M8 E - Geometrische Optimierungsprobleme mit Flächen lösen

Einleitung

Mini-Beschreibung: Untersuche einfache offene Probleme zu Flächen und Umfängen, verändere Maße systematisch und suche günstige Lösungen. Nutze Tabellen, dynamische Geometrie und Terme.

Niveau: Mathematik Klasse 8, E-Niveau, Baden-Württemberg.

Du hast $24\mathrm{m}$ Zaun und möchtest ein rechteckiges Beet einzäunen. Welche Seitenlängen liefern die größte Fläche? Statt zu raten, veränderst Du Maße systematisch, vergleichst Tabellenwerte, formulierst einen Term und begründest das Optimum.

Wikimedia Commons: PerimeterRectangle.svg, CC0.

Leitfrage: Wie erkennst Du eine günstige Lösung – und wie kannst Du zeigen, dass keine bessere möglich ist?

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Lernziele

Du kannst …	Nachweis
Maße systematisch verändern	Tabelle oder dynamische Geometrie
eine Nebenbedingung aufstellen	zum Beispiel $2a+2b=24$
eine Zielfunktion bilden	zum Beispiel $A(a)=a(12-a)$
ein Optimum erkennen	Tabelle, Graph und Term vergleichen
eine Vermutung begründen	Scheitelpunkt oder algebraischer Vergleich
Gegenbeispiele finden	Randbedingungen gezielt verändern
digitale Ergebnisse prüfen	Werte, Bereich und Einheit kontrollieren

Vorwissen-Check

Bearbeite die vier Mini-Aufgaben ohne Taschenrechner.

Aufgabe	Dein Ergebnis
Rechteck mit $a=7\mathrm{c}\mathrm{m}$ und $b=4\mathrm{c}\mathrm{m}$: Fläche?	$A=?$
Dasselbe Rechteck: Umfang?	$U=?$
Löse $2a+2b=20$ nach $b$ auf.	$b=?$
Ergänze: $-(x-3{)}^2+9$ ist höchstens …	$?$

Selbstcheck: $28{\mathrm{c}\mathrm{m}}^2$; $22\mathrm{c}\mathrm{m}$; $b=10-a$; höchstens $9$.

Grundidee: Optimieren

Ein geometrisches Optimierungsproblem hat meist zwei Rollen:

Rolle	Frage	Beispiel
Nebenbedingung	Was bleibt fest?	$U=24\mathrm{m}$
Zielfunktion	Was soll groß oder klein werden?	$A=a\cdot b$

Wikimedia Commons: Illustration for the area of a rectangle.svg, CC0.

Für ein Rechteck gilt:

$A=a\cdot b$

$U=2a+2b=2(a+b)$

Schritt-für-Schritt: fester Umfang

Gegeben ist $U=24\mathrm{m}$.

Schritt 1 – Nebenbedingung:

$2a+2b=24$

Schritt 2 – eine Seite ausdrücken:

$a+b=12$

$b=12-a$

Schritt 3 – in die Fläche einsetzen:

$A(a)=a\cdot (12-a)$

$A(a)=-a^2+12a$

Schritt 4 – systematisch testen:

$a$ in m	$b$ in m	$A$ in m²
2	10	20
4	8	32
5	7	35
6	6	36
7	5	35
8	4	32
10	2	20

Die Tabelle legt $a=b=6\mathrm{m}$ nahe.

Schritt 5 – begründen:

$A(a)=-a^2+12a=-(a-6{)}^2+36$

Da ein Quadrat niemals negativ ist, gilt $(a-6{)}^2\ge 0$. Deshalb ist

$-(a-6{)}^2+36\le 36$.

Die größte Fläche beträgt also $36{\mathrm{m}}^2$ und entsteht beim Quadrat $6\mathrm{m}\times 6\mathrm{m}$.

Dynamische Geometrie: Ziehen statt raten

Verändere im GeoGebra-Modell die Seitenlänge. Der Umfang bleibt konstant. Notiere mindestens fünf Wertepaare und prüfe anschließend Deine Vermutung mit dem Term.

Arbeitsauftrag: Finde das Maximum zuerst visuell, dann tabellarisch und zuletzt rechnerisch. Erkläre, warum ein schöner Graph allein noch kein Beweis ist.

