M8 G - Lineare Modelle auf Plausibilität prüfen

Einleitung

Mini-Beschreibung: Prüfe, ob ein geradliniger Verlauf zu einer gegebenen Sachsituation passt.

In diesem aiMOOC arbeitest Du mit linearen Funktionen, Graphen, Tabellen und kurzen Sachtexten. Du entscheidest vor allem: Ist eine Gerade als Modell plausibel?

Merke: Eine Gerade passt dann gut, wenn sich die betrachtete Größe in gleich großen Schritten immer ungefähr gleich stark ändert.

$y=m\cdot x+b$

Dabei beschreibt $b$ den Startwert und $m$ die gleichbleibende Änderung pro Schritt.

Video laden

YouTube

YouTube sammelt möglicherweise persönliche Daten. Datenschutzrichtlinie

Fortfahren Ausblenden

Medienhinweis: Die eingebundenen Bilder stammen aus Wikimedia Commons. Videos werden über YouTube eingebettet und nicht kopiert. Prüfe bei eigenen Weiterverwendungen immer die jeweilige Lizenzangabe.

Lernziele

Nach diesem Kurs kannst Du:

1. lineare Modelle an einer Geraden erkennen.
2. Graphen, kurze Texte und Tabellen einander zuordnen.
3. mit einfachen Zahlen prüfen, ob die Änderung ungefähr konstant ist.
4. offensichtliche Gegenbeispiele erkennen.
5. mit einem Satz begründen, warum ein lineares Modell passt oder nicht passt.
6. digitale Graphen und KI-Antworten kritisch prüfen.

Satzstarter für Begründungen:

1. „Das lineare Modell passt, weil …“
2. „Die Änderung ist immer …“
3. „Das Modell passt nicht, weil …“
4. „Ein Gegenbeispiel ist …“

Vorwissen-Check

Check 1: Welche Darstellung gehört zu einer linearen Funktion?

A: eine Gerade B: eine gekrümmte Linie

Selbstkontrolle: A.

Check 2: Ein Preis steigt bei jedem weiteren Kilometer um denselben Betrag. Ist eine Gerade grundsätzlich denkbar?

Selbstkontrolle: Ja. Die Änderung pro Kilometer ist konstant.

Check 3: Ein Ball wird hochgeworfen. Erst steigt er, dann fällt er wieder. Kann ein einziger gerader Graph den ganzen Flug sinnvoll beschreiben?

Selbstkontrolle: Nein.

Das Grundprinzip

Drei Fragen reichen oft aus:

Prüffrage	Worauf achtest Du?
1. Gerade?	Der Graph verläuft ohne Kurve und ohne Knick.
2. Gleiche Änderung?	Für gleiche Schritte in $x$ ändert sich $y$ gleich stark.
3. Sachlich möglich?	Werte, Startpunkt und Verlauf passen zur Situation.

Beispiel:

Ein Fahrradverleih verlangt eine feste Startgebühr und zusätzlich immer denselben Preis pro Stunde.

$K(t)=2t+4$

1. Startwert: $4$ Euro
2. Änderung: $2$ Euro je Stunde
3. Graph: Gerade

Begründung: Das Modell ist plausibel, solange der Preis tatsächlich für jede weitere Stunde um denselben Betrag steigt.

Visuelle Schritt-für-Schritt-Prüfung

Schritt 1: Sachsituation lesen

„Ein Behälter enthält zu Beginn $10$ Liter. Jede Minute kommen genau $3$ Liter hinzu.“

Schritt 2: Änderung markieren

$10,13,16,19,22$

Die Zunahme ist immer:

$+3$

Schritt 3: Modell aufstellen

$V(t)=3t+10$

Schritt 4: Plausibilität prüfen

Solange wirklich jede Minute gleich viel Wasser hinzukommt und der Behälter nicht überläuft, ist das lineare Modell plausibel.

Wichtig: Mathematik beschreibt ein Modell. Die Wirklichkeit kann später vom Modell abweichen.

Text-Graph-Zuordnungen

Ordne gedanklich zu.

