M7 G - Proportionale Aufgaben mit Dreisatz lösen

Einleitung

Mini-Beschreibung: Du löst proportionale Sachaufgaben über eine Einheit oder über einen günstigen Zwischenwert. Wichtig ist nicht ein starres Schema, sondern dass Du jeden Rechenschritt erklären kannst.

Beispiel: 4 Hefte kosten 8 €. Dann kostet 1 Heft 2 € und 6 Hefte kosten 12 €.

$8:4=2$

$2\cdot 6=12$

Pfeilkette: 4 → 1 → 6 und 8 € → 2 € → 12 €.

Lernziele

Nach dem Kurs kannst Du

1. proportionale Zuordnungen erkennen.
2. über eine Einheit rechnen.
3. einen günstigen Zwischenwert nutzen.
4. Tabelle und Pfeilkette als Rechenweg verwenden.
5. Dein Ergebnis kontrollieren und begründen.

Vorwissen-Check

Rechne im Kopf.

$24:6$ ergibt . $7\cdot 8$ ergibt . $15:5$ ergibt .

Satzstarter: „Ich teile zuerst durch …, weil …“ – „Danach multipliziere ich mit …, weil …“

Proportionale Zuordnungen verstehen

Bei einer proportionalen Zuordnung werden beide zugehörigen Größen mit demselben Faktor verändert.

Flaschen	Preis
2	3 €
4	6 €
8	12 €

Der Preis pro Flasche bleibt gleich:

$3:2=\mathrm{1,5}$

$6:4=\mathrm{1,5}$

$12:8=\mathrm{1,5}$

Im Schaubild einer proportionalen Zuordnung liegen die Punkte auf einer Geraden durch den Ursprung.

Dynamisch entdecken

Verändere Werte und beobachte Tabelle und Graph:

Datenschutz: Gib keine personenbezogenen Daten in externe Werkzeuge ein.

Dreisatz über eine Einheit

Situation: 6 Brötchen kosten 4,80 €. Wie viel kosten 9 Brötchen?

Brötchen	Rechenweg	Preis
6	:6	4,80 €
1	·9	0,80 €
9	Ziel	7,20 €

$\mathrm{4,80}:6=\mathrm{0,80}$

$\mathrm{0,80}\cdot 9=\mathrm{7,20}$

Pfeilkette: 6 → 1 → 9. Auf der Preisseite rechnest Du genauso: 4,80 € → 0,80 € → 7,20 €.

Schritt 1: Von 6 auf 1 teilst Du durch 6. Deshalb teilst Du auch 4,80 durch 6.

Schritt 2: Ein Brötchen kostet 0,80 €.

Schritt 3: Von 1 auf 9 rechnest Du mal 9. Deshalb rechnest Du auch 0,80 mal 9.

Antwort: 9 Brötchen kosten 7,20 €.

Selbstkontrolle: Mehr Brötchen müssen bei gleichem Stückpreis mehr kosten. Das Ergebnis passt.

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Dreisatz über einen günstigen Zwischenwert

Situation: 8 Meter Stoff kosten 20 €. Wie viel kosten 12 Meter?

Ein günstiger Zwischenwert ist 4.

Meter	Rechenweg	Preis
8	:2	20 €
4	·3	10 €
12	Ziel	30 €

$20:2=10$

$10\cdot 3=30$

Pfeilkette: 8 → 4 → 12 und 20 € → 10 € → 30 €.

Merksatz: Wenn ein günstiger Zwischenwert leicht zu erkennen ist, darfst Du ihn nutzen. Sonst gehst Du sicher über 1.

Visuelle Rechenwege

Animierte Schrittfolge

Aufgabe: 5 kg Äpfel kosten 12,50 €. Wie viel kosten 7 kg?

Schritt 1: 5 → 1. Rechne durch 5.

Schritt 2: $\mathrm{12,50}:5=\mathrm{2,50}$. Ein Kilogramm kostet 2,50 €.

Schritt 3: 1 → 7. Rechne mal 7.

Schritt 4: $\mathrm{2,50}\cdot 7=\mathrm{17,50}$. 7 kg kosten 17,50 €.

Dynamische doppelte Zahlengerade

Menge:  0 ── 1 ── 2 ── 3 ── 4 ── 5 ── 6
Preis:  0 ── 2 ── 4 ── 6 ── 8 ─ 10 ─ 12 €

$6\cdot 2=12$

Interaktive Proportionalität

Prüffrage: Verdoppelst Du die Menge bei gleichem Preis pro Einheit, was passiert mit dem Gesamtpreis?

Übungen mit Hilfestufen und Feedback

Übung 1

Aufgabe: 4 Kinokarten kosten 28 €. Wie viel kosten 7 Kinokarten?

Hilfe 1: Rechne zuerst auf 1 Karte.

Hilfe 2: $28:4=7$.

Lösung: $7\cdot 7=49$. 7 Karten kosten 49 €.

Übung 2

Aufgabe: 6 Flaschen Saft kosten 9 €. Wie viel kosten 15 Flaschen?

