Nullstellen - Lineare Funktionen

Diesen aiMOOC als Battle spielen: Mathematik, Klasse 9-10, G-Niveau

Einleitung

Eine Nullstelle zeigt, wo der Graph die x-Achse trifft. Bei einer linearen Funktion ist der Graph eine Gerade.

Bei der Funktion f(x) = 2x - 4 liegt die Nullstelle bei x = 2. Dort gilt f(2) = 0.

Lernziele

Nach diesem aiMOOC kannst Du:

1. Nullstellen im Graphen erkennen.
2. eine Nullstelle berechnen.
3. Dein Ergebnis mit einer Probe prüfen.
4. einfache Aufgaben zu linearen Funktionen lösen.

Das Wichtigste

Was ist eine Nullstelle?

Eine Zahl x₀ ist eine Nullstelle, wenn gilt:

f(x₀) = 0

Im Koordinatensystem liegt der Punkt dann auf der x-Achse. Er hat die Form:

N(x₀|0)

Nullstelle berechnen

Eine lineare Funktion hat die Form:

f(x) = mx + b

Dabei ist m die Steigung und b der y-Achsenabschnitt.

So rechnest Du:

1. Setze f(x) = 0.
2. Löse die Gleichung nach x auf.
3. Prüfe das Ergebnis durch Einsetzen.

Beispiel:

f(x) = 2x - 6

0 = 2x - 6

6 = 2x

x = 3

Die Nullstelle ist x₀ = 3. Der Nullstellenpunkt ist N(3|0).

Kurzformel

Für f(x) = mx + b und m ≠ 0 gilt:

x₀ = -b / m

Sonderfälle

Eine waagerechte Gerade kann keine oder unendlich viele Nullstellen haben.

1. Bei f(x) = 4 gibt es keine Nullstelle.
2. Bei f(x) = 0 ist jede Zahl eine Nullstelle.

Video

Sieh Dir das Video an. Halte es bei den Rechenwegen an und rechne selbst mit.

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Aufgaben zum Video

1. Nullstelle erklären: Schreibe nach dem ersten Ansehen einen einfachen Satz: Was ist eine Nullstelle?
2. x-Achse erkennen: Zeichne ein Koordinatensystem und markiere die x-Achse.
3. Rechenweg notieren: Schreibe die drei wichtigsten Rechenschritte aus dem Video auf.
4. Warum null?: Erkläre, warum beim Berechnen f(x) = 0 gesetzt wird.
5. Beispiel lösen: Berechne mit der Methode aus dem Video die Nullstelle von f(x) = 3x - 12.
6. Probe durchführen: Setze Dein Ergebnis aus der vorherigen Aufgabe in die Funktion ein.
7. Fehler finden: Prüfe die Aussage „Die Nullstelle von f(x) = x + 5 ist x = 5“ und verbessere sie.
8. Video zusammenfassen: Erstelle eine kleine Lernkarte mit Definition, Rechenweg und Probe.

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Wann ist eine Zahl x eine Nullstelle? (Wenn f von x gleich null ist) (!Wenn x gleich null ist) (!Wenn die Steigung null ist) (!Wenn der y-Achsenabschnitt null ist)

Wo liegt eine Nullstelle im Koordinatensystem? (Auf der x-Achse) (!Auf der y-Achse) (!Immer im Ursprung) (!Außerhalb des Koordinatensystems)

Was ist der erste Rechenschritt? (Die Funktion gleich null setzen) (!Die Funktion gleich eins setzen) (!Die Steigung verdoppeln) (!Den Graphen verschieben)

Welche Nullstelle hat f von x gleich 2x minus 6? (x gleich 3) (!x gleich minus 3) (!x gleich 6) (!x gleich 2)

Welche Nullstelle hat f von x gleich minus 3x minus 6? (x gleich minus 2) (!x gleich 2) (!x gleich minus 3) (!x gleich 6)

Welche Form hat ein Nullstellenpunkt? (N mit x null und null) (!N mit null und y) (!N mit x und eins) (!N mit eins und x)

Welche Formel berechnet die Nullstelle von f von x gleich mx plus b? (x null gleich minus b durch m) (!x null gleich m durch b) (!x null gleich b mal m) (!x null gleich m plus b)

Welche Nullstelle hat f von x gleich x plus 4? (x gleich minus 4) (!x gleich 4) (!x gleich null) (!x gleich 1)

Welche Aussage gilt für f von x gleich 5? (Die Funktion hat keine Nullstelle) (!Die Nullstelle ist 5) (!Die Nullstelle ist minus 5) (!Jede Zahl ist eine Nullstelle)

