M8 M - Prozentuale Veränderungen wiederholen

Einleitung

Du wiederholst prozentuale Zu- und Abnahmen, Rabatte und Veränderungen auf M-Niveau in Klasse 8. Im Mittelpunkt stehen Prozentfaktoren, Pfeildiagramme, Tabellen und nachvollziehbare Rechenwege.

Leitidee: Eine prozentuale Veränderung kannst Du besonders kompakt mit einem Prozentfaktor berechnen.

Veränderung	Prozentfaktor
Zunahme um $p\mathrm{\%}$	$1+\frac{p}{100}$
Abnahme um $p\mathrm{\%}$	$1-\frac{p}{100}$

Beispiele:

1. $12\mathrm{\%}$ Zunahme: $1+\frac{12}{100}=\mathrm{1,12}$
2. $15\mathrm{\%}$ Abnahme: $1-\frac{15}{100}=\mathrm{0,85}$

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Lernziele

Nach dem Kurs kannst Du:

1. Prozentfaktoren zu Zu- und Abnahmen bestimmen.
2. Ausgangswerte mit Faktoren wie $\mathrm{1,12}$ oder $\mathrm{0,85}$ verändern.
3. Rabatte berechnen und erklären.
4. eine prozentuale Veränderung aus Anfangs- und Endwert bestimmen.
5. zwischen Text, Tabelle, Pfeildiagramm und Rechnung wechseln.
6. Ergebnisse überschlagen und digitale Ergebnisse kritisch prüfen.
7. Lösungswege fachsprachlich begründen und vergleichen.

Vorwissen-Check

Bearbeite die vier Kurzaufgaben ohne Taschenrechner.

1. Wandle $25\mathrm{\%}$ in eine Dezimalzahl um.
2. Bestimme $15\mathrm{\%}$ von $80$.
3. Entscheide: Ist $\mathrm{0,92}$ ein Faktor für Zunahme oder Abnahme?
4. Entscheide: Ist $\mathrm{1,07}$ ein Faktor für Zunahme oder Abnahme?

Lösung zum Vorwissen-Check

1. $25\mathrm{\%}=\mathrm{0,25}$
2. $\mathrm{0,15}\cdot 80=12$
3. $\mathrm{0,92}<1$: Abnahme
4. $\mathrm{1,07}>1$: Zunahme

Prozentfaktoren verstehen

Zunahme

Bei einer Zunahme bleibt der ganze Ausgangswert erhalten und ein zusätzlicher Anteil kommt dazu.

$100\mathrm{\%}+12\mathrm{\%}=112\mathrm{\%}$

$112\mathrm{\%}=\mathrm{1,12}$

Pfeildiagramm:

240 €

→ $\cdot \mathrm{1,12}$ →

268,80 €

Rechnung:

$240\cdot \mathrm{1,12}=\mathrm{268,80}$

Der Endwert beträgt 268,80 €.

Abnahme

Bei einer Abnahme bleibt nur der Rest des Ausgangswerts.

$100\mathrm{\%}-15\mathrm{\%}=85\mathrm{\%}$

$85\mathrm{\%}=\mathrm{0,85}$

Pfeildiagramm:

80 €

→ $\cdot \mathrm{0,85}$ →

68 €

Rechnung:

$80\cdot \mathrm{0,85}=68$

Der Endwert beträgt 68 €.

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Prozentmodell

Ein Prozentmodell hilft Dir, Text, Prozentsatz, Faktor und Rechnung zusammenzubringen.

Situation	Rechnung	Faktor
Zunahme um $8\mathrm{\%}$	$100\mathrm{\%}+8\mathrm{\%}=108\mathrm{\%}$	$\mathrm{1,08}$
Abnahme um $22\mathrm{\%}$	$100\mathrm{\%}-22\mathrm{\%}=78\mathrm{\%}$	$\mathrm{0,78}$
Rabatt $30\mathrm{\%}$	$100\mathrm{\%}-30\mathrm{\%}=70\mathrm{\%}$	$\mathrm{0,70}$

Merksatz:

$\text{Endwert}=\text{Ausgangswert}\cdot \text{Prozentfaktor}$

Interaktives Beispiel: Rabatt

Ein Rucksack kostet ursprünglich 75 €. Er wird um $20\mathrm{\%}$ reduziert.

