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M7 M - Boxplots erstellen und interpretieren

M7 M - Boxplots erstellen und interpretieren

Mini-Beschreibung: Stelle Datenverteilungen mithilfe von Minimum, unterem Quartil, Median, oberem Quartil und Maximum als Boxplot dar. Vergleiche Datensätze und untersuche interaktiv, wie einzelne verschobene Datenwerte einen Boxplot verändern.

Einleitung

Ein Boxplot verdichtet viele Daten auf fünf wichtige Kennwerte. So kannst Du Verteilungen schnell vergleichen, ohne jeden einzelnen Wert einzeln lesen zu müssen.

In diesem Kurs verwendest Du den Schul-Boxplot: Die Antennen reichen von der Box bis zum Minimum beziehungsweise Maximum. Bei Statistik-Software können andere Boxplot-Varianten vorkommen. Prüfe deshalb immer die verwendete Definition.

Lernziele

Du kannst nach diesem aiMOOC:

Datenreihen der Größe nach ordnen.
Median, unteres Quartil $Q_{1}$ und oberes Quartil $Q_{3}$ bestimmen.
Einen Boxplot aus Minimum, $Q_{1}$ , Median, $Q_{3}$ und Maximum erstellen.
Zwei Boxplots anhand von Lage und Streuung vergleichen.
Erklären, welche Kennwerte sich verändern können, wenn ein einzelner Datenwert verschoben wird.
Digitale Boxplots kritisch prüfen und mathematisch begründen.

Bildungsplanbezug Baden-Württemberg – M-Niveau

Im M-Niveau der Sekundarstufe I gehören das graphische Darstellen von Daten mit Boxplots, das Bestimmen von Median und Quartilen sowie das Erstellen, Interpretieren und Vergleichen von Boxplots zum Bereich Daten und Zufall.

Vorwissen-Check

1. Sortieren: Bringe $8, 3, 6, 5, 10$ in eine Rangliste.

Lösung anzeigen: $3, 5, 6, 8, 10$

2. Median: Bestimme den Median von $2, 4, 7, 9, 12$ .

Lösung anzeigen: Der mittlere Wert ist $7$ .

3. Spannweite: Bestimme die Spannweite der Werte $3, 5, 6, 11$ .

Lösung anzeigen: $11 - 3 = 8$ .

Die fünf Kennwerte

Kennwert	Bedeutung
Minimum	kleinster Datenwert
$Q_{1}$	unteres Quartil
Median	mittlerer Wert der geordneten Daten
$Q_{3}$	oberes Quartil
Maximum	größter Datenwert

Die Box reicht von $Q_{1}$ bis $Q_{3}$ . In ihr liegen die mittleren ungefähr $50 %$ der Daten.

Die Länge der gesamten Darstellung entspricht beim hier verwendeten Schul-Boxplot der Spannweite: $R = x_{max} - x_{min}$

Die Länge der Box ist der Interquartilsabstand: $I Q R = Q_{3} - Q_{1}$

Unsere Quartilsregel

In diesem Kurs gilt für eine geordnete Datenreihe:

Bestimme zuerst den Median.
Bei einer ungeraden Anzahl von Werten gehört der Median nicht zur unteren oder oberen Hälfte.
Bestimme den Median der unteren Hälfte. Das ist $Q_{1}$ .
Bestimme den Median der oberen Hälfte. Das ist $Q_{3}$ .

Wichtig: Lehrwerke und Software können Quartile teilweise unterschiedlich definieren. Verwende in einer Aufgabe immer die vorgegebene Regel.

