Partielle Integration - Herleitung und Beispiel

Diesen aiMOOC als Battle spielen: Mathematik, Klasse 11-13, G-Niveau

Einleitung

Die Partielle Integration ist eine Rechenregel der Integralrechnung. Du nutzt sie oft bei einem Produkt aus zwei Funktionen. Sie ist das Gegenstück zur Produktregel der Differentialrechnung.

Lernziel: Du kannst die Formel herleiten, passende Funktionen wählen und ein einfaches Integral berechnen.

Voraussetzungen

Du solltest Ableitungen, Stammfunktionen und die Produktregel kennen.

$(u\cdot v{)}^{\prime }=u^{\prime }\cdot v+u\cdot v^{\prime }$

Lernvideo: Herleitung und Beispiel

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Aufgaben zum Video

1. Produktregel: Notiere die Produktregel, die im Video als Ausgangspunkt verwendet wird.
2. Herleitung: Stoppe das Video nach jedem Rechenschritt und schreibe die Umformung mit eigenen Worten auf.
3. Funktionswahl: Halte fest, welche Funktion im Beispiel abgeleitet und welche integriert wird.
4. Parallelrechnung: Verdecke das Ergebnis und rechne das Beispiel selbst zu Ende.
5. Ableitungsprobe: Leite das Ergebnis aus dem Video ab und prüfe, ob wieder der Integrand entsteht.

Herleitung

Aus der Produktregel folgt:

$(u\cdot v{)}^{\prime }=u^{\prime }\cdot v+u\cdot v^{\prime }$

Nun werden beide Seiten integriert:

$u\cdot v=\int u^{\prime }\cdot vdx+\int u\cdot v^{\prime }dx$

Dann wird nach dem gesuchten Integral umgestellt:

$\int u\cdot v^{\prime }dx=u\cdot v-\int u^{\prime }\cdot vdx$

Die Formel

Unbestimmtes Integral:

$\int u(x)\cdot v^{\prime }(x)dx=u(x)\cdot v(x)-\int u^{\prime }(x)\cdot v(x)dx+C$

Bestimmtes Integral:

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}u(x)\cdot v^{\prime }(x)dx=[u(x)\cdot v(x){]}_a^b-\underset{a}{\overset{b}{\int }}{u}^{\prime }(x)\cdot v(x)dx$

Beispiel

Berechne:

$\int x\cdot e^{x}dx$

Wähle $u=x$ und $v^{\prime }=e^x$. Dann gilt $u^{\prime }=1$ und $v=e^x$.

$\int x\cdot e^{x}dx=x\cdot e^x-\int e^{x}dx$

$=x\cdot e^x-e^x+C=e^x(x-1)+C$

Probe: Die Ableitung von $e^x(x-1)$ ist $x\cdot e^x$.

Wahl von u und v Strich

Wähle $u$ so, dass die Ableitung einfacher wird. Wähle $v^{\prime }$ so, dass Du leicht eine Stammfunktion findest.

Ein typischer Fall ist:

$\int \ln (x)dx$

Hier setzt Du $u=\ln (x)$ und $v^{\prime }=1$.

$\int \ln (x)dx=x\ln (x)-x+C$

Häufige Fehler

1. Vorzeichen: Das Minus vor dem neuen Integral wird vergessen.
2. Stammfunktion: Die Funktion $v^{\prime }$ wird nicht korrekt integriert.
3. Integrationskonstante: Bei unbestimmten Integralen fehlt $C$.
4. Ableitungsprobe: Das Ergebnis wird nicht kontrolliert.

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Welche Regel ist der Ausgangspunkt der partiellen Integration? (Produktregel) (!Kettenregel) (!Quotientenregel) (!Mitternachtsformel)

Was geschieht bei der Herleitung nach der Produktregel? (Beide Seiten werden integriert) (!Beide Seiten werden quadriert) (!Die Variable wird gelöscht) (!Der Bruch wird gekürzt)

Welche Formel beschreibt die partielle Integration? (Integral u mal v Strich gleich u mal v minus Integral u Strich mal v) (!Integral u mal v Strich gleich u Strich mal v Strich) (!Integral u mal v Strich gleich u plus v) (!Integral u mal v Strich gleich u geteilt durch v)

Welche Wahl ist beim Integral x mal e hoch x sinnvoll? (u gleich x) (!u gleich eins) (!u gleich null) (!u gleich C)

Welche Stammfunktion gehört zu e hoch x? (e hoch x) (!x hoch e) (!eins durch x) (!ln x)

Was ist das Ergebnis von Integral x mal e hoch x? (e hoch x mal x minus eins plus C) (!x mal e hoch x plus C) (!e hoch x plus C) (!x Quadrat mal e hoch x plus C)