Schritt 1: Restprozentsatz

$100\mathrm{\%}-20\mathrm{\%}=80\mathrm{\%}$

Schritt 2: Prozentfaktor

$80\mathrm{\%}=\mathrm{0,80}$

Schritt 3: Endpreis

$75\cdot \mathrm{0,80}=60$

Pfeildiagramm:

75 €

→ $\cdot \mathrm{0,80}$ →

60 €

Der neue Preis beträgt 60 €.

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Prozentuale Veränderung bestimmen

Wenn Anfangs- und Endwert gegeben sind, berechnest Du zuerst die absolute Veränderung.

Beispiel: Eine Größe steigt von $150$ auf $177$.

Schritt 1: Veränderung

$177-150=27$

Schritt 2: Veränderung auf den Ausgangswert beziehen

$\frac{27}{150}=\mathrm{0,18}$

Schritt 3: In Prozent umwandeln

$\mathrm{0,18}=18\mathrm{\%}$

Die Größe ist um 18 % gestiegen.

Rückwärts rechnen

Ist der Endwert gegeben, kannst Du den Ausgangswert durch Division bestimmen.

Nach einer Erhöhung um $12\mathrm{\%}$ kostet ein Artikel $224$ €.

$\text{Ausgangswert}=\frac{224}{\mathrm{1,12}}=200$

Probe:

$200\cdot \mathrm{1,12}=224$

Interaktive Übungen mit Hilfestufen

Übung 1: Zunahme

Ein Preis von 320 € steigt um $7\mathrm{\%}$. Berechne den neuen Preis.

Hilfe 1: Handelt es sich um Zunahme oder Abnahme?

Hilfe 2: Bestimme den Faktor mit $1+\frac{7}{100}$.

Hilfe 3: Rechne $320\cdot \mathrm{1,07}$.

Lösung und Feedback

$320\cdot \mathrm{1,07}=\mathrm{342,40}$

Der neue Preis beträgt 342,40 €.

Feedback: Wenn Dein Ergebnis kleiner als 320 € ist, passt es nicht zur beschriebenen Zunahme.

Übung 2: Rabatt

Ein Pullover kostet 90 €. Es gibt $25\mathrm{\%}$ Rabatt. Berechne den neuen Preis.

Hilfe 1: Rabatt bedeutet Abnahme.

Hilfe 2: Der Rest beträgt $75\mathrm{\%}$.

Hilfe 3: Verwende den Faktor $\mathrm{0,75}$.

Lösung und Feedback

$90\cdot \mathrm{0,75}=\mathrm{67,50}$

Der neue Preis beträgt 67,50 €.

Feedback: Kontrolliere, ob der Endpreis kleiner als 90 € ist.

Übung 3: Veränderung berechnen

Eine Besucherzahl steigt von $240$ auf $276$. Bestimme die prozentuale Veränderung.

Hilfe 1: Berechne zuerst $276-240$.

Hilfe 2: Teile die Veränderung durch den Ausgangswert $240$.

Lösung und Feedback

$276-240=36$

$\frac{36}{240}=\mathrm{0,15}=15\mathrm{\%}$

Die Besucherzahl steigt um 15 %.

Feedback: Der Ausgangswert ist immer die Bezugsgröße für die prozentuale Veränderung.

Typische Fehler

Fehler	Korrektur
$12\mathrm{\%}$ Zunahme mit $\mathrm{0,12}$ multiplizieren	Für den Endwert gilt der Faktor $\mathrm{1,12}$.
$15\mathrm{\%}$ Rabatt mit $\mathrm{0,15}$ multiplizieren	Der Restfaktor ist $\mathrm{0,85}$.
Veränderung durch den Endwert teilen	Bezugsgröße ist der Ausgangswert.
Prozent und Prozentpunkte verwechseln	Eine Änderung von $20\mathrm{\%}$ auf $25\mathrm{\%}$ sind 5 Prozentpunkte.

