Die Druckversion wird nicht mehr unterstützt und kann Darstellungsfehler aufweisen. Bitte aktualisiere deine Browser-Lesezeichen und verwende stattdessen die Standard-Druckfunktion des Browsers.

M9 E - Quadratische Funktionen in Anwendungen modellieren

Einleitung

Mini-Beschreibung: Nutze quadratische Funktionen zur Modellierung vereinfachter Situationen aus Architektur, Sport und Technik. Bestimme geeignete größte beziehungsweise kleinste Werte, arbeite mit Parabelgraphen und Messdaten und prüfe kritisch, wo das Modell die Wirklichkeit nicht mehr ausreichend beschreibt.

Niveau: Mathematik Klasse 9, Baden-Württemberg, ausschließlich E-Niveau.

Eine quadratische Funktion kann in Anwendungen zum Beispiel so aussehen:

$f (x) = a x^{2} + b x + c mit a \neq 0$

oder in Scheitelpunktform:

$f (x) = a (x - p)^{2} + q$

Der Scheitelpunkt ist dann

$S (p ∣ q)$

und liefert bei $a < 0$ einen größten, bei $a > 0$ einen kleinsten Funktionswert.

Lernziele

Nach diesem aiMOOC kannst Du:

quadratische Funktionen aus Daten, Punkten und Sachinformationen bestimmen.
zwischen Normalform und Scheitelpunktform wechseln und den Scheitel formal begründen.
größte und kleinste Werte im Sachzusammenhang bestimmen und mit Einheit deuten.
Messdaten mit einer Parabel modellieren und Abweichungen kritisch beurteilen.
digitale Werkzeuge zur Kontrolle und Variation von Parametern einsetzen.
Modellgrenzen, ungeeignete Definitionsbereiche und mögliche Gegenbeispiele erkennen.
Ergebnisse auf E-Niveau nachvollziehbar herleiten, verallgemeinern und begründen.

Vorwissen-Check

Rechne zunächst ohne digitales Werkzeug.

Kurzcheck	Deine Aufgabe
Scheitel	Lies aus $f (x) = - 2 (x - 3)^{2} + 5$ den Scheitel ab.
Öffnung	Entscheide für $g (x) = 0,4 x^{2} - 2$ , ob ein Minimum oder Maximum vorliegt.
Punktprobe	Prüfe, ob $P (2 ∣ 7)$ auf $h (x) = 2 x^{2} - 1$ liegt.
Nullstelle	Löse $x^{2} - 9 = 0$ .
Einheit	Erkläre bei einer Höhenfunktion, was $f (4) = 6,2$ bedeuten kann.

Lösung anzeigen

Scheitel: $S (3 ∣ 5)$
$a = 0,4 > 0$ : Minimum.
$h (2) = 2 \cdot 2^{2} - 1 = 7$ : Der Punkt liegt auf dem Graphen.
$x = - 3$ oder $x = 3$ .
Beispiel: Bei einer horizontalen Entfernung von 4 m beträgt die modellierte Höhe 6,2 m.

Modellieren mit einer Parabel

Ein tragfähiges Modell entsteht nicht nur durch Rechnen. Du musst Situation, Mathematik und Rückübersetzung verbinden.

Schritt	Mathematische Handlung
1	Größen, Einheiten und sinnvollen Bereich festlegen.
2	Punkte oder Messdaten in ein Koordinatensystem übertragen.
3	Quadratischen Ansatz wählen: $f (x) = a x^{2} + b x + c$ oder $f (x) = a (x - p)^{2} + q$ .
4	Parameter aus Bedingungen bestimmen.
5	Scheitel, Nullstellen oder weitere Werte berechnen.
6	Ergebnis im Kontext deuten und Modellgrenzen prüfen.

Scheitelpunkt formal herleiten

Aus der Normalform

$f (x) = a x^{2} + b x + c$

mit $a \neq 0$ folgt durch quadratische Ergänzung:

$f (x) = a (x^{2} + \frac{b}{a} x) + c$

$f (x) = a {(x + \frac{b}{2 a})}^{2} + c - \frac{b^{2}}{4 a}$

Damit ist

$x_{S} = - \frac{b}{2 a}$

und

$y_{S} = c - \frac{b^{2}}{4 a}$

also

$S (- \frac{b}{2 a} ∣ c - \frac{b^{2}}{4 a})$ .

Begründung des Extremums: Für jedes reelle $x$ gilt

${(x + \frac{b}{2 a})}^{2} \geq 0$ .

