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M8 M - Boxplots erstellen

Mini-Beschreibung: Erstelle aus Minimum, unterem Quartil, Median, oberem Quartil und Maximum einen Boxplot. Du verbindest jeden Bestandteil des Boxplots mit dem zugrunde liegenden Datensatz und prüfst digitale Ergebnisse kritisch.

Zielgruppe: Klasse 8, Mathematik, M-Niveau, Baden-Württemberg

Kompetenzbezug: Daten mit Software darstellen, Median und Quartile bestimmen sowie Boxplots erstellen, interpretieren und vergleichen. Bildungsplan Baden-Württemberg: Daten und Zufall

Einleitung

Ein Boxplot zeigt einen Datensatz mit fünf Kennwerten: $x_{min}, Q_{1}, Q_{2}, Q_{3}, x_{max}$ .

Dabei ist $Q_{2}$ der Median. Die Box reicht von $Q_{1}$ bis $Q_{3}$ . Die Antennen verbinden die Box in diesem Kurs mit Minimum und Maximum.

Beispieldatensatz: Laufzeiten eines Roboters in Sekunden, anonym und ohne personenbezogene Daten:

$12, 4, 7, 2, 10, 6, 10, 4, 3, 11, 8$

Lernziele

Nach diesem aiMOOC kannst Du:

Daten sortieren und die fünf Kennwerte bestimmen.
einen Boxplot von Hand und digital erstellen.
Median und Quartile fachsprachlich erklären.
zwischen Datensatz, Kennwerten und Darstellung wechseln.
Ergebnisse aus Tabellenkalkulation und GeoGebra mit dem Datensatz überprüfen.
begründen, warum eine digitale Darstellung zum gewählten Quartilverfahren passen muss.

Vorwissen-Check

Beantworte zuerst ohne Hilfsmittel:

Welche Zahl ist in $5, 2, 9, 4$ das Minimum?
Warum muss eine Datenreihe vor der Medianbestimmung sortiert werden?
Was bedeutet „mittlerer Wert“ bei einer ungeraden Anzahl geordneter Daten?

Kurzfeedback: Wenn Du Minimum und Maximum sicher findest und eine Datenreihe ordnen kannst, bist Du startklar. Wiederhole sonst kurz Minimum, Maximum und Median.

Vom Datensatz zum Boxplot

Schritt 1: Daten sortieren

Aus der Urliste

$12, 4, 7, 2, 10, 6, 10, 4, 3, 11, 8$

wird die geordnete Datenreihe

$2, 3, 4, 4, 6, 7, 8, 10, 10, 11, 12$ .

2	3	4	4	6	7	8	10	10	11	12
$x_{min}$		$Q_{1}$			$Q_{2}$		$Q_{3}$			$x_{max}$

Schritt 2: Die fünf Kennwerte bestimmen

Kennwert	Verbindung zum Datensatz	Ergebnis
Minimum	kleinster Wert	$x_{min} = 2$
Unteres Quartil	Median der unteren Hälfte $2, 3, 4, 4, 6$	$Q_{1} = 4$
Median	mittlerer Wert der gesamten geordneten Reihe	$Q_{2} = 7$
Oberes Quartil	Median der oberen Hälfte $8, 10, 10, 11, 12$	$Q_{3} = 10$
Maximum	größter Wert	$x_{max} = 12$

Die Fünf-Punkte-Zusammenfassung lautet:

$(x_{min}, Q_{1}, Q_{2}, Q_{3}, x_{max}) = (2, 4, 7, 10, 12)$

Schritt 3: Boxplot zeichnen

Zeichne eine Zahlengerade von mindestens $2$ bis $12$ .
Markiere $Q_{1} = 4$ und $Q_{3} = 10$ ; dazwischen entsteht die Box.
Zeichne bei $Q_{2} = 7$ die Medianlinie in die Box.
Verbinde die Box links mit $x_{min} = 2$ und rechts mit $x_{max} = 12$ .
Prüfe jeden markierten Wert am geordneten Datensatz.