Achtung: Gleiche Prozente heben sich nicht auf

Eine Größe steigt zuerst um $20\mathrm{\%}$ und sinkt danach um $20\mathrm{\%}$.

$100\cdot \mathrm{1,20}\cdot \mathrm{0,80}=96$

Das Ergebnis ist 96 und nicht 100.

Die Gesamtänderung beträgt:

$\frac{96-100}{100}=-\mathrm{0,04}=-4\mathrm{\%}$

Begründung: Die zweite Veränderung bezieht sich auf einen anderen Ausgangswert.

Digitale Werkzeuge und KI

Taschenrechner, Tabellenkalkulation und KI können beim Prüfen helfen. Du bleibst für die mathematische Begründung verantwortlich.

1. Überschlage zuerst, ob das Ergebnis größer oder kleiner werden muss.
2. Prüfe den verwendeten Prozentfaktor.
3. Vergleiche mindestens einen digitalen Rechenweg mit Deiner eigenen Rechnung.
4. Gib keine personenbezogenen Daten in digitale Dienste ein.
5. KI-Ausgaben können Fehler enthalten und ersetzen keinen mathematischen Beweis oder nachvollziehbaren Rechenweg.

Selbstkontrolle

Prüfe Dich selbst.

Aussage	Deine Kontrolle
Ich kann $9\mathrm{\%}$ Zunahme in einen Faktor umwandeln.	Erwartet: $\mathrm{1,09}$
Ich kann $18\mathrm{\%}$ Abnahme in einen Faktor umwandeln.	Erwartet: $\mathrm{0,82}$
Ich kann bei Rabatt den Restprozentsatz bestimmen.	Beispiel: $30\mathrm{\%}$ Rabatt → $70\mathrm{\%}$
Ich kann Anfangs- und Endwert vergleichen.	Veränderung zuerst absolut, dann relativ bestimmen.

Transfer

Ein Fahrrad kostet zunächst 600 €. Zuerst wird der Preis um $10\mathrm{\%}$ erhöht, später gibt es $15\mathrm{\%}$ Rabatt auf den erhöhten Preis.

Modell:

$600\cdot \mathrm{1,10}\cdot \mathrm{0,85}$

Rechnung:

$600\cdot \mathrm{1,10}=660$

$660\cdot \mathrm{0,85}=561$

Der Endpreis beträgt 561 €.

Vergleiche mit dem Startpreis:

$\frac{561-600}{600}=-\mathrm{0,065}=-\mathrm{6,5}\mathrm{\%}$

Der Endpreis liegt also 6,5 % unter dem ursprünglichen Preis.

Kompetenzcheck

Kannst Du diese Anforderungen selbstständig erfüllen?

1. Du übersetzt „Zunahme um $p\mathrm{\%}$“ in den Faktor $1+\frac{p}{100}$.
2. Du übersetzt „Abnahme um $p\mathrm{\%}$“ in den Faktor $1-\frac{p}{100}$.
3. Du stellst einen Sachverhalt als Pfeildiagramm, Tabelle und Rechnung dar.
4. Du erklärst, warum bei einer Abnahme der Restprozentsatz wichtig ist.
5. Du vergleichst zwei Lösungswege und entscheidest, welcher übersichtlicher ist.
6. Du prüfst digitale Ergebnisse auf Plausibilität.

Reflexion

Beantworte schriftlich:

1. Welche Darstellung hilft Dir am meisten: Pfeildiagramm, Tabelle oder Formel?
2. Woran erkennst Du sofort, ob ein Prozentfaktor größer oder kleiner als $1$ sein muss?
3. Welcher typische Fehler könnte Dir noch passieren?
4. Wie kannst Du ein Taschenrechner- oder KI-Ergebnis ohne KI kontrollieren?

