M8 G - Zwei lineare Angebote graphisch vergleichen

Einleitung

Zwei Tarife können am Anfang unterschiedlich teuer sein und sich später trotzdem überholen. In diesem aiMOOC vergleichst Du zwei fiktive lineare Angebote im Graphen. Du liest ab, wann welches Angebot günstiger ist, deutest den Schnittpunkt und prüfst digitale Ergebnisse.

Merksatz: Bei demselben x-Wert gehört der tiefere Graph zum günstigeren Angebot. Am Schnittpunkt kosten beide gleich viel.

Lernziele

1. Du liest zwei lineare Kosten-Graphen im selben Koordinatensystem.
2. Du deutest Steigung und Y-Achsenabschnitt.
3. Du erkennst, vor und nach welchem Punkt ein Tarif günstiger ist.
4. Du prüfst einen Schnittpunkt mit einer Wertetabelle oder durch Einsetzen.
5. Du begründest Deine Entscheidung mit einem vollständigen Satz.
6. Du prüfst digitale Ergebnisse kritisch und verwendest keine personenbezogenen Daten.

Vorwissen-Check

Prüfe Dich selbst:

1. Bei $y=2x+4$ sind 4 die Startkosten.
2. Bei $y=2x+4$ bedeutet 2: pro Einheit kommen 2 Euro dazu.
3. Ein Punkt wie $(3|10)$ hat zuerst eine x- und dann eine y-Koordinate.
4. Ein kleinerer y-Wert bedeutet bei Kosten: günstiger.

Rückmeldung: Wenn Du mindestens drei Aussagen erklären kannst, bist Du startklar. Sonst wiederhole kurz Lineare Funktion, Steigung und Koordinatensystem.

Zwei Tarife im Graphen

Beispiel: Ausleihtarife

Tarif Blau: $B(x)=2x+4$

Tarif Grün: $G(x)=x+10$

Dabei ist x die Anzahl der Nutzungen. B(x) und G(x) geben die Kosten in Euro an.

Tarif	Startkosten	Kosten je Nutzung
Blau	4 Euro	2 Euro
Grün	10 Euro	1 Euro

Satzstarter: „Tarif ___ startet günstiger, Tarif ___ steigt aber langsamer.“

Schritt 1: Startkosten vergleichen

Setze $x=0$.

$B(0)=4$

$G(0)=10$

Blau startet tiefer und ist deshalb bei sehr kleiner Nutzung günstiger.

Schritt 2: Steigung vergleichen

Bei Blau steigen die Kosten pro Nutzung um 2 Euro. Bei Grün steigen sie nur um 1 Euro.

Anschaulich: Blau ist am Anfang tiefer, aber seine Gerade ist steiler.

Schritt 3: Schnittpunkt lesen

Die beiden Geraden treffen sich bei $S(6|16)$.

Das bedeutet: Bei 6 Nutzungen kosten beide Tarife 16 Euro.

Nutzung	Ergebnis
weniger als 6	Blau günstiger
genau 6	gleich teuer
mehr als 6	Grün günstiger

Begründung: Vor dem Schnittpunkt liegt Blau tiefer. Nach dem Schnittpunkt liegt Grün tiefer.

Schritt 4: Mit Werten prüfen

x	Blau	Grün
4	12 Euro	14 Euro
6	16 Euro	16 Euro
8	20 Euro	18 Euro

Die Tabelle bestätigt den Graphen.

Dynamischer Graph

Gib im Graphikrechner beide Funktionen ein:

$y=2x+4$

$y=x+10$

Auftrag: Verändere bei Blau die Startkosten von 4 auf 6. Beobachte, wie sich der Schnittpunkt verschiebt. Begründe mit dem Bild.

Digital-Check: Prüfe immer Achsen, Maßstab und Eingabe. Ein digitales Ergebnis kann durch eine falsche Eingabe falsch sein.

Dynamischer Schnittpunkt

Beobachte:

1. Wo liegt der Schnittpunkt?
2. Welche Gerade liegt links davon tiefer?
3. Welche Gerade liegt rechts davon tiefer?

Video: Tarifvergleich

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Auftrag zum Video: Stoppe, sobald beide Geraden sichtbar sind. Erkläre den Schnittpunkt mit einem Satz.

Video: Grundpreis und Verbrauchspreis

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Denkfrage: Was gehört zum y-Achsenabschnitt und was zur Steigung?

