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M9 M - Zusammengesetzte Körper berechnen

Mini-Beschreibung: Zerlege zusammengesetzte Körper aus Zylindern, Prismen und anderen bekannten Körpern und bestimme Volumen beziehungsweise Oberfläche. Zielgruppe: Klasse 9, M-Niveau, Baden-Württemberg.

Einleitung

Ein zusammengesetzter Körper besteht aus mehreren bekannten Teilkörpern. Du musst ihn nicht auf einmal berechnen. Zerlege ihn so, dass bekannte Formeln nutzbar werden.

Rechenidee: komplizierter Körper → bekannte Teilkörper → Teilrechnungen → Gesamtergebnis.

Für das Volumen werden Teilvolumina je nach Modell addiert oder subtrahiert. Bei der Oberfläche zählen nur Flächen, die außen sichtbar sind. Kontaktflächen im Inneren gehören nicht zur Oberfläche.

Das Video von Planet Schule / ARD wiederholt Volumen und Oberfläche von Prisma und Zylinder. Prüfe bei jeder Rechnung selbst, ob Formel, Einheit und Ergebnis zum dargestellten Körper passen.

Bildungsplanbezug M-Niveau

Der Bildungsplan Baden-Württemberg für Mathematik in den Klassen 7–9 nennt auf M-Niveau ausdrücklich das Berechnen von Oberflächeninhalt und Volumen von Prisma, Pyramide und Zylinder sowie das Bestimmen dieser Größen bei daraus zusammengesetzten Körpern. Wichtig sind außerdem das Zerlegen in Teilprobleme, das Verknüpfen verschiedener Darstellungen und das kritische Prüfen digital erzeugter Ergebnisse.

Bildungsplan Baden-Württemberg: Leitidee Messen

Lernziele

Nach diesem aiMOOC kannst Du:

zusammengesetzte Körper in geeignete Teilkörper zerlegen.
Volumina mit $V = V_{1} + V_{2}$ oder mit einer Subtraktion bestimmen.
bei Oberflächen zwischen Außenfläche und Kontaktfläche unterscheiden.
Formeln für Prisma, Zylinder, Quader und Pyramide passend auswählen.
Rechenwege mit Skizze, Teilkörpern, Formel, Einsetzen, Einheit und Plausibilitätsprüfung dokumentieren.
digitale 3D-Modelle nutzen und deren Ergebnisse kritisch prüfen.

Vorwissen-Check

Kannst Du diese Bausteine ohne Nachschlagen erklären?

Baustein	Kurzformel	Selbstcheck
Prisma	$V = G \cdot h$	Grundfläche erkennen?
Zylinder	$V = π r^{2} h$	Radius und Höhe erkennen?
Quader	$V = a b c$	drei Kantenlängen zuordnen?
Kreis	$A = π r^{2}$	Durchmesser in Radius umwandeln?
Zylindermantel	$M = 2 π r h$	Umfang mal Höhe erklären?

Wenn zwei oder mehr Punkte unsicher sind: Wiederhole zuerst Prisma, Zylinder, Kreisfläche und Oberfläche.

Grundformeln als Werkzeugkasten

Körper	Volumen	Oberfläche
Quader	$V = a b c$	$O = 2 (a b + a c + b c)$
Prisma	$V = G \cdot h$	$O = 2 G + M$
gerades Prisma	$V = G \cdot h$	$O = 2 G + U_{G} h$
Zylinder	$V = π r^{2} h$	$O = 2 π r^{2} + 2 π r h$
Pyramide	$V = \frac{1}{3} G h$	$O = G + M$

Bedeutung: G ist der Grundflächeninhalt, U der Umfang der Grundfläche, M die Mantelfläche und h die Körperhöhe.

Der Rechenplan

Schritt	Was Du tust	Kontrollfrage
1	Körper zerlegen	Welche bekannten Teilkörper sehe ich?
2	Maße zuordnen	Gehört jede Länge zum richtigen Teilkörper?
3	Rechenart wählen	Addieren oder Aussparung subtrahieren?
4	Teilgrößen berechnen	Stimmen Formel und Einheit?
5	Oberfläche prüfen	Welche Flächen sind wirklich außen?
6	Ergebnis prüfen	Ist die Größenordnung plausibel?

