Mitternachtsformel - Quadratische Gleichungen

Diesen aiMOOC als Battle spielen: Mathematik, Klasse 7-8, G-Niveau

Einleitung

Mit der Mitternachtsformel löst Du quadratische Gleichungen. Sie heißen quadratisch, weil die Variable als Quadrat vorkommt, zum Beispiel $x^2$.

Die Normalform lautet:

$a{x}^2+bx+c=0$ mit $a\ne 0$

Die Mitternachtsformel lautet:

$x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

Eine quadratische Funktion hat als Graphen eine Parabel. Die Lösungen der Gleichung sind die Nullstellen der Parabel.

Das bedeuten a, b und c

Zeichen	Bedeutung
$a$	Zahl vor $x^2$
$b$	Zahl vor $x$
$c$	Zahl ohne $x$

So gehst Du vor

1. Normalform: Bringe die Gleichung in die Form $a{x}^2+bx+c=0$.
2. Koeffizienten: Lies $a$, $b$ und $c$ mit ihren Vorzeichen ab.
3. Diskriminante: Berechne $D=b^2-4ac$.
4. Mitternachtsformel: Setze alle Werte ein.
5. Probe: Setze die Lösungen in die Ausgangsgleichung ein.

Die Diskriminante

Die Zahl unter der Wurzel heißt Diskriminante.

Wert von $D$	Reelle Lösungen
$D>0$	zwei verschiedene Lösungen
$D=0$	eine doppelte Lösung
$D<0$	keine reelle Lösung

Kurzes Beispiel

Löse $x^2-5x+6=0$.

$a=1,b=-5,c=6$

$D=(-5{)}^2-4\cdot 1\cdot 6=1$

$x_{1,2}=\frac{5\pm 1}{2}$

Also gilt: $x_1=3$ und $x_2=2$.

Häufige Fehler

1. Vorzeichen: Setze negative Zahlen in Klammern.
2. Nenner: Unter dem ganzen Zähler steht $2a$.
3. Wurzel: Unter der Wurzel steht nur $b^2-4ac$.
4. Normalform: Auf einer Seite muss null stehen.

Video und Aufgaben

Das Video erklärt die Mitternachtsformel Schritt für Schritt.

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Aufgaben zum Video

1. Normalform erkennen: Schreibe die im Video genannte allgemeine Form einer quadratischen Gleichung auf.
2. Formel erklären: Erkläre mit eigenen Worten, warum das Plus-minus-Zeichen zwei Rechnungen auslösen kann.
3. Koeffizienten finden: Notiere aus einem Beispiel im Video die Werte für $a$, $b$ und $c$.
4. Rechenweg prüfen: Stoppe das Video vor dem Ergebnis und rechne selbst weiter.
5. Fehler vermeiden: Nenne zwei Stellen, an denen ein Vorzeichenfehler entstehen kann.
6. Zusammenfassen: Erstelle eine Karte mit den fünf wichtigsten Schritten aus dem Video.

Weitere Erklärung zur Parabel

Datei:Quadratische Funktionen und Normalparabel - kolleg24 Mathematik.webm

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Welche Form muss eine quadratische Gleichung für die Mitternachtsformel haben? (ax² plus bx plus c gleich null) (!ax plus b gleich null) (!a durch x plus c gleich null) (!ax³ plus bx gleich null)

Was muss für den Koeffizienten a gelten? (a darf nicht null sein) (!a muss immer eins sein) (!a muss negativ sein) (!a muss gleich b sein)

Welche Zahl steht unter der Wurzel? (b² minus 4ac) (!b² plus 4ac) (!2a minus b) (!a² minus 4bc)

Wie heißt b² minus 4ac? (Diskriminante) (!Dividend) (!Differenzterm) (!Scheitelwert)

Wie viele verschiedene reelle Lösungen gibt es bei D größer null? (zwei) (!keine) (!eine) (!vier)

Wie viele reelle Lösungen gibt es bei D kleiner null? (keine) (!genau eine) (!genau zwei) (!unendlich viele)

Welcher Wert ist für b einzusetzen, wenn b gleich minus 5 ist? (minus 5) (!plus 5) (!null) (!fünf Quadrat)

Was steht im Nenner der Mitternachtsformel? (2a) (!2b) (!4a) (!a plus b)

Was sind die Lösungen einer quadratischen Gleichung im Graphen? (Nullstellen) (!Hochpunkte) (!y Achsenabschnitte) (!Wendepunkte)