Boxplot Schritt für Schritt

Gegeben ist die bereits sortierte Datenreihe

$2, 4, 6, 6, 7, 8, 10, 12, 14$

Schritt 1 – Minimum und Maximum

$x_{min} = 2$

$x_{max} = 14$

Schritt 2 – Median

Der fünfte Wert liegt in der Mitte:

$M e d = 7$

Schritt 3 – Unteres Quartil

Untere Hälfte:

$2, 4, 6, 6$

$Q_{1} = \frac{4 + 6}{2} = 5$

Schritt 4 – Oberes Quartil

Obere Hälfte:

$8, 10, 12, 14$

$Q_{3} = \frac{10 + 12}{2} = 11$

Fünf-Punkte-Zusammenfassung

$(2; 5; 7; 11; 14)$

Zeichnen: Trage $2, 5, 7, 11, 14$ auf einer gemeinsamen Zahlengeraden ab. Zeichne die Box von $5$ bis $11$ , die Medianlinie bei $7$ und die Antennen bis $2$ und $14$ .

Interaktive Zahlengerade und bewegliche Datenwerte

Verschiebe im folgenden GeoGebra-Modell einzelne Punkte. Beobachte gleichzeitig Datenliste und Boxplot.

Forscherauftrag:

Verschiebe nur den kleinsten Wert nach links. Welche Kennwerte ändern sich?
Verschiebe einen Wert nahe der Mitte. Kann sich der Median ändern?
Finde einen Punkt, den Du etwas bewegen kannst, ohne dass sich der Boxplot verändert.
Begründe Deine Beobachtung mit der geordneten Datenreihe.

Dynamischer Boxplot

Erzeuge nacheinander:

einen möglichst symmetrischen Boxplot,
einen Boxplot mit langer rechter Antenne,
einen Boxplot mit sehr kurzer Box.

Notiere jeweils, wie die Datenpunkte dafür liegen müssen.

Boxplot-Spiel

Ziehe die Punkte so, dass Datenliste und Boxplot zusammenpassen. Prüfe danach nicht nur das Ergebnis des digitalen Werkzeugs, sondern mindestens einen Fall selbst über Rangliste und Kennwerte.

Boxplots vergleichen

Vergleiche:

Datensatz A

$2, 4, 6, 6, 7, 8, 10, 12, 14$

$(M i n, Q_{1}, M e d, Q_{3}, M a x) = (2, 5, 7, 11, 14)$

Datensatz B

$4, 6, 6, 7, 8, 9, 10, 10, 12$

$(M i n, Q_{1}, M e d, Q_{3}, M a x) = (4, 6, 8, 10, 12)$

Für A gilt:

$R_{A} = 14 - 2 = 12$

$I Q R_{A} = 11 - 5 = 6$

Für B gilt:

$R_{B} = 12 - 4 = 8$

$I Q R_{B} = 10 - 6 = 4$

Interpretation: B hat den größeren Median. Gleichzeitig streuen die Werte von B weniger: Sowohl Spannweite als auch Boxlänge sind kleiner.

Denkfrage: Zwei Boxplots können denselben Median besitzen und trotzdem sehr unterschiedlich aussehen. Welche Kennwerte müssen dafür verschieden sein?

Interaktives Beispiel: Vorhersagen vor dem Verschieben

Bevor Du einen Punkt bewegst, notiere eine Vermutung:

Wenn nur das Maximum größer wird, dann …

Feedback: Sicher ändert sich das Maximum. Die anderen Kennwerte müssen sich nicht ändern, solange die Reihenfolge im Inneren unverändert bleibt.

Wenn ein mittlerer Wert über mehrere Nachbarwerte hinweg verschoben wird, dann …

Feedback: Median oder Quartile können sich ändern, weil sich die Positionen in der Rangliste verändern können.

Übungen mit Hilfestufen und Feedback

Übung 1 – Fünf Kennwerte

Gegeben:

$1, 3, 4, 6, 8, 9, 11$

Bestimme Minimum, $Q_{1}$ , Median, $Q_{3}$ und Maximum.

Hilfe 1: Der Median ist der vierte Wert.

Hilfe 2: Untere Hälfte: $1, 3, 4$ . Obere Hälfte: $8, 9, 11$ .