Daraus folgt formal:

Bei $a > 0$ ist der Scheitel ein Minimum.
Bei $a < 0$ ist der Scheitel ein Maximum.

Vom Scheitel und einem Punkt zur Funktion

Gegeben seien

$S (p ∣ q)$

und ein weiterer Punkt

$P (x_{P} ∣ y_{P})$

mit $x_{P} \neq p$ .

Ansatz:

$f (x) = a (x - p)^{2} + q$

Punkt einsetzen:

$y_{P} = a (x_{P} - p)^{2} + q$

Nach $a$ auflösen:

$a = \frac{y_{P} - q}{(x_{P} - p)^{2}}$

Diese Formel lässt sich für jede passende Situation mit bekanntem Scheitel und einem weiteren Punkt verwenden.

Digitales Parabellabor

Dynamische Geometrie und Parameter-Schieberegler:

Gib dort ein:

$f (x) = a (x - p)^{2} + q$

Erzeuge Schieberegler für $a$ , $p$ und $q$ .

Beobachte:

$a$ steuert Öffnungsrichtung und Breite.
$p$ verschiebt den Scheitel horizontal.
$q$ verschiebt den Scheitel vertikal.
Der Scheitel bleibt bei $S (p ∣ q)$ .

Digitale Zahlengerade: Verändere $a$ schrittweise von negativen zu positiven Werten. Formuliere, was beim Übergang über $a = 0$ geschieht. Beachte: Bei $a = 0$ ist die Funktion nicht mehr quadratisch.

Digitale Kontrolle: Ein Graph ist nur eine Darstellung. Prüfe wichtige Ergebnisse zusätzlich durch Einsetzen oder algebraische Herleitung.

Anwendung 1: Architektur

Ein vereinfachter Brückenbogen wird als Parabel modelliert. Der Bogen ist 12 m breit und in der Mitte 4,5 m hoch.

Wir wählen den Scheitel im Ursprung der Symmetrie:

$S (0 ∣ 4,5)$

Die Endpunkte liegen bei

$A (- 6 ∣ 0)$

und

$B (6 ∣ 0)$ .

Ansatz:

$f (x) = a x^{2} + 4,5$

Mit $B (6 ∣ 0)$ :

$0 = 36 a + 4,5$

$a = - 0,125$

Damit:

$f (x) = - 0,125 x^{2} + 4,5$

für den sinnvollen Modellbereich

$- 6 \leq x \leq 6$ .

Größter Wert:

$f (0) = 4,5$

Der modellierte Bogen erreicht maximal 4,5 m Höhe.

Kontrollwert bei 2 m Abstand von der Mitte:

$f (2) = - 0,125 \cdot 4 + 4,5 = 4$

Modellgrenze: Ein realer Bogen besitzt Materialstärke, konstruktive Bauteile und Messfehler. Nicht jeder bogenförmige Bau ist exakt eine Parabel.

Interaktives Beispiel Architektur

Ändere im digitalen Parabellabor die Spannweite von 12 m auf 16 m, behalte aber die maximale Höhe 4,5 m.

Neue Randpunkte:

$A (- 8 ∣ 0)$ , $B (8 ∣ 0)$

Bestimme $a$ selbst und vergleiche die Form mit dem ursprünglichen Modell.

Hilfestufe 1 Nutze $0 = a \cdot 8^{2} + 4,5$ .

Hilfestufe 2 $a = - \frac{4,5}{64}$

Feedback $a = - 0,0703125$ . Der Betrag von $a$ ist kleiner. Die Parabel ist bei gleicher Höhe breiter.

Anwendung 2: Sport

Ein Ballflug wird vereinfacht durch

$h (x) = - 0,05 (x - 10)^{2} + 7$

modelliert. Dabei ist $x$ die horizontale Entfernung in Metern und $h (x)$ die Höhe in Metern.

Maximale Höhe:

$S (10 ∣ 7)$

Also erreicht das Modell nach 10 m horizontaler Entfernung die maximale Höhe 7 m.

Abwurfhöhe:

$h (0) = - 0,05 \cdot 100 + 7 = 2$

Aufprall auf dem Boden:

$0 = - 0,05 (x - 10)^{2} + 7$

$(x - 10)^{2} = 140$

$x = 10 \pm \sqrt{140}$

$x \approx - 1,83$ oder $x \approx 21,83$

Für die reale Bewegung nach dem Abwurf ist nur

$x \approx 21,83$

sinnvoll.

