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M8 G - Volumen von Prismen berechnen

Mini-Beschreibung: Verstehe das Volumen eines Prismas als „Grundfläche mal Körperhöhe“ und nutze sicher $V = G \cdot h$ .

Zielgruppe: Klasse 8, Mathematik, Baden-Württemberg, G-Niveau

Einleitung

Ein Prisma kann man sich als Stapel gleich großer Schichten vorstellen. Jede Schicht hat die gleiche Grundfläche $G$ . Die Anzahl beziehungsweise Höhe der Schichten wird durch die Körperhöhe $h$ beschrieben.

Merksatz:

$V = G \cdot h$

Dabei gilt:

$V$ = Volumen

$G$ = Flächeninhalt der Grundfläche

$h$ = senkrechte Körperhöhe

Lernziele

Nach diesem aiMOOC kannst Du:

Prisma: Grundfläche und Körperhöhe an einem Prisma erkennen.
Volumen: erklären, warum $V = G \cdot h$ gilt.
Flächeninhalt: die Grundfläche eines Rechtecks oder Dreiecks berechnen.
Volumeneinheit: Ergebnisse in ${c m}^{3}$ , ${d m}^{3}$ oder $m^{3}$ angeben.
Rechenweg: Rechnung, Einheit und kurze Begründung nachvollziehbar darstellen.

Vorwissen-Check

Rechne zuerst ohne Taschenrechner.

A: Ein Rechteck ist $4 c m$ lang und $3 c m$ breit. Bestimme den Flächeninhalt.

B: Ein Dreieck hat $g = 6 c m$ und $h_{G} = 4 c m$ . Bestimme den Flächeninhalt.

C: Welche Einheit passt zu einem Volumen: ${c m}^{2}$ oder ${c m}^{3}$ ?

Lösungen anzeigen
A: $G = 4 \cdot 3 = 12 {c m}^{2}$
B: $G = \frac{6 \cdot 4}{2} = 12 {c m}^{2}$
C: ${c m}^{3}$

Prisma erkennen

Ein Prisma besitzt zwei zueinander parallele, gleich große Flächen: Grundfläche und Deckfläche. Für das Volumen brauchst Du vor allem die Grundfläche $G$ und den senkrechten Abstand $h$ .

Bildauftrag: Zeige mit dem Finger auf eine mögliche Grundfläche. Suche danach die gegenüberliegende Deckfläche.

Auch bei einem schief dargestellten Prisma ist $h$ der senkrechte Abstand zwischen Grund- und Deckfläche.

Warum gilt Grundfläche mal Höhe?

Schichtmodell

Stell Dir einen Quader aus Einheitswürfeln vor.

Eine Grundschicht besitzt:

$4 \cdot 3 = 12$ Einheitswürfel.

Bei $5$ gleich hohen Schichten erhältst Du:

$12 \cdot 5 = 60$ Einheitswürfel.

Also:

$V = G \cdot h = 12 \cdot 5 = 60$

Denkfrage: Was passiert mit dem Volumen, wenn Du bei gleicher Grundfläche eine weitere gleich hohe Schicht ergänzt?

Feedback
Das Volumen wächst um genau eine Grundschicht.

Interaktives Einheitskörper-Modell

Bewege die Regler. Baue zuerst eine Schicht und füge dann weitere Schichten hinzu.

Beobachte:

Würfel pro Schicht entsprechen der Grundfläche $G$ .

Die Anzahl beziehungsweise Höhe der Schichten wird durch $h$ beschrieben.

$V = G \cdot h$

Der Rechenweg in drei Schritten

Schritt 1: Grundfläche bestimmen

Bei einer rechteckigen Grundfläche:

$G = a \cdot b$

Bei einer dreieckigen Grundfläche:

$G = \frac{g \cdot h_{G}}{2}$

Schritt 2: Körperhöhe erkennen

Die Körperhöhe $h$ ist der senkrechte Abstand zwischen Grund- und Deckfläche.

Schritt 3: Volumen berechnen

$V = G \cdot h$

Satzstarter: „Zuerst berechne ich die Grundfläche … Danach multipliziere ich mit der Körperhöhe … Deshalb beträgt das Volumen …“

Interaktives Beispiel 1: Rechteckige Grundfläche

Gegeben:

$a = 4 c m$

$b = 3 c m$

$h = 5 c m$

1. Grundfläche

$G = 4 \cdot 3 = 12 {c m}^{2}$

2. Volumen

$V = G \cdot h$

$V = 12 \cdot 5$

$V = 60 {c m}^{3}$

Selbstkontrolle: Eine Schicht enthält rechnerisch $12$ Einheitswürfel. Bei $5$ Schichten sind $60$ plausibel.