Hilfe 1: Nutze den Zwischenwert 3.

Hilfe 2: 6 → 3 → 15.

Lösung: $9:2=\mathrm{4,5}$ und $\mathrm{4,5}\cdot 5=\mathrm{22,5}$. 15 Flaschen kosten 22,50 €.

Übung 3

Aufgabe: Ein Drucker druckt bei gleichbleibender Geschwindigkeit in 3 Minuten 18 Seiten. Wie viele Seiten schafft er in 8 Minuten?

Hilfe 1: Rechne zuerst auf 1 Minute.

Hilfe 2: $18:3=6$.

Lösung: $6\cdot 8=48$. Der Drucker schafft 48 Seiten.

Typische Fehler

1. Nur eine Seite verändern: Wenn Du links durch 4 teilst, musst Du rechts ebenfalls durch 4 teilen.
2. Proportionalität ungeprüft annehmen: Mehr bedeutet nicht automatisch proportional.
3. Einheiten vergessen: Schreibe Einheiten sichtbar dazu.
4. Antwortsatz vergessen: Die Zahl allein beantwortet die Sachfrage nicht vollständig.
5. Unplausibles Ergebnis übersehen: Prüfe die Größenordnung.

Fehlerdetektiv

5 Hefte kosten 10 €. Eine Lösung behauptet: 8 Hefte kosten 13 €.

$10:5=2$

$2\cdot 8=16$

Feedback: Richtig sind 16 €. Die Kontrolle über den Stückpreis deckt den Fehler auf.

Digitale Werkzeuge kritisch nutzen

1. Prüfe zuerst, ob die Aufgabe proportional ist.
2. Rechne mindestens einen Schritt selbst nach.
3. Prüfe Einheiten und Größenordnung.
4. Vergleiche digitale Ergebnisse mit Deinem eigenen Rechenweg.
5. Gib keine personenbezogenen Daten ein.

Wichtig: KI-Ausgaben können fehlerhaft sein. Sie ersetzen keinen mathematischen Beweis.

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Selbstkontrolle

Aufgabe	Ergebnis
3 kg Reis kosten 6 €. Preis für 7 kg?	□
8 Hefte kosten 20 €. Preis für 12 Hefte?	□
5 Minuten entsprechen 40 Teilen. Anzahl in 9 Minuten?	□

Lösungen: 14 €; 30 €; 72 Teile.

Transfer

Ein Rezept für 4 Personen benötigt 300 g Nudeln. Du kochst für 10 Personen.

Pfeilkette: 4 → 2 → 10 und 300 g → 150 g → 750 g.

$300:2=150$

$150\cdot 5=750$

Transferfrage: Ist auch die Kochzeit proportional zur Nudelmenge? Begründe.

Kompetenzcheck

Ich kann …	sicher	teilweise	noch üben
proportionale Situationen erkennen.	□	□	□
über 1 rechnen.	□	□	□
einen Zwischenwert nutzen.	□	□	□
meinen Rechenweg erklären.	□	□	□
mein Ergebnis kontrollieren.	□	□	□

Reflexion

1. Welcher Rechenweg hilft Dir mehr: über 1 oder über einen Zwischenwert?
2. Woran erkennst Du ein unplausibles Ergebnis?
3. Welchen Fehler möchtest Du künftig vermeiden?
4. Wie erklärst Du den gleichen Faktor auf beiden Größen?

Folgekurs

Passende nächste Themen sind Prozentrechnung, Maßstab und Geschwindigkeit.

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Was kennzeichnet eine proportionale Zuordnung? (Beide Größen werden mit demselben Faktor verändert) (!Nur eine Größe verändert sich) (!Man addiert immer dieselbe Zahl) (!Man rechnet immer mal zehn)

5 Hefte kosten 15 €. Wie viel kostet 1 Heft? (3 €) (!5 €) (!10 €) (!15 €)

5 Hefte kosten 15 €. Wie viel kosten 8 Hefte? (24 €) (!18 €) (!20 €) (!30 €)

Welcher Zwischenwert ist für 8 auf 12 günstig? (4) (!5) (!7) (!11)

6 Flaschen kosten 9 €. Wie erhältst Du den Preis für 3 Flaschen? (9 € durch 2) (!9 € mal 2) (!9 € plus 3) (!9 € minus 2)

Warum ist ein Antwortsatz sinnvoll? (Er verbindet das Ergebnis mit der Sachfrage) (!Er ersetzt die Rechnung) (!Er macht Einheiten überflüssig) (!Er beweist automatisch Proportionalität)

Welche Kontrolle passt bei positivem Stückpreis? (Mehr Stück müssen mehr kosten) (!Mehr Stück müssen weniger kosten) (!Der Preis bleibt immer gleich) (!Die Stückzahl darf nicht verändert werden)

Was bedeutet der Schritt von 6 auf 1? (Durch 6 teilen) (!Mit 6 multiplizieren) (!6 addieren) (!1 abziehen)

Wann hilft der Weg über eine Einheit besonders? (Wenn kein einfacher Zwischenwert auffällt) (!Nur bei ganzen Eurobeträgen) (!Nur wenn das Ergebnis 1 ist) (!Nur bei Zeitangaben)

