Die Druckversion wird nicht mehr unterstützt und kann Darstellungsfehler aufweisen. Bitte aktualisiere deine Browser-Lesezeichen und verwende stattdessen die Standard-Druckfunktion des Browsers.

M7 E - Vermutungen entwickeln und Gegenbeispiele finden

Kurzbeschreibung: Du untersuchst Zahlenmuster und geometrische Situationen, formulierst daraus allgemeine Vermutungen und versuchst sie gezielt zu bestätigen oder durch ein Gegenbeispiel zu widerlegen. Digitale Werkzeuge helfen beim Experimentieren – sie ersetzen aber keine mathematische Begründung.

Einleitung

Mathematik entsteht oft in vier Schritten:

Experimentieren: Beispiele berechnen, zeichnen oder simulieren.
Vermuten: Eine allgemeine Aussage formulieren.
Prüfen: Neue und möglichst unterschiedliche Fälle testen.
Begründen oder widerlegen: Einen nachvollziehbaren Grund angeben oder ein Gegenbeispiel finden.

Ein Beispiel kann eine Vermutung stützen. Ein einziges Gegenbeispiel kann eine allgemeine Vermutung widerlegen. Viele Beispiele allein sind noch kein Beweis.

Beispiele → Vermutung → Prüfung → Begründung oder Gegenbeispiel

E-Niveau: Du sollst selbstständig untersuchen, verallgemeinern, begründen, Gegenbeispiele konstruieren und digitale Ergebnisse kritisch prüfen.

Lernziele

Du kannst …

Vermutungen aus Zahlenmustern, Tabellen, Zeichnungen und Simulationen entwickeln.
mathematische Aussagen mit Variablen formulieren, zum Beispiel $n (n + 1)$ .
Beispiele systematisch auswählen und Sonderfälle prüfen.
ein Gegenbeispiel finden oder konstruieren.
erklären, warum viele Beispiele eine allgemeine Aussage noch nicht beweisen.
digitale Werkzeuge zur Untersuchung nutzen und deren Ergebnisse kritisch prüfen.
einen Rechenweg, eine Darstellung und eine Begründung nachvollziehbar dokumentieren.

Vorwissen-Check

1. Setze fort:

$1, 4, 9, 16, \dots$

Feedback: Die nächsten Quadratzahlen sind $25$ und $36$ . Eine passende Beschreibung lautet $a_{n} = n^{2}$ .

2. Prüfe drei Beispiele:

$n (n + 1)$ für $n = 2, 5, 10$

Feedback: $2 \cdot 3 = 6$ , $5 \cdot 6 = 30$ , $10 \cdot 11 = 110$ . Alle drei Ergebnisse sind gerade. Damit ist die allgemeine Aussage aber noch nicht bewiesen.

3. Gegenbeispiel gesucht: „Jede Zahl mit $x^{2} > 4$ ist größer als $2$ .“

Feedback: $x = - 3$ ist ein Gegenbeispiel, denn $(- 3)^{2} = 9 > 4$ , aber $- 3$ ist nicht größer als $2$ .

4. Denkfrage: Was ist stärker – 100 passende Beispiele oder ein Gegenbeispiel?

Feedback: Für eine allgemeine Behauptung reicht ein einziges echtes Gegenbeispiel zur Widerlegung. 100 passende Beispiele können die Vermutung nur plausibler machen.

Zahlenmuster untersuchen

Experiment 1: Quadratzahlen und ungerade Zahlen

Berechne die Unterschiede aufeinanderfolgender Quadratzahlen:

$n$	$n^{2}$	Unterschied zur vorherigen Quadratzahl
$1$	$1$	–
$2$	$4$	$3$
$3$	$9$	$5$
$4$	$16$	$7$
$5$	$25$	$9$

Vermutung:

$1 + 3 + 5 + \dots + (2 n - 1) = n^{2}$

Visuelle Prüfung: Jede neue ungerade Zahl ergänzt einen passenden Rand eines Quadrats. So wächst ein $n \times n$ -Quadrat schrittweise.

Auftrag: Erkläre mit einer Skizze, warum der Schritt von $(n - 1)^{2}$ zu $n^{2}$ genau $2 n - 1$ neue Punkte benötigt.