Modellgrenze: Luftwiderstand, Drall, Wind und eine dreidimensionale Flugbahn werden hier nicht berücksichtigt.

Prüfe das Sportmodell

Berechne $h (5)$ und $h (15)$ .

Hilfestufe 1 Beide Stellen haben den gleichen Abstand 5 vom Scheitelwert $x = 10$ .

Hilfestufe 2 Nutze die Symmetrie einer Parabel.

Feedback $h (5) = h (15) = 5,75$ . Das bestätigt die Achsensymmetrie zur Geraden $x = 10$ .

Anwendung 3: Technik und Messdaten

Ein technischer Reflektor wird im Querschnitt vermessen. Der tiefste Punkt soll bei $x = 0$ liegen.

$x$ in cm	Messhöhe in cm
$- 4$	$1,62$
$- 2$	$0,39$
$0$	$0,03$
$2$	$0,42$
$4$	$1,58$

Ein einfaches Modell lautet:

$f (x) = 0,1 x^{2}$

Vergleich:

$x$	Modell $f (x)$	Messung
$- 4$	$1,6$	$1,62$
$- 2$	$0,4$	$0,39$
$0$	$0$	$0,03$
$2$	$0,4$	$0,42$
$4$	$1,6$	$1,58$

Die Abweichungen sind klein, aber nicht null.

Beispiel bei $x = 4$ :

$1,62 - 1,60 = 0,02$

Wichtige E-Niveau-Frage: Ist die Parabel ein mathematisch exaktes Objekt oder ein brauchbares Näherungsmodell? Begründe mit den Messabweichungen.

Modell aus drei Punkten bestimmen

Für drei Punkte mit verschiedenen $x$ -Werten kannst Du den Ansatz

$f (x) = a x^{2} + b x + c$

verwenden.

Beispiel:

$P_{1} (- 2 ∣ 1)$

$P_{2} (0 ∣ - 1)$

$P_{3} (2 ∣ 5)$

Einsetzen liefert:

$4 a - 2 b + c = 1$

$c = - 1$

$4 a + 2 b + c = 5$

Damit:

$4 a - 2 b = 2$

$4 a + 2 b = 6$

Addieren:

$8 a = 8$

$a = 1$

Dann:

$b = 1$

und somit

$f (x) = x^{2} + x - 1$ .

Kontrolle: Setze alle drei Punkte wieder ein.

Visueller Rechenweg

Phase	Darstellung
Situation	Reale Größen und Einheiten festlegen.
Daten	Punkte $(x ∣ y)$ eintragen.
Ansatz	$f (x) = a (x - p)^{2} + q$ oder $f (x) = a x^{2} + b x + c$ .
Parameter	Bedingungen einsetzen und Gleichungen lösen.
Extremum	Scheitel bestimmen.
Deutung	Ergebnis mit Einheit und gültigem Bereich angeben.
Kritik	Messfehler, Randbedingungen und ungeeignete Extrapolation prüfen.

Datei:Quadratische Funktionen und Normalparabel - kolleg24 Mathematik.webm

Erklärvideos

Funktionsgleichung aus einem Parabelgraphen bestimmen:

Normalform in Scheitelpunktform umformen:

Übungen mit Hilfestufen und Feedback

Übung 1: Torbogen

Ein symmetrischer Torbogen ist 8 m breit und 5 m hoch. Der Scheitel liegt bei $S (0 ∣ 5)$ . Die Endpunkte liegen bei $x = - 4$ und $x = 4$ auf Bodenhöhe.

Bestimme eine passende quadratische Funktion.

Hilfestufe 1 Setze $f (x) = a x^{2} + 5$ an.

Hilfestufe 2 Nutze $0 = 16 a + 5$ .

Feedback $a = - \frac{5}{16}$ , also $f (x) = - \frac{5}{16} x^{2} + 5$ .

Übung 2: Sprungkurve

Die Höhe eines vereinfachten Sprungs sei

$h (x) = - 0,2 (x - 3)^{2} + 2,8$ .

Bestimme maximale Höhe und Scheitelstelle. Berechne außerdem $h (0)$ .

Hilfestufe 1 Lies den Scheitel direkt aus der Scheitelpunktform.

Hilfestufe 2 Für die Abwurfhöhe setze $x = 0$ ein.

Feedback Maximum: 2,8 m bei $x = 3$ . Außerdem ist $h (0) = 1$ .

