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M7 M - Gleichartige Terme zusammenfassen

Mini-Beschreibung: Erkenne gleichartige Termbestandteile und fasse sie korrekt zusammen. Du arbeitest mit algebraischen Plättchen, Farbcodes und nachvollziehbaren Rechenwegen. Besonders wichtig: $x$ und $x^{2}$ sind nicht gleichartig.

Zielgruppe: Klasse 7, Mathematik, Baden-Württemberg, M-Niveau

Einleitung

Beim Zusammenfassen von Termen gilt eine einfache Idee: Nur Gleiches darf mit Gleichem zusammengefasst werden.

$3 x$ + $5 x$ = $8 x$

Denn drei $x$ -Teile und fünf $x$ -Teile ergeben acht $x$ -Teile.

Aber:

$3 x$ + $5 x^{2}$

kann nicht weiter zusammengefasst werden. $x$ und $x^{2}$ sind verschiedene Termarten.

Algebraische Plättchen helfen Dir beim Sehen der Struktur: Ein $x$ -Plättchen steht für $x$ , ein quadratisches $x^{2}$ -Plättchen für $x^{2}$ , ein kleines Einheitsplättchen für eine Zahl.

Lernziele

Du kannst nach diesem aiMOOC:

gleichartige Termbestandteile erkennen.
Koeffizienten wie in $3 x + 5 x = 8 x$ addieren oder subtrahieren.
$x$ , $x^{2}$ und reine Zahlen sicher unterscheiden.
Terme mit Farbcodes oder algebraischen Plättchen darstellen.
Deinen Rechenweg fachsprachlich erklären und Ergebnisse prüfen.
zwischen Darstellung, Rechnung und Begründung wechseln.
digitale Ergebnisse kritisch kontrollieren; eine KI-Ausgabe ersetzt keinen mathematischen Nachweis.

Vorwissen-Check

1. Was ist die Variable?

Im Term $7 x$ ist $x$ die Variable und $7$ der Koeffizient.

Selbstcheck: Welche Zahl ist der Koeffizient in $- 4 y$ ?

Lösung: $- 4$ .

2. Erkennst Du Potenzen?

$x = x^{1}$ , aber $x^{2} = x \cdot x$ .

Selbstcheck: Sind $5 x$ und $2 x^{2}$ gleichartig?

Nein. Der Variablenteil ist verschieden: $x$ gegenüber $x^{2}$ .

3. Ganze Zahlen sicher rechnen

$6 + (- 2) = 4$

Selbstcheck: Berechne $- 3 + 7$ .

Lösung: $4$ .

Gleichartige Termbestandteile erkennen

Zwei Termbestandteile sind gleichartig, wenn ihr Variablenteil vollständig übereinstimmt.

Termbestandteile	gleichartig?	Begründung
$3 x$ und $5 x$	ja	beide haben $x$
$- 2 a$ und $9 a$	ja	beide haben $a$
$4 x^{2}$ und $- x^{2}$	ja	beide haben $x^{2}$
$3 x$ und $5 x^{2}$	nein	$x$ und $x^{2}$ sind verschieden
$7$ und $- 2$	ja	beide sind reine Zahlen

Merksatz: Erst den Variablenteil vergleichen, dann die Koeffizienten verrechnen.

Farbcodes als Strukturhilfe

Nutze Farbe zusätzlich zur Beschriftung, damit die Darstellung auch ohne Farberkennung verständlich bleibt.

x-Terme: $3 x, - 2 x, 7 x$

x²-Terme: $x^{2}, 4 x^{2}, - 6 x^{2}$

Zahlen: $5, - 3, 12$

Beispiel:

$3 x + 2 x^{2} + 5 x - 4 + x^{2}$

Sortiert nach Art:

$(3 x + 5 x) + (2 x^{2} + x^{2}) - 4$

Zusammengefasst:

$8 x + 3 x^{2} - 4$

Üblicher geschrieben:

$3 x^{2} + 8 x - 4$

Algebraische Plättchen

Auf dem Bild siehst Du verschiedene Plättchenformen. Für diesen Kurs ist entscheidend: Ein längliches $x$ -Plättchen ist nicht dasselbe wie ein quadratisches $x^{2}$ -Plättchen.

Visuelles Modell für $3 x + 5 x$ :

Start	Zusammenfassen	Ergebnis
x x x + x x x x x	acht gleichartige x-Plättchen	$8 x$

Visuelles Modell für $3 x + 2 x^{2}$ :

x-Plättchen	x²-Plättchen	Ergebnis
x x x	x² x²	$3 x + 2 x^{2}$

Die beiden Gruppen bleiben getrennt.

