M9 E - Quadratische Gleichungen zu vorgegebenen Lösungen entwickeln

Einleitung

Du kennst zwei Lösungen oder Nullstellen und sollst daraus eine passende quadratische Gleichung oder Funktionsgleichung entwickeln. Der zentrale Zusammenhang lautet:

$x_1,x_2⟹(x-x_1)(x-x_2)=0$

Für quadratische Funktionen gilt allgemeiner:

$f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$ mit $a\ne 0$.

Die Nullstellen bestimmen also die beiden Linearfaktoren. Der Faktor $a$ verändert Öffnung und Streckung der Parabel, aber nicht ihre Nullstellen.

Lernziele

Nach diesem aiMOOC kannst Du

1. Nullstellen sicher in Linearfaktoren übersetzen.
2. aus $x_1$ und $x_2$ eine quadratische Gleichung entwickeln.
3. aus $x_1$ und $x_2$ eine ganze Schar quadratischer Funktionen angeben.
4. die Linearfaktorform in die Normalform umformen.
5. Sonderfälle wie eine doppelte Nullstelle formal begründen.
6. digitale Graphen als Kontrolle nutzen und rechnerisch überprüfen.
7. Zusammenhänge verallgemeinern und Aussagen beweisen oder durch Gegenbeispiele widerlegen.

Vorwissen-Check

Nullprodukt

Ein Produkt ist genau dann null, wenn mindestens ein Faktor null ist.

$u\cdot v=0⟺u=0\text{oder}v=0$

Beispiel:

$(x-3)(x+2)=0$

Daraus folgt:

$x-3=0$ oder $x+2=0$

also

$x=3$ oder $x=-2$.

Vorzeichen-Check

Achte besonders auf negative Nullstellen:

$x_1=-4$

führt zu

$x-x_1=x-(-4)=x+4$.

Merksatz: In der Klammer steht immer $x-x_i$. Das Vorzeichen der Nullstelle wird dadurch automatisch richtig verarbeitet.

Mini-Check

Ergänze.

Zur Nullstelle $x_1=5$ gehört der Faktor .

Zur Nullstelle $x_2=-3$ gehört der Faktor .

Ein Produkt wird null, wenn mindestens ein null ist.

Der Kernzusammenhang

Von zwei Nullstellen zur Gleichung

Sind die Lösungen

$x_1$ und $x_2$

vorgegeben, dann erhältst Du direkt:

$(x-x_1)(x-x_2)=0$.

Warum funktioniert das?

Setzt Du $x=x_1$, dann wird der erste Faktor null:

$(x_1-x_1)(x_1-x_2)=0$.

Setzt Du $x=x_2$, dann wird der zweite Faktor null:

$(x_2-x_1)(x_2-x_2)=0$.

Damit sind beide vorgegebenen Zahlen Lösungen.

Von zwei Nullstellen zur Funktion

Für eine quadratische Funktion mit genau diesen Nullstellen gilt:

$f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$, $a\ne 0$.

Alle Werte von $a\ne 0$ erzeugen Funktionen mit denselben Nullstellen.

$a>0$: Parabel nach oben geöffnet.

$a<0$: Parabel nach unten geöffnet.

Je größer $|a|$, desto schmaler erscheint die Parabel.

Beobachtungsauftrag: Die Animation zeigt den Einfluss des Parameters $a$. Übertrage die Beobachtung auf $f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$: Welche Eigenschaften bleiben bei verändertem $a$ gleich?

Dynamische Erkundung: Nullstellen verschieben

Verschiebe in der GeoGebra-Darstellung die Nullstellen auf der x-Achse. Beobachte gleichzeitig Linearfaktoren und Parabel.

Untersuche gezielt:

1. Was passiert mit $(x-x_1)$, wenn $x_1$ nach links verschoben wird?
2. Was passiert, wenn $x_1=x_2$ gilt?
3. Welche Eigenschaften ändern sich, wenn nur $a$ verändert wird?
4. Prüfe Deine Vermutung zuerst grafisch und danach algebraisch.