Wie gehst Du mit digitalen Ergebnissen um? (Mit Rechenweg und Plausibilität prüfen) (!Immer ungeprüft übernehmen) (!Einheiten weglassen) (!Begründungen überspringen)

Memory

Proportional	gleicher Faktor
Einheit	Wert für ein Stück
Zwischenwert	günstige Rechenstation
Pfeilkette	sichtbare Rechenschritte
Plausibilität	Prüfung der Größenordnung
Antwortsatz	Ergebnis im Sachzusammenhang

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Thema
durch sechs	von sechs auf eins
mal neun	von eins auf neun
Preis pro Stück	Wert für eine Einheit
gleicher Faktor	Kennzeichen der Proportionalität
Antwortsatz	Ergebnis im Kontext

Kreuzworträtsel

Dreisatz	Wie heißt das Rechenverfahren mit passenden Zwischenschritten?
Einheit	Wie heißt der Wert für genau ein Stück?
Faktor	Womit werden beide Größen passend verändert?
Tabelle	Welche Darstellung ordnet zwei Größen übersichtlich?
Kontrolle	Wie heißt das Prüfen eines Ergebnisses?
Proportion	Welches Verhältnis bleibt gleich?

Lückentext

Vervollständige den Text.

Bei einer proportionalen Zuordnung werden beide Größen mit demselben verändert. Der sichere Dreisatz führt oft zuerst auf eine . Ein günstiger Rechenwert heißt . Nach dem Rechnen prüfst Du die . Das Ergebnis gehört in einen .

Offene Aufgaben

Leicht

1. Preistabelle: Erstelle eine Tabelle zu einer selbst gewählten Preis-Mengen-Aufgabe.
2. Pfeilkette: Zeichne zu 4 Stück für 12 € und 7 gesuchten Stück eine Pfeilkette.
3. Erklärtext: Erkläre mit dem Satzstarter „Ich teile zuerst durch …, weil …“ Deinen Rechenweg.
4. Fehleranalyse: Erfinde eine falsche Rechnung mit zwei unterschiedlichen Faktoren und verbessere sie.

Standard

1. Sachaufgabe: Erfinde eine proportionale Alltagssituation und löse sie über eine Einheit.
2. Zwischenwert: Erfinde eine Aufgabe, bei der ein Zwischenwert den Rechenweg vereinfacht.
3. Lernvideo: Erstelle ein kurzes Erklärvideo ohne personenbezogene Daten.
4. GeoGebra: Verändere Werte in einem Proportionalitäts-Applet und beschreibe, was gleich bleibt.

Schwer

1. Modellieren: Finde eine Alltagssituation, die nur ungefähr proportional ist, und erkläre die Grenze.
2. Vergleich von Lösungswegen: Löse dieselbe Aufgabe über 1 und über einen Zwischenwert.
3. Digitale Mathematik: Prüfe eine digitale Dreisatzlösung Schritt für Schritt auf Fehler.
4. Unterrichtsprodukt: Entwickle eine Mini-Lernkarte mit Beispiel, Hilfe und Selbstkontrolle.

Lernkontrolle

1. Modellwahl: Ein Fahrradverleih verlangt Grundgebühr plus Stundenpreis. Erkläre, warum das nicht proportional zum Gesamtpreis ist.
2. Begründung: Begründe, warum 8 → 4 → 12 und 20 € → 10 € → 30 € zusammenpassen.
3. Fehlerdiagnose: Erkläre den Fehler, wenn links durch 2 geteilt und rechts 2 abgezogen wird.
4. Darstellungswechsel: Übertrage eine Pfeilkette in eine Tabelle und erkläre die gleichen Informationen.
5. Transfer: Ein Rezept für 6 Personen enthält 450 g Gemüse. Bestimme die Menge für 14 Personen und begründe Deinen Weg.
6. Plausibilität: Nenne zwei Möglichkeiten, ein Dreisatzergebnis zu prüfen.

Lernnachweis

Für den Lernnachweis ist wichtig:

1. proportionale Situationen erkennen.
2. über eine Einheit oder einen Zwischenwert rechnen.
3. Rechenwege mit Tabelle oder Pfeilkette darstellen.
4. Einheiten korrekt verwenden.
5. gleiche Rechenoperationen begründen.
6. einen Antwortsatz formulieren.
7. Ergebnisse auf Plausibilität prüfen.
8. Fehler erklären und verbessern.

OERs zum Thema

1. – Wikimedia Commons.
2. – Wikimedia Commons.
3. – Wikimedia Commons.
4. Interaktive GeoGebra-Materialien dienen der dynamischen Veranschaulichung.
5. YouTube-Videos werden eingebettet; die jeweiligen Nutzungsrechte verbleiben bei den Veröffentlichenden.

Verknüpfte Lernbereiche

Proportionale Zuordnung Dreisatz Proportionalität Sachaufgabe Wertetabelle Pfeilkette Einheiten Prozentrechnung Maßstab