Kurzform für Volumen:

$V = V_{1} + V_{2}$

Bei einer Aussparung gilt entsprechend: Außenvolumen minus Innenvolumen.

Kurzform für Oberfläche: Addiere nur die von außen sichtbaren Teilflächen.

Medien: Körper sehen, drehen und schneiden

Transparentes Prisma: Suche Grundflächen, Mantelflächen und Kanten. Welche Flächen wären bei einem angeklebten zweiten Körper nicht mehr sichtbar?

Zylinderschnitt: Ein Schnitt macht sichtbar, welche Fläche im Inneren liegt.

Netz eines Zylinders: Beim Aufklappen wird die Mantelfläche zum Rechteck.

Netz eines Dreiecksprismas:

Animation eines Rotationskörpers:

Dynamische 3D-Geometrie: Zusammengesetzte Körper

Drehe das Modell und entscheide zuerst, welche Teilkörper Du erkennst. Rechne erst danach.

Arbeitsauftrag:

Skizziere die Zerlegung.
Beschrifte die benötigten Maße.
Formuliere einen Volumenterm.
Prüfe das digitale Ergebnis mit einer eigenen Rechnung.

Dynamische Zylinderoberfläche

Beobachte, wie Mantel und Kreisflächen beim Abrollen entstehen.

Denkfrage: Warum ist die Breite des Mantelrechtecks $2 π r$ ?

Vom Prisma zum Zylinder

Verändere Radius, Höhe und Eckenzahl. Beobachte, wie sich Volumen und Form ändern. Ein digitales Modell liefert Anschauung, aber keine mathematische Begründung von selbst.

Interaktives Beispiel 1: Quader mit aufgesetztem Zylinder

Ein Quader hat a = 8 cm, b = 8 cm und c = 4 cm. Darauf steht mittig ein Zylinder mit r = 2 cm und h = 5 cm.

Gesucht: Volumen und äußere Oberfläche.

Schritt 1: Volumen zerlegen

$V = V_{Q} + V_{Z}$

$V_{Q} = 8 \cdot 8 \cdot 4 = 256$ cm³

$V_{Z} = π \cdot 2^{2} \cdot 5 = 20 π$ cm³

$V = 256 + 20 π$ cm³, also ungefähr 318,8 cm³.

Schritt 2: Oberfläche sichtbar denken

Quaderoberfläche:

$O_{Q} = 2 (8 \cdot 8 + 8 \cdot 4 + 8 \cdot 4) = 256$ cm²

Die Kreisfläche unter dem Zylinder wird unsichtbar: $4 π$ cm².

Beim Zylinder kommen Mantel und obere Kreisfläche hinzu:

$M_{Z} = 2 π \cdot 2 \cdot 5 = 20 π$ cm²

$G_{Z} = 4 π$ cm²

Damit gilt:

$O = 256 - 4 π + 20 π + 4 π = 256 + 20 π$ cm², also ungefähr 318,8 cm².

Wichtig: Die Kontaktfläche wird nicht doppelt gezählt. Sie liegt im Inneren.

Hilfestufe 1: Markiere in einer Skizze alle Flächen, die Du von außen berühren könntest.

Hilfestufe 2: Beginne mit der gesamten Quaderoberfläche und entferne die verdeckte Kreisfläche.

Feedback: Wenn Du einfach die beiden vollständigen Oberflächen addierst, wird die Kontaktfläche doppelt mitgezählt.

Interaktives Beispiel 2: Quader mit zylindrischer Bohrung

Ein Quader hat die Maße 10 cm × 8 cm × 6 cm. Senkrecht durch die Höhe wird ein zylindrisches Loch mit r = 2 cm gebohrt.

Volumen:

$V = 10 \cdot 8 \cdot 6 - π \cdot 2^{2} \cdot 6$

$V = 480 - 24 π$ cm³, also ungefähr 404,6 cm³.

Oberfläche:

$O_{Q} = 2 (10 \cdot 8 + 10 \cdot 6 + 8 \cdot 6) = 376$ cm²

Zwei Kreisöffnungen fallen weg: $8 π$ cm².

Die Innenwand der Bohrung kommt hinzu: $24 π$ cm².

$O = 376 + 16 π$ cm², also ungefähr 426,3 cm².