Visuelle Übersicht: Anzahl der Nullstellen

Für diesen Kurs ist besonders wichtig:

1. Zwei verschiedene reelle Nullstellen führen zu zwei verschiedenen Linearfaktoren.
2. Eine doppelte Nullstelle führt zu zwei gleichen Linearfaktoren.
3. Ohne reelle Nullstellen kann über den reellen Zahlen keine Darstellung $a(x-x_1)(x-x_2)$ mit reellen $x_1,x_2$ angegeben werden.

Interaktive Beispiele

Beispiel 1: Zwei ganze Nullstellen

Gegeben:

$x_1=-2,x_2=4$

Schritt 1: Linearfaktoren bilden

$x-x_1=x-(-2)=x+2$

$x-x_2=x-4$

Schritt 2: Gleichung aufstellen

$(x+2)(x-4)=0$

Schritt 3: Ausmultiplizieren

$(x+2)(x-4)=x^2-4x+2x-8$

$=x^2-2x-8$

Damit ist eine passende quadratische Gleichung:

$x^2-2x-8=0$.

Eine passende Funktionsgleichung ist:

$f(x)=(x+2)(x-4)$.

Eine ganze Funktionsschar ist:

$f_a(x)=a(x+2)(x-4),a\ne 0$.

Animierter Medienimpuls: Linearfaktorform

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Aktiver Sehauftrag: Stoppe das Video an einer faktorisierten Funktionsgleichung. Lies die Nullstellen ab, bevor im Video weitergerechnet wird. Begründe anschließend mit dem Nullprodukt.

Beispiel 2: Zwei positive Nullstellen

Gegeben:

$x_1=1,x_2=5$

Dann:

$f(x)=(x-1)(x-5)$

und

$f(x)=x^2-6x+5$.

Kontrolle:

$f(1)=0$

und

$f(5)=0$.

Beispiel 3: Doppelte Nullstelle

Gegeben:

$x_1=x_2=3$.

Dann:

$(x-3)(x-3)=0$

also

$(x-3{)}^2=0$.

Als Funktion:

$f(x)=a(x-3{)}^2,a\ne 0$.

Die Parabel berührt die x-Achse bei $x=3$.

Beispiel 4: Bruch als Nullstelle

Gegeben:

$x_1=\frac{1}{2},x_2=-3$.

Dann:

$f(x)=(x-\frac{1}{2})(x+3)$.

Ausmultipliziert:

$f(x)=x^2+\frac{5}{2}x-\frac{3}{2}$.

Eine gleichwertige Gleichung ohne Brüche erhältst Du durch Multiplikation mit $2$:

$2x^2+5x-3=0$.

Die Lösungsmenge bleibt gleich, weil mit einer von null verschiedenen Zahl multipliziert wurde.

Beispiel 5: Zusatzpunkt bestimmt a

Gesucht ist eine quadratische Funktion mit

$x_1=-3,x_2=5$

und dem Punkt

$P(0|-15)$.

Zuerst:

$f(x)=a(x+3)(x-5)$.

Punkt einsetzen:

$-15=a(0+3)(0-5)$

$-15=-15a$

$a=1$.

Damit:

$f(x)=(x+3)(x-5)$.

E-Niveau-Begründung: Zwei verschiedene Nullstellen bestimmen die Faktoren, aber noch nicht den Streckfaktor. Ein zusätzlicher Punkt, der keine Nullstelle ist, kann $a$ eindeutig festlegen.

Formal herleiten und verallgemeinern

Allgemeine Normalform aus den Nullstellen

Starte mit

$f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$.

Multipliziere aus:

$(x-x_1)(x-x_2)=x^2-(x_1+x_2)x+x_1{x}_2$.

Also:

$f(x)=a{x}^2-a(x_1+x_2)x+a{x}_1{x}_2$.

Vergleich mit

$f(x)=a{x}^2+bx+c$

liefert:

$b=-a(x_1+x_2)$

und

$c=a{x}_1{x}_2$.

Für $a=1$ folgt:

$x^2-(x_1+x_2)x+x_1{x}_2=0$.

Das ist der direkte Zusammenhang zu Vieta.

Beweisidee

Behauptung: Für $a\ne 0$ besitzt

$f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$

die Nullstellen $x_1$ und $x_2$.