Sachsituation	Passender Verlauf
Gleichbleibender Preis pro Kilometer	Gerade
Gleichmäßiges Füllen mit konstantem Zufluss	Gerade
Ball fliegt hoch und wieder herunter	Kurve
Person läuft, bleibt stehen und läuft weiter	geknickter Verlauf
Pflanze wächst an manchen Tagen schneller als an anderen	meist keine einzige Gerade

Denkfrage: Warum passt zu einem Weg-Zeit-Verlauf mit Pause keine einzige Gerade?

Feedback: Während der Pause ändert sich der Weg nicht. Vorher und nachher ändert er sich wieder. Die Änderungsrate bleibt also nicht durchgehend gleich.

Offensichtliche Gegenbeispiele

Gegenbeispiel 1: Ballwurf

Ein Ball steigt und fällt wieder.

Folgerung: Eine einzige Gerade kann diesen ganzen Verlauf nicht passend darstellen.

Gegenbeispiel 2: Rabattstaffel

Bis zu einer bestimmten Menge gilt ein Preis, danach ein anderer.

Folgerung: Der Graph kann einen Knick haben.

Gegenbeispiel 3: Füllvorgang endet

Ein Tank wird gleichmäßig gefüllt, ist aber irgendwann voll.

Folgerung: Das lineare Modell kann nur für einen begrenzten Zeitraum sinnvoll sein.

Dynamischer Graph

Verändere Steigung und Achsenabschnitt. Beobachte, was sich am Graphen ändert.

Auftrag:

1. Stelle eine steigende Gerade ein.
2. Stelle eine fallende Gerade ein.
3. Stelle eine waagrechte Gerade ein.
4. Formuliere zu einer Einstellung eine passende Sachsituation.

Selbstkontrolle: Ändert sich $m$, ändert sich die Steigung. Ändert sich $b$, verschiebt sich der Startwert.

Interaktives Beispiel 1: Taxikosten

Ein Taxi verlangt eine Grundgebühr von $4$ Euro und danach $2$ Euro je Kilometer.

$K(x)=2x+4$

Prüfung:

1. $x=0$: $K(0)=4$
2. $x=1$: $K(1)=6$
3. $x=2$: $K(2)=8$

Beobachtung: Pro Kilometer kommen immer $2$ Euro hinzu.

Urteil: Das lineare Modell ist für diese vereinfachte Preisregel plausibel.

Video laden

YouTube

YouTube sammelt möglicherweise persönliche Daten. Datenschutzrichtlinie

Fortfahren Ausblenden

Interaktives Beispiel 2: Temperatur

Eine Wetter-App zeigt für mehrere Stunden:

$12,13,15,18,18$

Frage: Passt eine Gerade exakt?

Schritt 1: Änderungen berechnen

$+1,+2,+3,0$

Schritt 2: vergleichen

Die Änderungen sind nicht gleich.

Feedback: Eine einzige Gerade passt hier nicht exakt.

Satzstarter: „Das lineare Modell passt nicht exakt, weil die Änderung …“

Interaktives Beispiel 3: Schulweg

Ein Schüler fährt mit gleichbleibender Geschwindigkeit direkt zur Schule.

Vereinfachtes Modell:

$s(t)=\mathrm{0,2}t$

$t$ in Minuten, $s$ in Kilometern.

Prüfe:

1. Nach $5$ Minuten: $s(5)=1$
2. Nach $10$ Minuten: $s(10)=2$

Feedback: Solange die Geschwindigkeit gleich bleibt, ist eine Gerade plausibel.

Aber: Ampeln, Pausen oder wechselndes Tempo können das Modell unpassend machen.

Übungen mit Hilfestufen und Feedback

Übung A: Kerzenhöhe

Eine Kerze ist anfangs $20$ cm hoch. Pro Stunde wird sie gleichmäßig um $2$ cm kürzer.

Aufgabe: Ist ein lineares Modell plausibel?

Hilfe 1: Vergleiche die Höhen nach gleichen Zeitabständen.

Hilfe 2:

$20,18,16,14$

Feedback: Ja. Die Änderung beträgt immer $-2$ cm pro Stunde, solange die Kerze gleichmäßig abbrennt.

Übung B: Achterbahn

Die Höhe eines Wagens steigt, fällt, steigt erneut und fällt wieder.

Aufgabe: Passt eine einzige Gerade?

Hilfe 1: Frage Dich, ob die Höhe immer gleichmäßig steigt oder fällt.