Übung 3: Messdaten kritisch beurteilen

Ein digitales Werkzeug liefert für Messdaten die Modellfunktion

$m (x) = 0,08 x^{2} - 0,04 x + 0,02$ .

Es behauptet: „Der Tiefpunkt liegt genau im Ursprung.“

Prüfe diese Aussage formal.

Hilfestufe 1 Nutze $x_{S} = - \frac{b}{2 a}$ .

Hilfestufe 2 Hier gilt $a = 0,08$ und $b = - 0,04$ .

Feedback $x_{S} = \frac{0,04}{0,16} = 0,25$ . Die Aussage des digitalen Werkzeugs ist falsch. Ein Graphbild allein ersetzt die Rechnung nicht.

Typische Fehler

Fehler	Korrektur
Scheitelpunktform falsch gelesen	Bei $a (x - p)^{2} + q$ ist der Scheitel $S (p ∣ q)$ .
Einheit vergessen	Ein Maximum von 7 bedeutet im Kontext zum Beispiel 7 m, nicht nur „7“.
Beide Nullstellen ungeprüft übernommen	Nur Werte im realen Modellbereich verwenden.
Parabel mit Wirklichkeit verwechselt	Ein Modell ist eine Vereinfachung.
Regression ungeprüft akzeptiert	Messdaten, Restabweichungen und Plausibilität kontrollieren.
KI-Ausgabe als Beweis verwendet	Jede Behauptung algebraisch oder durch ein gültiges Gegenbeispiel prüfen.

Selbstkontrolle

Entscheide jeweils richtig oder falsch und begründe.

Bei $a < 0$ besitzt die Parabel einen größten Funktionswert.
Aus $f (x) = 2 (x + 3)^{2} - 4$ folgt $S (- 3 ∣ - 4)$ .
Jede reale Flugbahn eines Balls ist exakt eine Parabel.
Eine negative Lösung einer Gleichung kann in einer Sachaufgabe trotzdem mathematisch korrekt, aber sachlich unbrauchbar sein.
Ein digitales Regressionsmodell muss immer exakt durch alle Messpunkte laufen.

Lösung

richtig
richtig
falsch
richtig
falsch

Transfer

Modellvergleich:

Zwei Modelle beschreiben denselben Bogen:

$f (x) = - 0,12 x^{2} + 4,5$

$g (x) = - 0,125 x^{2} + 4,5$

Vergleiche beide Modelle für $x = 4$ und entscheide, ob die Differenz für eine grobe Skizze oder für eine technische Fertigung relevant sein könnte.

Gegenbeispiel:

Die Behauptung lautet: „Wenn zwei Parabeln denselben Scheitel haben, sind sie identisch.“

Widerlege die Behauptung durch zwei konkrete Funktionen.

Mögliches Gegenbeispiel:

$f (x) = x^{2}$

$g (x) = 2 x^{2}$

Beide besitzen $S (0 ∣ 0)$ , sind aber nicht identisch.

Kompetenzcheck

Kompetenz	Prüffrage
Modellieren	Kann ich aus einer Situation geeignete Variablen, Einheiten und einen Definitionsbereich festlegen?
Darstellen	Kann ich zwischen Term, Graph, Tabelle und Sachbeschreibung wechseln?
Rechnen	Kann ich Parameter und Scheitel formal bestimmen?
Begründen	Kann ich erklären, warum ein Extremwert wirklich maximal oder minimal ist?
Prüfen	Kann ich Messdaten und digitale Ergebnisse auf Plausibilität kontrollieren?
Verallgemeinern	Kann ich aus einem Beispiel eine allgemeine Formel oder Strategie ableiten?

Reflexion

Beantworte kurz:

Welche Information ist in einer Anwendung oft wichtiger: Nullstelle, Scheitel oder ein einzelner Funktionswert? Begründe situationsbezogen.
Wann ist eine quadratische Funktion ein gutes Modell?
Woran erkennst Du, dass eine Extrapolation außerhalb des Messbereichs problematisch wird?
Welche Rechnung würdest Du immer selbst kontrollieren, auch wenn GeoGebra, Tabellenkalkulation oder KI bereits ein Ergebnis anzeigen?

Datenschutz: Nutze bei digitalen Aufgaben nur sachliche Messdaten. Lade keine personenbezogenen Daten hoch.

KI-Regel: KI kann Rechenwege vorschlagen. Sie ersetzt keinen mathematischen Beweis. Prüfe Formeln, Einheiten, Definitionsbereich und Schlussfolgerungen selbst.