Merksatz: Ein Boxplot ist keine Zeichnung „aus dem Gefühl“. Jede Kante und jede Linie muss auf einen bestimmten Kennwert des Datensatzes zurückgeführt werden können.

Visuelle Schritt-für-Schritt-Kontrolle

Prüfschritt	Frage an Deinen Boxplot
Daten	Sind alle Werte sortiert und vollständig?
Box	Beginnt sie bei $Q_{1}$ und endet sie bei $Q_{3}$ ?
Median	Liegt die Medianlinie bei $Q_{2}$ ?
Antennen	Enden sie in dieser Schulversion bei Minimum und Maximum?
Maßstab	Sind gleiche Zahlenabstände gleich lang?

Dynamische Boxplots

Bewege Datenpunkte und beobachte sofort, welche Kennwerte sich verändern. Notiere vor jeder Bewegung eine Vorhersage.

Forschungsauftrag: Verschiebe nur einen Datenpunkt. Prüfe anschließend am Datensatz:

Hat sich $x_{min}$ oder $x_{max}$ verändert?
Hat sich $Q_{1}$ , $Q_{2}$ oder $Q_{3}$ verändert?
Warum kann sich ein Datenwert ändern, ohne dass sich der Boxplot sichtbar verändert?

Boxplot-Spiel

Ziehe die Markierungen so, dass sie zum Datensatz passen. Begründe danach jede Position mit einem Kennwert.

Boxplots mit GeoGebra und Tabellenkalkulation

GeoGebra: Datensatz und Boxplot verbinden

Gib den Rohdatensatz direkt ein:

Boxplot(0,1,{12,4,7,2,10,6,10,4,3,11,8})

Prüfe danach die fünf Kennwerte einzeln. Du kannst auch die bereits bestimmten Werte verwenden:

Boxplot(0,1,2,4,7,10,12)

Wenn beide Darstellungen übereinstimmen, hast Du Datensatz und Fünf-Punkte-Zusammenfassung konsistent verbunden.

GeoGebra-Hilfe: Statistische Auswertungen und Boxplot

Tabellenkalkulation

Trage die elf Werte in eine Spalte ein, zum Beispiel in A2 bis A12. Nutze anschließend passende Funktionen Deines Programms.

Ziel	Beispiel einer Tabellenkalkulationsformel
Minimum	`=MIN(A2:A12)`
Unteres Quartil	`=QUARTILE.INKL(A2:A12;1)`
Median	`=MEDIAN(A2:A12)`
Oberes Quartil	`=QUARTILE.INKL(A2:A12;3)`
Maximum	`=MAX(A2:A12)`

Wichtig: Funktionsnamen und Quartilverfahren können je nach Programm oder Spracheinstellung abweichen. Prüfe deshalb die Ergebnisse immer am geordneten Datensatz. Für diesen Übungsdatensatz sollst Du $2, 4, 7, 10, 12$ erhalten.

Erstelle anschließend, falls Dein Programm dies unterstützt, ein Boxplot-Diagramm. Vergleiche Maßstab, Boxgrenzen, Medianlinie und Antennen mit Deiner Handzeichnung.

Digitale Ergebnisse kritisch prüfen

Prüfe, ob das Programm wirklich Deinen vollständigen Datensatz verwendet.
Prüfe die Definition der Quartile, wenn Handrechnung und Software abweichen.
Prüfe, ob Antennen bis Minimum und Maximum reichen oder ob das Programm eine Ausreißerregel nutzt.
Nutze keine personenbezogenen Daten für Übungsdatensätze.
KI kann Rechenwege oder Erklärungen vorschlagen. Vergleiche jede KI-Ausgabe mit Datensatz, Definition und eigener Rechnung; eine KI-Antwort ersetzt keinen mathematischen Beweis.

