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M9 M - Quadratische Gleichungen mit einer Lösungsformel lösen

Einleitung

Mini-Beschreibung: Löse quadratische Gleichungen systematisch mit der im Unterricht eingeführten Lösungsformel und überprüfe Lösungen durch Einsetzen. Du arbeitest auf M-Niveau in Klasse 9 und verknüpfst Rechenweg, Graph und Begründung. Der Kurs unterstützt Dich bei der Vorbereitung auf den mittleren Abschluss.

Eine quadratische Gleichung kann in der Form $a x^{2} + b x + c = 0$ mit $a \neq 0$ geschrieben werden. In diesem aiMOOC verwendest Du die allgemeine Lösungsformel $x_{1, 2} = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$ .

Wichtig: Ein digitales Werkzeug, ein CAS oder eine KI kann Ergebnisse liefern. Du prüfst trotzdem Vorzeichen, Rechenweg und Probe. Eine KI-Ausgabe ersetzt keinen mathematischen Beweis. Verwende bei digitalen Aufgaben keine personenbezogenen Daten.

Lernziele

Quadratische Gleichungen in die Form $a x^{2} + b x + c = 0$ bringen.
Die Koeffizienten $a$ , $b$ und $c$ sicher ablesen und in die Lösungsformel einsetzen.
Aus dem Term $b^{2} - 4 a c$ erkennen, ob zwei, eine oder keine reelle Lösung zu erwarten ist.
Lösungen durch Einsetzen prüfen und mit dem Graphen einer Parabel vergleichen.
In einfachen Sachsituationen ein quadratisches Modell aufstellen, lösen und das Ergebnis im Kontext bewerten.

Vorwissen-Check

Prüfe zuerst, ob Du diese vier Grundlagen sicher kannst.

Prüfe	Kurzauftrag
Terme ordnen	Bringe $5 - 3 x + x^{2}$ in die Reihenfolge nach Potenzen.
Vorzeichen	Bestimme $(- 4)^{2}$ und $- 4^{2}$ .
Wurzeln	Berechne $\sqrt{49}$ .
Probe	Prüfe $x = 2$ in $x^{2} - 5 x + 6 = 0$ .

Lösungen zum Aufklappen: $x^{2} - 3 x + 5$ ; $(- 4)^{2} = 16$ und $- 4^{2} = - 16$ ; $\sqrt{49} = 7$ ; $2^{2} - 5 \cdot 2 + 6 = 0$ .

Die Lösungsformel systematisch anwenden

Die Schrittfolge

Merkschema: Normalform → Koeffizienten → Wurzelterm → Formel → Probe → Graph.

Schritt	Mathematik
1. Normalform	$a x^{2} + b x + c = 0$
2. Ablesen	$a, b, c$
3. Wurzelterm	$D = b^{2} - 4 a c$
4. Einsetzen	$x_{1, 2} = \frac{- b \pm \sqrt{D}}{2 a}$
5. Probe	Gefundene Werte in die Ausgangsgleichung einsetzen.
6. Kontrolle	Nullstellen am Parabelgraphen prüfen.

Diskriminantenidee in diesem Kurs:

$D > 0$ : zwei reelle Lösungen.
$D = 0$ : eine reelle Lösung.
$D < 0$ : keine reelle Lösung.

Interaktives Beispiel 1: zwei Lösungen

Löse: $2 x^{2} - 3 x - 2 = 0$

Schritt 1: Die Gleichung steht bereits in Normalform.

Schritt 2: $a = 2, b = - 3, c = - 2$

Schritt 3: $D = (- 3)^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 2) = 9 + 16 = 25$

Schritt 4: $x_{1, 2} = \frac{- (- 3) \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{3 \pm 5}{4}$

$x_{1} = 2$

$x_{2} = - \frac{1}{2}$

Hilfestufe 1: Achte besonders auf $b = - 3$ . Deshalb ist $- b = 3$ .