Interaktive Beispiele mit Hilfestufen

Beispiel A: Fitnessstudio

Studio A: $A(x)=3x+6$

Studio B: $B(x)=2x+12$

Aufgabe: Zeichne beide Geraden und finde heraus, ab wann B günstiger ist.

Hilfe 1: Suche zuerst den Schnittpunkt.

Hilfe 2: Prüfe die Kosten bei 6 und 7 Besuchen.

Feedback: Bei 6 Besuchen sind beide gleich teuer. Ab 7 Besuchen ist B günstiger.

Beispiel B: Fahrradausleihe

Tarif Rot: $R(x)=x+8$

Tarif Gelb: $G(x)=2x+2$

Aufgabe: Vergleiche die Kosten bei 2, 6 und 9 Stunden.

Hilfe: Setze jeweils denselben x-Wert in beide Funktionen ein.

Feedback: Bei 2 Stunden ist Gelb günstiger. Bei 6 Stunden sind beide gleich teuer. Bei 9 Stunden ist Rot günstiger.

Satzstarter: „Bei ___ Einheiten liegt der Graph von ___ tiefer. Deshalb ist …“

Startkosten und Steigung verändern

1. Vergrößere die Startkosten. Was passiert mit der Geraden?
2. Vergrößere die Steigung. Was passiert mit der Geraden?
3. Erkläre, wie sich dadurch der Schnittpunkt verändern kann.

Typische Fehler

1. Nur auf die Startkosten schauen: Ein günstiger Start garantiert nicht, dass der Tarif später günstig bleibt.
2. Nur auf die Steigung schauen: Eine kleine Steigung kann durch hohe Startkosten zunächst teurer sein.
3. Schnittpunkt falsch deuten: Dort beginnen die Tarife nicht. Dort kosten sie gleich viel.
4. Achsen nicht prüfen: Ein unpassender Maßstab kann täuschen.
5. Digitales Ergebnis übernehmen: Prüfe mindestens einen Wert selbst.

Selbstkontrolle

Beantworte ohne Hilfe:

1. Welcher Graph ist bei einem Kostenvergleich günstiger?
2. Was bedeutet der Schnittpunkt?
3. Wofür stehen die Startkosten im Graphen?
4. Was beschreibt die Steigung?

Rückmeldung: Günstiger ist der tiefere Graph. Am Schnittpunkt sind beide gleich teuer. Startkosten erkennst Du am y-Achsenabschnitt. Die Steigung zeigt die zusätzlichen Kosten je Einheit.

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Tarif A startet bei 5 Euro, Tarif B bei 9 Euro. Welcher startet günstiger? (Tarif A) (!Tarif B) (!Beide gleich) (!Nicht bestimmbar)

Zwei Geraden schneiden sich bei S 8 Strich 20. Was bedeutet die 8 im Tarifvergleich? (Bei 8 Einheiten sind beide Angebote gleich teuer) (!Beide Angebote kosten 8 Euro) (!Die Startkosten betragen 8 Euro) (!Die Steigung beträgt 8)

Welche Aussage hilft beim graphischen Preisvergleich? (Der tiefere Graph gehört zum günstigeren Angebot) (!Der steilere Graph ist immer günstiger) (!Der höhere Graph ist immer günstiger) (!Der linkere Graph ist immer günstiger)

Was zeigt der y-Achsenabschnitt bei einem einfachen Tarifmodell meistens? (Die Startkosten) (!Die Anzahl der Nutzungen) (!Den Schnittpunkt) (!Die Farbe der Geraden)

Welche Probe ist nach dem Ablesen eines Schnittpunkts sinnvoll? (Denselben x-Wert in beide Funktionen einsetzen) (!Nur die Farben vergleichen) (!Die x-Achse ausblenden) (!Nur einen Tarif berechnen)

Ein Tarif hat höhere Startkosten, aber kleinere Kosten je Einheit. Was kann passieren? (Er kann später günstiger werden) (!Er bleibt immer teurer) (!Er ist immer günstiger) (!Die Geraden können sich nie schneiden)

Im Beispiel mit Blau und Grün sind beide bei 6 Nutzungen gleich teuer. Wann ist Blau günstiger? (Bei weniger als 6 Nutzungen) (!Bei mehr als 6 Nutzungen) (!Nur bei 10 Nutzungen) (!Nie)

