Mathe Brüche rechnen

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Mathe Brüche rechnen

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Mathe Brüche rechnen

Beim Rechnen mit Brüchen arbeitest Du mit Teilen eines Ganzen. Ein Bruch wird als $\frac{a}{b}$ geschrieben. Dabei ist $a$ der Zähler, $b$ der Nenner und $b\ne 0$. Der Bruchstrich bedeutet Division.

Ziel: Du kannst Brüche erkennen, kürzen, erweitern, vergleichen sowie addieren, subtrahieren, multiplizieren und dividieren. Der Erklärungstext bleibt kurz – geübt wird viel.

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Brüche verstehen

Bei $\frac{2}{3}$ zeigt der Nenner, dass das Ganze in drei gleich große Teile geteilt ist. Der Zähler zeigt, dass zwei Teile gemeint sind.

Gleichwertige Brüche beschreiben denselben Wert. Deshalb gilt zum Beispiel $\frac{1}{2}=\frac{2}{4}=\frac{3}{6}$.

Kürzen und Erweitern

Erweitern: Multipliziere Zähler und Nenner mit derselben von null verschiedenen Zahl.

$\frac{2}{3}=\frac{2\cdot 4}{3\cdot 4}=\frac{8}{12}$

Kürzen: Teile Zähler und Nenner durch denselben gemeinsamen Teiler.

$\frac{12}{18}=\frac{12:6}{18:6}=\frac{2}{3}$

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Brüche addieren und subtrahieren

Sind die Nenner gleich, rechnest Du nur mit den Zählern:

$\frac{2}{7}+\frac{3}{7}=\frac{5}{7}$

Sind die Nenner verschieden, machst Du die Brüche zuerst gleichnamig, also bringst sie auf einen gemeinsamen Nenner:

$\frac{1}{3}+\frac{1}{4}=\frac{4}{12}+\frac{3}{12}=\frac{7}{12}$

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Brüche multiplizieren

Multipliziere Zähler mit Zähler und Nenner mit Nenner. Kürze möglichst früh.

$\frac{2}{3}\cdot \frac{4}{5}=\frac{8}{15}$

Brüche dividieren

Beim Dividieren multiplizierst Du mit dem Kehrwert des zweiten Bruchs:

$\frac{3}{4}:\frac{2}{5}=\frac{3}{4}\cdot \frac{5}{2}=\frac{15}{8}$

Durch $0$ darf nicht geteilt werden.

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Gemischte Aufgaben und Rechenreihenfolge

Klammern zuerst, dann Multiplikation und Division, danach Addition und Subtraktion. Gemischte Zahlen wandelst Du zum Rechnen meist zuerst in unechte Brüche um.

$1\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$

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Übungswerkstatt

Rechne ohne Taschenrechner und kürze Ergebnisse vollständig.

A: Kürzen, Erweitern und Vergleichen

1. Aufgabe A1: Kürze $\frac{8}{12}$ vollständig.
2. Aufgabe A2: Kürze $\frac{18}{24}$ vollständig.
3. Aufgabe A3: Erweitere $\frac{3}{5}$ auf den Nenner $20$.
4. Aufgabe A4: Erweitere $\frac{7}{8}$ auf den Nenner $40$.
5. Aufgabe A5: Entscheide: Ist $\frac{5}{6}$ größer, kleiner oder gleich $\frac{4}{5}$?
6. Aufgabe A6: Ordne $\frac{1}{2}$, $\frac{3}{4}$ und $\frac{2}{3}$ der Größe nach.

