M7 G - Einfache lineare Gleichungen lösen

Einleitung

Mini-Beschreibung: Du löst einfache lineare Gleichungen Schritt für Schritt und kontrollierst Deine Lösung durch Einsetzen. Der Kurs richtet sich an Klasse 7, G-Niveau.

Eine Gleichung kannst Du Dir wie eine Waage im Gleichgewicht vorstellen: Veränderst Du beide Seiten auf dieselbe Weise, bleibt das Gleichgewicht erhalten.

Lernziele

Nach diesem aiMOOC kannst Du:

1. Gleichungen mit einer Variablen erkennen.
2. einfache Äquivalenzumformungen durchführen.
3. Gleichungen wie $3x+2=14$ schrittweise lösen.
4. Deinen Rechenweg übersichtlich darstellen.
5. eine Lösung durch Einsetzen kontrollieren.
6. typische Fehler erkennen und verbessern.

Vorwissen-Check

Überlege zuerst ohne Taschenrechner.

A: Welche Zahl fehlt? $7+◻=12$

Lösung anzeigen

$7+5=12$, also fehlt $5$.

B: Berechne $18-6$.

Lösung anzeigen

$18-6=12$.

C: Berechne $4\cdot 3$.

Lösung anzeigen

$4\cdot 3=12$.

D: Welche Zahl erfüllt $x+3=8$?

Lösung anzeigen

$x=5$, denn $5+3=8$.

Gleichungen verstehen

Eine Gleichung hat zwei Seiten. Das Gleichheitszeichen sagt: Beide Seiten haben denselben Wert.

$3x+2=14$

Links steht $3x+2$, rechts steht $14$. Gesucht ist die Zahl für $x$.

Waagenregel: Was Du auf der einen Seite der Gleichung machst, musst Du auch auf der anderen Seite machen.

Äquivalenzschritte

Bei einer Äquivalenzumformung bleibt die Lösungsmenge gleich.

Erlaubte Grundideen für diesen Kurs:

1. auf beiden Seiten dieselbe Zahl addieren.
2. auf beiden Seiten dieselbe Zahl subtrahieren.
3. beide Seiten mit derselben von $0$ verschiedenen Zahl multiplizieren.
4. beide Seiten durch dieselbe von $0$ verschiedene Zahl dividieren.

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Beispiel: $3x+2=14$

Ziel: Am Ende soll $x$ allein stehen.

Schritt	Rechnung
Start	$3x+2=14$
Auf beiden Seiten $2$ abziehen	$3x=12$
Beide Seiten durch $3$ teilen	$x=4$

Lösung: $x=4$

Probe durch Einsetzen

Setze $x=4$ in die Ausgangsgleichung ein:

$3\cdot 4+2=14$

$12+2=14$

$14=14$

Die Probe stimmt. Damit ist $x=4$ eine Lösung.

Visueller Rechenweg

Gleichung	gleiche Handlung auf beiden Seiten
$3x+2=14$	$-2$
$3x=12$	$:3$
$x=4$	fertig

Satzstarter: „Ich subtrahiere auf beiden Seiten …, weil …“

„Danach teile ich beide Seiten durch …, damit …“

„Zur Kontrolle setze ich … für $x$ ein.“

Interaktive Beispiele

Beispiel 1: $x+5=12$

Versuche zuerst selbst.

Hilfe 1

Welche Zahl stört neben $x$? Es ist $+5$.

Hilfe 2

Subtrahiere auf beiden Seiten $5$.

Lösung und Feedback

$x+5=12$
$x=7$
Probe: $7+5=12$.
Wenn Deine Probe stimmt und der Äquivalenzschritt auf beiden Seiten ausgeführt wurde, ist der Rechenweg korrekt.

Beispiel 2: $4x=20$

Hilfe 1

$4x$ bedeutet $4\cdot x$.

Hilfe 2

Teile beide Seiten durch $4$.

Lösung und Feedback

$4x=20$
$x=5$
Probe: $4\cdot 5=20$.