Feedback: Nein. Die Richtung und die Änderungsrate wechseln.

Übung C: Handy-Akku

Ein Akku hat jetzt $80$ Prozent. Eine App behauptet: „Er verliert exakt $10$ Prozentpunkte pro Stunde, bis er leer ist.“

Aufgabe: Ist dieses Modell immer sicher?

Hilfe 1: Denke an unterschiedliche Nutzung.

Feedback: Nein. Als kurze Näherung kann das Modell nützlich sein. In der Wirklichkeit hängt der Verbrauch von der Nutzung ab.

Rechenweg sichtbar machen

Bei jeder Modellprüfung kannst Du dieses Schema nutzen:

Schritt	Beispiel
Gegeben	Startwert $5$, Zunahme $3$ je Stunde
Rechnung	$5,8,11,14$
Darstellung	Gerade
Begründung	Die Änderung ist immer $+3$.
Ergebnis	Das lineare Modell ist plausibel.

Typische Fehler

1. Gerade gesehen – sofort „passt“ gesagt: Prüfe zusätzlich die Sachsituation.
2. Startwert und Steigung verwechselt: $b$ ist der Wert bei $x=0$, $m$ ist die Änderung pro Schritt.
3. Einheiten vergessen: Eine Steigung kann zum Beispiel „Euro pro Kilometer“ bedeuten.
4. Modell zu weit verlängert: Eine Kerze kann nicht unter $0$ cm abbrennen.
5. Digitale Ausgabe ungeprüft übernommen: Rechner, Apps und KI können unpassende Modelle liefern.

Merksatz: Eine Gerade im Bildschirm ist noch kein Beweis dafür, dass die Sachsituation wirklich linear ist.

Selbstkontrolle

Entscheide jeweils: plausibel oder nicht als eine einzige Gerade plausibel.

1. Gleichbleibender Stundenlohn ohne Zuschläge → plausibel
2. Ballwurf vom Boden nach oben und zurück → nicht als eine einzige Gerade plausibel
3. Tank wird mit konstantem Zufluss gefüllt → plausibel bis der Tank voll ist
4. Wanderung mit Pause → nicht als eine einzige Gerade plausibel
5. Fester Grundpreis plus gleicher Preis je Nutzungseinheit → plausibel

Transfer

Situation: Ein Streamingdienst kostet monatlich einen festen Grundpreis. Zusätzlich wird jede ausgeliehene Premiere mit demselben Betrag berechnet.

Ein mögliches Modell ist:

$K(x)=3x+8$

Transferfrage 1: Was bedeutet $8$?

Antwort: Grundpreis.

Transferfrage 2: Was bedeutet $3$?

Antwort: Preis pro zusätzlicher Premiere.

Transferfrage 3: Wann wäre das Modell nicht mehr passend?

Antwortbeispiel: Wenn Mengenrabatte, Freiminuten oder unterschiedliche Preise hinzukommen.

Kompetenzcheck

Kreuze für Dich ab:

1. Ich erkenne einen geradlinigen Verlauf.
2. Ich kann gleiche Änderungen in einer Tabelle erkennen.
3. Ich kann Text und Graph miteinander vergleichen.
4. Ich kann ein Gegenbeispiel nennen.
5. Ich kann mit einem vollständigen Satz begründen, warum ein Modell passt oder nicht passt.
6. Ich prüfe digitale Ergebnisse, statt sie ungeprüft zu übernehmen.

Wenn Du bei vier oder mehr Punkten sicher bist, bist Du für die Aufgaben unten gut vorbereitet.

Reflexion

Beantworte kurz:

1. Welche Prüffrage hilft Dir am meisten?
2. Bei welchem Beispiel war eine Gerade zunächst verlockend, aber unpassend?
3. Warum ist ein Modell immer nur eine vereinfachte Beschreibung?
4. Was musst Du bei einem KI-generierten Graphen zusätzlich prüfen?

Wichtig: Eine KI-Ausgabe kann eine Vermutung liefern. Sie ersetzt keine mathematische Prüfung und keine nachvollziehbare Begründung.