Was bedeutet die 3 in der Funktion y gleich 3x plus 7 im Tarifkontext? (3 Euro pro zusätzlicher Einheit) (!7 Euro pro zusätzlicher Einheit) (!3 Euro Startkosten) (!Der Schnittpunkt liegt bei 3)

Warum sollst Du ein digitales Graph-Ergebnis prüfen? (Eingabe oder Skalierung können fehlerhaft sein) (!Graphen sind grundsätzlich falsch) (!Rechnungen helfen nie) (!Schnittpunkte kann man nicht prüfen)

Welche Begründung ist vollständig? (Tarif B ist bei 9 Einheiten günstiger, weil sein Graph dort tiefer liegt) (!Tarif B ist besser) (!Die Geraden sehen verschieden aus) (!Ich nehme einfach B)

Memory

Schnittpunkt	gleiche Kosten
Steigung	Kosten pro Einheit
y-Achsenabschnitt	Startkosten
tieferer Graph	günstigeres Angebot
Wertetabelle	Kontrolle
Koordinatensystem	grafische Darstellung

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Thema
Startkosten	y-Achsenabschnitt
Kosten pro Einheit	Steigung
gleiche Kosten	Schnittpunkt
günstiger	tieferer Graph
prüfen	Wertetabelle

Kreuzworträtsel

Schnittpunkt	Wo sind zwei Tarife gleich teuer?
Grundpreis	Wie nennt man feste Kosten zu Beginn?
Steigung	Welche Größe beschreibt die Kosten pro Einheit?
Koordinaten	Womit beschreibt man die Lage eines Punktes?
Gerade	Welche Form hat der Graph eines linearen Kostenmodells?
Wertetabelle	Welche Darstellung hilft beim Zahlenvergleich?

Lückentext

Vervollständige den Text.

Bei einem Kostenvergleich zeigt der das günstigere Angebot. Der y-Achsenabschnitt steht oft für die . Die Steigung beschreibt meist die . Am sind beide Angebote gleich teuer. Ein abgelesenes Ergebnis kann mit einer geprüft werden. Digitale Ergebnisse müssen auf Eingabe und geprüft werden.

Übungen mit Hilfestufen und Feedback

Übung 1 – leicht

Tarif P: $P(x)=x+5$

Tarif Q: $Q(x)=2x+1$

Auftrag: Zeichne beide Graphen für x-Werte von 0 bis 8. Markiere den Schnittpunkt.

Hilfe: Berechne zuerst für jeden Tarif drei Punkte.

Feedback: Der Schnittpunkt liegt bei $S(4|9)$. Vor 4 ist Q günstiger, danach P.

Übung 2 – Standard

Tarif C startet bei 3 Euro und kostet 2 Euro je Einheit. Tarif D startet bei 9 Euro und kostet 1 Euro je Einheit.

Auftrag: Stelle beide Funktionen auf, zeichne sie und finde den Wechselpunkt.

Hilfe: Nutze $y=m\cdot x+b$.

Feedback: $C(x)=2x+3$ und $D(x)=x+9$. Der Schnittpunkt liegt bei $S(6|15)$.

Übung 3 – MSA-Brücke

Ein digitales Werkzeug zeigt einen Schnittpunkt zwischen 7 und 8 Fahrten.

Auftrag: Erkläre, warum ein Schnittpunkt zwischen zwei ganzen Fahrten im Alltag besonders geprüft werden muss. Vergleiche die beiden Tarife bei 7 und 8 Fahrten.

Feedback: Wenn nur ganze Fahrten möglich sind, musst Du die tatsächlich erlaubten x-Werte prüfen. Ein mathematischer Schnittpunkt kann zwischen zwei möglichen Alltagswerten liegen.

Transfer

Echte Tarife können Rabatte, Mindestlaufzeiten oder Zusatzkosten enthalten. Dann reicht manchmal eine einzige Gerade nicht aus.

Denkfrage: Ein Tarif wirbt mit „1 Euro pro Nutzung“. Welche weitere Information brauchst Du, bevor Du ihn fair vergleichst?

Satzstarter: „Die Angabe reicht nicht aus, weil …“

Medienkompetenz und KI

1. Nutze nur fiktive Tarifdaten und keine personenbezogenen Daten.
2. Prüfe Achsen, Einheiten, Funktionen und Maßstab.
3. Kontrolliere mindestens einen Wert selbst.
4. Prüfe einen von KI genannten Schnittpunkt am Graphen oder durch Einsetzen.
5. KI-Ausgaben ersetzen keinen mathematischen Beweis.

