Polynomdivision einfach erklärt

Diesen aiMOOC als Battle spielen: Mathematik, Klasse 11-13, G-Niveau

Einleitung

Die Polynomdivision ist die schriftliche Division für Polynome. Sie funktioniert ähnlich wie die schriftliche Division von Zahlen. Du teilst, multiplizierst und subtrahierst, bis ein passender Rest übrig bleibt.

Datei:Graph of a polynomial of degree 3.svg

Grundformel:

$p(x)=q(x)\cdot s(x)+r(x)$

Dabei ist $p(x)$ der Dividend, $q(x)$ der Divisor, $s(x)$ der Quotient und $r(x)$ der Rest.

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Aufgaben zum Video

1. Videoanalyse: Notiere die vier Rechenschritte in der richtigen Reihenfolge.
2. Pausenaufgabe: Stoppe das Video vor einem Rechenschritt und rechne selbst weiter.
3. Begriffe erklären: Erkläre mit eigenen Worten Dividend, Divisor, Quotient und Rest.
4. Kontrolle: Prüfe ein Ergebnis aus dem Video durch Rückmultiplikation.

So funktioniert die Polynomdivision

Vorbereitung

Ordne beide Polynome nach fallenden Exponenten. Fehlende Potenzen ergänzt Du gedanklich mit dem Koeffizienten null.

Beispiel:

$x^3+2x-1=x^3+0x^2+2x-1$

Die vier Schritte

1. Teilen: Teile den ersten Term des Dividenden durch den ersten Term des Divisors.
2. Multiplizieren: Multipliziere das Ergebnis mit dem ganzen Divisor.
3. Subtrahieren: Ziehe das Produkt ab.
4. Wiederholen: Arbeite weiter, bis der Restgrad kleiner als der Divisorgrad ist.

Datei:Polynomdivision 1.svg

Einfaches Beispiel

Berechne:

$(x^2+3x+2):(x+1)$

Zuerst gilt:

$x^2:x=x$

Dann multiplizierst Du:

$x\cdot (x+1)=x^2+x$

Nach dem Subtrahieren bleibt:

$2x+2$

Nun gilt:

$2x:x=2$

Das Ergebnis ist:

$(x^2+3x+2):(x+1)=x+2$

Probe:

$(x+1)(x+2)=x^2+3x+2$

Datei:Beispiel Polynomdivision.png

Division mit Rest

Nicht jede Division geht ohne Rest auf.

$(x^2+1):(x+1)=x-1+\frac{2}{x+1}$

Der Rest ist hier $2$. Du hörst auf, sobald der Grad des Restes kleiner als der Grad des Divisors ist.

Datei:Polynomdivision 3.svg

Polynomdivision und Nullstellen

Ist $a$ eine Nullstelle, dann ist $x-a$ ein passender Faktor. Bei der Nullstelle $2$ teilst Du also durch $x-2$. So kannst Du den Grad eines Polynoms verkleinern.

Datei:Mplwp polynomialdeg2.svg

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Häufige Fehler

1. Vorzeichen: Beim Subtrahieren ändern sich alle Vorzeichen des abgezogenen Polynoms.
2. Reihenfolge: Schreibe die Potenzen immer absteigend.
3. Lücken: Beachte fehlende Potenzen.
4. Probe: Multipliziere Divisor und Quotient und addiere den Rest.

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Wozu dient die Polynomdivision? (Zum Dividieren von Polynomen) (!Zum Zeichnen von Kreisen) (!Zum Addieren von Winkeln) (!Zum Messen von Strecken)

Was wird im ersten Rechenschritt geteilt? (Die beiden Leitterme) (!Die beiden letzten Zahlen) (!Die beiden Exponenten) (!Die beiden Reste)

Was folgt nach dem Teilen der Leitterme? (Das Multiplizieren mit dem Divisor) (!Das Zeichnen eines Graphen) (!Das Vertauschen der Variablen) (!Das Runden des Ergebnisses)

Was ist das Ergebnis von x Quadrat plus 3x plus 2 geteilt durch x plus 1? (x plus 2) (!x plus 1) (!x minus 2) (!2x plus 1)

Wann endet die Polynomdivision? (Wenn der Restgrad kleiner als der Divisorgrad ist) (!Wenn keine Variable mehr vorkommt) (!Wenn der Quotient null ist) (!Wenn der Divisor größer als zehn ist)

Welcher Divisor passt zur Nullstelle 2? (x minus 2) (!x plus 2) (!2x minus 1) (!x mal 2)

Wie wird ein fehlender x Quadrat Term berücksichtigt? (Mit dem Koeffizienten null) (!Mit dem Koeffizienten eins) (!Durch Weglassen des Divisors) (!Durch Verdoppeln des Exponenten)