B: Addieren und Subtrahieren

1. Aufgabe B1: $\frac{2}{9}+\frac{4}{9}$
2. Aufgabe B2: $\frac{7}{10}+\frac{1}{10}$
3. Aufgabe B3: $\frac{8}{11}-\frac{3}{11}$
4. Aufgabe B4: $\frac{1}{2}+\frac{1}{3}$
5. Aufgabe B5: $\frac{3}{4}+\frac{2}{5}$
6. Aufgabe B6: $\frac{5}{6}-\frac{1}{4}$
7. Aufgabe B7: $\frac{7}{8}-\frac{2}{3}$
8. Aufgabe B8: $\frac{5}{12}+\frac{7}{18}$

Multiplizieren und Dividieren

1. Aufgabe C1: $\frac{2}{3}\cdot \frac{5}{7}$
2. Aufgabe C2: $\frac{4}{9}\cdot \frac{3}{8}$
3. Aufgabe C3: $\frac{7}{10}\cdot \frac{15}{21}$
4. Aufgabe C4: $\frac{5}{6}\cdot 3$
5. Aufgabe C5: $\frac{3}{4}:\frac{2}{5}$
6. Aufgabe C6: $\frac{7}{9}:\frac{14}{27}$
7. Aufgabe C7: $2:\frac{3}{5}$
8. Aufgabe C8: $\frac{5}{12}:5$

Gemischte Rechnungen

1. Aufgabe D1: $\frac{1}{2}+\frac{1}{3}\cdot \frac{3}{4}$
2. Aufgabe D2: $\frac{5}{6}-\frac{1}{2}\cdot \frac{2}{3}$
3. Aufgabe D3: $(\frac{1}{2}+\frac{1}{4})\cdot \frac{2}{3}$
4. Aufgabe D4: $(\frac{7}{8}-\frac{3}{8}):\frac{1}{2}$
5. Aufgabe D5: $1\frac{1}{2}+\frac{3}{4}$
6. Aufgabe D6: $2\frac{1}{3}-\frac{5}{6}$
7. Aufgabe D7: Von einer Pizza werden zuerst $\frac{3}{8}$ und später $\frac{1}{4}$ gegessen. Welcher Anteil ist insgesamt gegessen?
8. Aufgabe D8: Eine Strecke ist $\frac{3}{4}$ km lang. Du gehst davon $\frac{2}{3}$. Wie viele Kilometer gehst Du?
9. Aufgabe D9: Jemand rechnet $\frac{1}{2}+\frac{1}{3}=\frac{2}{5}$. Erkläre den Fehler und verbessere die Rechnung.

Lösungsschlüssel zur Übungswerkstatt

Aufgabe	Lösung
A1	$\frac{2}{3}$
A2	$\frac{3}{4}$
A3	$\frac{12}{20}$
A4	$\frac{35}{40}$
A5	$\frac{5}{6}>\frac{4}{5}$
A6	$\frac{1}{2}<\frac{2}{3}<\frac{3}{4}$
B1	$\frac{2}{3}$
B2	$\frac{4}{5}$
B3	$\frac{5}{11}$
B4	$\frac{5}{6}$
B5	$\frac{23}{20}$
B6	$\frac{7}{12}$
B7	$\frac{5}{24}$
B8	$\frac{29}{36}$
C1	$\frac{10}{21}$
C2	$\frac{1}{6}$
C3	$\frac{1}{2}$
C4	$\frac{5}{2}$
C5	$\frac{15}{8}$
C6	$\frac{3}{2}$
C7	$\frac{10}{3}$
C8	$\frac{1}{12}$
D1	$\frac{3}{4}$
D2	$\frac{1}{2}$
D3	$\frac{1}{2}$
D4	$1$
D5	$\frac{9}{4}=2\frac{1}{4}$
D6	$\frac{3}{2}=1\frac{1}{2}$
D7	$\frac{5}{8}$
D8	$\frac{1}{2}$ km
D9	Die Nenner dürfen nicht einfach addiert werden; richtig ist $\frac{5}{6}$.