Interaktive Beispiele mit Hilfestufen

Beispiel A: Fünf Kennwerte finden

Gegeben ist:

$9, 3, 7, 5, 5, 11, 4, 8, 6$

Aufgabe: Sortiere die Daten und bestimme Minimum, $Q_{1}$ , Median, $Q_{3}$ und Maximum.

Hilfe 1: Schreibe zuerst alle neun Werte der Größe nach auf.

Hilfe 2: Bestimme den Median. Teile danach die Daten links und rechts vom Median.

Hilfe 3: Bestimme in beiden Hälften jeweils wieder den Median.

Feedback: Deine fünf Werte müssen in aufsteigender Reihenfolge liegen. Die Boxgrenzen können niemals außerhalb von Minimum und Maximum liegen.

Beispiel B: Einen Wert verändern

Nimm den Hauptdatensatz und ändere nur den Wert $12$ in $20$ .

Aufgabe: Entscheide zuerst ohne Software, welche Kennwerte sich sicher ändern. Prüfe danach dynamisch.

Hilfe 1: Sortiere nur den veränderten größten Wert neu ein.

Hilfe 2: Vergleiche die Positionen der mittleren Werte vor und nach der Änderung.

Feedback: Eine Änderung am Rand der Daten muss nicht Median oder Quartile verändern. Das Maximum verändert sich hier sicher.

Beispiel C: Zwei Wege vergleichen

Bestimme die fünf Kennwerte einmal von Hand und einmal mit einer Tabellenkalkulation.

Hilfe 1: Nutze exakt denselben Datensatz.

Hilfe 2: Vergleiche nicht nur den fertigen Boxplot, sondern jeden Kennwert einzeln.

Feedback: Stimmen Ergebnisse nicht überein, suche zuerst nach Sortierfehlern, fehlenden Daten, anderer Quartildefinition oder anderer Antennenregel.

Typische Fehler

Fehler	So korrigierst Du ihn
Daten nicht sortiert	Erst ordnen, dann Median und Quartile bestimmen.
Median mit Mittelwert verwechselt	Median über die Position in der geordneten Reihe bestimmen.
Box von Minimum bis Maximum gezeichnet	Box nur von $Q_{1}$ bis $Q_{3}$ zeichnen.
Ungleichmäßiger Maßstab	Zahlengerade mit gleichen Abständen kontrollieren.
Software blind übernommen	Kennwerte und Quartilverfahren am Datensatz prüfen.

Selbstkontrolle

Ich kann ...	Beleg
Daten sortieren.	Ich kann die geordnete Liste fehlerfrei notieren.
fünf Kennwerte bestimmen.	Ich kann jeden Wert im Datensatz zeigen.
einen Boxplot zeichnen.	Box, Medianlinie und Antennen liegen am richtigen Maßstab.
digital prüfen.	Handrechnung und Software sind verglichen.
fachsprachlich begründen.	Ich verwende Minimum, Quartil, Median, Maximum und Datensatz korrekt.

Transfer

Ein zweiter Datensatz hat denselben Median wie der Hauptdatensatz, aber eine deutlich breitere Box.

Denkfrage: Was kannst Du über die Streuung der mittleren Hälfte der Daten sagen?

Modellierungsauftrag: Erfinde zwei anonyme Datensätze mit gleichem Median, aber unterschiedlich breiten Boxen. Erstelle beide Boxplots digital und erkläre den Unterschied mit $Q_{3} - Q_{1}$ .

Kompetenzcheck

Darstellungswechsel: Du erhältst einen Datensatz und stellst ihn als geordnete Liste, Fünf-Punkte-Zusammenfassung und Boxplot dar.
Begründen: Du erklärst für jede Linie des Boxplots, aus welchem Kennwert sie entsteht.
Modellieren: Du wählst für eine einfache reale Fragestellung einen anonymen numerischen Datensatz und stellst ihn geeignet dar.
Vergleichen: Du vergleichst Handrechnung, GeoGebra und Tabellenkalkulation und erklärst mögliche Abweichungen.
Kommunizieren: Du beschreibst Deinen Lösungsweg mit korrekten Fachbegriffen.