Feedback: $(1; 3; 6; 9; 11)$

Übung 2 – Zeichnen

Zeichne den Boxplot zur Fünf-Punkte-Zusammenfassung

$(3; 5; 8; 10; 15)$ .

Hilfe 1: Box von $5$ bis $10$ .

Hilfe 2: Medianlinie bei $8$ , Antennen bis $3$ und $15$ .

Feedback: Prüfe besonders, ob die Zahlengerade gleichmäßig skaliert ist.

Übung 3 – Vergleichen

Boxplot C hat

$(2; 4; 6; 8; 13)$ .

Boxplot D hat

$(1; 5; 7; 9; 10)$ .

Vergleiche Median, Spannweite und Interquartilsabstand.

Hilfe 1: $R_{C} = 13 - 2$ und $R_{D} = 10 - 1$ .

Hilfe 2: $I Q R_{C} = 8 - 4$ und $I Q R_{D} = 9 - 5$ .

Feedback: D hat den größeren Median. C hat die größere Spannweite. Beide Boxen sind gleich lang, denn beide Interquartilsabstände sind $4$ .

Typische Fehler

Rangliste vergessen: Quartile und Median dürfen erst nach dem Sortieren bestimmt werden.
Median falsch einbeziehen: Bei unserer Regel wird der Median einer ungeraden Datenreihe nicht nochmals in die beiden Hälften aufgenommen.
Skalierung verzerren: Gleiche Abstände auf der Zahlengeraden müssen gleiche Zahlenabstände bedeuten.
Boxplot überinterpretieren: Aus dem Boxplot lassen sich nicht alle einzelnen Datenwerte zurückgewinnen.
Quartil mit Viertel der Achsenlänge verwechseln: Quartile teilen die geordneten Daten, nicht die gezeichnete Strecke in vier gleich lange Teile.

Digitale Werkzeuge kritisch prüfen

Digitale Werkzeuge sind hilfreich, aber Du musst ihre Einstellungen kennen.

Prüfe, welche Quartilsregel verwendet wird.
Prüfe, ob die Antennen bis Minimum und Maximum reichen oder eine Ausreißerregel verwenden.
Vergleiche mindestens einen digitalen Boxplot mit einer Rechnung von Hand.
Verwende für Übungen möglichst fiktive oder anonymisierte Daten und gib keine personenbezogenen Daten ein.
KI-Ausgaben können Rechen- oder Definitionsfehler enthalten. Kontrolliere Rangliste, Kennwerte und Darstellung selbst. Eine KI-Antwort ersetzt keine mathematische Begründung.

Selbstkontrolle

Kannst Du ohne Hilfe:

eine Datenreihe sortieren?
Median und Quartile bestimmen?
aus fünf Kennwerten einen Boxplot zeichnen?
aus einem Boxplot Spannweite und Interquartilsabstand ablesen?
zwei Boxplots in vollständigen Sätzen vergleichen?
erklären, warum eine Verschiebung eines Datenwerts nicht immer den Boxplot verändert?

Wenn Du bei einem Punkt unsicher bist, gehe zur passenden Übung zurück und teste Deine Erklärung anschließend im dynamischen Boxplot.

Transfer

Zwei Klassen vergleichen anonymisierte Zeiten für denselben kurzen Schulweg.

Klasse X:

$(6; 8; 10; 13; 18)$

Klasse Y:

$(5; 9; 11; 12; 15)$

Bearbeite:

Vergleiche die Mediane.
Vergleiche die Spannweiten.
Vergleiche die Boxlängen.
Formuliere eine Aussage, die durch die Boxplots gestützt wird.
Formuliere eine Aussage, die Du aus diesen Boxplots nicht sicher ableiten kannst.

