Pyramide, Kegel, Kugel und Zylinder - Volumen

Diesen aiMOOC als Battle spielen: Mathematik, Klasse 7-8, G-Niveau

Einleitung

Das Volumen sagt Dir, wie viel Raum ein Körper einnimmt. Du lernst hier die Volumenformeln für Pyramide, Kegel, Kugel und Zylinder.

Wichtige Zeichen: $G$ ist die Grundfläche, $h$ die senkrechte Höhe, $r$ der Radius und $\pi$ die Kreiszahl Pi.

Die vier Volumenformeln

Körper	Volumenformel	Merksatz
Pyramide	$V=\frac{1}{3}\cdot G\cdot h$	Ein Drittel von Grundfläche mal Höhe
Kegel	$V=\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot r^2\cdot h$	Ein Drittel des passenden Zylinders
Zylinder	$V=\pi \cdot r^2\cdot h$	Kreisfläche mal Höhe
Kugel	$V=\frac{4}{3}\cdot \pi \cdot r^3$	Vier Drittel mal Pi mal Radius hoch drei

Pyramide

Bei einer Pyramide brauchst Du die Grundfläche $G$ und die senkrechte Höhe $h$.

Beispiel: $G=30{\text{cm}}^2$ und $h=9\text{cm}$.

$V=\frac{1}{3}\cdot 30\cdot 9=90{\text{cm}}^3$

Zylinder

Die Grundfläche eines Zylinders ist ein Kreis. Deshalb gilt $G=\pi r^2$.

Datei:Right cylinder.svg

Beispiel: $r=3\text{cm}$ und $h=5\text{cm}$.

$V=\pi \cdot 3^2\cdot 5=45\pi \approx \mathrm{141,4}{\text{cm}}^3$

Kegel

Ein Kegel mit gleicher Grundfläche und gleicher Höhe hat ein Drittel des Volumens des passenden Zylinders.

Datei:Gerader Kreiskegel.svg

Beispiel: $r=3\text{cm}$ und $h=5\text{cm}$.

$V=\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot 3^2\cdot 5=15\pi \approx \mathrm{47,1}{\text{cm}}^3$

Kugel

Bei einer Kugel brauchst Du nur den Radius $r$.

Datei:Sphere and circumscribed cylinder.svg

Beispiel: $r=3\text{cm}$.

$V=\frac{4}{3}\cdot \pi \cdot 3^3=36\pi \approx \mathrm{113,1}{\text{cm}}^3$

Datei:Cavalieri half-ball.svg

Merkhilfen

1. Zylinder: Grundfläche mal Höhe.
2. Pyramide und Kegel: Erst Grundfläche mal Höhe, dann durch drei.
3. Kugel: Radius hoch drei beachten.
4. Maßeinheit: Volumen wird in Kubikeinheiten angegeben, zum Beispiel ${\text{cm}}^3$.

Video

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Aufgaben zum Video

1. Video-Notizen: Schreibe die vier Volumenformeln aus dem Video auf.
2. Formelvergleich: Erkläre, was bei Pyramide und Kegel gleich ist.
3. Zylinder und Kegel: Beschreibe, warum bei gleicher Grundfläche und Höhe der Faktor $\frac{1}{3}$ vorkommt.
4. Rechenweg: Pausiere bei einem Beispiel und rechne es selbst nach.
5. Fehlerprüfung: Notiere einen typischen Fehler, vor dem das Video warnt oder den Du selbst vermeiden möchtest.

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Was beschreibt das Volumen? (Den Rauminhalt eines Körpers) (!Die Länge einer Kante) (!Die Farbe eines Körpers) (!Die Anzahl der Flächen)

Wie berechnet man das Volumen eines Zylinders? (Grundfläche mal Höhe) (!Grundfläche plus Höhe) (!Grundfläche durch Höhe) (!Höhe durch Radius)

Welche Formel gehört zur Pyramide? (Ein Drittel mal Grundfläche mal Höhe) (!Grundfläche mal Höhe) (!Vier Drittel mal Pi mal Radius hoch drei) (!Pi mal Radius mal Höhe)

Welche Formel gehört zum Kegel? (Ein Drittel mal Pi mal Radius hoch zwei mal Höhe) (!Pi mal Radius hoch zwei mal Höhe) (!Vier Drittel mal Pi mal Radius hoch drei) (!Grundfläche plus Höhe)

Welche Formel gehört zur Kugel? (Vier Drittel mal Pi mal Radius hoch drei) (!Pi mal Radius hoch zwei mal Höhe) (!Ein Drittel mal Grundfläche mal Höhe) (!Zwei mal Pi mal Radius)

Welche Einheit passt zu einem Volumen? (Kubikzentimeter) (!Zentimeter) (!Quadratzentimeter) (!Grad)

Wie groß ist der Radius bei einem Durchmesser von zehn Zentimetern? (Fünf Zentimeter) (!Zehn Zentimeter) (!Zwanzig Zentimeter) (!Hundert Zentimeter)