Reflexion

Welcher Schritt vom Datensatz zum Boxplot ist für Dich am fehleranfälligsten?
Welche Information zeigt der Boxplot schnell, die in einer ungeordneten Liste schwer zu erkennen ist?
Wann würdest Du ein digitales Werkzeug nutzen, und was würdest Du trotzdem selbst kontrollieren?

Datei:Mathematrix Boxplot.webm

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Diesen aiMOOC als Battle spielen

Welche fünf Kennwerte brauchst Du für den Boxplot in diesem Kurs? (Minimum unteres Quartil Median oberes Quartil Maximum) (!Minimum Mittelwert Median Spannweite Maximum) (!Minimum Modus Mittelwert Quartil Maximum) (!Erster Wert zweiter Wert Median vorletzter Wert letzter Wert)

Was machst Du vor der Bestimmung von Median und Quartilen? (Daten der Größe nach sortieren) (!Nur das Maximum markieren) (!Alle Werte verdoppeln) (!Die Reihenfolge zufällig mischen)

Welches untere Quartil hat der Hauptdatensatz? (4) (!2) (!7) (!10)

Welchen Median hat der Hauptdatensatz? (7) (!4) (!10) (!12)

Zwischen welchen Kennwerten liegt die Box? (Unterem Quartil und oberem Quartil) (!Minimum und Maximum) (!Minimum und Median) (!Median und Maximum)

Wo enden die Antennen in der hier verwendeten Schulversion? (Bei Minimum und Maximum) (!Beim Median) (!Bei den beiden Quartilen) (!Immer bei null)

Was zeigt die Medianlinie? (Die Lage des mittleren Werts der geordneten Daten) (!Die Summe aller Daten) (!Den größten Abstand zweier Werte) (!Die Anzahl der Daten)

Was kann passieren wenn sich ein einzelner Datenwert ändert? (Der Boxplot kann unverändert bleiben) (!Alle fünf Kennwerte ändern sich immer) (!Der Median wird immer größer) (!Minimum und Maximum tauschen ihre Rollen)

Wie prüfst Du einen digital erzeugten Boxplot sinnvoll? (Du vergleichst seine Kennwerte mit dem geordneten Datensatz) (!Du übernimmst die Grafik ohne Kontrolle) (!Du prüfst nur die Farbe der Box) (!Du rundest alle Daten auf null)

Warum können Programme bei Quartilen manchmal unterschiedliche Ergebnisse liefern? (Weil verschiedene Quartilverfahren verwendet werden können) (!Weil ein Boxplot keine Daten braucht) (!Weil der Median immer zufällig ist) (!Weil Minimum und Maximum unbekannt bleiben)

Memory

Minimum	kleinster Datenwert
Unteres Quartil	Grenze des unteren Datenviertels
Median	mittlerer Kennwert
Oberes Quartil	Grenze nach drei Datenvierteln
Maximum	größter Datenwert
Box	Bereich zwischen erstem und drittem Quartil

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Bedeutung im Boxplot
Linker Antennenpunkt	Minimum
Linke Boxkante	Unteres Quartil
Medianlinie	Median
Rechte Boxkante	Oberes Quartil
Rechter Antennenpunkt	Maximum

Kreuzworträtsel

Minimum	Wie heißt der kleinste Wert eines Datensatzes?
Quartil	Wie heißt ein Kennwert der eine geordnete Datenreihe in Viertel gliedert?
Median	Wie heißt der mittlere Kennwert einer geordneten Datenreihe?
Maximum	Wie heißt der größte Wert eines Datensatzes?
Boxplot	Wie heißt die Darstellung mit Box Medianlinie und Antennen?
Datenreihe	Wie heißt eine geordnete Folge von Datenwerten?