Beobachtung: Eine Bohrung verkleinert das Volumen, kann aber die Oberfläche vergrößern.

Hilfestufe 1: Denke bei der Bohrung an „weggenommenes Volumen, neu entstandene Innenfläche“.

Feedback: Ein kleineres Volumen bedeutet nicht automatisch eine kleinere Oberfläche.

Interaktives Beispiel 3: L-förmiges Prisma

Die Grundfläche entsteht aus einem Rechteck 6 cm × 5 cm, aus dessen Ecke ein Rechteck 2 cm × 3 cm entfernt wird. Die Prismahöhe beträgt 10 cm.

Grundfläche:

$G = 6 \cdot 5 - 2 \cdot 3 = 24$ cm²

Volumen:

$V = G \cdot h = 24 \cdot 10 = 240$ cm³

Für die Oberfläche brauchst Du zusätzlich den Umfang der L-förmigen Grundfläche. Hier gilt U = 22 cm.

$O = 2 G + U h$

$O = 2 \cdot 24 + 22 \cdot 10 = 268$ cm²

Darstellungswechsel: Dieselbe Zerlegung kann als „groß minus Aussparung“ oder als Summe zweier kleiner Prismen gedacht werden. Beide Wege müssen zum gleichen Volumen führen.

Übungen mit Hilfestufen und Feedback

Übung A: Zwei Quader

Ein Körper besteht aus Quader 1 mit 8 cm × 5 cm × 3 cm und Quader 2 mit 4 cm × 5 cm × 2 cm. Beide stehen ohne Überlappung aufeinander.

Aufgabe: Bestimme das Volumen.

Hilfe 1: $V = V_{1} + V_{2}$

Hilfe 2: Die Teilvolumina sind 120 cm³ und 40 cm³.

Feedback: Das Gesamtvolumen beträgt 160 cm³.

Übung B: Zylinder auf Quader

Ein Quader mit 6 cm × 6 cm × 4 cm trägt einen Zylinder mit r = 1,5 cm und h = 4 cm.

Aufgabe: Stelle zuerst einen exakten Volumenterm auf und berechne anschließend einen Näherungswert.

Hilfe 1: Addiere Quader- und Zylindervolumen.

Hilfe 2: $V_{Z} = π \cdot 1. 5^{2} \cdot 4 = 9 π$ cm³.

Feedback: $V = 144 + 9 π$ cm³, also ungefähr 172,3 cm³.

Übung C: Bohrung

Ein Zylinder mit R = 5 cm und h = 10 cm besitzt eine durchgehende zylindrische Bohrung mit r = 2 cm.

Aufgabe: Bestimme das verbleibende Volumen.

Hilfe 1: Außenvolumen minus Innenvolumen.

Hilfe 2: $V = π \cdot 5^{2} \cdot 10 - π \cdot 2^{2} \cdot 10$

Feedback: $V = 210 π$ cm³, also ungefähr 659,7 cm³.

Übung D: Prisma mit Aufsatz

Ein gerades Prisma besitzt G = 18 cm² und h = 7 cm. Darauf steht ein Quader mit 3 cm × 4 cm × 5 cm.

Aufgabe: Bestimme das Gesamtvolumen und begründe die Rechenart.

Hilfe 1: Beide Teilkörper gehören vollständig zum Gesamtvolumen.

Feedback: $V = 18 \cdot 7 + 3 \cdot 4 \cdot 5 = 186$ cm³. Deshalb wird addiert.

Typische Fehler

Fehler	Warum falsch?	Korrektur
Durchmesser als Radius einsetzen	Der Radius ist halb so groß wie der Durchmesser.	Radius zuerst bestimmen
cm² beim Volumen	Volumen ist dreidimensional.	cm³ verwenden
Kontaktfläche mitzählen	Sie liegt im Inneren.	Nur Außenflächen zählen
Aussparung addieren	Material wurde entfernt.	Teilvolumen subtrahieren
zu früh runden	Rundungsfehler wachsen.	Möglichst spät runden
digitales Ergebnis ungeprüft übernehmen	Eingabe oder Modell kann falsch sein.	Überschlag und eigene Rechnung nutzen

Selbstkontrolle

Prüfe jede Lösung mit dem 6-Punkte-Check:

Skizze: Ist die Zerlegung erkennbar?
Maße: Sind Radius, Höhe und Kanten richtig zugeordnet?
Formel: Passt sie zum Teilkörper?
Rechenoperation: Muss addiert oder subtrahiert werden?
Einheit: Fläche in cm², Volumen in cm³?
Plausibilität: Liegt das Ergebnis zwischen sinnvollen Grenzen?