Folgekurs

Als nächster Schritt eignet sich ein Kurs zu Mehrfachen prozentualen Veränderungen, Zinsrechnung oder Wachstumsfaktoren. Dort werden mehrere Faktoren nacheinander verwendet und Veränderungen über mehrere Zeitabschnitte modelliert.

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Welcher Faktor gehört zu einer Zunahme um 12 Prozent? (1,12) (!0,12) (!0,88) (!12)

Welcher Faktor gehört zu einer Abnahme um 15 Prozent? (0,85) (!1,15) (!0,15) (!1,85)

Ein Preis von 200 Euro steigt um 10 Prozent. Wie hoch ist der neue Preis? (220 Euro) (!210 Euro) (!180 Euro) (!2000 Euro)

Ein Preis von 80 Euro wird um 25 Prozent reduziert. Wie hoch ist der neue Preis? (60 Euro) (!20 Euro) (!75 Euro) (!100 Euro)

Was ist bei einer prozentualen Veränderung die Bezugsgröße? (Der Ausgangswert) (!Der Endwert) (!Die Differenz allein) (!Immer die Zahl 100)

Eine Größe steigt von 100 auf 120. Wie groß ist die Zunahme? (20 Prozent) (!12 Prozent) (!80 Prozent) (!120 Prozent)

Welcher Restprozentsatz bleibt bei 30 Prozent Rabatt? (70 Prozent) (!30 Prozent) (!130 Prozent) (!3 Prozent)

Welcher Faktor zeigt eine Abnahme? (0,92) (!1,08) (!1,20) (!2,00)

Was ergibt 100 zuerst plus 20 Prozent und danach minus 20 Prozent? (96) (!100) (!80) (!104)

Welche Rechnung bestimmt den Endwert bei 8 Prozent Zunahme? (Ausgangswert mal 1,08) (!Ausgangswert mal 0,08) (!Ausgangswert geteilt durch 8) (!Ausgangswert minus 1,08)

Memory

Prozentfaktor	Multiplikator für eine Veränderung
Zunahme	Veränderung nach oben
Abnahme	Veränderung nach unten
Rabatt	prozentualer Preisnachlass
Ausgangswert	Bezugsgröße vor der Veränderung
Endwert	Größe nach der Veränderung

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Thema
Zunahme	Aufwärtsveränderung
Abnahme	Abwärtsveränderung
Rabatt	Preisnachlass
Prozentfaktor	Multiplikationsfaktor
Ausgangswert	Bezugswert

Kreuzworträtsel

Rabatt	Wie heißt eine prozentuale Preisverminderung?
Zunahme	Wie heißt eine Veränderung nach oben?
Abnahme	Wie heißt eine Veränderung nach unten?
Grundwert	Wie heißt die Bezugsgröße der Prozentrechnung?
Prozentfaktor	Welcher Begriff bezeichnet den Multiplikator einer prozentualen Veränderung?
Endwert	Wie heißt die Größe nach der Veränderung?

Lückentext

Vervollständige den Text.

Bei einer Zunahme um 12 Prozent lautet der Prozentfaktor .

Bei einer Abnahme um 15 Prozent lautet der Prozentfaktor .

Der Endwert ergibt sich aus Ausgangswert mal .

Bei 20 Prozent Rabatt bleiben des ursprünglichen Preises.

Die prozentuale Veränderung wird auf den bezogen.

Ein Faktor größer als eins beschreibt eine .

Ein Faktor kleiner als eins beschreibt eine .

Offene Aufgaben

Leicht

1. Pfeildiagramm: Zeichne ein Pfeildiagramm für eine Zunahme um $6\mathrm{\%}$ und beschrifte den Prozentfaktor.
2. Rabatt: Suche drei fiktive Ausgangspreise und berechne jeweils einen Rabatt von $20\mathrm{\%}$.
3. Prozentfaktor: Erstelle eine Tabelle mit fünf selbst gewählten Zu- oder Abnahmen und den passenden Faktoren.
4. Fehleranalyse: Erkläre in zwei Sätzen, warum $\mathrm{0,15}$ nicht der Endwertfaktor bei $15\mathrm{\%}$ Rabatt ist.