Rechenregel

Für gleichartige Terme bleibt der Variablenteil stehen. Nur die Koeffizienten werden verrechnet.

$a x + b x = (a + b) x$

Beispiel:

$3 x + 5 x = (3 + 5) x = 8 x$

Mit Minuszeichen:

$9 y - 4 y = (9 - 4) y = 5 y$

Mit negativen Koeffizienten:

$- 3 a + 7 a = (- 3 + 7) a = 4 a$

Mit Quadraten:

$6 x^{2} - 2 x^{2} = (6 - 2) x^{2} = 4 x^{2}$

Aber:

$6 x^{2} - 2 x$

kann nicht weiter zusammengefasst werden.

Interaktives Beispiel: Schritt für Schritt

Vereinfache:

$4 x + 3 + 2 x - 5 + x^{2}$

Schritt 1: Gleichartige Bestandteile markieren

$4 x$ und $2 x$ gehören zusammen.
$3$ und $- 5$ gehören zusammen.
$x^{2}$ steht allein.

Schritt 2: Sortieren

$x^{2} + (4 x + 2 x) + (3 - 5)$

Schritt 3: Zusammenfassen

$x^{2} + 6 x - 2$

Schritt 4: Prüfen

Setze zum Beispiel $x = 2$ ein.
Ausgangsterm: $4 \cdot 2 + 3 + 2 \cdot 2 - 5 + 2^{2} = 14$
Ergebnisterm: $2^{2} + 6 \cdot 2 - 2 = 14$
Beide liefern denselben Wert. Das ist eine sinnvolle Kontrolle, aber kein allgemeiner Beweis.

Lernvideo

Das Video behandelt das Zusammenfassen gleichartiger Glieder in Klasse 7. Stoppe vor jedem Rechenschritt und versuche ihn zuerst selbst.

Achte besonders auf typische Fehler bei Buchstaben und Potenzen.

Übungen mit Hilfestufen und Feedback

Übung 1: Direkt zusammenfassen

Vereinfache:

$7 x + 4 x$

Hilfe 1

Beide Bestandteile enthalten denselben Variablenteil $x$ .

Hilfe 2

Rechne $7 + 4$ .

Feedback

$7 x + 4 x = 11 x$

Übung 2: Mit Minus

Vereinfache:

$12 a - 7 a + 2$

Hilfe 1

Nur $12 a$ und $- 7 a$ sind gleichartig.

Hilfe 2

$(12 - 7) a + 2$

Feedback

$5 a + 2$

Übung 3: x und x² unterscheiden

Vereinfache:

$5 x^{2} + 3 x - 2 x^{2} + 4 x$

Hilfe 1

Bilde zwei Gruppen: $x^{2}$ -Terme und $x$ -Terme.

Hilfe 2

$(5 x^{2} - 2 x^{2}) + (3 x + 4 x)$

Feedback

$3 x^{2} + 7 x$

Übung 4: Selbstständig

Vereinfache:

$- 4 y + 8 + 9 y - 3 - y^{2} + 2 y^{2}$

Feedback

$y^{2} + 5 y + 5$

Typische Fehler

Fehler 1: $3 x + 5 x = 8 x^{2}$

Richtig: $3 x + 5 x = 8 x$

Beim Addieren wird der Exponent nicht verändert.

Fehler 2: $2 x + 4 x^{2} = 6 x^{2}$

Richtig: $2 x + 4 x^{2}$

$x$ und $x^{2}$ sind nicht gleichartig.

Fehler 3: $7 x + 3 = 10 x$

Richtig: $7 x + 3$

Eine Zahl ohne Variable ist kein $x$ -Term.

Fehler 4: Das Minuszeichen wird vergessen.

$8 a - 11 a = - 3 a$

Selbstkontrolle

Prüfe bei jedem Term diese Reihenfolge:

Haben die Bestandteile denselben Variablenteil?
Haben sie dieselben Exponenten?
Sind reine Zahlen getrennt von Variablentermen?
Hast Du Vorzeichen korrekt mitgerechnet?
Ist der Variablenteil beim Addieren oder Subtrahieren unverändert geblieben?
Kannst Du Dein Ergebnis durch Einsetzen eines einfachen Wertes kontrollieren?

Digitale Kontrolle: Taschenrechner, CAS oder KI können Hinweise geben. Prüfe trotzdem selbst, ob nur gleichartige Bestandteile zusammengefasst wurden. Eine KI-Ausgabe ist kein mathematischer Beweis.