Hilfestufe 2: Berechne zuerst nur $D$ . Erst danach setzt Du in die ganze Formel ein.

Feedback: Wenn Deine Lösungen $2$ und $- \frac{1}{2}$ sind, ist der Rechenweg passend. Prüfe trotzdem durch Einsetzen.

Probe für $x = 2$ : $2 \cdot 2^{2} - 3 \cdot 2 - 2 = 8 - 6 - 2 = 0$

Probe für $x = - \frac{1}{2}$ : $2 \cdot {(- \frac{1}{2})}^{2} - 3 \cdot (- \frac{1}{2}) - 2 = \frac{1}{2} + \frac{3}{2} - 2 = 0$

Die beiden Lösungen entsprechen den Stellen, an denen eine passende Parabel die $x$ -Achse schneidet.

Graphische Kontrolle

Nutze die dynamische Darstellung und verändere die quadratische Funktion. Vergleiche berechnete Lösungen mit den Nullstellen des Graphen.

Denkfrage: Warum kann eine Parabel die $x$ -Achse zweimal, einmal oder gar nicht schneiden?

Interaktives Beispiel 2: genau eine Lösung

Löse: $x^{2} - 6 x + 9 = 0$

$a = 1, b = - 6, c = 9$

$D = (- 6)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 36 - 36 = 0$

$x = \frac{6}{2} = 3$

Probe: $3^{2} - 6 \cdot 3 + 9 = 9 - 18 + 9 = 0$

Graphische Bedeutung: Die Parabel berührt die $x$ -Achse genau einmal.

Interaktives Beispiel 3: keine reelle Lösung

Löse: $x^{2} + 2 x + 5 = 0$

$D = 2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 4 - 20 = - 16$

Da $D < 0$ gilt, gibt es keine reelle Lösung. Im reellen Koordinatensystem schneidet die zugehörige Parabel die $x$ -Achse nicht.

Animierter Rechenweg und Erklärvideo

Die Animation zeigt die Lösungsformel als bewegte mathematische Darstellung. Stoppe gedanklich nach jedem Schritt und benenne, welche Rechenoperation sichtbar ist.

Für eine zusätzliche Erklärung zur allgemeinen Lösungsformel:

Eine frei lizenzierte Videodatei auf Wikimedia Commons kann zusätzlich zum Wiederholen genutzt werden:

Datei:Lösungsformel für quadratische Gleichungen – die Mitternachtsformel - kolleg24 Mathematik.webm

Übungen mit Hilfestufen und Feedback

Übung A: direkt einsetzen

Löse: $x^{2} - 7 x + 12 = 0$

Hilfestufe 1: $a = 1, b = - 7, c = 12$ .

Hilfestufe 2: $D = 49 - 48 = 1$ .

Feedback: Die Lösungen sind $x_{1} = 4$ und $x_{2} = 3$ . Prüfe beide in der Ausgangsgleichung.

Übung B: erst umformen

Löse: $3 x^{2} + 6 = 9 x$

Hilfestufe 1: Bringe zuerst alle Terme auf eine Seite.

Hilfestufe 2: Nutze $3 x^{2} - 9 x + 6 = 0$ mit $a = 3, b = - 9, c = 6$ .

Feedback: Du solltest $x_{1} = 2$ und $x_{2} = 1$ erhalten.

Übung C: Bruch als Lösung

Löse: $4 x^{2} - 4 x - 3 = 0$

Hilfestufe 1: $D = (- 4)^{2} - 4 \cdot 4 \cdot (- 3)$ .

Hilfestufe 2: $D = 64$ und $\sqrt{D} = 8$ .

Feedback: Die Lösungen sind $x_{1} = \frac{3}{2}$ und $x_{2} = - \frac{1}{2}$ .