Kompetenzcheck

Kompetenz	Selbstcheck
Ich bestimme die fünf Kennwerte.	sicher / noch üben
Ich zeichne einen Boxplot maßstäblich.	sicher / noch üben
Ich vergleiche Lage und Streuung.	sicher / noch üben
Ich begründe Veränderungen bei verschobenen Datenwerten.	sicher / noch üben
Ich prüfe digitale Ergebnisse kritisch.	sicher / noch üben

Reflexion

Darstellungswechsel: Was erkennst Du in einem Boxplot schneller als in einer langen Datenliste?
Begründung: Welche Stelle beim Bestimmen der Quartile musst Du besonders sorgfältig erklären?
Digitale Mathematik: Wann hilft Dir GeoGebra beim Verstehen und wann musst Du zusätzlich von Hand rechnen?

Folgekurs

Als nächstes kannst Du Datenverteilungen noch systematischer vergleichen und statistische Aussagen begründen: M7 M - Datenverteilungen vergleichen und beurteilen.

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Diesen aiMOOC als Battle spielen

Welche fünf Angaben reichen für den hier verwendeten Schul-Boxplot aus? (Minimum unteres Quartil Median oberes Quartil Maximum) (!Minimum Mittelwert Median Spannweite Maximum) (!Unteres Quartil Mittelwert Modus oberes Quartil Maximum) (!Minimum Median Mittelwert Varianz Maximum)

Was zeigt die Linie innerhalb der Box? (Den Median) (!Das Minimum) (!Das Maximum) (!Die Spannweite)

Was begrenzt die Box? (Unteres und oberes Quartil) (!Minimum und Maximum) (!Median und Maximum) (!Minimum und Median)

Was musst Du vor der Bestimmung des Medians zuerst tun? (Die Daten der Größe nach ordnen) (!Die Daten verdoppeln) (!Das Maximum entfernen) (!Alle Werte addieren)

Welche Größe beschreibt die Länge der Box? (Der Interquartilsabstand) (!Der Mittelwert) (!Die gesamte Spannweite) (!Die Anzahl der Daten)

Wie berechnet man die Spannweite? (Maximum minus Minimum) (!Maximum plus Minimum) (!Oberes Quartil minus Median) (!Median minus Minimum)

Was bedeutet ein größerer Median beim Vergleich zweier Boxplots? (Die Mitte der geordneten Daten liegt höher) (!Die Datenanzahl ist größer) (!Die Spannweite ist immer größer) (!Die Box ist immer länger)

Was kann passieren wenn nur ein äußerster Datenwert weiter nach außen verschoben wird? (Das Minimum oder Maximum kann sich ändern) (!Der Median muss sich ändern) (!Beide Quartile müssen sich ändern) (!Die Datenanzahl wird kleiner)

Was ist bei digital erzeugten Boxplots besonders zu prüfen? (Die verwendete Quartils- und Antennenregel) (!Die Bildschirmhelligkeit) (!Die Schriftart) (!Die Lautstärke)

Welche Aussage über einen Boxplot ist richtig? (Er zeigt Lage und Streuung einer Datenverteilung kompakt) (!Er zeigt immer jeden einzelnen Datenwert) (!Er ersetzt das Sortieren bei einer Rechnung von Hand) (!Er hat immer vier gleich lange Abschnitte)

Memory

Minimum	kleinster Datenwert
Unteres Quartil	linke Boxkante
Median	mittlere Lage
Oberes Quartil	rechte Boxkante
Maximum	größter Datenwert
Interquartilsabstand	Länge der Box

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Boxplot
Minimum	linker Endpunkt
Unteres Quartil	linke Boxkante
Median	Linie in der Box
Oberes Quartil	rechte Boxkante
Maximum	rechter Endpunkt

Kreuzworträtsel

Median	Welcher Kennwert liegt in der Mitte der geordneten Daten?
Minimum	Wie heißt der kleinste Wert einer Datenreihe?
Maximum	Wie heißt der größte Wert einer Datenreihe?
Quartil	Wie heißt ein Kennwert der die geordneten Daten in Viertel gliedert?
Spannweite	Wie heißt die Differenz aus größtem und kleinstem Wert?
Datenreihe	Wie nennt man eine Folge erhobener Werte?