Interaktives Beispiel 2: Dreieckige Grundfläche

Gegeben:

$g = 6 c m$

$h_{G} = 4 c m$

$h = 7 c m$

1. Dreiecksfläche

$G = \frac{6 \cdot 4}{2} = 12 {c m}^{2}$

2. Prismenvolumen

$V = 12 \cdot 7 = 84 {c m}^{3}$

Wichtig: $h_{G}$ gehört zum Dreieck. $h$ ist die Höhe des ganzen Prismas.

Drehbares 3D-Prisma

Drehe den Körper. Verändere die Maße. Prüfe danach Deine Rechnung mit $V = G \cdot h$ .

Prüfauftrag: Ändert sich $V$ , wenn Du nur die Ansicht drehst?

Feedback
Nein. Eine Drehung verändert nur die Darstellung, nicht die Maße des Körpers.

Interaktives Beispiel 3: Grundfläche ist schon gegeben

Gegeben:

$G = 15 {c m}^{2}$

$h = 6 c m$

Dann:

$V = 15 \cdot 6 = 90 {c m}^{3}$

Schnellregel: Wenn $G$ schon angegeben ist, musst Du die Grundfläche nicht noch einmal berechnen.

Übungen mit Hilfestufen und Feedback

Übung A: Rechtecksprisma

Ein Prisma hat eine rechteckige Grundfläche mit $a = 5 c m$ und $b = 2 c m$ . Die Körperhöhe beträgt $h = 4 c m$ .

Berechne $V$ .

Hilfe 1
Berechne zuerst $G = a \cdot b$ .

Hilfe 2
$G = 5 \cdot 2 = 10 {c m}^{2}$

Feedback und Lösung
$V = 10 \cdot 4 = 40 {c m}^{3}$

Übung B: Dreiecksprisma

Gegeben:

$g = 8 c m$

$h_{G} = 3 c m$

$h = 5 c m$

Berechne $V$ .

Hilfe 1
$G = \frac{g \cdot h_{G}}{2}$

Hilfe 2
$G = \frac{8 \cdot 3}{2} = 12 {c m}^{2}$

Feedback und Lösung
$V = 12 \cdot 5 = 60 {c m}^{3}$

Übung C: Fehlende Körperhöhe

Gegeben:

$V = 72 {c m}^{3}$

$G = 12 {c m}^{2}$

Gesucht ist $h$ .

Hilfe 1
Nutze $V = G \cdot h$ rückwärts.

Hilfe 2
$h = \frac{V}{G}$

Feedback und Lösung
$h = \frac{72}{12} = 6 c m$

Typische Fehler

Quadrateinheit und Kubikeinheit: Für die Grundfläche gilt zum Beispiel ${c m}^{2}$ , für das Volumen ${c m}^{3}$ .
Körperhöhe: Verwende den senkrechten Abstand zwischen Grund- und Deckfläche.
Dreiecksfläche: Bei $G = \frac{g \cdot h_{G}}{2}$ darf das Teilen durch $2$ nicht fehlen.
Grundfläche: Berechne zuerst $G$ und setze danach in $V = G \cdot h$ ein.

Visueller Vergleich

Auftrag: Finde im Netz die beiden kongruenten Dreiecke. Sie können Grund- und Deckfläche des Prismas bilden.

Vergleich: Bei einem Prisma wird eine Grundfläche über eine Höhe „fortgeführt“. Für das Prisma bleibt die zentrale Idee:

$V = G \cdot h$

Selbstkontrolle

Rechne und öffne erst danach die Lösungen.

1. $G = 9 {c m}^{2}$ , $h = 4 c m$

2. Rechteckige Grundfläche: $6 c m \cdot 2 c m$ , Körperhöhe $3 c m$

3. Dreiecksgrundfläche: $g = 10 c m$ , $h_{G} = 4 c m$ , Körperhöhe $2 c m$

4. $V = 100 {c m}^{3}$ , $G = 20 {c m}^{2}$ . Bestimme $h$ .

Lösungen
1: $36 {c m}^{3}$
2: $36 {c m}^{3}$
3: $40 {c m}^{3}$
4: $5 c m$

Transfer

Eine durchsichtige Box hat eine Grundfläche von $24 {c m}^{2}$ und ist $10 c m$ hoch.