Standard

1. Modellieren: Erfinde eine Alltagssituation mit einer prozentualen Zunahme und löse sie mit Pfeildiagramm und Rechnung.
2. Darstellungswechsel: Stelle dieselbe Rabattaufgabe als Text, Tabelle, Pfeildiagramm und Term dar.
3. Lösungsweg: Löse eine Aufgabe einmal mit Prozentfaktor und einmal über Prozentwert und vergleiche beide Wege.
4. Digitale Kontrolle: Prüfe eine selbst gerechnete Aufgabe mit Taschenrechner oder Tabellenkalkulation und dokumentiere die Plausibilitätsprüfung.

Schwer

1. Mehrfache Veränderung: Entwickle ein Beispiel mit zwei aufeinanderfolgenden prozentualen Änderungen und bestimme die Gesamtänderung.
2. Rückwärtsrechnung: Erfinde eine Aufgabe, bei der Endwert und Prozentsatz gegeben sind, und bestimme den Ausgangswert.
3. Werbung und Rabatt: Untersuche ein erfundenes Rabattangebot kritisch und erkläre, welche Bezugsgröße verwendet wird.
4. KI und Mathematik: Lass Dir von einem KI-System eine Prozentaufgabe erklären, prüfe jeden Rechenschritt selbst und notiere mindestens eine mögliche Fehlerquelle. Verwende keine personenbezogenen Daten.

Lernkontrolle

1. Rabattkette: Ein Preis wird zuerst um $10\mathrm{\%}$ erhöht und danach um $10\mathrm{\%}$ gesenkt. Begründe rechnerisch, warum der Ausgangspreis nicht wieder erreicht wird.
2. Modellwahl: Entscheide bei drei selbst gewählten Situationen, ob ein Pfeildiagramm, eine Tabelle oder eine Formel die übersichtlichste Darstellung ist, und begründe Deine Wahl.
3. Fehlerdiagnose: Jemand berechnet bei $25\mathrm{\%}$ Rabatt den neuen Preis mit $G\cdot \mathrm{0,25}$. Analysiere den Fehler und korrigiere den Rechenweg.
4. Vergleich: Zwei Geschäfte verändern denselben Ausgangspreis unterschiedlich. Entwickle passende Prozentangaben und entscheide durch Rechnung, welcher Endpreis größer ist.
5. Rückwärtsmodell: Ein Endpreis nach $15\mathrm{\%}$ Rabatt beträgt 102 €. Bestimme den ursprünglichen Preis und begründe die verwendete Operation.
6. Plausibilität: Entwickle eine Strategie, mit der Du ohne vollständige Rechnung erkennen kannst, ob ein digitales Ergebnis zu einer Zu- oder Abnahme passen kann.

Lernnachweis

Für einen Lernnachweis zu diesem Thema ist wichtig:

1. Du kannst Prozentfaktoren sicher aus Prozentangaben bilden.
2. Du kannst Zu- und Abnahmen mit Faktoren berechnen.
3. Du kannst Rabatte als Abnahmen modellieren.
4. Du kannst prozentuale Veränderungen aus Anfangs- und Endwert bestimmen.
5. Du kannst Rechenwege mit Pfeildiagramm, Tabelle und Term darstellen.
6. Du kannst Ergebnisse plausibel prüfen und typische Fehler erklären.
7. Du kannst mathematische Entscheidungen fachsprachlich begründen.
8. Du prüfst digitale und KI-generierte Ergebnisse selbstständig.

OERs zum Thema

Verknüpfte Lernbereiche

Prozentrechnung Grundwert Prozentwert Prozentsatz Prozentfaktor Rabatt Zunahme Abnahme Zinsrechnung Modellieren