Plausibilitätsbeispiel: Ein zusammengesetzter Körper besteht aus einem Quader mit 200 cm³ und einem aufgesetzten Körper mit positivem Volumen. Ein Ergebnis von 150 cm³ kann ohne Aussparung nicht stimmen.

Transfer: Modellieren

Eine Verpackung besteht idealisiert aus einem Quader und einem aufgesetzten halben Zylinder. In der Realität besitzt sie Laschen, Materialdicke und Rundungen.

Modellierungsfragen:

Welche Teile können als bekannte Körper ersetzt werden?
Welche Maße müssen gemessen oder geschätzt werden?
Welche Details dürfen für eine Näherung vernachlässigt werden?
Brauchst Du Volumen, Außenfläche oder Materialfläche?
Wie stark könnte das reale Ergebnis vom Modell abweichen?

Grundsatz: Ein mathematisches Modell ist nützlich, wenn seine Vereinfachungen zur Fragestellung passen.

Digitale Werkzeuge verantwortungsvoll nutzen

GeoGebra, Tabellenkalkulation und KI können Skizzen, Rechenschritte oder Kontrollwerte liefern. Du bleibst für die mathematische Prüfung verantwortlich.

Prüfe Eingaben und Einheiten.
Vergleiche digitale Ergebnisse mit Überschlag oder zweitem Lösungsweg.
KI-Ausgaben ersetzen keinen mathematischen Beweis und keine nachvollziehbare Begründung.
Verwende für Lernprodukte keine personenbezogenen Daten.
Nutze bei veröffentlichten Bildern und Videos nur passende Lizenzen und Quellenangaben.

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Diesen aiMOOC als Battle spielen

Was ist der erste sinnvolle Schritt bei einem zusammengesetzten Körper? (Den Körper in bekannte Teilkörper zerlegen) (!Sofort alle sichtbaren Zahlen multiplizieren) (!Immer zuerst die Oberfläche berechnen) (!Alle Maße addieren)

Wie wird das Gesamtvolumen zweier nicht überlappender Teilkörper bestimmt? (Die Teilvolumina werden addiert) (!Die Teilvolumina werden immer subtrahiert) (!Die Oberflächen werden addiert) (!Die Höhen werden multipliziert)

Welche Einheit passt zu einem Volumen? (Kubikzentimeter) (!Quadratzentimeter) (!Zentimeter) (!Grad)

Welche Fläche gehört bei zwei verklebten Körpern nicht zur äußeren Oberfläche? (Die Kontaktfläche im Inneren) (!Eine frei sichtbare Deckfläche) (!Eine frei sichtbare Mantelfläche) (!Eine außen liegende Grundfläche)

Wie lautet das Volumen eines Zylinders? (V gleich Pi mal Radius zum Quadrat mal Höhe) (!V gleich zwei mal Pi mal Radius mal Höhe) (!V gleich Pi mal Radius mal Höhe zum Quadrat) (!V gleich Grundfläche plus Höhe)

Was geschieht mit dem Volumen bei einer echten Aussparung? (Das Volumen der Aussparung wird subtrahiert) (!Das Volumen der Aussparung wird addiert) (!Nur die Höhe wird subtrahiert) (!Die Oberfläche wird halbiert)

Welche Aussage zur Bohrung durch einen Körper ist richtig? (Sie kann das Volumen verkleinern und die Oberfläche vergrößern) (!Sie vergrößert immer das Volumen) (!Sie verkleinert immer die Oberfläche) (!Sie verändert keine Flächen)

Was bedeutet G in der Formel für das Volumen eines Prismas? (Flächeninhalt der Grundfläche) (!Gesamtoberfläche) (!Gewicht des Körpers) (!Größe des Winkels)

Warum sollte man möglichst spät runden? (Damit sich Rundungsfehler nicht unnötig vergrößern) (!Damit die Einheit verschwindet) (!Damit Pi genau drei wird) (!Damit der Körper kleiner wird)