Beweis:

$f(x)=0$

ist äquivalent zu

$a(x-x_1)(x-x_2)=0$.

Da $a\ne 0$, kann nur einer der beiden Linearfaktoren null werden:

$x-x_1=0$ oder $x-x_2=0$.

Somit:

$x=x_1$ oder $x=x_2$.

Damit ist die Behauptung gezeigt.

Gegenbeispiel prüfen

Aussage: „Wenn die Nullstellen $2$ und $5$ sind, lautet die Funktion immer $f(x)=(x-2)(x-5)$.“

Gegenbeispiel:

$g(x)=7(x-2)(x-5)$.

Auch $g$ hat die Nullstellen $2$ und $5$. Die Aussage ist also falsch.

Korrekt ist:

$f(x)=a(x-2)(x-5),a\ne 0$.

Übungen mit Hilfestufen und Feedback

Übung A

Entwickle eine quadratische Gleichung mit den Lösungen

$x_1=-1,x_2=6$.

Hilfestufe 1

Schreibe zuerst:

$(x-x_1)(x-x_2)=0$.

Hilfestufe 2

Einsetzen ergibt:

$(x+1)(x-6)=0$.

Lösung und Feedback

$(x+1)(x-6)=x^2-5x-6$

also

$x^2-5x-6=0$.

Kontrolle: Summe der Nullstellen $-1+6=5$; deshalb steht bei $x$ der Koeffizient $-5$. Produkt $-1\cdot 6=-6$; deshalb ist das konstante Glied $-6$.

Übung B

Entwickle eine Funktionsgleichung mit den Nullstellen

$x_1=4,x_2=4$.

Hilfestufe

Beide Faktoren sind gleich.

Lösung und Feedback

$f(x)=(x-4{)}^2$ ist eine Möglichkeit.

Allgemein:

$f(x)=a(x-4{)}^2,a\ne 0$.

Wenn Du nur $(x-4)$ notiert hast, fehlt ein Faktor: Die Funktion wäre dann linear statt quadratisch.

Übung C

Gegeben sind die Nullstellen

$x_1=-\frac{3}{2},x_2=2$.

Entwickle zuerst eine Linearfaktorform und dann eine Gleichung mit ganzzahligen Koeffizienten.

Hilfestufe 1

$x-(-\frac{3}{2})=x+\frac{3}{2}$.

Hilfestufe 2

$(x+\frac{3}{2})(x-2)=0$.

Lösung und Feedback

$(x+\frac{3}{2})(x-2)=x^2-\frac{1}{2}x-3$.

Mit $2$ multipliziert:

$2x^2-x-6=0$.

Beide Gleichungen haben dieselbe Lösungsmenge.

Übung D: Parameter bestimmen

Die Nullstellen sind $-2$ und $3$. Außerdem liegt $P(1|-8)$ auf dem Graphen. Bestimme die Funktion.

Hilfestufe 1

$f(x)=a(x+2)(x-3)$.

Hilfestufe 2

Setze $x=1$ und $f(1)=-8$.

Lösung und Feedback

$-8=a(3)(-2)=-6a$

also

$a=\frac{4}{3}$.

Damit:

$f(x)=\frac{4}{3}(x+2)(x-3)$.

Typische Fehler

Fehler 1: Vorzeichen vertauscht

Falsch bei $x_1=-2$:

$(x-2)$.

Richtig:

$x-(-2)=x+2$.

Fehler 2: Faktor a vergessen

Aus zwei Nullstellen folgt nicht nur eine einzige Funktion.

Richtig ist die Schar:

$f(x)=a(x-x_1)(x-x_2),a\ne 0$.

Fehler 3: a gleich null zulassen

Für $a=0$ entsteht

$f(x)=0$.

Das ist keine quadratische Funktion.

Fehler 4: Doppelte Nullstelle nur einmal notieren

Bei $x_1=x_2=r$ gilt:

$f(x)=a(x-r{)}^2$.

Der Faktor muss zweimal vorkommen.

Fehler 5: Nur dem Graphen vertrauen

Ein digital gezeichneter Graph kann durch Fensterwahl, Rundung oder Eingabefehler täuschen.