Übung D: Anzahl der Lösungen vorhersagen

Bestimme zunächst nur $D$ und entscheide über die Zahl der reellen Lösungen: $2 x^{2} + 4 x + 5 = 0$

Hilfestufe: $D = 4^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 5$ .

Feedback: $D = - 24$ . Deshalb gibt es keine reelle Lösung.

Typische Fehler

Fehler	Besser
Vorzeichen von $b$ verloren	Schreibe $a, b, c$ vor dem Einsetzen einzeln auf.
Nicht auf Null gebracht	Stelle zuerst $a x^{2} + b x + c = 0$ her.
Klammer beim Quadrieren vergessen	Nutze bei negativem $b$ immer $(b)^{2}$ .
Plusminus falsch behandelt	Rechne den Plus- und den Minusfall getrennt.
Keine Probe	Setze jede gefundene Lösung in die Ausgangsgleichung ein.

Fehlerdetektiv: Jemand rechnet bei $x^{2} - 4 x - 5 = 0$ mit $b = 4$ . Erkläre genau, warum dadurch ein falsches Ergebnis entsteht.

Selbstkontrolle

Löse ohne Hilfe:

$x^{2} + 5 x + 6 = 0$
$2 x^{2} - 8 x + 8 = 0$
$x^{2} + x + 4 = 0$

Kontrolle: 1. $x = - 2, - 3$ ; 2. $x = 2$ ; 3. keine reelle Lösung.

Transfer

Ein Rechteck ist $3 m$ länger als breit und hat den Flächeninhalt $40 m^{2}$ .

Setze für die Breite $x$ und für die Länge $x + 3$ .

$x (x + 3) = 40$

$x^{2} + 3 x - 40 = 0$

Löse die Gleichung mit der Lösungsformel. Entscheide anschließend, welche mathematische Lösung im Sachzusammenhang sinnvoll ist.

Feedback: Die mathematischen Lösungen sind $x = 5$ und $x = - 8$ . Eine negative Seitenlänge ist hier nicht sinnvoll. Das Rechteck ist $5 m$ breit und $8 m$ lang.

Kompetenzcheck

Markiere für Dich: sicher – teilweise sicher – noch unsicher.

Ich kann ...	Selbstcheck
eine quadratische Gleichung auf Null bringen.	sicher / teilweise / noch unsicher
$a, b, c$ korrekt ablesen.	sicher / teilweise / noch unsicher
die Lösungsformel fehlerfrei verwenden.	sicher / teilweise / noch unsicher
eine Lösung durch Einsetzen prüfen.	sicher / teilweise / noch unsicher
Rechenlösung und Parabelgraph verbinden.	sicher / teilweise / noch unsicher
eine Sachsituation mit einer quadratischen Gleichung modellieren.	sicher / teilweise / noch unsicher

Reflexion

Welcher Schritt der Lösungsformel ist für Dich am fehleranfälligsten?
Welche Kontrolle hilft Dir am meisten: Probe, Graph oder erneutes Rechnen?
Woran erkennst Du, ob ein digitales Ergebnis plausibel ist?
Wann würdest Du statt einer Lösungsformel ein anderes Verfahren bevorzugen?

Folgekurs

Als nächstes bietet sich M9 M - Quadratische Gleichungen und quadratische Funktionen verknüpfen an. Dort deutest Du Lösungen stärker als Nullstellen und Schnittpunkte von Graphen.

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Diesen aiMOOC als Battle spielen

Was muss vor dem Einsatz der Lösungsformel gelten? (Die Gleichung steht in der Form ax² plus bx plus c gleich null) (!Alle Koeffizienten sind positiv) (!Die Gleichung enthält keine Zahl) (!Der Graph ist bereits gezeichnet)

Welche Zahl ist bei 2x² minus 3x minus 2 gleich null der Koeffizient b? (minus 3) (!3) (!2) (!minus 2)