Welche Methode hilft beim Prüfen einer Lösung? (Probe durch Einsetzen) (!Nur Runden) (!Nur Zeichnen) (!Koeffizienten vertauschen)

Memory

Normalform	ax² plus bx plus c gleich null
Diskriminante	b² minus 4ac
Plus-minus-Zeichen	zwei mögliche Rechnungen
Nullstelle	Schnittpunkt mit der x-Achse
Koeffizient	Zahl vor einer Variablenpotenz
Probe	Lösung einsetzen

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Bedeutung
Normalform	Gleichung steht auf einer Seite gleich null
Koeffizienten	Werte a, b und c
Diskriminante	Ausdruck unter der Wurzel
Nullstellen	Lösungen der Gleichung
Probe	Ergebnis durch Einsetzen prüfen

Kreuzworträtsel

Normalform	Wie heißt die Form ax² plus bx plus c gleich null?
Koeffizient	Wie heißt eine Zahl vor einer Variablenpotenz?
Diskriminante	Wie heißt der Ausdruck b² minus 4ac?
Parabel	Wie heißt der Graph einer quadratischen Funktion?
Nullstelle	Wie heißt ein Schnittpunkt des Graphen mit der x-Achse?
Probe	Wie heißt das Prüfen durch Einsetzen?

Lückentext

Vervollständige den Text.

Eine quadratische Gleichung enthält die Variable in der zweiten . Die Standardform endet auf der rechten Seite mit . Die Zahl vor dem Quadrat heißt . Der Ausdruck unter der Wurzel heißt . Ist die Diskriminante positiv, gibt es zwei verschiedene . Bei einer negativen Diskriminante gibt es keine Lösungen. Eine Lösung prüfst Du durch eine .

Offene Aufgaben

Leicht

1. Formelkarte: Gestalte eine kleine Lernkarte mit Normalform und Mitternachtsformel.
2. Koeffizienten: Markiere in fünf Gleichungen die Werte für $a$, $b$ und $c$.
3. Erklärbild: Zeichne eine Parabel und markiere mögliche Nullstellen.
4. Fehlerliste: Sammle vier typische Rechenfehler und schreibe je einen Tipp dazu.

Standard

1. Erklärvideo: Nimm ein einminütiges Video auf, in dem Du die Formel erklärst.
2. Rechenbeispiel: Löse drei Gleichungen mit null, einer und zwei reellen Lösungen.
3. Partnerinterview: Befrage eine Person zu ihrem Lösungsweg und vergleicht Eure Schritte.
4. Mathematik-Plakat: Erstelle ein Plakat mit Formel, Ablauf, Beispiel und Probe.

Schwer

1. Formelherleitung: Erkläre die Herleitung der Mitternachtsformel durch quadratische Ergänzung.
2. Parameteraufgabe: Untersuche, wie sich die Zahl der Lösungen ändert, wenn ein Koeffizient verändert wird.
3. Modellierung: Erfinde eine Sachaufgabe, die auf eine quadratische Gleichung führt, und löse sie.
4. Digitale Untersuchung: Nutze eine dynamische Geometriesoftware und vergleiche Graph und berechnete Nullstellen.

Lernkontrolle

1. Methodenwahl: Entscheide bei drei Gleichungen, ob Faktorisieren oder Mitternachtsformel günstiger ist, und begründe Deine Wahl.
2. Fehleranalyse: Untersuche einen falschen Rechenweg mit Vorzeichenfehler. Verbessere ihn und erkläre die Ursache.
3. Graph und Gleichung: Ordne drei Parabeln passenden Aussagen über ihre Diskriminante zu und begründe.
4. Transfer: Entwickle eine quadratische Gleichung mit den Lösungen zwei und fünf. Prüfe Dein Ergebnis.
5. Modell prüfen: Eine Flugbahn wird durch eine quadratische Funktion beschrieben. Erkläre, welche Bedeutung ihre Nullstellen haben können.

Lernnachweis

Für einen Lernnachweis solltest Du zeigen, dass Du:

1. die Normalform sicher herstellst,
2. die Koeffizienten mit richtigen Vorzeichen abliest,
3. die Diskriminante berechnest und deutest,
4. die Mitternachtsformel korrekt anwendest,
5. Lösungen mit einer Probe oder am Graphen prüfst,
6. Deinen Rechenweg verständlich erklärst.

Links

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