Woran erkennst Du eine richtige Probe? (Der Funktionswert ist null) (!Der Funktionswert ist eins) (!Die Steigung ist null) (!Der x-Wert ist immer positiv)

Memory

Nullstelle	Funktionswert null
x-Achse	Punkte mit y gleich null
Steigung	Richtung der Geraden
Achsenabschnitt	Schnitt mit der y-Achse
Probe	Ergebnis einsetzen
Geradengraph	Bild einer linearen Funktion

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Thema
Graphisch	Achsenschnitt
Rechnerisch	Nullsetzen
Probe	Einsetzen
Steigung	Richtung
Achsenabschnitt	Startwert

Kreuzworträtsel

Nullstelle	Wie heißt ein x-Wert mit dem Funktionswert null?
XAchse	Welche Achse wird vom Graphen an einer Nullstelle getroffen?
Steigung	Welche Größe beschreibt die Richtung einer Geraden?
Gerade	Wie heißt der Graph einer linearen Funktion?
Einsetzen	Was machst Du bei einer Probe mit dem Ergebnis?
Achsenabschnitt	Wie heißt der Wert b in der Funktionsgleichung?

Lückentext

Vervollständige den Text.

Eine Nullstelle hat den Funktionswert . Im Koordinatensystem liegt sie auf der . Zum Berechnen setzt Du die Funktion gleich . Danach löst Du die Gleichung nach auf. Bei einer linearen Funktion heißt m die . Durch eine kannst Du das Ergebnis prüfen.

Offene Aufgaben

Leicht

1. Nullstelle zeichnen: Zeichne eine Gerade und markiere ihre Nullstelle.
2. Begriffskarte: Gestalte eine Karte mit dem Wort Nullstelle und einer einfachen Erklärung.
3. Rechenweg ordnen: Schreibe die Schritte Nullsetzen, Gleichung lösen und Probe in die richtige Reihenfolge.
4. Beispiel erfinden: Erfinde eine lineare Funktion mit der Nullstelle x = 2.

Standard

1. Funktionsvergleich: Berechne die Nullstellen von f(x) = 2x - 8 und g(x) = -2x + 8. Vergleiche die Graphen.
2. Erklärvideo: Nimm ein kurzes Video auf, in dem Du eine Nullstelle berechnest.
3. Fehleranalyse: Erfinde einen typischen Rechenfehler und erkläre die Verbesserung.
4. Alltagsmodell: Beschreibe eine Situation, in der ein Wert auf null sinkt, und stelle eine passende lineare Funktion auf.

Schwer

1. Parameteraufgabe: Bestimme b so, dass f(x) = 3x + b die Nullstelle x = 4 hat.
2. Funktionsgleichung entwickeln: Stelle eine Funktion mit der Nullstelle x = -3 und der Steigung 2 auf.
3. Sonderfälle untersuchen: Erkläre an Beispielen, wann eine lineare Funktion keine oder unendlich viele Nullstellen hat.
4. Digitale Darstellung: Erstelle mit einer Mathematiksoftware drei Geraden und überprüfe ihre Nullstellen rechnerisch.

Lernkontrolle

1. Methode erklären: Erkläre, warum die Nullstellenberechnung eine Gleichung mit dem Ergebnis null erzeugt.
2. Darstellungen verbinden: Zeige an einem eigenen Beispiel, wie Funktionsgleichung, Graph und Nullstellenpunkt zusammenhängen.
3. Fehler beurteilen: Eine Person behauptet, die Nullstelle von f(x) = 4x + 8 sei x = 2. Prüfe die Aussage und erkläre den Fehler.
4. Modell übertragen: Ein Wassertank verliert jede Minute gleich viel Wasser. Erkläre, was die Nullstelle einer passenden Funktion bedeutet.
5. Funktion konstruieren: Entwickle zwei verschiedene lineare Funktionen mit derselben Nullstelle und vergleiche ihre Steigungen.
6. Sonderfall begründen: Begründe, warum eine waagerechte Gerade oberhalb der x-Achse keine Nullstelle besitzt.

Lernnachweis

Für Deinen Lernnachweis solltest Du zeigen, dass Du:

1. die Nullstelle in einem Graphen findest.
2. eine lineare Funktion gleich null setzt.
3. die entstehende Gleichung richtig löst.
4. den Nullstellenpunkt angibst.
5. eine Probe ausführst.
6. Deinen Rechenweg verständlich erklärst.

Links

Nullstellen - Lineare Funktionen Nullstelle Lineare Funktion Funktionsgleichung Graph einer Funktion x-Achse Steigung y-Achsenabschnitt Lineare Gleichung Koordinatensystem