Transfer

Ein Rechteckstreifen mit Länge $x$ cm kommt dreimal vor, ein gleich langer Streifen fünfmal.

Gesamtlänge:

$3 x + 5 x = 8 x$

Jetzt kommen zusätzlich zwei quadratische Flächen mit Flächeninhalt $x^{2}$ hinzu.

Der Term lautet:

$8 x + 2 x^{2}$

Die Größen dürfen nicht zu $10 x^{2}$ zusammengezogen werden. Längenanteile und quadratische Anteile werden durch unterschiedliche Termarten beschrieben.

Kompetenzcheck

Bearbeite ohne Hilfe:

Vereinfache $6 x + 9 x - 4 x$ .
Vereinfache $7 a^{2} - 3 a^{2} + 2 a$ .
Begründe, warum $5 y + 2 y^{2}$ nicht weiter zusammengefasst werden kann.
Erstelle einen Farbcode für $4 x^{2} - 3 x + 7 + 2 x - x^{2}$ und vereinfache.
Prüfe durch Einsetzen von $x = 2$ , ob $3 x + 5 x$ und $8 x$ denselben Wert liefern.
Erkläre in einem Satz den Unterschied zwischen Koeffizient und Variablenteil.

Lösungshinweise

$11 x$
$4 a^{2} + 2 a$
Die Variablenteile $y$ und $y^{2}$ unterscheiden sich.
$3 x^{2} - x + 7$
Beide ergeben $16$ .
Der Koeffizient ist der Zahlenfaktor; der Variablenteil enthält Variable und Exponent.

Reflexion

Beantworte für Dich:

Woran erkennst Du gleichartige Termbestandteile am schnellsten?
Welche Darstellung hilft Dir mehr: Farbcode, Plättchen oder symbolische Rechnung?
Bei welchem Fehlertyp musst Du noch besonders aufmerksam sein?
Kannst Du erklären, warum $x$ und $x^{2}$ nicht zusammengefasst werden dürfen?

Folgekurs

Als Nächstes passt Terme mit Klammern auflösen. Dort verbindest Du das Zusammenfassen gleichartiger Terme mit dem Distributivgesetz.

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Diesen aiMOOC als Battle spielen

Welche Terme sind gleichartig? (3x und 5x) (!3x und 5x²) (!3x und 5) (!3x² und 5x)

Was ist das Ergebnis von 3x+5x? (8x) (!8x²) (!15x) (!8)

Was ist das Ergebnis von 9a-4a? (5a) (!13a) (!5) (!5a²)

Warum kann 2x+7x² nicht weiter zusammengefasst werden? (Die Variablenteile sind verschieden) (!Die Koeffizienten sind verschieden) (!Die Summe ist zu groß) (!Die Variable darf nie addiert werden)

Was ist das Ergebnis von 6x²-2x²? (4x²) (!4x) (!8x²) (!4)

Welche Aussage zu x und x² ist richtig? (Sie sind nicht gleichartig) (!Sie sind immer gleich) (!x² ist dasselbe wie 2x) (!Beide dürfen immer addiert werden)

Vereinfache 4y+3+2y. (6y+3) (!9y) (!6y) (!9y²)

Vereinfache -3a+7a. (4a) (!10a) (!-10a) (!4a²)

Welche Bestandteile werden bei 5x²+3x-2x² zusammengefasst? (5x² und -2x²) (!5x² und 3x) (!3x und -2x²) (!alle drei zu einem x-Term)

Was bleibt beim Zusammenfassen gleichartiger Terme unverändert? (Der Variablenteil) (!Der Koeffizient) (!Das Vorzeichen jedes Terms) (!Die Anzahl der Summanden)

Memory

Koeffizient	Zahlenfaktor vor einer Variable
Variable	Buchstabe als veränderliche Größe
gleichartige Terme	gleicher Variablenteil mit gleichen Exponenten
x-Term	Termbestandteil mit x
x²-Term	Termbestandteil mit x²
Konstante	Zahl ohne Variable

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Thema
3x und 7x	gleichartige x-Terme
4x² und -x²	gleichartige x²-Terme
5 und -2	reine Zahlen
2x und 6x²	nicht gleichartig
8a-3a	zu 5a zusammenfassbar

Kreuzworträtsel

Variable	Wie heißt ein Buchstabe, der für unterschiedliche Werte stehen kann?
Koeffizient	Wie heißt der Zahlenfaktor vor einer Variable?
Potenz	Wie nennt man einen Ausdruck wie x² allgemein?
Term	Wie heißt ein mathematischer Ausdruck aus Zahlen, Variablen und Rechenzeichen?
Exponent	Wie heißt die hochgestellte Zahl bei einer Potenz?
Konstante	Wie heißt eine Zahl ohne Variable in einem Term?