Beispiel 3: $2x-3=9$

Hilfe 1

Mache zuerst das $-3$ rückgängig.

Hilfe 2

Addiere auf beiden Seiten $3$. Teile danach durch $2$.

Lösung und Feedback

$2x-3=9$
$2x=12$
$x=6$
Probe: $2\cdot 6-3=9$.

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Übungen mit Hilfestufen

Übung A

Löse $x+4=11$.

Hilfe

Subtrahiere auf beiden Seiten $4$.

Lösung

$x=7$. Probe: $7+4=11$.

Übung B

Löse $5x=30$.

Hilfe

Teile beide Seiten durch $5$.

Lösung

$x=6$. Probe: $5\cdot 6=30$.

Übung C

Löse $3x+1=16$.

Hilfe 1

Subtrahiere zuerst $1$ auf beiden Seiten.

Hilfe 2

Danach steht $3x=15$. Teile durch $3$.

Lösung

$x=5$. Probe: $3\cdot 5+1=16$.

Übung D

Löse $4x-8=12$.

Hilfe 1

Addiere zuerst $8$ auf beiden Seiten.

Hilfe 2

Danach steht $4x=20$.

Lösung

$x=5$. Probe: $4\cdot 5-8=12$.

Typische Fehler

Fehler 1: Nur eine Seite verändern

Falsch: $3x+2=14$ wird zu $3x=14$.

Richtig: Wenn Du links $2$ abziehst, musst Du rechts ebenfalls $2$ abziehen.

Fehler 2: Vorzeichen vergessen

Aus $x-5=8$ folgt durch Addition von $5$: $x=13$.

Fehler 3: Durch den falschen Faktor teilen

Aus $3x=12$ folgt durch Division durch $3$: $x=4$.

Fehler 4: Keine Probe

Eine Probe entdeckt viele Rechenfehler schnell.

Selbstkontrolle

Prüfe Deinen Rechenweg mit vier Fragen:

1. Habe ich jeden Äquivalenzschritt auf beiden Seiten ausgeführt?
2. Steht $x$ am Ende allein?
3. Habe ich alle Rechenzeichen und Vorzeichen richtig übernommen?
4. Stimmt die Gleichung nach dem Einsetzen meiner Lösung?

Transfer

Ein Kinoticket kostet für eine Gruppe zusammen mit einer festen Buchungsgebühr insgesamt $23$ Euro. Die Buchungsgebühr beträgt $3$ Euro. Vier gleich teure Tickets wurden gekauft.

Die Situation lässt sich so beschreiben:

$4x+3=23$

Löse die Gleichung.

Lösung

$4x+3=23$
$4x=20$
$x=5$
Ein Ticket kostet $5$ Euro.
Probe: $4\cdot 5+3=23$.

Kompetenzcheck

Kreuze für Dich gedanklich an:

1. ☐ Ich erkenne die zwei Seiten einer Gleichung.
2. ☐ Ich kann Addition und Subtraktion als Äquivalenzschritte verwenden.
3. ☐ Ich kann Multiplikation und Division als Äquivalenzschritte verwenden.
4. ☐ Ich kann einen Rechenweg mit mehreren Schritten übersichtlich notieren.
5. ☐ Ich kann meine Lösung durch Einsetzen kontrollieren.
6. ☐ Ich kann erklären, warum auf beiden Seiten dasselbe gemacht werden muss.

Wenn Du bei mehreren Punkten unsicher bist, bearbeite die Beispiele und Übungen noch einmal.

Digitale Werkzeuge sinnvoll nutzen

Digitale Werkzeuge können Dir beim Üben und Kontrollieren helfen. Prüfe Ergebnisse trotzdem selbst durch Einsetzen. Eine KI-Ausgabe ist kein mathematischer Beweis. Teile bei Übungen keine personenbezogenen Daten.

Prüffrage: Wenn ein digitales Werkzeug für $3x+2=14$ die Lösung $x=5$ nennt, was tust Du?