$V = 24 \cdot 10 = 240 {c m}^{3}$

Nun wird nur die Körperhöhe verdoppelt:

$h = 20 c m$

Dann:

$V = 24 \cdot 20 = 480 {c m}^{3}$

Erkenntnis: Bleibt $G$ gleich und wird $h$ verdoppelt, verdoppelt sich auch $V$ .

Digitale Werkzeuge sinnvoll prüfen

Digitale 3D-Modelle helfen beim Drehen, Messen und Vergleichen. Prüfe Ergebnisse trotzdem mit Deinem eigenen Rechenweg.

Prüfkette:

$G$ bestimmen → $h$ prüfen → mit $V = G \cdot h$ rechnen → Einheit kontrollieren.

Gib in offenen Online-Werkzeugen keine personenbezogenen Daten ein. Auch Ergebnisse von KI-Systemen können falsch sein. Eine KI-Ausgabe ersetzt keinen mathematischen Rechenweg und keinen mathematischen Beweis.

Kompetenzcheck

Kreuze für Dich an: sicher, teilweise sicher oder noch üben.

Grundfläche erkennen: Ich kann $G$ an einem Prisma bestimmen.
Körperhöhe erkennen: Ich kann $h$ als senkrechten Abstand erkennen.
Volumenformel: Ich kann $V = G \cdot h$ anwenden.
Dreiecksprisma: Ich kann zuerst $G = \frac{g \cdot h_{G}}{2}$ berechnen.
Einheiten: Ich unterscheide ${c m}^{2}$ und ${c m}^{3}$ .
Begründung: Ich kann erklären, warum das Schichtmodell zur Formel führt.

Reflexion

Vervollständige drei Sätze:

Das habe ich verstanden: „Bei einem Prisma bedeutet die Grundfläche …“
Das prüfe ich zuerst: „Vor dem Rechnen schaue ich …“
Das muss ich noch üben: „Unsicher bin ich noch bei …“

Folgekurs

Als nächstes kannst Du weiterarbeiten mit:

M8 G - Oberfläche von Prismen berechnen

M8 G - Volumen von Zylindern berechnen

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Diesen aiMOOC als Battle spielen

Welche Formel berechnet das Volumen eines Prismas? (V gleich G mal h) (!V gleich G plus h) (!V gleich G geteilt durch h) (!V gleich zwei mal G)

Wofür steht G in der Volumenformel? (Flächeninhalt der Grundfläche) (!Umfang der Grundfläche) (!Körperhöhe) (!Anzahl der Kanten)

Was beschreibt h in der Formel für das Prismenvolumen? (Senkrechten Abstand zwischen Grundfläche und Deckfläche) (!Umfang der Grundfläche) (!Höhe eines beliebigen Dreiecks) (!Länge jeder Seitenkante)

Welche Einheit passt zu einem Volumen? (Kubikzentimeter) (!Quadratzentimeter) (!Zentimeter) (!Grad)

Eine Grundfläche ist 12 Quadratzentimeter groß und die Körperhöhe 5 Zentimeter. Wie groß ist das Volumen? (60 Kubikzentimeter) (!17 Kubikzentimeter) (!24 Kubikzentimeter) (!120 Kubikzentimeter)

Wie berechnest Du die Fläche eines Dreiecks aus Grundseite und zugehöriger Höhe? (Grundseite mal Höhe geteilt durch zwei) (!Grundseite mal Höhe) (!Grundseite plus Höhe) (!Grundseite mal zwei plus Höhe)

Was geschieht mit dem Volumen, wenn bei gleicher Grundfläche die Körperhöhe verdoppelt wird? (Das Volumen verdoppelt sich) (!Das Volumen halbiert sich) (!Das Volumen bleibt gleich) (!Das Volumen vervierfacht sich)

Welche Größe berechnest Du bei einem Dreiecksprisma normalerweise zuerst? (Flächeninhalt der Grundfläche) (!Mantelfläche) (!Oberfläche) (!Anzahl der Ecken)

Ein Prisma hat 72 Kubikzentimeter Volumen und 12 Quadratzentimeter Grundfläche. Wie groß ist die Körperhöhe? (6 Zentimeter) (!60 Zentimeter) (!84 Zentimeter) (!864 Zentimeter)

Warum passt das Schichtmodell zur Volumenformel? (Gleich große Grundschichten werden über die Höhe gestapelt) (!Alle Seitenflächen sind immer Quadrate) (!Jedes Prisma besteht nur aus Würfeln) (!Grundfläche und Körperhöhe haben immer denselben Zahlenwert)