Beispiel 2: Gleiche Fläche, kleinster Umfang

Gegeben sei $A=36{\mathrm{c}\mathrm{m}}^2$. Dann gilt

$b=\frac{36}{a}$

und damit

$U(a)=2(a+\frac{36}{a})$.

$a$ in cm	$b$ in cm	$U$ in cm
2	18	40
3	12	30
4	9	26
6	6	24
9	4	26

Für positive $a$ und $b$ gilt:

$(a-b{)}^2\ge 0$

$a^2-2ab+b^2\ge 0$

$(a+b{)}^2\ge 4ab$

Bei festem $ab=36$ wird $a+b$ genau dann minimal, wenn $a=b$. Das Quadrat hat hier also den kleinsten Umfang.

Beispiel 3: Gegenbeispiel an einer Mauer

Eine rechteckige Fläche liegt an einer langen Mauer. Nur drei Seiten brauchen Zaun. Insgesamt stehen $30\mathrm{m}$ Zaun zur Verfügung.

Wikimedia Commons: Rectangle (geometry).svg, gemeinfrei.

Sei $x$ die Tiefe und $y$ die Seite parallel zur Mauer.

$2x+y=30$

$y=30-2x$

$A(x)=x(30-2x)$

$A(x)=-2x^2+30x$

$A(x)=-2(x-\mathrm{7,5}{)}^2+\mathrm{112,5}$

Das Maximum liegt bei $x=\mathrm{7,5}\mathrm{m}$ und $y=15\mathrm{m}$.

Wichtig: „Das Quadrat ist immer optimal“ ist falsch. Es ist nur unter passenden Nebenbedingungen optimal. Die Mauer verändert die Nebenbedingung.

Vom Bild zum Term

Nutze bei offenen Problemen diese Reihenfolge:

Schritt	Mathematische Aktion
1	Skizze mit Variablen
2	feste Größe als Gleichung
3	Zielgröße als Formel
4	auf eine Variable reduzieren
5	Werte oder Graph untersuchen
6	Optimum begründen
7	Ergebnis im Sachkontext prüfen

Übungen mit Hilfestufen und Feedback

Übung 1: 28 m Zaun

Ein Rechteck hat den festen Umfang $28\mathrm{m}$. Bestimme die Seitenlängen mit maximaler Fläche und gib die maximale Fläche an.

Hilfe 1: Aus $2a+2b=28$ folgt $a+b=14$.

Hilfe 2: Setze $b=14-a$ in $A=a\cdot b$ ein.

Feedback: $A(a)=-(a-7{)}^2+49$. Maximum: $7\mathrm{m}\times 7\mathrm{m}$, also $49{\mathrm{m}}^2$.

Übung 2: Fläche 64 cm²

Ein Rechteck hat die feste Fläche $64{\mathrm{c}\mathrm{m}}^2$. Bestimme den kleinsten möglichen Umfang.

Hilfe 1: Vergleiche passende Seitenpaare mit Produkt $64$.

Hilfe 2: Prüfe besonders Maße nahe beieinander.

Feedback: Beim Quadrat $8\mathrm{c}\mathrm{m}\times 8\mathrm{c}\mathrm{m}$ ist $U=32\mathrm{c}\mathrm{m}$ minimal.

Übung 3: Zaun an einer Mauer

Für drei Seiten eines rechteckigen Geheges stehen $36\mathrm{m}$ Zaun zur Verfügung. Die vierte Seite liegt an einer Mauer. Bestimme die maximale Fläche.

Hilfe 1: $2x+y=36$.

Hilfe 2: $A(x)=x(36-2x)$.

Feedback: $A(x)=-2(x-9{)}^2+162$. Optimal sind $x=9\mathrm{m}$ und $y=18\mathrm{m}$; die Fläche beträgt $162{\mathrm{m}}^2$.

Übung 4: Gegenbeispiel finden

Untersuche die Behauptung: „Bei jedem Flächen-Optimierungsproblem mit Rechtecken ist ein Quadrat optimal.“ Formuliere eine Nebenbedingung, für die die Behauptung falsch ist.

Hilfe 1: Verändere, welche Seiten Kosten verursachen.

Hilfe 2: Nutze das Mauerproblem.

Feedback: Beim Dreiseiten-Zaun ist das optimale Rechteck kein Quadrat. Das widerlegt die allgemeine Behauptung.