Prüfreihenfolge:

1. Nullstellen algebraisch einsetzen.
2. Linearfaktoren kontrollieren.
3. Erst danach den Graphen als zusätzliche Kontrolle nutzen.

Wichtig: KI-Ausgaben und digitale Werkzeuge können Rechenfehler enthalten. Sie ersetzen keinen mathematischen Beweis.

Selbstkontrolle

Drei schnelle Prüfungen

Für eine selbst entwickelte Gleichung prüfst Du:

1. Einsetzprobe: Ergibt das Einsetzen von $x_1$ und $x_2$ jeweils null?
2. Gradprobe: Ist nach dem Ausmultiplizieren der höchste Exponent wirklich $2$?
3. Koeffizientenprobe: Stimmt bei $a=1$ der Zusammenhang $b=-(x_1+x_2)$ und $c=x_1{x}_2$?

Medien-Check

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Auftrag: Vergleiche den dort gezeigten Weg von der Normalform zur faktorisierten Form mit dem umgekehrten Weg dieses Kurses. Formuliere anschließend in zwei Sätzen, warum beide Richtungen zusammengehören.

Transfer

Transfer 1: Nullstellen plus Punkt

Eine Parabel schneidet die x-Achse bei

$x=-4$ und $x=2$

und geht durch

$P(0|-16)$.

Ansatz:

$f(x)=a(x+4)(x-2)$.

Bestimme $a$ und anschließend die Normalform.

Kontrolle

$-16=a\cdot 4\cdot (-2)$

$-16=-8a$

$a=2$.

Also:

$f(x)=2(x+4)(x-2)=2x^2+4x-16$.

Transfer 2: Symmetrie aus Nullstellen

Für

$f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$

liegt die Symmetrieachse genau in der Mitte der Nullstellen:

$x_s=\frac{x_1+x_2}{2}$.

Begründe das geometrisch und überprüfe es an mindestens drei selbst gewählten Nullstellenpaaren.

Transfer 3: Modell entwickeln

Eine modellierte Flugbahn berührt den Boden bei $x=0$ und $x=8$. Zusätzlich liegt der Punkt $P(4|12)$ auf der Bahn.

Ansatz:

$f(x)=ax(x-8)$.

Bestimme $a$. Prüfe danach, ob der Scheitelpunkt zum Modell passt.

Modellkritik: Diskutiere, welche reale Situation durch eine Parabel nur näherungsweise beschrieben wird und welche Einflüsse im Modell fehlen.

Kompetenzcheck

Bewerte Dich nach jeder Aussage mit „sicher“, „teilweise“ oder „noch üben“.

Kompetenz	Dein Stand
Ich übersetze Nullstellen in Linearfaktoren.
Ich beachte negative Nullstellen sicher.
Ich nutze $f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$.
Ich bestimme $a$ aus einem Zusatzpunkt.
Ich forme in die Normalform um.
Ich begründe die Konstruktion mit dem Nullprodukt.
Ich prüfe digitale Ergebnisse algebraisch.

Reflexion

Beantworte schriftlich:

1. Warum ist die Linearfaktorform besonders geeignet, wenn Nullstellen vorgegeben sind?
2. Welche Information über die Parabel fehlt, wenn nur $x_1$ und $x_2$ bekannt sind?
3. Was ändert sich und was bleibt gleich, wenn $a$ verändert wird?
4. Welche Kontrolle ist zuverlässiger: nur ein Graph oder eine Einsetzprobe mit Begründung?
5. Welche Aussage in diesem Kurs könntest Du selbst beweisen?

Folgekurs

Als nächster Schritt bietet sich an:

1. Quadratische Gleichungen lösen: von einer gegebenen Gleichung zu ihren Lösungen.
2. Satz von Vieta: Summe und Produkt der Nullstellen systematisch nutzen.
3. Diskriminante: Anzahl reeller Lösungen untersuchen.
4. Quadratische Funktionen: zwischen Normalform, Scheitelpunktform und Linearfaktorform wechseln.
5. Modellieren mit quadratischen Funktionen: Bedingungen aus Sachkontexten in Funktionsgleichungen übersetzen.

Der Übergang zu Klasse 10 besteht vor allem darin, Lösungsverfahren, Begründungen und Modellierungen flexibler miteinander zu verbinden.