Setze ein: $3\cdot 5+2=17$.

Da $17\ne 14$, ist die digitale Ausgabe falsch.

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Welche Lösung hat $x+3=8$? ($x=5$) (!$x=11$) (!$x=3$) (!$x=8$)

Welche Umformung hilft bei $x+7=12$ zuerst? (Auf beiden Seiten $7$ subtrahieren) (!Auf beiden Seiten $7$ addieren) (!Nur links $7$ subtrahieren) (!Beide Seiten durch $7$ teilen)

Welche Lösung hat $4x=20$? ($x=5$) (!$x=4$) (!$x=16$) (!$x=24$)

Was muss bei einer Äquivalenzumformung gelten? (Dieselbe Operation wird auf beiden Seiten ausgeführt) (!Nur die linke Seite wird verändert) (!Nur die rechte Seite wird verändert) (!Das Gleichheitszeichen wird entfernt)

Welche Gleichung entsteht aus $3x+2=14$ nach Subtraktion von $2$ auf beiden Seiten? ($3x=12$) (!$3x=16$) (!$3x=14$) (!$x=12$)

Welche Lösung hat $2x-4=10$? ($x=7$) (!$x=3$) (!$x=5$) (!$x=12$)

Wozu dient die Probe? (Sie kontrolliert, ob die Lösung die Ausgangsgleichung erfüllt) (!Sie ersetzt alle Äquivalenzschritte) (!Sie verändert die Ausgangsgleichung) (!Sie macht aus einer Gleichung eine Ungleichung)

Welche Probe passt zur Lösung $x=4$ von $3x+2=14$? ($3\cdot 4+2=14$) (!$3+4\cdot 2=14$) (!$3\cdot 2+4=14$) (!$4+2=14$)

Welche Lösung hat $5x+5=30$? ($x=5$) (!$x=6$) (!$x=7$) (!$x=25$)

Was ist nach $2x=18$ ein passender nächster Schritt? (Beide Seiten durch $2$ teilen) (!Nur links durch $2$ teilen) (!Auf beiden Seiten $2$ addieren) (!Das $x$ streichen)

Memory

Äquivalenzumformung	gleiche Operation auf beiden Seiten
Variable	unbekannte Zahl
Probe	Lösung einsetzen
Gleichheitszeichen	zwei gleichwertige Seiten
Division	Umkehroperation zur Multiplikation
Subtraktion	Umkehroperation zur Addition

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Thema
Ausgangsgleichung	$3x+2=14$
Subtraktion	auf beiden Seiten $2$ abziehen
Zwischenschritt	$3x=12$
Division	beide Seiten durch $3$ teilen
Lösung	$x=4$

Kreuzworträtsel

Variable	Wie nennt man einen Platzhalter wie x?
Gleichung	Wie heißt eine mathematische Aussage mit Gleichheitszeichen?
Einsetzen	Wie heißt das Ersetzen einer Variablen durch eine Zahl?
Addition	Welche Rechenart ist die Umkehrung der Subtraktion?
Division	Welche Rechenart ist die Umkehrung der Multiplikation?
Waage	Welches Modell veranschaulicht das Gleichgewicht einer Gleichung?

Lückentext

Vervollständige den Text.

Eine Gleichung hat zwei Seiten, die durch ein verbunden sind. Bei einer Äquivalenzumformung führst Du auf beiden Seiten die Operation aus. Bei $3x+2=14$ subtrahierst Du zuerst auf beiden Seiten. Dadurch erhältst Du $3x=$ . Danach teilst Du beide Seiten durch . Die Lösung lautet $x=$ . Zur Kontrolle setzt Du die Lösung in die Ausgangsgleichung ein und machst eine .

Offene Aufgaben

Leicht

1. Waagenmodell: Zeichne eine Waage zur Gleichung $x+3=7$ und markiere, was Du auf beiden Seiten entfernst.
2. Rechenweg: Löse $x+6=15$ und schreibe zu jedem Schritt einen kurzen Satz.
3. Probe: Erfinde eine Gleichung mit der Lösung $x=4$ und kontrolliere sie durch Einsetzen.
4. Fehleranalyse: Erkläre, warum aus $2x+3=11$ nicht direkt $2x=11$ folgen darf.