Folgekurs

Als Nächstes passt ein Kurs zu:

1. Steigung bestimmen
2. Achsenabschnitt bestimmen
3. Funktionsgleichung aufstellen
4. Lineare Funktionen in Sachsituationen

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Wann ist ein geradliniges Modell besonders plausibel? (Bei gleichbleibender Änderung) (!Bei ständig wechselnder Änderung) (!Bei einem Ballwurf) (!Bei mehreren starken Knicken)

Was zeigt der Graph einer linearen Funktion? (Eine Gerade) (!Einen Kreis) (!Eine Parabel) (!Eine Zickzacklinie)

Was bedeutet der Startwert in $y=m\cdot x+b$? (Der Wert bei x gleich null) (!Die größte Steigung) (!Die Anzahl aller Punkte) (!Die Länge der x Achse)

Welche Sachsituation ist ein offensichtliches Gegenbeispiel für eine einzige Gerade? (Ein Ball steigt und fällt wieder) (!Ein Preis steigt immer gleich stark) (!Ein Tank wird gleichmäßig gefüllt) (!Ein fester Grundpreis wird durch einen festen Stückpreis ergänzt)

Woran erkennst Du in einer Wertetabelle einen linearen Verlauf? (Die Änderungen sind bei gleichen Schritten gleich) (!Alle Werte sind gleich groß) (!Die Werte müssen immer negativ sein) (!Es gibt nur zwei Werte)

Was beschreibt die Steigung anschaulich? (Die Änderung pro Schritt) (!Nur den Startwert) (!Die Anzahl der Achsen) (!Die Farbe des Graphen)

Warum kann eine Gerade für eine Kerze nur begrenzt gelten? (Die Kerze kann nicht unter null Zentimeter abbrennen) (!Eine Kerze hat keine Höhe) (!Zeit kann nicht gemessen werden) (!Geraden dürfen nicht fallen)

Welche Aussage zu digitalen Graphen ist richtig? (Sie müssen zur Sachsituation geprüft werden) (!Sie sind immer korrekt) (!Sie ersetzen jede Begründung) (!Sie beweisen automatisch die Wirklichkeit)

Was passt zu einer Wanderung mit einer längeren Pause? (Ein Verlauf mit einem waagrechten Abschnitt) (!Immer eine einzige steigende Gerade) (!Immer eine einzige fallende Gerade) (!Immer eine Parabel)

Welche Begründung ist für ein lineares Modell geeignet? (Die Größe ändert sich in gleichen Schritten gleich stark) (!Der Graph sieht schön aus) (!Das Ergebnis wurde von einer KI erzeugt) (!Die Tabelle hat viele Zeilen)

Memory

Gerade	konstante Änderungsrate
Achsenabschnitt	Startwert
Steigung	Änderung pro Schritt
Plausibilität	Passung zur Sachsituation
Gegenbeispiel	zeigt eine Grenze des Modells
Definitionsbereich	sinnvoller Gültigkeitsbereich

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Thema
Taxitarif	Grundpreis plus gleichbleibender Kilometerpreis
Ballwurf	Steigen und Fallen
Kerze	gleichmäßige Abnahme
Wanderpause	waagrechter Abschnitt
Rabattstaffel	geknickter Verlauf

...

Kreuzworträtsel

Gerade	Wie heißt der typische Graph einer linearen Funktion?
Steigung	Welcher Begriff beschreibt die Änderung pro Schritt?
Startwert	Wie heißt der Wert am Beginn bei x gleich null?
Plausibel	Wie nennt man ein Modell, das sinnvoll zur Situation passt?
Koordinaten	Wie heißen die Zahlen, die die Lage eines Punktes beschreiben?
Gegenbeispiel	Was zeigt, dass eine allgemeine Behauptung nicht immer gilt?

Lückentext

Vervollständige den Text.

Der Graph einer linearen Funktion ist eine . Bei gleichen Schritten verändert sich die abhängige Größe immer um den gleichen . Der Wert bei $x=0$ heißt hier . Die Änderung pro Schritt wird durch die beschrieben. Ein Ballwurf ist für eine einzige Gerade meist ein deutliches . Ein lineares Modell kann nur in einem bestimmten sinnvoll sein. Digitale Ergebnisse müssen zur passen. Eine KI-Ausgabe ersetzt keine mathematische .

