entscheide bei drei selbst gewählten quadratischen Gleichungen, ob quadratische Ergänzung, Faktorisieren oder eine Lösungsformel besonders günstig ist.
5. Geometrische Deutung: Nutze ein Flächenbild, um die Gleichung $(x+3{)}^2=x^2+6x+9$ zu erklären.

Lernnachweis

Für einen Lernnachweis solltest Du zeigen, dass Du

1. einen quadratischen Term sicher in die Scheitelpunktform umformen kannst,
2. die Ergänzungszahl richtig bestimmst,
3. einen Scheitelpunkt aus der Scheitelpunktform abliest,
4. eine quadratische Gleichung durch quadratische Ergänzung löst,
5. Deinen Rechenweg verständlich begründest.

Links

Quadratische Ergänzung Quadratischer Term Quadratische Funktion Quadratische Gleichung Scheitelpunktform Normalform Binomische Formeln Parabel p-q-Formel