Wie prüfst Du ein Ergebnis mit Rest? (Divisor mal Quotient plus Rest) (!Dividend mal Rest) (!Quotient minus Divisor) (!Rest mal Rest)

Welcher Rest entsteht bei x Quadrat plus 1 geteilt durch x plus 1? (2) (!0) (!1) (!x)

Welche Nullstelle gehört zum Faktor x plus 3? (minus 3) (!plus 3) (!minus 1) (!plus 1)

Memory

Dividend	Polynom, das geteilt wird
Divisor	Polynom, durch das geteilt wird
Quotient	Ergebnis der Division
Rest	übrig bleibender Teil
Leitterm	Term mit der höchsten Potenz
Nullstelle	x-Wert mit Funktionswert null

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Rechenschritt
Ordnen	Potenzen absteigend schreiben
Teilen	Leitterme durcheinander teilen
Multiplizieren	Quotiententerm mit dem Divisor malnehmen
Subtrahieren	Produkt vom aktuellen Polynom abziehen
Wiederholen	bis der Restgrad kleiner ist

Kreuzworträtsel

Polynom	Wie heißt eine Summe aus Variablenpotenzen und Koeffizienten?
Dividend	Wie heißt das Polynom, das geteilt wird?
Divisor	Wie heißt das Polynom, durch das geteilt wird?
Quotient	Wie heißt das Ergebnis einer Division?
Nullstelle	Wie heißt ein x-Wert mit dem Funktionswert null?
Koeffizient	Wie heißt die Zahl vor einer Variablenpotenz?

Lückentext

Vervollständige den Text.

Bei der Polynomdivision wird ein durch ein anderes Polynom geteilt. Zuerst werden die beiden dividiert. Danach wird der neue Quotiententerm mit dem multipliziert. Dieses Produkt wird anschließend . Die Rechnung endet, wenn der Grad des kleiner als der Grad des Divisors ist. Ist a eine Nullstelle, kann durch den Faktor geteilt werden.

Offene Aufgaben

Leicht

1. Begriffskarte: Gestalte eine Karte mit Dividend, Divisor, Quotient und Rest.
2. Schrittfolge: Schreibe die vier Rechenschritte auf vier einzelne Zettel und ordne sie.
3. Fehlerdetektiv: Erfinde eine falsche Polynomdivision und markiere den Fehler.
4. Mini-Erklärvideo: Erkläre in höchstens einer Minute den ersten Rechenschritt.

Standard

1. Eigene Übungsaufgabe: Erstelle eine Polynomdivision ohne Rest und gib die Lösung an.
2. Lernplakat: Gestalte ein Plakat mit Beispiel, Rechenweg und Probe.
3. Partnererklärung: Erkläre einer anderen Person, warum fehlende Potenzen wichtig sind.
4. Nullstellenweg: Zeige an einem Beispiel, wie eine bekannte Nullstelle den Grad senkt.

Schwer

1. Rückwärtsaufgabe: Wähle Divisor und Quotient und bilde daraus einen passenden Dividenden.
2. Vergleich: Vergleiche Polynomdivision und Horner-Schema.
3. Algorithmus: Formuliere die Rechenschritte als einfachen Pseudocode.
4. Begründung: Erkläre, warum der Restgrad kleiner als der Divisorgrad sein muss.

Lernkontrolle

1. Methodenwahl: Entscheide bei drei Aufgaben, ob Polynomdivision sinnvoll ist, und begründe Deine Wahl.
2. Fehleranalyse: Untersuche einen Rechenweg mit falschem Vorzeichen und verbessere ihn.
3. Rückwärtsdenken: Konstruiere ein Polynom, das beim Teilen durch $x-2$ keinen Rest hat.
4. Rest deuten: Erkläre, was ein Rest ungleich null über eine vermutete Nullstelle aussagt.
5. Zusammenhang: Zeige, wie Polynomdivision, Linearfaktor und Nullstelle zusammenhängen.
6. Transfer: Entwickle eine Aufgabe, bei der der Rest genau $3$ ist.

Lernnachweis

Für Deinen Lernnachweis solltest Du zeigen, dass Du:

1. die Begriffe Dividend, Divisor, Quotient und Rest richtig verwendest,
2. Polynome nach fallenden Potenzen ordnest,
3. die vier Rechenschritte sicher ausführst,
4. Ergebnisse durch Rückmultiplikation prüfst,
5. eine bekannte Nullstelle zum Abspalten eines Linearfaktors nutzt,
6. typische Vorzeichenfehler erkennst und verbesserst.

Links

Polynomdivision einfach erklärt Polynom Polynomdivision Nullstelle Linearfaktor Horner-Schema Ganzrationale Funktion Koeffizient Grad eines Polynoms