Offene Aufgaben

Leicht

1. Gerade oder nicht: Fotografiere oder zeichne drei Alltagssituationen und notiere, ob Du einen geradlinigen Verlauf erwartest.
2. Wertetabelle: Erfinde eine Tabelle mit fünf Werten, bei der die Änderung immer gleich bleibt.
3. Satzstarter: Schreibe drei Begründungssätze mit „Das lineare Modell passt, weil …“.
4. Gegenbeispiel: Zeichne eine Situation, die eindeutig nicht durch eine einzige Gerade beschrieben werden kann.

Standard

1. Text und Graph: Erstelle zwei kurze Sachsituationen und zeichne jeweils einen passenden Verlauf.
2. Modellgrenze: Erkläre am Beispiel einer Kerze, wann ein zunächst lineares Modell nicht mehr sinnvoll ist.
3. Schulweg: Zeichne einen Weg-Zeit-Graphen mit Fahrt, Pause und Weiterfahrt und erkläre die Abschnitte.
4. Digitale Prüfung: Erzeuge mit einem Graphikprogramm eine Gerade und prüfe, welche reale Situation dazu passen könnte.

Schwer

1. Modellvergleich: Vergleiche zwei mögliche Graphen zu derselben Sachsituation und begründe, welcher Verlauf besser passt.
2. Messdaten: Sammle selbst fünf harmlose Messwerte ohne personenbezogene Daten und prüfe, ob ein lineares Modell ungefähr sinnvoll ist.
3. KI-Kritik: Lass eine KI zu einer selbst erfundenen Sachsituation eine Funktionsgleichung vorschlagen und überprüfe jeden Schritt selbst.
4. Erklärvideo: Produziere ein kurzes Erklärvideo zum Thema „Wann passt eine Gerade?“ und nutze ein eigenes Gegenbeispiel.

Lernkontrolle

1. Modell begründen: Ein Wasserbehälter wird gleichmäßig gefüllt. Begründe, warum ein lineares Modell zunächst sinnvoll sein kann und nenne eine Grenze.
2. Graph interpretieren: Ein Weg-Zeit-Graph enthält einen waagrechten Abschnitt. Erkläre die Sachsituation, die dazu passen könnte.
3. Fehler finden: Jemand sagt „Der Graph ist eine Gerade, also muss die Wirklichkeit linear sein.“ Erkläre den Denkfehler.
4. Darstellungen wechseln: Erfinde zu $y=2x+5$ eine plausible Sachsituation und erkläre die Bedeutung von $2$ und $5$.
5. Gegenbeispiel entwickeln: Nenne eine Alltagssituation, bei der ein lineares Modell nur kurze Zeit sinnvoll ist, und begründe.
6. Digitale Werkzeuge prüfen: Beschreibe drei Prüfschritte, mit denen Du einen von einer App oder KI erzeugten Graphen kontrollierst.

Lernnachweis

Für einen Lernnachweis solltest Du zeigen können:

1. Du erkennst, ob ein Graph geradlinig, gekrümmt oder geknickt ist.
2. Du prüfst in Tabellen, ob die Änderung bei gleichen Schritten konstant ist.
3. Du ordnest Text, Tabelle, Gleichung und Graph sinnvoll zu.
4. Du begründest die Plausibilität eines linearen Modells mit vollständigen Sätzen.
5. Du nennst Grenzen eines Modells und passende Gegenbeispiele.
6. Du dokumentierst Rechenweg, Darstellung und Ergebnis nachvollziehbar.
7. Du prüfst digitale oder KI-erzeugte Ergebnisse selbstständig.

Quellen und Medienhinweise

1. Bildungsplan Baden-Württemberg – Funktionaler Zusammenhang
2. Wikimedia Commons – Graph describing a linear function
3. Wikimedia Commons – Diagram of gradient of linear function graph
4. Wikimedia Commons – Distance-time graph example
5. Wikimedia Commons – Piecewise linear function
6. Wikimedia Commons – Parabolagraph
7. GeoGebra – Steigung und y-Achsenabschnitt

Verknüpfte Lernbereiche

Lineare Modelle auf Plausibilität prüfen Lineare Funktion Graph Steigung Achsenabschnitt Wertetabelle Sachsituation Modell Plausibilität Gegenbeispiel