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Was nennt man die Zahl über dem Bruchstrich? (Zähler) (!Nenner) (!Kehrwert) (!Hauptnenner)

Was musst Du bei ungleichnamigen Brüchen vor dem Addieren tun? (Einen gemeinsamen Nenner herstellen) (!Die Nenner addieren) (!Nur die Zähler kürzen) (!Den zweiten Bruch umdrehen)

Welcher Bruch ist vollständig gekürzt? (2 durch 3) (!4 durch 6) (!8 durch 12) (!10 durch 15)

Was bleibt beim Addieren gleichnamiger Brüche erhalten? (Der Nenner) (!Der Zähler) (!Der Kehrwert) (!Das Rechenzeichen)

Wie multiplizierst Du zwei Brüche? (Zähler mal Zähler und Nenner mal Nenner) (!Zähler plus Zähler und Nenner plus Nenner) (!Nur die Nenner multiplizieren) (!Den ersten Bruch umdrehen)

Wie dividierst Du durch einen Bruch? (Mit seinem Kehrwert multiplizieren) (!Die Nenner addieren) (!Beide Brüche kürzen und addieren) (!Nur die Zähler dividieren)

Was bedeutet Kürzen? (Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl teilen) (!Nur den Nenner teilen) (!Zähler und Nenner addieren) (!Den Bruch in eine Dezimalzahl verwandeln)

Was bedeutet Erweitern? (Zähler und Nenner mit derselben Zahl multiplizieren) (!Nur den Zähler vergrößern) (!Den Nenner durch zwei teilen) (!Den Kehrwert bilden)

Welche Rechenart kommt bei Punkt vor Strich zuerst? (Multiplikation) (!Addition) (!Subtraktion) (!Vergleichen)

Was gilt für den Nenner eines Bruchs? (Er darf nicht null sein) (!Er muss immer gerade sein) (!Er muss größer als der Zähler sein) (!Er muss eine Primzahl sein)

Memory

Zähler	Anzahl ausgewählter Teile
Nenner	Anzahl gleich großer Teile des Ganzen
Erweitern	Zähler und Nenner mit derselben Zahl multiplizieren
Kürzen	Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl teilen
Kehrwert	Zähler und Nenner vertauschen
gleichnamig	gleiche Nenner
Hauptnenner	gemeinsamer Nenner zum Rechnen
Bruchstrich	bedeutet Division

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Thema
gleichnamige Addition	Zähler addieren und Nenner beibehalten
ungleichnamige Addition	zuerst gemeinsamen Nenner herstellen
Multiplikation	Zähler mit Zähler und Nenner mit Nenner
Division	mit dem Kehrwert multiplizieren
Kürzen	gemeinsamen Faktor herausnehmen
Erweitern	gemeinsamen Faktor hinzufügen
Kehrwert	Zähler und Nenner vertauschen
gemischte Zahl	ganze Zahl und echter Bruch

Kreuzworträtsel

Zähler	Wie heißt die Zahl über dem Bruchstrich?
Nenner	Wie heißt die Zahl unter dem Bruchstrich?
Kehrwert	Was entsteht, wenn Zähler und Nenner vertauscht werden?
Erweitern	Wie heißt das Multiplizieren von Zähler und Nenner mit derselben Zahl?
Kürzen	Wie heißt das Teilen von Zähler und Nenner durch denselben gemeinsamen Teiler?
Hauptnenner	Wie heißt ein gemeinsamer Nenner, mit dem Brüche gleichnamig gemacht werden?

Lückentext

Vervollständige den Text.

Die Zahl über dem Bruchstrich heißt .

Die Zahl unter dem Bruchstrich heißt .

Beim Erweitern werden Zähler und Nenner mit derselben multipliziert.

Beim Kürzen werden Zähler und Nenner durch denselben gemeinsamen geteilt.

Vor dem Addieren ungleichnamiger Brüche braucht man einen gemeinsamen .

Beim Multiplizieren werden die Zähler miteinander .

Beim Dividieren multipliziert man mit dem des zweiten Bruchs.

Bei gemischten Rechnungen gilt ohne Klammern Punkt vor .

Offene Aufgaben

Leicht

1. Bruchbild: Zeichne drei verschiedene Bilder für $\frac{3}{4}$.
2. Alltag und Brüche: Finde fünf Situationen aus Deinem Alltag, in denen Brüche vorkommen, und notiere jeweils einen passenden Bruch.
3. Fehler finden: Erfinde eine falsche Bruchrechnung und erkläre anschließend genau, wo der Fehler steckt.
4. Lernkarte: Gestalte eine Lernkarte mit den vier Rechenregeln für Brüche und jeweils einem eigenen Beispiel.