Wie prüfst Du ein digitales Ergebnis sinnvoll? (Mit eigener Rechnung und Plausibilitätsprüfung) (!Durch ungeprüftes Kopieren) (!Nur durch eine schönere Darstellung) (!Indem Du alle Einheiten entfernst)

Memory

Volumen Prisma	Grundfläche mal Höhe
Volumen Zylinder	Kreisfläche mal Höhe
Kontaktfläche	liegt im Inneren
Aussparung	Teilvolumen subtrahieren
Mantelfläche Zylinder	Kreisumfang mal Höhe
Plausibilitätsprüfung	Größenordnung kontrollieren

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Rechenschritt
Zerlegen	Bekannte Teilkörper erkennen
Zuordnen	Maße den Teilkörpern geben
Berechnen	Teilvolumina oder Teilflächen bestimmen
Zusammenführen	Addieren oder subtrahieren
Prüfen	Einheit und Plausibilität kontrollieren

Kreuzworträtsel

Volumen	Welche Größe beschreibt den Rauminhalt eines Körpers?
Zylinder	Welcher Körper besitzt zwei kreisförmige Grundflächen?
Prisma	Bei welchem Körper gilt allgemein Grundfläche mal Höhe für das Volumen?
Mantel	Wie heißt die seitliche Fläche eines Zylinders kurz?
Grundfläche	Welche Fläche wird in der Formel für ein Prisma mit der Körperhöhe multipliziert?
Kontaktfläche	Wie heißt eine Fläche zwischen zwei verbundenen Teilkörpern?

LearningApps

Lückentext

Ein komplizierter Körper wird zuerst in bekannte

zerlegt.

Beim Volumen eines Körpers aus mehreren aufgesetzten Teilen werden die Teilvolumina meist

.

Bei einer Aussparung wird das Volumen des entfernten Teils

.

Für das Volumen eines Prismas wird die Grundfläche mit der

multipliziert.

Beim Zylinder ist die Grundfläche eine

.

Flächen zwischen zwei verbundenen Teilkörpern gehören nicht zur äußeren

.

Ein Volumen wird beispielsweise in

angegeben.

Ein digitales Ergebnis sollte durch eine eigene Rechnung auf

geprüft werden.

Kompetenzcheck

Ich kann ...	Nachweis
einen Körper sinnvoll zerlegen	beschriftete Skizze
passende Formeln auswählen	Formel vor dem Einsetzen
Volumina addieren oder subtrahieren	begründeter Rechenterm
Kontaktflächen erkennen	markierte Außenflächen
exakte und gerundete Ergebnisse angeben	exakter Term und Näherungswert
digitale Ergebnisse prüfen	Überschlag oder zweiter Lösungsweg

M-Niveau erreicht: Du kannst die Darstellung wechseln, selbstständig ein Modell wählen, ein Verfahren begründen und den Rechenweg nachvollziehbar dokumentieren.

Reflexion

Beantworte nach der Bearbeitung kurz:

Welche Zerlegung war für Dich am schnellsten erkennbar?
Wann war „groß minus Aussparung“ günstiger als eine Addition?
Woran hast Du Kontaktflächen erkannt?
Welche Darstellung hat Dir am meisten geholfen: Skizze, Netz, 3D-Modell oder Formel?
Wie hast Du ein digitales Ergebnis kontrolliert?

Offene Aufgaben

Leicht

Körperjagd: Fotografiere oder zeichne drei Alltagsobjekte, die sich als Kombination bekannter Körper modellieren lassen. Nutze keine personenbezogenen Daten im Bild.
Zerlegungsskizze: Zeichne einen Körper aus Quader und Zylinder und markiere die Teilkörper mit unterschiedlichen Schraffuren.
Formelkarten: Gestalte kompakte Karten für Prisma, Zylinder, Quader und Pyramide mit Volumenformel und Einheit.
Fehlerdetektiv: Erfinde eine falsche Rechnung mit Radius-Durchmesser-Fehler und erkläre die Korrektur.