Wie verhalten sich Zylinder und Kegel bei gleicher Grundfläche und Höhe? (Der Zylinder hat das dreifache Volumen) (!Beide haben immer dasselbe Volumen) (!Der Kegel hat das dreifache Volumen) (!Der Zylinder hat das halbe Volumen)

Was bedeutet die Höhe eines Kegels? (Der senkrechte Abstand von der Spitze zur Grundfläche) (!Die Länge des Kreisrandes) (!Der Durchmesser der Grundfläche) (!Die schräge Mantellinie)

Was passiert mit dem Kugelvolumen, wenn der Radius verdoppelt wird? (Es wird achtmal so groß) (!Es wird zweimal so groß) (!Es wird viermal so groß) (!Es bleibt gleich)

Memory

Grundfläche	Fläche an der Basis
Höhe	Senkrechter Abstand
Radius	Halber Durchmesser
Zylinder	Kreisfläche mal Höhe
Kegel	Ein Drittel des passenden Zylinders
Pyramide	Ein Drittel mal Grundfläche mal Höhe
Kugel	Vier Drittel Pi mal Radius hoch drei

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Beschreibung
Pyramide	Ein Drittel mal Grundfläche mal Höhe
Kegel	Ein Drittel mal Kreisfläche mal Höhe
Zylinder	Kreisfläche mal Höhe
Kugel	Vier Drittel Pi mal Radius hoch drei
Radius	Halber Durchmesser

Kreuzworträtsel

Volumen	Wie heißt der Rauminhalt eines Körpers?
Radius	Wie heißt der halbe Durchmesser?
Zylinder	Welcher Körper besitzt zwei gleich große Kreisflächen?
Pyramide	Welcher Körper läuft in einer Spitze zusammen und hat eine vieleckige Grundfläche?
Kugel	Welcher Körper hat keinen Rand und keine Ecke?
Kegel	Welcher Körper hat eine Kreisfläche und eine Spitze?

Lückentext

Vervollständige den Text.

Das Volumen beschreibt den eines Körpers.

Beim Zylinder wird die Grundfläche mit der multipliziert.

Die Grundfläche eines Zylinders ist ein .

Bei einer Pyramide wird das Produkt aus Grundfläche und Höhe durch geteilt.

Auch das Kegelvolumen enthält den Faktor .

Für das Kugelvolumen wird der Radius hoch gerechnet.

Der Radius ist die Hälfte des .

Eine passende Volumeneinheit ist der .

Offene Aufgaben

Leicht

1. Körpersuche: Finde im Alltag je einen Gegenstand in Form eines Zylinders, Kegels, einer Kugel und einer Pyramide.
2. Formelkarte: Gestalte eine kleine Karte mit den vier Volumenformeln.
3. Skizze: Zeichne jeden Körper und markiere Radius, Höhe oder Grundfläche.
4. Einheiten: Sammle fünf Beispiele für Volumeneinheiten aus Alltag und Mathematik.

Standard

1. Messprojekt: Miss eine zylinderförmige Dose und berechne ihr Volumen.
2. Modellbau: Baue einen Zylinder und einen Kegel mit gleicher Grundfläche und Höhe.
3. Erklärvideo: Erstelle ein kurzes Video zu einer der vier Formeln.
4. Fehleranalyse: Erfinde eine falsche Rechnung und erkläre, wie sie verbessert wird.

Schwer

1. Volumenvergleich: Vergleiche Zylinder und Kegel bei gleicher Grundfläche und Höhe mit einem Füllversuch.
2. Kugel und Zylinder: Untersuche eine Kugel in einem passenden Zylinder und beschreibe das Volumenverhältnis.
3. Vergrößerung: Erkläre, wie sich das Volumen verändert, wenn alle Längen verdoppelt werden.
4. Verpackungsdesign: Entwirf eine Verpackung aus mindestens zwei Körpern und berechne ihr Gesamtvolumen.

Lernkontrolle

1. Auswahl einer Formel: Ein Wassertank ist zylinderförmig. Begründe, welche Angaben Du brauchst und welche Formel passt.
2. Vergleich: Eine Pyramide und ein Prisma haben dieselbe Grundfläche und dieselbe Höhe. Erkläre ihr Volumenverhältnis.
3. Skalierung: Der Radius einer Kugel wird verdreifacht. Leite her, wie sich ihr Volumen verändert.
4. Zusammengesetzter Körper: Ein Modell besteht aus einem Zylinder und einem Kegel. Beschreibe einen sinnvollen Rechenweg für das Gesamtvolumen.
5. Schätzen und Prüfen: Schätze das Volumen eines Alltagsgegenstands, miss ihn danach und bewerte die Abweichung.

Lernnachweis

Für einen Lernnachweis solltest Du zeigen, dass Du:

1. die vier Körper sicher erkennst,
2. Radius, Höhe und Grundfläche richtig zuordnest,
3. die passende Volumenformel auswählst,
4. mit Kubikeinheiten rechnest,
5. Rechenwege verständlich erklärst,
6. Ergebnisse auf Plausibilität prüfst.

Links

Pyramide, Kegel, Kugel und Zylinder - Volumen Volumen Pyramide Kegel Kugel Zylinder Grundfläche Höhe Radius Kreiszahl Pi Raumgeometrie