Folgekurs

Als Übergang zu Klasse 10 eignen sich:

Quadratische Gleichungen mit verschiedenen Lösungsverfahren.
Lineare und quadratische Gleichungssysteme.
Regression und systematischer Modellvergleich.
Funktionen mit anspruchsvolleren Parameteruntersuchungen.
Modellieren mit mehreren Bedingungen und begründeter Auswahl zwischen unterschiedlichen Funktionstypen.

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Diesen aiMOOC als Battle spielen

Welche Aussage gilt für die Scheitelpunktform $f (x) = a (x - p)^{2} + q$ ? (Der Scheitel ist S p q) (!Der Scheitel ist S a q) (!Der Scheitel ist S q p) (!Der Scheitel liegt immer im Ursprung)

Wann besitzt eine quadratische Funktion ein Maximum? (Wenn a kleiner als null ist) (!Wenn a größer als null ist) (!Wenn b gleich null ist) (!Wenn c größer als null ist)

Was muss bei einer Sachaufgabe zusätzlich zu einer mathematischen Nullstelle geprüft werden? (Ob sie im sinnvollen Modellbereich liegt) (!Ob sie immer positiv ist) (!Ob der Scheitel im Ursprung liegt) (!Ob der Term keine Klammer enthält)

Welche Form ist besonders günstig, wenn der Scheitel direkt bekannt ist? (Scheitelpunktform) (!Lineare Form) (!Produktform einer linearen Funktion) (!Konstante Form)

Was bedeutet ein kleiner Messfehler bei einem Parabelmodell? (Das Modell kann eine brauchbare Näherung sein) (!Das Modell ist automatisch exakt) (!Die Messung muss falsch sein) (!Quadratische Funktionen sind ungeeignet)

Welche Größe beschreibt bei einem Ballflugmodell häufig den größten Höhenwert? (Der y Wert des Scheitels) (!Der x Achsenabschnitt) (!Der Faktor b allein) (!Die linke Nullstelle immer)

Wie bestimmt man aus Normalform die x Koordinate des Scheitels? (Minus b geteilt durch zwei a) (!b geteilt durch a) (!c geteilt durch zwei) (!a plus b)

Was ist bei digitaler Regression besonders wichtig? (Ergebnis und Modellannahmen kritisch prüfen) (!Jede Ausgabe ungeprüft übernehmen) (!Nur die Farbe des Graphen betrachten) (!Den Definitionsbereich ignorieren)

Warum kann eine mathematisch korrekte Lösung sachlich ungeeignet sein? (Sie kann außerhalb des realen Bereichs liegen) (!Sie enthält immer eine Dezimalzahl) (!Sie stammt aus einer Gleichung) (!Sie ist kleiner als der Scheitel)

Welche Aussage ist ein gültiges Gegenbeispiel zur Behauptung gleicher Scheitel bedeutet gleiche Parabel? (x Quadrat und zwei x Quadrat) (!x Quadrat und x Quadrat) (!Eine Gerade und eine Parabel) (!Zwei identische Funktionsterme)

Memory

Scheitelpunktform	Extremwert direkt erkennbar
Normalform	Term mit ax² plus bx plus c
Scheitel	Maximum oder Minimum
Messdaten	Grundlage für Modellprüfung
Definitionsbereich	Sachlich sinnvolle x Werte
Regression	Näherungsmodell aus Daten

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Thema
Situation analysieren	Größen und Einheiten festlegen
Daten darstellen	Punkte im Koordinatensystem prüfen
Funktion ansetzen	Quadratische Form wählen
Parameter bestimmen	Bedingungen einsetzen
Extremwert deuten	Ergebnis im Kontext formulieren
Modell prüfen	Grenzen und Abweichungen bewerten

Kreuzworträtsel

Parabel	Wie heißt der Graph einer quadratischen Funktion?
Scheitel	Wie heißt der höchste oder tiefste Punkt einer Parabel?
Maximum	Wie heißt ein größter Funktionswert?
Minimum	Wie heißt ein kleinster Funktionswert?
Regression	Wie heißt die Anpassung eines Modells an Messdaten?
Symmetrie	Welche Eigenschaft besitzt eine Parabel bezüglich ihrer Achse?