Wozu dient die Konstante C? (Sie erfasst alle Stammfunktionen) (!Sie ersetzt die Variable) (!Sie macht das Integral bestimmt) (!Sie ist immer null)

Wie prüfst Du ein Ergebnis eines unbestimmten Integrals? (Du leitest es ab) (!Du verdoppelst es) (!Du setzt x immer null) (!Du rundest es)

Was muss bei einem bestimmten Integral zusätzlich beachtet werden? (Die Grenzen werden eingesetzt) (!Die Variable wird umbenannt) (!Das Minuszeichen entfällt) (!Die Ableitung wird nicht gebraucht)

Wann ist partielle Integration besonders nützlich? (Bei geeigneten Produkten von Funktionen) (!Nur bei linearen Gleichungen) (!Nur bei Prozentrechnung) (!Nur bei Dreiecken)

Memory

Produktregel	Ausgangspunkt der Herleitung
u	wird abgeleitet
v Strich	wird integriert
Produktterm	u mal v
Konstante C	Familie der Stammfunktionen
Ableitungsprobe	Kontrolle des Ergebnisses

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Bedeutung
Produktregel	Start der Herleitung
Integrieren	Auf beide Seiten anwenden
Umstellen	Gesuchtes Integral isolieren
Funktionswahl	u und v Strich festlegen
Ableitungsprobe	Ergebnis kontrollieren

Kreuzworträtsel

Produktregel	Welche Regel wird zur Herleitung benutzt?
Stammfunktion	Was ist das Ergebnis eines unbestimmten Integrals?
Integral	Welches Rechenobjekt soll bestimmt werden?
Ableitung	Was bildest Du zur Kontrolle des Ergebnisses?
Randterm	Wie heißt der Term ohne Integral beim bestimmten Fall?
Konstante	Wie heißt C im Ergebnis?

Lückentext

Vervollständige den Text.

Die partielle Integration folgt aus der . Zuerst werden beide Seiten der Gleichung . Danach wird die Gleichung nach dem gesuchten umgestellt. Die Funktion u sollte durch das einfacher werden. Zu v Strich wird eine passende bestimmt. Vor dem neuen Integral steht ein . Bei unbestimmten Integralen ergänzt man die . Durch die lässt sich das Ergebnis prüfen.

Offene Aufgaben

Leicht

1. Formelkarte: Gestalte eine kleine Lernkarte mit der Formel der partiellen Integration.
2. Video-Zusammenfassung: Fasse das Lernvideo in fünf einfachen Sätzen zusammen.
3. Begriffserklärung: Erkläre die Wörter Integrand, Stammfunktion und Ableitung.
4. Rechenweg markieren: Markiere im Beispiel u, u Strich, v Strich und v.

Standard

1. Eigenes Beispiel: Berechne $\int x\sin (x)dx$ und prüfe Dein Ergebnis.
2. Fehleranalyse: Erfinde einen typischen Vorzeichenfehler und verbessere ihn.
3. Erklärvideo: Produziere ein kurzes Video zur Herleitung der Formel.
4. Vergleich: Vergleiche partielle Integration und Substitution in einer Tabelle.

Schwer

1. Doppelte partielle Integration: Berechne $\int x^2{e}^{x}dx$.
2. Logarithmus: Leite die Formel für $\int \ln (x)dx$ vollständig her.
3. Bestimmtes Integral: Berechne $\underset{0}{\overset{1}{\int }}x{e}^{x}dx$ und deute den Randterm.
4. Transferaufgabe: Entwickle eine Entscheidungshilfe für die Wahl zwischen Substitution und partieller Integration.

Lernkontrolle

1. Begründung: Erkläre, warum die partielle Integration aus der Produktregel folgt.
2. Strategie: Begründe für $\int x\cos (x)dx$ eine sinnvolle Wahl von u und v Strich.
3. Fehlerkorrektur: Eine Person schreibt $\int x{e}^{x}dx=x{e}^x+e^x+C$. Finde und erkläre den Fehler.
4. Vergleich: Entscheide bei drei selbst gewählten Integralen, ob partielle Integration oder Substitution besser passt.
5. Transfer: Zeige durch Ableiten, dass $x\ln (x)-x+C$ eine Stammfunktion von $\ln (x)$ ist.

Lernnachweis

Für einen Lernnachweis solltest Du:

1. die Produktregel sicher anwenden,
2. die Formel der Partiellen Integration herleiten,
3. u und v Strich sinnvoll wählen,
4. einen vollständigen Rechenweg darstellen,
5. ein Ergebnis durch Ableiten prüfen,
6. typische Fehler erklären und verbessern.

Links

Partielle Integration Integralrechnung Produktregel Stammfunktion Ableitung Bestimmtes Integral Substitution