Was beschreibt D gleich b² minus 4ac in diesem Kurs? (Die Anzahl der reellen Lösungen lässt sich damit einschätzen) (!Die Steigung einer Geraden) (!Den Flächeninhalt einer Parabel) (!Die Länge der x Achse)

Was gilt bei D größer als null? (Es gibt zwei reelle Lösungen) (!Es gibt genau eine reelle Lösung) (!Es gibt keine reelle Lösung) (!Die Gleichung ist linear)

Was gilt bei D gleich null? (Es gibt genau eine reelle Lösung) (!Es gibt zwei verschiedene reelle Lösungen) (!Es gibt keine reelle Lösung) (!Der Koeffizient a ist null)

Was gilt bei D kleiner als null? (Es gibt keine reelle Lösung) (!Es gibt immer zwei ganze Lösungen) (!Es gibt genau die Lösung null) (!Die Gleichung ist nicht quadratisch)

Wie kontrollierst Du eine berechnete Lösung algebraisch? (Durch Einsetzen in die Ausgangsgleichung) (!Durch Abschreiben der Formel) (!Durch Weglassen der Wurzel) (!Durch Vertauschen von a und c)

Welche graphische Bedeutung haben Lösungen einer quadratischen Gleichung f von x gleich null? (Sie sind die Nullstellen des Parabelgraphen) (!Sie sind immer der Scheitelpunkt) (!Sie sind die y Achsenabschnitte) (!Sie sind die Steigungen)

Warum ist bei negativem b eine Klammer beim Quadrieren wichtig? (Damit das Vorzeichen korrekt berücksichtigt wird) (!Damit aus einer Parabel eine Gerade wird) (!Damit a automatisch eins wird) (!Damit die Probe entfällt)

Welche Aussage passt zu einer Sachsituation mit einer negativen berechneten Länge? (Die Lösung muss im Sachzusammenhang geprüft und eventuell verworfen werden) (!Negative Längen sind immer erlaubt) (!Die Gleichung darf nicht gelöst werden) (!Die positive Lösung muss ebenfalls verworfen werden)

Memory

Normalform	$a x^{2} + b x + c = 0$
Diskriminante	$b^{2} - 4 a c$
Probe	Lösung in die Ausgangsgleichung einsetzen
Nullstelle	Schnittpunkt mit der $x$ -Achse
Doppelzeichen	Plusfall und Minusfall getrennt rechnen
Koeffizienten	$a, b, c$ korrekt ablesen

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Thema
Normalform herstellen	Alle Terme auf eine Seite bringen
Koeffizienten ablesen	$a, b, c$ bestimmen
Diskriminante berechnen	$b^{2} - 4 a c$ auswerten
Lösungsformel anwenden	Plusfall und Minusfall berechnen
Probe durchführen	Gefundene Werte einsetzen

Kreuzworträtsel

Parabel	Wie heißt der Graph einer quadratischen Funktion?
Koeffizient	Wie heißt eine Zahl wie a b oder c in einer quadratischen Gleichung?
Nullstelle	Wie heißt eine Stelle an der der Funktionswert null ist?
Wurzel	Welche Rechenoperation steht in der Lösungsformel unter dem Wurzelzeichen?
Einsetzen	Wie heißt die zentrale Methode zum Prüfen einer gefundenen Lösung?
Normalform	Wie heißt die Form ax² plus bx plus c gleich null?

LearningApps

Lückentext

Offene Aufgaben

Leicht

Formelkarte: Gestalte eine kompakte Lernkarte mit Normalform, Lösungsformel und sechs Rechenschritten.
Fehleranalyse: Erfinde einen typischen Vorzeichenfehler beim Einsetzen von $b$ und verbessere ihn.
Graphische Kontrolle: Zeichne zu einer Gleichung mit zwei Lösungen eine passende Parabel und markiere die Nullstellen.
Erklärbild: Erstelle ein Bild, das die Fälle $D > 0$ , $D = 0$ und $D < 0$ zeigt.