Standard

1. Äquivalenzumformung: Löse $4x+2=18$ und begründe beide Äquivalenzschritte.
2. Erklärvideo: Plane ein 60-sekündiges Erklärvideo zu $3x-5=10$. Verwende keine personenbezogenen Daten.
3. Mathematikplakat: Gestalte ein kleines Lernplakat mit der Waagenregel, einem Beispiel und einer Probe.
4. Digitale Selbstkontrolle: Lass ein digitales Werkzeug eine einfache Gleichung lösen und überprüfe das Ergebnis selbst durch Einsetzen.

Schwer

1. Sachaufgabe: Erfinde eine Alltagssituation, die zu $5x+2=27$ passt, und löse sie.
2. Vergleich von Lösungswegen: Löse $2x+8=20$ auf zwei nachvollziehbare Arten und vergleiche die Schritte.
3. Fehlerdiagnose: Erstelle einen absichtlich falschen Rechenweg zu $3x+6=21$. Markiere den Fehler und korrigiere ihn.
4. Lernhilfe: Entwickle drei Hilfekarten für jemanden, der bei $4x-3=17$ nicht weiterkommt. Die erste Hilfe soll nur einen kleinen Hinweis geben.

Lernkontrolle

1. Begründen: Erkläre am Waagenmodell, warum bei $x+4=9$ auf beiden Seiten $4$ subtrahiert werden muss.
2. Transfer: Stelle zu einer selbst gewählten Einkaufssituation eine Gleichung der Form $ax+b=c$ auf und löse sie.
3. Fehleranalyse: Prüfe den Rechenweg $3x+2=14$, $3x=14$, $x=\frac{14}{3}$. Beschreibe den ersten Fehler und korrigiere den Weg.
4. Darstellungswechsel: Zeichne zu $2x+4=12$ ein Waagenbild und schreibe daneben den symbolischen Rechenweg.
5. Selbstkontrolle: Löse $5x-5=20$ und zeige mit einer Probe, dass Deine Lösung stimmt.
6. Digitale Prüfung: Bewerte eine vorgegebene digitale Lösung nicht nach ihrem Ergebnis allein, sondern prüfe jeden Äquivalenzschritt und die Probe.

Lernnachweis

Für einen Lernnachweis zu diesem Thema ist wichtig:

1. Du erkennst Variable, Gleichheitszeichen und beide Seiten einer Gleichung.
2. Du führst einfache Äquivalenzumformungen korrekt auf beiden Seiten aus.
3. Du stellst $x$ schrittweise frei.
4. Du notierst den Rechenweg verständlich und in richtiger Reihenfolge.
5. Du begründest, warum ein Rechenschritt erlaubt ist.
6. Du kontrollierst die Lösung durch Einsetzen.
7. Du erkennst und korrigierst typische Fehler.
8. Du überträgst eine einfache Sachsituation in eine Gleichung.

Reflexion

Beantworte für Dich:

1. Welcher Rechenschritt fällt Dir schon sicher?
2. Wann hilft Dir das Waagenmodell?
3. An welcher Stelle machst Du noch häufig Vorzeichenfehler?
4. Wie hilft Dir die Probe?
5. Woran erkennst Du, ob eine digitale Lösung vertrauenswürdig ist?

Folgekurs

Wenn Du diese Gleichungen sicher lösen kannst, kannst Du als Nächstes Gleichungen mit Variablen auf beiden Seiten bearbeiten, zum Beispiel $5x+2=2x+14$.

Passende Lernbereiche: Terme Äquivalenzumformung Lineare Gleichung Sachaufgaben Probe (Mathematik)

Verknüpfte Lernbereiche

Lineare Gleichung Variable Term Äquivalenzumformung Probe Sachaufgabe Gleichheitszeichen