LearningApps

Lückentext

Offene Aufgaben

Leicht

Parabel-Fotografie: Fotografiere oder skizziere eine bogenförmige Struktur und markiere mögliche Messpunkte. Verwende keine personenbezogenen Daten.
Scheitelpunkt: Erfinde eine Scheitelpunktform mit einem Maximum und zeichne den Graphen digital.
Sportmodell: Formuliere zu $h (x) = - 0,1 (x - 5)^{2} + 4$ eine passende kurze Sachsituation.
Modellgrenze: Nenne drei Gründe, warum eine reale Flugbahn vom idealen Parabelmodell abweichen kann.

Standard

Brückenmodell: Entwirf einen 10 m breiten und 4 m hohen symmetrischen Bogen und bestimme eine passende Funktion.
Messreihe: Erzeuge fünf Messwerte zu einer selbst gewählten Parabel, verändere zwei Werte leicht und beurteile die Modellqualität.
GeoGebra: Untersuche mit Schiebereglern systematisch die Wirkung von $a$ , $p$ und $q$ .
Fehleranalyse: Erstelle eine falsche digitale Lösung zu einer Modellaufgabe und kommentiere genau, an welcher Stelle der Fehler entsteht.

Schwer

Drei-Punkte-Modell: Bestimme eine quadratische Funktion durch drei selbst gewählte Punkte und kontrolliere jeden Punkt durch Einsetzen.
Modellvergleich: Passe zwei verschiedene quadratische Modelle an dieselben leicht gestörten Messdaten an und diskutiere, welches im Messbereich besser passt.
Beweis: Leite die Scheitelkoordinate $x_{S} = - \frac{b}{2 a}$ durch quadratische Ergänzung vollständig her.
Gegenbeispiel: Prüfe die Behauptung „Eine Parabel mit zwei positiven Nullstellen hat immer einen positiven Scheitelwert“ und entscheide mit Begründung oder Gegenbeispiel.

Lernkontrolle

Architektur-Transfer: Eine Halle soll 18 m breit und in der Mitte 6 m hoch sein. Entwickle ein symmetrisches Parabelmodell, berechne die Höhe 5 m neben der Mitte und beurteile, ob das Ergebnis konstruktiv bereits eine reale Aussage ist.
Sport-Transfer: Ein Ballmodell besitzt den Scheitel $S (8 ∣ 6)$ und geht durch $P (0 ∣ 1,5)$ . Bestimme die Funktion und interpretiere beide Koordinaten des Scheitels.
Messdaten-Transfer: Gegeben sind leicht unsymmetrische Messwerte eines Reflektors. Begründe, ob ein symmetrisches Parabelmodell trotzdem sinnvoll sein kann und welche Information zusätzlich benötigt wird.
Digitaler Modellcheck: Ein Werkzeug zeigt eine Parabel mit scheinbarem Maximum 5,0. Entwickle mindestens zwei rechnerische Kontrollen, mit denen Du diese Anzeige unabhängig prüfen kannst.
Begründungsaufgabe: Beweise für $f (x) = a (x - p)^{2} + q$ mit $a > 0$ , dass kein Funktionswert kleiner als $q$ sein kann.
Modellkritik: Erkläre an einem selbst gewählten Beispiel, warum eine gute Anpassung innerhalb eines Messintervalls keine sichere Vorhersage weit außerhalb dieses Intervalls garantiert.

Lernnachweis

Für einen Lernnachweis zu diesem Thema solltest Du zeigen können:

aus einer Sachsituation Variablen, Einheiten und sinnvolle Bereiche festzulegen.
quadratische Funktionen aus Scheitel und Punkt oder aus drei Punkten herzuleiten.
Scheitel und Extremwert sicher zu bestimmen und im Kontext zu interpretieren.
Graph, Wertetabelle, Funktionsterm und Sachbeschreibung miteinander zu verknüpfen.
Messdaten und Modellwerte zu vergleichen.
digitale Ergebnisse rechnerisch zu kontrollieren.
Modellgrenzen zu benennen und begründet zu beurteilen.
eine allgemeine Aussage zu beweisen oder durch ein Gegenbeispiel zu widerlegen.

OERs zum Thema

Medienhinweis: Die eingebundenen Wikimedia-Commons-Dateien sind über ihre Dateiseiten mit Urheber- und Lizenzangaben dokumentiert. Externe Videos werden als eingebettete Originalquellen genutzt.

Verknüpfte Lernbereiche

Quadratische Funktionen

aiMOOC-Projekte

Frag mich zum aktuellen Lerninhalt oder wähle eine kurze Hilfe.

Textmodus bereit

Sprache