LearningApps

Lückentext

Offene Aufgaben

Leicht

Farbcode für Terme: Markiere in fünf selbst gewählten Termen x-Terme, x²-Terme und Zahlen mit drei verschiedenen Farben und ergänze immer auch eine Beschriftung.
Algebraische Plättchen: Lege oder zeichne $2 x + 4 x$ mit Plättchen und dokumentiere den Übergang zu $6 x$ .
Fehlerdetektiv: Erfinde zwei falsche Rechnungen zum Zusammenfassen und erkläre jeweils den Fehler.
Term-Sortierung: Schreibe zwölf Termbestandteile auf Karten und sortiere sie nach gleichartigen Gruppen.

Standard

Rechenweg erklären: Löse $5 x^{2} + 7 x - 2 x^{2} - 3 x + 4$ und beschreibe jeden Sortierschritt fachsprachlich.
Darstellungen wechseln: Stelle $3 a + 2 a - 4$ als Rechnung, Farbcode und Skizze mit Plättchen dar.
Partnerinterview Mathematik: Lass Dir von einer Mitschülerin oder einem Mitschüler erklären, warum $x$ und $x^{2}$ verschieden sind, und fasse die Erklärung mathematisch korrekt zusammen.
Digitale Prüfung: Lass ein digitales Werkzeug drei Terme vereinfachen. Prüfe jede Ausgabe selbst und dokumentiere mögliche Fehler, ohne personenbezogene Daten einzugeben.

Schwer

Gegenbeispiel: Widerlege die Behauptung „Alle Terme mit demselben Buchstaben sind gleichartig“ mit mindestens drei Beispielen.
Modellieren mit Termen: Erfinde eine Sachsituation, die zu $4 x + 3 x + 2$ passt, und erkläre, warum der vereinfachte Term $7 x + 2$ lautet.
Lösungswege vergleichen: Löse $8 x^{2} - 3 x + 5 - 2 x^{2} + 7 x - 9$ einmal durch Sortieren und einmal durch farbiges Gruppieren. Vergleiche beide Wege.
Mini-Erklärvideo: Produziere ein kurzes eigenes Lernvideo ohne personenbezogene Daten, in dem Du $3 x + 5 x = 8 x$ erklärst und ausdrücklich zeigst, warum $x + x^{2}$ nicht zu $2 x^{2}$ wird.

Lernkontrolle

Begründen statt nur rechnen: Erkläre, warum $4 x + 6 x^{2}$ nicht zu $10 x^{2}$ zusammengefasst werden darf.
Darstellungswechsel: Vereinfache $3 a + 5 + 2 a - 1$ und stelle denselben Vorgang mit einer Skizze oder einem Farbcode dar.
Fehleranalyse: Eine Person schreibt $7 x - 2 x = 5$ . Analysiere den Denkfehler und verbessere die Rechnung.
Modellierung: Formuliere eine Alltagssituation zu $2 x + 5 x$ und erkläre die Bedeutung von $7 x$ .
Vergleich von Lösungswegen: Vergleiche das direkte Zusammenfassen mit dem vorherigen Sortieren bei $4 x^{2} + 3 x - 2 + x^{2} - 7 x + 5$ . Begründe, welcher Weg für Dich übersichtlicher ist.
Plausibilitätsprüfung: Prüfe durch Einsetzen zweier verschiedener Werte, ob zwei vereinfachte Terme wahrscheinlich äquivalent sind, und erkläre, warum einzelne Einsetzungen noch keinen allgemeinen Beweis darstellen.

Lernnachweis

Für einen Lernnachweis solltest Du zeigen können, dass Du:

gleichartige und nicht gleichartige Termbestandteile sicher unterscheidest.
Koeffizienten korrekt addierst und subtrahierst.
$x$ und $x^{2}$ ausdrücklich auseinanderhältst.
Terme durch Sortieren, Farbcodes oder Plättchen strukturiert darstellen kannst.
Rechenwege nachvollziehbar notierst und fachsprachlich begründest.
Ergebnisse durch Einsetzen sinnvoll kontrollierst.
digitale Ergebnisse kritisch prüfst und mathematische Begründungen selbst lieferst.

OERs zum Thema

Weitere freie Darstellungen zu algebraischen Plättchen findest Du auf Wikimedia Commons in der Kategorie Algebra tiles.

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