Typische Fehler

Fehler	Korrektur
Umfang und Fläche verwechselt	Einheit prüfen: m oder m²
beide Seiten frei verändert	Nebenbedingung zuerst festhalten
nur einen Tabellenwert betrachtet	systematisch mehrere Werte testen
Graph außerhalb sinnvoller Maße genutzt	Definitionsbereich prüfen
Maximum nur behauptet	mit Term, Tabelle oder Struktur begründen
KI-Ergebnis übernommen	selbst nachrechnen und begründen

Digitale Werkzeuge kritisch nutzen

Dynamische Geometrie, Tabellenkalkulation und KI können Vermutungen beschleunigen. Sie ersetzen aber keine mathematische Begründung.

Prüfschritt	Kontrollfrage
Werte	Stimmt ein Punkt per Handrechnung?
Bereich	Sind nur positive Seitenlängen zugelassen?
Einheit	Ist Fläche wirklich in Quadrateinheiten?
Genauigkeit	Wurde sinnvoll gerundet?
Begründung	Ist erklärt, warum es optimal ist?

Nutze für digitale Untersuchungen keine Namen, Fotos oder andere personenbezogene Daten. Prüfe KI-Ausgaben fachlich; ein plausibel klingender Text ist kein mathematischer Beweis.

Medien zur Wiederholung

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Das Video wiederholt das Umstellen der Rechteckformeln. Nutze es nur, wenn Du beim Übergang von Nebenbedingung zu Term noch unsicher bist.

Selbstkontrolle

Beantworte ohne Hilfsmittel:

Frage	Kurzantwort
Warum reicht Probieren allein nicht?	Es beweist kein globales Optimum.
Was ist bei $U=24$ der sinnvolle Bereich?	$0<a<12$
Woran erkennst Du bei $-(a-6{)}^2+36$ das Maximum?	Der Quadratterm wird bei $a=6$ null.
Warum ist das Mauerproblem ein Gegenbeispiel?	Die optimale Form ist kein Quadrat.

Transfer

Ein rechteckiges Plakat soll eine feste Bildfläche besitzen. Um das Bild verläuft ein Rand, der oben und unten breiter ist als links und rechts. Formuliere selbst Variablen, eine Nebenbedingung und eine Zielfunktion für die gesamte Papierfläche. Untersuche, ob das optimale Plakat quadratisch sein muss. Begründe Deine Antwort und gib an, welche Modellannahmen Du getroffen hast.

Kompetenzcheck

Ich kann …	Ja	Noch üben
aus Texten Nebenbedingungen bilden	□	□
Terme mit einer Variablen aufstellen	□	□
Tabellen und Graphen vergleichen	□	□
ein Maximum algebraisch begründen	□	□
Gegenbeispiele zu zu starken Aussagen finden	□	□
digitale Ergebnisse fachlich prüfen	□	□

Reflexion

Beantworte in drei bis fünf Sätzen: Welche Darstellung hilft Dir beim Optimieren am meisten – Skizze, Tabelle, Graph oder Term? An welcher Stelle brauchst Du trotzdem eine zweite Darstellung? Woran erkennst Du, dass Deine Lösung nicht nur plausibel, sondern begründet ist?

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Welche Formel beschreibt den Umfang eines Rechtecks mit Seiten a und b? (U = 2a + 2b) (!U = a mal b) (!U = a + b) (!U = 2 mal a mal b)

Welche Formel beschreibt den Flächeninhalt eines Rechtecks? (A = a mal b) (!A = 2a + 2b) (!A = a + b) (!A = 2 mal a mal b + 2)

Welches Rechteck hat bei Umfang 24 m die größte Fläche? (6 m mal 6 m) (!2 m mal 10 m) (!4 m mal 8 m) (!5 m mal 7 m)

Welche Gleichung folgt bei Umfang 24 m für b in Abhängigkeit von a? (b = 12 - a) (!b = 24 - a) (!b = 12 + a) (!b = 24 - 2a)

Welche Beschreibung passt zur Zielfunktion beim Rechteck mit Umfang 24 m? (a mal die Differenz aus 12 und a) (!2a + 24) (!a mal die Differenz aus 24 und a) (!12 - a)