Standard

Verpackungsmodell: Miss eine zusammengesetzte Verpackung und schätze ihr Volumen mit einem geeigneten mathematischen Modell.
Oberflächenplan: Entwirf für einen Körper aus Quader und Zylinder einen Flächenplan, in dem Kontaktflächen sichtbar gestrichen werden.
GeoGebra-Prüfung: Verändere ein 3D-Modell, rechne zwei Einstellungen selbst nach und dokumentiere Abweichungen durch Rundung.
Zwei Lösungswege: Löse dieselbe Volumenaufgabe einmal durch Addition und einmal durch Subtraktion aus einem größeren Körper.

Schwer

Modellierungsprojekt: Entwirf einen Behälter aus mindestens drei Teilkörpern, lege Maße fest und bestimme Volumen sowie Außenfläche.
Optimierungsfrage: Verändere bei festem Volumen die Maße eines einfachen zusammengesetzten Körpers und untersuche, wie sich die Oberfläche verändert.
Erklärvideo: Produziere ein kurzes Lernvideo, das eine Oberflächenrechnung mit Kontaktflächen visuell erklärt. Nutze nur eigene oder frei lizenzierte Medien.
KI-Prüfauftrag: Lass eine KI einen Rechenweg zu einer selbst erstellten Aufgabe vorschlagen, prüfe jeden Schritt mathematisch und dokumentiere mindestens eine mögliche Fehlerquelle. Verwende keine personenbezogenen Daten.

Lernkontrolle

Modell wählen: Ein technisches Bauteil ähnelt einem Quader mit zylindrischer Bohrung. Begründe, welche Teilkörper Du für ein Volumenmodell verwendest und welche realen Details Du vernachlässigst.
Lösungswege vergleichen: Ein L-förmiges Prisma kann als Summe zweier Prismen oder als Quader minus Aussparung berechnet werden. Stelle beide Terme auf und begründe ihre Gleichwertigkeit.
Oberflächenfehler analysieren: Jemand addiert die vollständigen Oberflächen zweier verklebter Körper. Erkläre den Fehler allgemein und formuliere eine Korrekturregel.
Plausibilität beurteilen: Ein aufgesetzter Zylinder wird größer, das berechnete Gesamtvolumen wird aber kleiner. Nenne mindestens zwei mögliche Ursachen im Rechenweg oder Modell.
Darstellungen verknüpfen: Erkläre anhand eines Zylindernetzes, warum die Mantelfläche aus Kreisumfang mal Höhe entsteht, und verbinde Netz, Formel und 3D-Körper.
Digital prüfen: Ein 3D-Programm und Deine Handrechnung liefern unterschiedliche Werte. Entwickle eine Reihenfolge von Prüfschritten, mit der Du die Ursache findest.

Lernnachweis

Für einen Lernnachweis zu diesem Thema sind wichtig:

eine korrekte Zerlegung eines zusammengesetzten Körpers in bekannte Teilkörper.
eine beschriftete Skizze oder geeignete 3D-Darstellung.
die begründete Auswahl der Formeln.
ein nachvollziehbarer Rechenweg mit Zwischenergebnissen.
der sichere Umgang mit Addition und Subtraktion von Teilvolumina.
das korrekte Erkennen von Außen-, Innen- und Kontaktflächen.
passende Einheiten für Länge, Fläche und Volumen.
ein exakter Wert und ein angemessen gerundeter Näherungswert, wenn sinnvoll.
eine Plausibilitätsprüfung.
die kritische Prüfung digitaler Ergebnisse.

OERs zum Thema

Freie Medien in diesem aiMOOC: Die eingebundenen Wikimedia-Commons-Dateien besitzen auf ihren Dateiseiten freie Lizenzen beziehungsweise Public-Domain-/CC0-Freigaben. Das eingebundene Planet-Schule/ARD-Video ist laut Videobeschreibung unter CC BY-SA veröffentlicht.

Weitere Medien zum Üben

Das Video zeigt das Zerlegen eines zusammengesetzten Prismas für die Volumenberechnung.

Das Video wiederholt die Oberfläche eines Zylinders und die Herleitung aus dem Netz.

Folgekurs

Als nächster Schritt bietet sich M9 M - Körper in Sachaufgaben modellieren an. Dort stehen reale Maße, Modellannahmen, Einheiten, Näherungen und die begründete Auswahl eines geometrischen Modells im Mittelpunkt.

Verknüpfte Lernbereiche

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