Standard

1. Erklärvideo: Produziere ein kurzes Erklärvideo zum Addieren ungleichnamiger Brüche und nutze ein selbst gerechnetes Beispiel.
2. Bruchdomino: Entwickle ein Domino mit mindestens zwölf Karten, bei dem Aufgabe und passendes Ergebnis aneinandergelegt werden.
3. Sachaufgabe: Erfinde drei Sachaufgaben zur Bruchrechnung aus den Bereichen Kochen, Wegstrecken und Zeit und löse sie vollständig.
4. Vergleichen von Brüchen: Entwickle zwei verschiedene Strategien zum Vergleichen von Brüchen und zeige an Beispielen, wann sie gut funktionieren.

Schwer

1. Mathematischer Beweis: Begründe mit einem Bild und mit einer Rechnung, warum Erweitern den Wert eines Bruchs nicht verändert.
2. Fehleranalyse: Untersuche fünf typische Fehler beim Bruchrechnen und formuliere zu jedem Fehler eine verständliche Gegenregel.
3. Lernspiel: Entwickle ein eigenes Brett- oder Kartenspiel, in dem Addieren, Subtrahieren, Multiplizieren und Dividieren von Brüchen vorkommen.
4. Mini-Unterricht: Plane eine zehnminütige Lernsequenz für eine Lerngruppe, in der Du das Dividieren von Brüchen erklärst, üben lässt und mit einer Kontrollfrage abschließt.

Lernkontrolle

1. Strategiewahl: Erkläre an zwei selbst gewählten Beispielen, warum man beim Addieren einen gemeinsamen Nenner braucht, beim Multiplizieren aber nicht.
2. Fehleranalyse: Eine Person behauptet: „Beim Dividieren von Brüchen teile ich Zähler durch Zähler und Nenner durch Nenner.“ Prüfe die Aussage an einem Gegenbeispiel und erkläre die richtige Methode.
3. Darstellungswechsel: Stelle $\frac{3}{4}+\frac{1}{2}$ zuerst als Bild, dann als Rechnung und schließlich als Satz dar. Zeige, wie die drei Darstellungen zusammenhängen.
4. Sachproblem: Entwickle eine Alltagssituation, die durch $\frac{2}{3}\cdot \frac{3}{5}$ beschrieben werden kann, und interpretiere das Ergebnis im Kontext.
5. Rechenweg vergleichen: Löse $\frac{5}{6}+\frac{7}{12}$ auf zwei verschiedenen Wegen und vergleiche, welcher Weg weniger Rechenschritte benötigt.
6. Transfer: Begründe, warum vollständiges Kürzen nicht nur das Ergebnis schöner macht, sondern auch spätere Rechnungen vereinfachen kann.

Lernnachweis

Für einen Lernnachweis solltest Du zeigen, dass Du:

1. Bruch: Zähler, Nenner und Bruchstrich sicher erklären kannst.
2. Kürzen und Erweitern: gleichwertige Brüche herstellen und vollständig kürzen kannst.
3. Addition und Subtraktion: gleichnamige und ungleichnamige Brüche korrekt addieren und subtrahieren kannst.
4. Multiplikation und Division: Brüche sicher multiplizieren und durch Multiplikation mit dem Kehrwert dividieren kannst.
5. Rechenregeln: Klammern und Punkt-vor-Strich bei Bruchtermen korrekt anwendest.
6. Sachaufgabe: Bruchrechnungen in Alltagssituationen erkennst, modellierst und Dein Ergebnis sinnvoll deutest.
7. Fehleranalyse: falsche Rechenwege erkennst, erklärst und verbesserst.

Verknüpfte Lernbereiche

Bruchrechnung Bruch Zähler Nenner Kürzen Erweitern Addition Subtraktion Multiplikation Division Kehrwert Gemischte Zahl Punkt-vor-Strich-Rechnung