Kompetenzcheck

Ich kann …	Check
Startkosten im Graphen erkennen.	□
Kosten pro Einheit deuten.	□
den Schnittpunkt ablesen.	□
vor und nach dem Schnittpunkt vergleichen.	□
eine Probe durchführen.	□
meine Entscheidung begründen.	□

Reflexion

1. Was hilft Dir mehr: Graph oder Wertetabelle? Begründe.
2. Was bedeutet ein Schnittpunkt in einem Tarifvergleich?
3. Wie kannst Du ein digitales Ergebnis kontrollieren?
4. Ergänze: „Beim nächsten Tarifvergleich achte ich zuerst auf …“

Offene Aufgaben

Leicht

1. Tarifkarte: Erfinde zwei fiktive Tarife mit kleinen ganzen Zahlen.
2. Wertetabelle: Erstelle für beide Tarife eine Tabelle mit fünf x-Werten.
3. Graph zeichnen: Zeichne beide Tarife in dasselbe Koordinatensystem.
4. Satzstarter: Begründe mit „Bis zum Schnittpunkt ist … günstiger, weil …“.

Standard

1. Tarifvergleich: Erstelle ein Lernplakat mit Graph, Schnittpunkt und drei Beispielwerten.
2. Fehlersuche: Erfinde einen falschen Tarifvergleich und markiere zwei Fehler.
3. GeoGebra: Baue einen dynamischen Vergleich mit zwei Geraden und dokumentiere drei Beobachtungen.
4. Erklärvideo: Erstelle ein kurzes Erklärvideo ohne personenbezogene Daten.

Schwer

1. Alltagsmodell: Erfinde einen Tarif mit Rabattgrenze und erkläre, warum eine einzige Gerade nicht reicht.
2. MSA-Aufgabe: Erstelle eine Aufgabe, bei der der Schnittpunkt zwischen zwei ganzen x-Werten liegt.
3. Digitale Prüfung: Lass ein digitales Werkzeug oder eine KI einen fiktiven Tarifvergleich lösen und prüfe jeden wichtigen Wert selbst.
4. Interviewprojekt: Frage eine erwachsene Person allgemein, welche Angaben bei Preisvergleichen wichtig sind. Verwende keine Namen oder Vertragsdaten.

Lernkontrolle

1. Graph deuten: Erkläre ohne Rechnung, wie Du am Graphen erkennst, welches Angebot für kleine und welches für große x-Werte günstiger ist.
2. Modell prüfen: Begründe, warum ein Tarif mit hohen Startkosten und kleiner Steigung später günstiger werden kann.
3. Darstellungen verknüpfen: Übertrage einen Tarif in Beschreibung, Funktion, Wertetabelle und Graph und erkläre die Zusammenhänge.
4. Fehler beurteilen: Widerlege die Aussage „Der Tarif mit der kleineren Steigung ist immer günstiger“ mit einem Gegenbeispiel.
5. Digitales Ergebnis prüfen: Beschreibe zwei Möglichkeiten, einen digital angezeigten Schnittpunkt zu kontrollieren.
6. Transfer: Erkläre, warum ein Tarif mit Rabattstufe nicht immer durch eine einzige Gerade beschrieben werden kann.

Lernnachweis

1. Zwei fiktive lineare Angebote korrekt darstellen.
2. Beide Graphen mit beschrifteten Achsen zeichnen.
3. Schnittpunkt markieren und deuten.
4. Vor und nach dem Schnittpunkt das günstigere Angebot begründen.
5. Mindestens eine Kontrolle mit Wertetabelle oder Einsetzen zeigen.
6. Rechenweg, Darstellung und Begründung nachvollziehbar machen.
7. Eine Grenze des linearen Modells nennen.
8. Digitale Ergebnisse sichtbar prüfen.

Verknüpfte Lernbereiche

Lineare Funktionen Koordinatensystem Steigung Y-Achsenabschnitt Schnittpunkt Wertetabelle Sachaufgabe Mathematisches Modell

Folgekurs

Als Nächstes passt: M8 G - Schnittpunkte linearer Funktionen prüfen und deuten. Dort wird die graphische Idee weitergeführt und behutsam mit rechnerischen Verfahren verbunden.