Standard

Erklärvideo: Produziere ein kurzes Video zu einer selbst gewählten quadratischen Gleichung mit zwei Lösungen und vollständiger Probe.
Aufgabenwerkstatt: Entwickle drei Aufgaben mit zwei, einer und keiner reellen Lösung und liefere Musterlösungen.
Digitaler Vergleich: Löse eine Gleichung von Hand und mit einem digitalen Werkzeug. Vergleiche die Ergebnisse und dokumentiere mögliche Eingabefehler.
Modellierungsaufgabe: Formuliere eine Rechtecksaufgabe, die auf eine quadratische Gleichung führt, und deute nur sinnvolle Lösungen.

Schwer

Verfahrensvergleich: Löse dieselbe geeignete Gleichung mit Lösungsformel und durch Faktorisieren. Begründe, welches Verfahren Du hier zweckmäßiger findest.
Parameterexperiment: Verändere in $x^{2} + p x + q = 0$ einen Parameter systematisch und untersuche, wann sich die Zahl der reellen Lösungen ändert.
Graph und Term: Erzeuge in GeoGebra eine Parabel, lies die Nullstellen ab und konstruiere anschließend eine passende quadratische Gleichung.
KI-Prüfung: Lass Dir von einer KI einen Rechenweg zu einer quadratischen Gleichung erzeugen. Prüfe jeden Schritt selbst, markiere eventuelle Fehler und begründe die Korrektur. Verwende keine personenbezogenen Daten.

Lernkontrolle

Transferaufgabe Rechteck: Ein Rechteck hat einen vorgegebenen Flächeninhalt und eine Längendifferenz. Stelle die quadratische Gleichung auf, löse sie und begründe, welche Lösung geometrisch sinnvoll ist.
Darstellungswechsel: Zu einer Parabel sind zwei Nullstellen graphisch gegeben. Formuliere eine passende quadratische Gleichung und überprüfe durch Einsetzen.
Fehlerdiagnose Lösungsformel: Analysiere einen fehlerhaften Rechenweg mit einem negativen Koeffizienten $b$ . Benenne den ersten Fehler und korrigiere den gesamten Weg.
Werkzeugkritik: Ein Taschenrechner liefert Dezimalwerte für zwei Lösungen. Zeige durch Einsetzen, ob beide Werte die Gleichung hinreichend genau erfüllen, und erkläre Rundungsabweichungen.
Verfahrenswahl: Vergleiche für eine geeignete quadratische Gleichung Lösungsformel und Faktorisieren. Begründe anhand der konkreten Gleichung, welches Verfahren übersichtlicher ist.
Graphische Plausibilität: Berechne die Lösungen einer quadratischen Gleichung und skizziere danach eine Parabel, deren Nullstellen zu Deinem Ergebnis passen.

Lernnachweis

Für einen Lernnachweis solltest Du zeigen, dass Du:

eine quadratische Gleichung korrekt in die Form $a x^{2} + b x + c = 0$ bringst,
$a, b, c$ mit ihren Vorzeichen sicher identifizierst,
die Lösungsformel nachvollziehbar und vollständig anwendest,
die Zahl der reellen Lösungen über $b^{2} - 4 a c$ begründest,
jede Lösung durch Einsetzen überprüfst,
rechnerische Lösungen mit Nullstellen einer Parabel verknüpfst,
in einer Sachsituation ungeeignete Lösungen begründet verwirfst,
digitale Ergebnisse kritisch kontrollierst und Deinen eigenen Rechenweg erklären kannst.

OERs zum Thema

Medienhinweis: Die eingebundenen Dateien von Wikimedia Commons sind über ihre Dateibeschreibungsseiten mit Urheber- und Lizenzangaben dokumentiert. Externe Videos und interaktive Angebote dienen der fachlichen Veranschaulichung; prüfe Verfügbarkeit und schulische Datenschutzvorgaben vor dem Einsatz.

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