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Welche Gleichung hat die Lösungen 2 und 5? (x minus 2 mal x minus 5 gleich 0) (!x plus 2 mal x plus 5 gleich 0) (!x minus 2 mal x plus 5 gleich 0) (!x plus 2 mal x minus 5 gleich 0)

Welcher Faktor gehört zur Nullstelle minus 3? (x plus 3) (!x minus 3) (!x plus 1) (!x minus 1)

Welche allgemeine Form beschreibt alle quadratischen Funktionen mit den Nullstellen x1 und x2? (a mal x minus x1 mal x minus x2 mit a ungleich 0) (!a mal x plus x1 mal x plus x2 mit a gleich 0) (!x1 mal x minus a mal x2 minus a) (!a mal x minus x1 plus x2)

Was gilt bei einer doppelten Nullstelle r? (a mal das Quadrat von x minus r mit a ungleich 0) (!a mal x minus r mit a ungleich 0) (!a mal x plus r mit a gleich 0) (!nur x minus r)

Welche Normalform entsteht aus den Nullstellen minus 2 und 4 bei a gleich 1? (x Quadrat minus 2x minus 8) (!x Quadrat plus 2x minus 8) (!x Quadrat minus 6x plus 8) (!x Quadrat plus 6x plus 8)

Welche Größe verändert die Nullstellen nicht, solange sie von null verschieden ist? (der Streckfaktor a) (!der erste Linearfaktor) (!der zweite Linearfaktor) (!eine Nullstelle)

Was ist bei a gleich 1 das konstante Glied der Normalform? (das Produkt der Nullstellen) (!die Summe der Nullstellen) (!die Differenz der Nullstellen) (!der Mittelwert der Nullstellen)

Was ist bei a gleich 1 der Koeffizient vor x? (das Negative der Summe der Nullstellen) (!die Summe der Nullstellen) (!das Produkt der Nullstellen) (!das Quadrat der Summe)

Warum ist a gleich 0 ausgeschlossen? (die Funktion wäre dann nicht quadratisch) (!die Nullstellen wären automatisch 1 und 2) (!die Parabel wäre nur verschoben) (!die Gleichung hätte genau eine Lösung)

Welche Kontrolle ist mathematisch besonders zuverlässig? (beide vorgegebenen Nullstellen einsetzen und den Funktionswert null prüfen) (!nur die Farbe des Graphen betrachten) (!nur das Ergebnis einer KI übernehmen) (!nur die Fenstergröße des Graphen verändern)

Memory

Nullstelle	Funktionswert null
Linearfaktor	Ausdruck x minus Nullstelle
Nullprodukt	Mindestens ein Faktor ist null
Doppelnullstelle	Zwei gleiche Faktoren
Streckfaktor	Parameter a
Normalform	ax² plus bx plus c

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Thema
x+4	Nullstelle minus vier
x-3	Nullstelle drei
a ungleich null	quadratische Funktionsschar
zwei gleiche Faktoren	doppelte Nullstelle
Einsetzprobe	algebraische Kontrolle

...

Kreuzworträtsel

Nullprodukt	Welche Regel erklärt, warum ein Produkt genau dann null ist, wenn mindestens ein Faktor null ist?
Parabel	Wie heißt der typische Graph einer quadratischen Funktion?
Linearfaktor	Wie heißt ein Faktor der Form x minus Nullstelle?
Nullstelle	Wie heißt ein x-Wert mit Funktionswert null?
Normalform	Wie heißt die Darstellung ax² plus bx plus c?
Koeffizient	Wie heißt eine Zahl, die eine Variable in einem Term multipliziert?

Lückentext

Syntaxfehler

Vervollständige den Text.

Offene Aufgaben

Leicht

1. Nullstellenkarte: Erstelle sechs Karten mit je zwei vorgegebenen Nullstellen und der passenden Linearfaktorform auf der Rückseite.
2. Vorzeichen erklären: Gestalte ein Mini-Erklärbild zur Frage, warum aus $x_1=-4$ der Faktor $x+4$ wird.
3. Graphen prüfen: Zeichne drei Funktionen mit denselben Nullstellen, aber verschiedenen Werten von $a$, und beschreibe Gemeinsamkeiten und Unterschiede.
4. Fehlerdetektiv: Erfinde zwei typische falsche Lösungen und korrigiere sie mit Begründung.