Was zeigt die Form $A(a)=-(a-6{)}^2+36$? (Der größte Flächeninhalt ist 36) (!Der kleinste Flächeninhalt ist 36) (!Der Umfang beträgt immer 36) (!Die Seitenlänge a muss 36 sein)

Welches Rechteck mit Fläche 36 cm² hat den kleinsten Umfang? (6 cm mal 6 cm) (!2 cm mal 18 cm) (!3 cm mal 12 cm) (!4 cm mal 9 cm)

Welche Nebenbedingung gilt bei 30 m Zaun an einer Mauer, wenn nur drei Seiten eingezäunt werden? (2x + y = 30) (!2x + 2y = 30) (!x mal y = 30) (!x + y = 30)

Welche Kontrolle ist bei einem digitalen Graphen besonders wichtig? (Einen Punkt und den sinnvollen Definitionsbereich prüfen) (!Nur die Farbe des Graphen prüfen) (!Nur den höchsten sichtbaren Pixel wählen) (!Jede Softwareausgabe ungeprüft übernehmen)

Welche Aussage ist mathematisch korrekt? (Ein Quadrat ist bei festem Rechteckumfang flächenmaximal) (!Ein Quadrat ist bei jeder Nebenbedingung optimal) (!Eine Tabelle beweist immer ein globales Maximum) (!Ein KI-Ergebnis ersetzt eine Begründung)

Memory

Nebenbedingung	feste Vorgabe
Zielfunktion	zu optimierende Größe
Wertetabelle	systematische Veränderung
Scheitelpunkt	Extremstelle einer Parabel
Definitionsbereich	erlaubte Maße
Gegenbeispiel	widerlegt eine allgemeine Behauptung

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Phase
Skizze	Problem verstehen
Nebenbedingung	feste Größe beschreiben
Zielfunktion	Zielgröße formulieren
Wertetabelle	Vermutung untersuchen
Begründung	Optimum absichern

Kreuzworträtsel

Rechteck	Welche Figur mit vier rechten Winkeln wird hier optimiert?
Umfang	Welche Größe bleibt beim klassischen Zaunproblem fest?
Flaeche	Welche Größe soll beim Zaunproblem maximal werden?
Scheitelpunkt	Wie heißt der höchste oder tiefste Punkt einer Parabel?
Nebenbedingung	Wie heißt eine feste Vorgabe im Optimierungsproblem?
Gegenbeispiel	Was widerlegt eine allgemeine Behauptung?

Lückentext

Vervollständige den Text.

Bei einem Optimierungsproblem beschreibt die eine feste Vorgabe. Beim Rechteck ist die Fläche das der beiden Seitenlängen. Bei einem Umfang von $24$ ist die Summe der beiden verschiedenen Seitenlängen Meter. Die Zielfunktion entsteht durch der Nebenbedingung in die Flächenformel. Die Scheitelpunktform zeigt bei diesem Beispiel ein . Dieses liegt beim . Bei digitalen Graphen muss der sinnvolle geprüft werden. Ein einzelnes Computerergebnis ersetzt keine mathematische .

Offene Aufgaben

Leicht

1. Rechteck untersuchen: Erstelle für $U=20\mathrm{c}\mathrm{m}$ eine Tabelle mit mindestens sechs verschiedenen Rechtecken und markiere die größte Fläche.
2. Dynamische Geometrie: Verändere im GeoGebra-Modell die Seitenlänge und beschreibe, wie sich die Fläche auf dem Weg zum Quadrat verändert.
3. Fehleranalyse: Erfinde eine falsche Lösung, in der Umfang und Fläche verwechselt werden, und korrigiere sie mit Einheiten.
4. Skizze und Term: Zeichne ein Rechteck mit Variablen und leite aus $U=32\mathrm{m}$ eine Zielfunktion für die Fläche her.

Standard

1. Scheitelpunktform: Forme die Zielfunktion für $U=40\mathrm{m}$ in Scheitelpunktform um und erkläre das Maximum.
2. Tabellenkalkulation: Erstelle eine digitale Wertetabelle mit kleiner Schrittweite und vergleiche das gefundene Maximum mit Deiner Rechnung.
3. Mauerproblem: Modelliere ein Dreiseiten-Zaunproblem mit selbst gewählter Zaunlänge und bestimme die optimale Form.
4. Gegenbeispiel: Widerlege die Aussage „Das Quadrat ist bei jedem Rechteckproblem optimal“ mit einer passenden Nebenbedingung.