LearningApps

Lückentext

Offene Aufgaben

Leicht

Boxplot-Skizze: Erfinde fünf passende Kennwerte und zeichne daraus einen sauberen Boxplot.
Rangliste: Erstelle eine Datenreihe mit neun fiktiven Werten, sortiere sie und markiere Median sowie Quartile.
Fehlersuche: Zeichne absichtlich einen Boxplot mit einem Skalierungsfehler und erkläre anschließend, wie Du ihn korrigierst.
Erklärbild: Gestalte eine kleine Infografik zu Minimum, Quartilen, Median und Maximum.

Standard

Datenvergleich: Erfinde zwei Datensätze mit unterschiedlichem Median, aber gleicher Spannweite, und vergleiche ihre Boxplots.
GeoGebra-Experiment: Verschiebe systematisch genau einen Datenpunkt und protokolliere, welche der fünf Kennwerte sich ändern.
Boxplot-Interview: Erkläre einer anderen Person einen Boxplot und notiere anschließend, welche Erklärung besonders verständlich war.
Darstellungswechsel: Verwandle eine fiktive Datenliste in eine Fünf-Punkte-Zusammenfassung und anschließend in einen Boxplot.

Schwer

Gegenbeispiel: Konstruiere zwei verschiedene Datenreihen mit genau derselben Fünf-Punkte-Zusammenfassung.
Modellieren: Entwickle eine statistische Fragestellung mit vollständig anonymen oder fiktiven Daten und begründe, warum ein Boxplot dafür geeignet ist.
Softwarevergleich: Erzeuge denselben Datensatz in zwei digitalen Werkzeugen und untersuche mögliche Unterschiede bei Quartilen oder Antennen.
Argumentation: Untersuche die Behauptung „Wenn sich ein Datenwert ändert, ändert sich immer der Boxplot“ und widerlege oder bestätige sie mit mehreren Beispielen.

Lernkontrolle

Boxplot begründen: Zu einer Datenreihe wird ein Boxplot vorgegeben. Erkläre anhand der Rangliste, warum jede der fünf markierten Positionen korrekt oder falsch ist.
Datensätze vergleichen: Vergleiche zwei Boxplots hinsichtlich Lage und Streuung und formuliere mindestens zwei mathematisch begründete Aussagen.
Veränderungen vorhersagen: Ein Datenwert wird schrittweise verschoben. Sage vor der digitalen Kontrolle voraus, welche Kennwerte sich ändern können, und begründe Deine Vermutung.
Darstellung bewerten: Ein Boxplot wurde mit einer ungleichmäßigen Skala gezeichnet. Erkläre, warum dadurch ein falscher Eindruck entsteht, und verbessere die Darstellung.
Digitale Prüfung: Ein Programm liefert andere Quartile als Deine Handrechnung. Beschreibe einen sinnvollen Prüfplan, bevor Du entscheidest, welche Darstellung zur Aufgabe passt.
Transfer: Zwei Datensätze besitzen denselben Median, aber unterschiedliche Interquartilsabstände. Erkläre, was Du daraus über ihre mittleren Datenbereiche sagen kannst.

Lernnachweis

Für einen Lernnachweis solltest Du zeigen, dass Du:

Daten korrekt sortieren und die fünf Kennwerte nachvollziehbar bestimmen kannst.
einen Boxplot maßstäblich zeichnen und beschriften kannst.
Spannweite und Interquartilsabstand berechnen kannst.
Boxplots fachsprachlich vergleichst und Aussagen begründest.
Veränderungen einzelner Datenwerte untersuchst.
zwischen Datenliste, Kennwerten und Diagramm sicher wechselst.
digitale Ergebnisse anhand einer bekannten Quartilsregel überprüfst.
mit Daten verantwortungsvoll und ohne personenbezogene Angaben arbeitest.

OERs zum Thema

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