Standard

1. Funktionsfamilie: Wähle zwei Nullstellen und untersuche mindestens fünf Funktionen $f_a(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$.
2. Darstellungswechsel: Entwickle vier Beispiele von der Linearfaktorform zur Normalform und kontrolliere sie durch Einsetzen.
3. GeoGebra-Untersuchung: Verändere in einer dynamischen Darstellung $x_1$, $x_2$ und $a$. Dokumentiere drei Vermutungen und überprüfe sie algebraisch.
4. Lernvideo: Produziere ein kurzes Erklärvideo ohne personenbezogene Daten, in dem Du aus zwei Nullstellen eine quadratische Gleichung entwickelst.

Schwer

1. Beweis Nullstellenform: Beweise allgemein, dass $a(x-x_1)(x-x_2)$ für $a\ne 0$ genau die vorgegebenen Nullstellen besitzt.
2. Gegenbeispiel: Widerlege die Aussage „Zwei Nullstellen bestimmen genau eine quadratische Funktion“ und formuliere anschließend eine korrekte Aussage.
3. Parameterproblem: Erfinde eine Aufgabe mit zwei Nullstellen und einem zusätzlichen Punkt, durch die eine quadratische Funktion eindeutig bestimmt wird. Löse und kontrolliere sie.
4. Komplexes Modell: Entwickle ein realistisches Modell mit zwei bekannten Nullstellen und mindestens einer Zusatzbedingung. Begründe die Modellwahl, bestimme die Funktion und diskutiere Grenzen des Modells.

Lernkontrolle

1. Zusammenhang erklären: Erkläre, warum aus den Nullstellen $x_1$ und $x_2$ die Faktoren $x-x_1$ und $x-x_2$ entstehen. Verwende den Satz vom Nullprodukt.
2. Verallgemeinern: Leite aus $f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$ die Beziehungen für die Koeffizienten $b$ und $c$ der Normalform her.
3. Gegenbeispiel prüfen: Entscheide mit Begründung, ob zwei Nullstellen eine quadratische Funktion eindeutig festlegen. Formuliere bei Bedarf ein Gegenbeispiel.
4. Modell übertragen: Eine Parabel hat zwei vorgegebene Nullstellen und geht durch einen weiteren Punkt. Entwickle ein allgemeines Verfahren, mit dem Du die Funktionsgleichung bestimmst.
5. Digitale Validierung: Vergleiche eine algebraisch entwickelte Funktion mit einem digitalen Graphen. Beschreibe mindestens zwei mögliche digitale Fehlerquellen und erkläre, wie Du sie erkennst.
6. Doppelnullstelle begründen: Zeige algebraisch und grafisch, warum $a(x-r{)}^2$ bei $x=r$ eine doppelte Nullstelle besitzt.

Lernnachweis

Für einen Lernnachweis solltest Du zeigen können, dass Du

1. aus vorgegebenen Lösungen selbstständig eine quadratische Gleichung entwickelst.
2. aus vorgegebenen Nullstellen eine Funktionsgleichung in Linearfaktorform angibst.
3. den Parameter $a$ korrekt deutest und bei Zusatzbedingungen bestimmst.
4. sicher zwischen Linearfaktorform und Normalform wechselst.
5. doppelte Nullstellen erkennst und begründest.
6. Deine Rechenwege mit Einsetzprobe, Nullprodukt und Koeffizientenvergleich überprüfst.
7. Verallgemeinerungen mathematisch begründest.
8. digitale Ergebnisse kritisch prüfst und nicht als Beweis missverstehst.

OERs zum Thema

Zusätzlich hilfreich:

1. Quadratische Funktion
2. Nullstelle
3. Satz vom Nullprodukt
4. Satz von Vieta

Verknüpfte Lernbereiche

Quadratische Gleichungen Quadratische Funktion Nullstelle Linearfaktor Normalform Satz vom Nullprodukt Satz von Vieta Parabel Modellieren