Memory

Grundfläche	Basisfläche des Prismas
Körperhöhe	Senkrechter Abstand der parallelen Flächen
Volumen	Rauminhalt eines Körpers
Kubikzentimeter	Einheit für kleine Volumina
Schichtmodell	Stapel gleich großer Querschnitte
Dreiecksprisma	Prisma mit dreieckiger Grundfläche

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Bedeutung
Grundfläche bestimmen	erster Rechenschritt
Körperhöhe erkennen	senkrechter Abstand
Grundfläche mal Höhe	Volumenberechnung
Quadrateinheit	Einheit der Grundfläche
Kubikeinheit	Einheit des Volumens

Kreuzworträtsel

Prisma	Welcher Körper besitzt zwei parallele kongruente Grund- und Deckflächen?
Volumen	Wie heißt der Rauminhalt eines Körpers?
Grundfläche	Welche Fläche wird in der Formel mit G bezeichnet?
Körperhöhe	Wie heißt der senkrechte Abstand zwischen Grund- und Deckfläche?
Kubikeinheit	Welche Art Einheit gehört zu einem Volumen?
Dreieck	Welche Grundform besitzt ein Dreiecksprisma?

LearningApps

Lückentext

Offene Aufgaben

Leicht

Prismen im Alltag: Fotografiere oder zeichne drei prismatische Gegenstände ohne Personen oder persönliche Daten im Bild und markiere jeweils eine mögliche Grundfläche.
Einheitswürfel: Baue mit Würfeln einen Quader aus drei Schichten und erkläre mit einem Satz, wie Du sein Volumen findest.
Formelplakat: Gestalte ein kleines Lernplakat mit $V = G \cdot h$ , einer Skizze und einem selbst gewählten Beispiel.
Fehlerdetektiv: Erfinde eine falsche Rechnung mit einer typischen Verwechslung von ${c m}^{2}$ und ${c m}^{3}$ und korrigiere sie.

Standard

Transparentes Prisma: Baue ein durchsichtiges Modell aus Folie oder Papier und markiere Grundfläche, Deckfläche und Körperhöhe.
Erklärvideo: Produziere ein kurzes Erklärvideo zu einem Beispiel mit $V = G \cdot h$ . Verwende keine personenbezogenen Daten.
Dreiecksprisma: Erfinde Maße mit ganzzahligem Ergebnis und dokumentiere den vollständigen Rechenweg.
3D-Modell prüfen: Stelle in GeoGebra ein Prisma ein, lies Maße ab und kontrolliere das angezeigte Volumen mit einer eigenen Rechnung.

Schwer

Rückwärtsaufgabe: Erfinde eine Aufgabe, bei der $V$ und $G$ gegeben sind und $h$ gesucht ist.
Volumenvergleich: Konstruiere zwei Prismen mit gleicher Grundfläche, aber unterschiedlichen Körperhöhen, und begründe den Volumenvergleich.
Grundflächen zerlegen: Zeichne eine zusammengesetzte Grundfläche aus zwei Rechtecken, berechne $G$ durch Zerlegen und bestimme danach das Prismenvolumen.
Digitale Prüfung: Lass ein digitales Werkzeug oder eine KI eine Prismenvolumen-Aufgabe lösen. Prüfe jeden Rechenschritt selbst und kennzeichne mögliche Fehler. Ein KI-Ergebnis gilt nicht als Beweis.

Lernkontrolle

Schichtmodell begründen: Erkläre an einem selbst gewählten Beispiel, wie aus gleich großen Schichten die Formel $V = G \cdot h$ entsteht.
Fehleranalyse: Eine Person rechnet bei $G = 18 {c m}^{2}$ und $h = 4 c m$ das Ergebnis $22 {c m}^{3}$ . Erkläre den Fehler und korrigiere die Rechnung.
Höhen unterscheiden: Zeichne ein Dreiecksprisma und markiere $h_{G}$ der Dreiecksgrundfläche sowie $h$ des Prismas. Erkläre den Unterschied.
Transfer auf Veränderung: Begründe ohne vollständiges Neuberechnen, wie sich $V$ verändert, wenn $G$ gleich bleibt und $h$ verdreifacht wird.
Plausibilität: Ein Prisma besitzt $G = 25 {c m}^{2}$ und $h = 8 c m$ . Jemand nennt $V = 200 {c m}^{2}$ . Entscheide, welcher Teil richtig und welcher Teil falsch ist, und begründe.
Modellkritik: Ein 3D-Programm zeigt nach Änderung eines Reglers ein unerwartetes Volumen. Beschreibe, wie Du unabhängig vom Programm prüfst, ob der Wert stimmen kann.