LearningApps

Lückentext

Offene Aufgaben

Leicht

Daten ordnen: Erfinde neun anonyme ganzzahlige Werte und notiere Urliste und geordnete Liste.
Fünf Kennwerte: Bestimme zu Deinem Datensatz Minimum, $Q_{1}$ , Median, $Q_{3}$ und Maximum.
Boxplot zeichnen: Zeichne den Boxplot zu Deinem Datensatz auf einer passenden Zahlengeraden.
Erklärkarte: Gestalte eine Karte, auf der jede Boxplot-Linie mit dem passenden Kennwert verbunden ist.

Standard

GeoGebra: Gib Deinen anonymen Datensatz ein und vergleiche den digitalen Boxplot mit Deiner Handzeichnung.
Tabellenkalkulation: Berechne die fünf Kennwerte digital und dokumentiere die verwendeten Funktionen.
Fehlersuche: Erstelle absichtlich einen Boxplot mit zwei Fehlern und tausche ihn mit einer Lernpartnerin oder einem Lernpartner zur Korrektur.
Erklärvideo: Produziere ein kurzes Video, in dem Du vom sortierten Datensatz zum Boxplot gehst und jeden Schritt begründest.

Schwer

Daten verändern: Verändere einen Wert so, dass sich nur ein Randkennwert ändert. Begründe Dein Beispiel.
Boxbreite vergleichen: Erzeuge zwei Datensätze mit gleichem Median und unterschiedlichem $Q_{3} - Q_{1}$ . Vergleiche die Boxplots.
Digitale Prüfung: Vergleiche zwei Programme bei demselben Datensatz und untersuche, ob Quartile und Antennen gleich definiert sind.
Mini-Forschungsprojekt: Untersuche mit synthetischen oder frei verfügbaren anonymen Daten, wie stark einzelne Datenänderungen den Boxplot beeinflussen. Dokumentiere Datensatz, Boxplots und Schlussfolgerung.

Lernkontrolle

Vom Datensatz zur Darstellung: Erstelle aus einer ungeordneten Datenliste einen Boxplot und begründe jeden Schritt.
Darstellung zurückübersetzen: Lies aus einem Boxplot die fünf Kennwerte ab und konstruiere einen möglichen Datensatz dazu.
Fehler argumentieren: Erkläre, warum eine Box von Minimum bis Maximum kein korrekter Boxplot im hier verwendeten Verfahren ist.
Werkzeuge vergleichen: Vergleiche Handrechnung und Softwareausgabe und nenne mindestens zwei mögliche Ursachen für Abweichungen.
Modellieren: Entscheide, ob ein Boxplot geeignet ist, zwei anonyme Datensätze zu vergleichen, und begründe Deine Wahl.
Transfer: Verändere einen Datensatz gezielt so, dass der Median gleich bleibt, aber die Box breiter wird. Begründe die Veränderung.

Lernnachweis

Für einen Lernnachweis zu diesem Thema ist wichtig:

Du ordnest Daten korrekt.
Du bestimmst Minimum, $Q_{1}$ , Median, $Q_{3}$ und Maximum nachvollziehbar.
Du zeichnest einen Boxplot mit passendem Maßstab.
Du verbindest jede Boxplot-Komponente mit dem zugrunde liegenden Datensatz.
Du nutzt GeoGebra oder Tabellenkalkulation sachgerecht und überprüfst die Ausgabe.
Du erklärst Abweichungen durch unterschiedliche Quartil- oder Antennenregeln.
Du begründest Deinen Lösungsweg fachsprachlich.

OERs zum Thema

Wikimedia Commons: Elements of a boxplot.svg, CC BY-SA 3.0

Wikimedia Commons: Box plot.svg, Public Domain

Wikimedia Commons: Example Boxplot.svg, CC0

Wikimedia Commons: Mathematrix Boxplot.webm, CC BY-SA 4.0

Folgekurs

Weiter geht es mit M8 M - Boxplots interpretieren und vergleichen. Dort vergleichst Du Verteilungen und begründest Unterschiede zwischen mehreren Boxplots.

Verknüpfte Lernbereiche

M8 M - Boxplots erstellen

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