Schwer

1. Verallgemeinerung: Zeige für einen beliebigen festen Umfang $U$, dass $A(a)=a(\frac{U}{2}-a)$ gilt und das Maximum bei $a=\frac{U}{4}$ liegt.
2. Beweis ohne Ableitung: Begründe mit $(a-b{)}^2\ge 0$, warum das Quadrat bei festem Flächeninhalt den kleinsten Umfang hat.
3. Modellkritik: Entwickle ein Optimierungsproblem mit Kosten pro Meter, bei dem verschiedene Seiten unterschiedliche Preise haben, und begründe Deine Modellannahmen.
4. KI-Prüfung: Lass Dir zu einem selbst erfundenen Optimierungsproblem einen Lösungsvorschlag erzeugen, prüfe jeden Rechenschritt und dokumentiere mindestens eine mögliche Fehlerquelle. Verwende keine personenbezogenen Daten.

Lernkontrolle

1. Modellieren: Ein rechteckiger Auslauf wird an einer bestehenden Wand gebaut. Entwickle aus einer vorgegebenen Zaunlänge selbst eine Nebenbedingung und eine Zielfunktion.
2. Darstellungen verknüpfen: Erkläre an einem Beispiel, wie dieselbe Optimierung in Skizze, Tabelle, Graph und Term sichtbar wird und welche Darstellung welche Information liefert.
3. Begründen: Zeige ohne bloßes Ablesen eines Graphen, warum ein bestimmter Flächenwert maximal ist.
4. Gegenbeispiel prüfen: Formuliere eine zu starke Aussage über optimale Rechtecke und widerlege sie durch eine veränderte Randbedingung.
5. Digital prüfen: Analysiere einen vorgegebenen digitalen Graphen auf sinnvollen Definitionsbereich, Einheit, Rundung und Plausibilität.
6. Transfer: Übertrage die Methode auf ein Verpackungs-, Plakat- oder Gartenproblem und erläutere die Grenzen Deines Modells.

Lernnachweis

Für einen Lernnachweis solltest Du zeigen, dass Du:

1. eine geometrische Situation sinnvoll skizzieren und Variablen festlegen kannst,
2. eine Nebenbedingung korrekt in einen Term überführst,
3. eine Zielfunktion mit einer Variablen aufstellst,
4. Tabellen-, Graph- und Termdarstellungen miteinander verknüpfst,
5. ein Maximum oder Minimum nachvollziehbar begründest,
6. Randbedingungen und Definitionsbereiche beachtest,
7. Gegenbeispiele zu unzulässigen Verallgemeinerungen findest,
8. digitale Ergebnisse durch Rechnung und Argumentation überprüfst,
9. Rechenweg, Darstellung und Begründung verständlich dokumentierst.

Folgekurs

Als nächster Schritt eignen sich Quadratische Funktionen, Scheitelpunktform, Extremwertprobleme und mehrschrittige Modellierung. Dort kannst Du Optimierungen mit allgemeineren Funktionen und komplexeren Randbedingungen untersuchen.

OERs zum Thema

Weitere freie bzw. offen zugängliche Lernmedien:

1. GeoGebra: Rechteck mit konstantem Umfang
2. GeoGebra: Rechteck mit konstantem Flächeninhalt
3. Wikimedia Commons: PerimeterRectangle.svg
4. Wikimedia Commons: Illustration for the area of a rectangle.svg

Bildungsplanbezug Baden-Württemberg

Der Kurs verbindet Flächen- und Umfangsberechnungen mit funktionalen Zusammenhängen, Tabellen, Termen und quadratischen Funktionen. Außerdem werden geometrische Probleme mit digitalen Werkzeugen untersucht und Lösungswege begründet. Das entspricht zentralen Kompetenzbereichen des Mathematikunterrichts in Klasse 8 auf E-Niveau.

1. Bildungsplan Baden-Württemberg: Leitidee Messen
2. Bildungsplan Baden-Württemberg: Funktionaler Zusammenhang
3. Bildungsplan Baden-Württemberg: Raum und Form

Verknüpfte Lernbereiche

Geometrische Optimierungsprobleme Rechteck Flächeninhalt Umfang Quadratische Funktion Scheitelpunktform Dynamische Geometrie Modellieren Gegenbeispiel