Experiment 2: Zwei aufeinanderfolgende Zahlen

Teste:

$n (n + 1)$

für verschiedene ganze Zahlen $n$ .

$3 \cdot 4 = 12$

$8 \cdot 9 = 72$

$(- 5) \cdot (- 4) = 20$

Vermutung: Das Produkt zweier aufeinanderfolgender ganzer Zahlen ist immer gerade.

Begründung: Von zwei aufeinanderfolgenden ganzen Zahlen ist immer genau eine gerade. Deshalb enthält das Produkt den Faktor $2$ .

$n (n + 1) = 2 \cdot k$

für eine passende ganze Zahl $k$ .

Wichtig: Hier wird nicht nur getestet. Die Struktur „eine der beiden Zahlen ist gerade“ begründet die Aussage allgemein.

Experiment 3: Eine überzeugende Vermutung scheitert

Untersuche für natürliche Zahlen $n$ :

$n^{2} + n + 41$

Für viele kleine Werte entstehen Primzahlen:

$0^{2} + 0 + 41 = 41$

$1^{2} + 1 + 41 = 43$

$2^{2} + 2 + 41 = 47$

Trotzdem gilt die Vermutung „Der Term ist immer eine Primzahl“ nicht.

Setze $n = 40$ :

$4 0^{2} + 40 + 41 = 1681 = 4 1^{2}$

Damit ist $n = 40$ ein Gegenbeispiel.

Merksatz: Eine Aussage über alle Zahlen kann lange richtig aussehen und trotzdem falsch sein.

Interaktive Zahlengerade

Nutze die verschiebbare Zahl auf der Zahlengeraden. Untersuche $x$ und $- x$ .

Arbeitsauftrag:

Wähle mindestens sechs positive und negative Werte.
Vergleiche den Abstand von $x$ und $- x$ zur $0$ .
Formuliere eine Vermutung mit dem Begriff Betrag.
Prüfe den Sonderfall $x = 0$ .

Eine mögliche Verallgemeinerung lautet:

$| x | = | - x |$

Muster im Pascalschen Dreieck

Das Pascalsche Dreieck eignet sich besonders zum Entdecken von Mustern.

Experiment: Suche nach

Symmetrien,
Zeilensummen,
Dreieckszahlen,
Fibonacci-Zahlen.

E-Niveau-Auftrag: Wähle ein entdecktes Muster. Formuliere zuerst nur eine Vermutung. Prüfe sie an mindestens drei weiteren Stellen. Suche anschließend nach einer Begründung oder nach einem Gegenbeispiel.

Geometrische Vermutungen

Experiment 4: Winkelsumme im Dreieck

Bewege die Eckpunkte. Erzeuge spitze, stumpfe, schmale und fast abgeflachte Dreiecke.

Notiere jeweils:

$α + β + γ$

Vermutung:

$α + β + γ = 18 0^{\circ}$

Digitale Messungen liefern viele passende Beispiele. Sie sind aber noch kein vollständiger Beweis, weil Messungen gerundet sein können und nur endlich viele Dreiecke untersucht werden.

Begründungsidee: Zeichne durch einen Eckpunkt eine Parallele zur gegenüberliegenden Seite. Mit Wechsel- und Stufenwinkeln lassen sich die drei Innenwinkel an einer gestreckten Linie anordnen.

$18 0^{\circ}$

Experiment 5: Gegenbeispiel in der Geometrie

Vermutung: „Jedes Viereck mit gleich langen Diagonalen ist ein Rechteck.“

Prüfe zunächst Rechtecke. Dort passt die Aussage.

Suche dann ein anderes Viereck mit gleich langen Diagonalen.

Gegenbeispiel: Ein gleichschenkliges Trapez kann gleich lange Diagonalen besitzen, ohne ein Rechteck zu sein.

E-Niveau-Frage: Welche zusätzliche Voraussetzung müsste man ergänzen, damit aus einer ähnlichen Aussage tatsächlich ein sicherer Satz wird?

Dynamische Geometrie selbst nutzen

Digitaler Forschungsauftrag:

Konstruiere ein frei bewegliches Dreieck oder Viereck.
Miss Längen und Winkel.
Formuliere eine Vermutung.
Ziehe die Punkte in extreme Lagen.
Suche gezielt nach einem Gegenbeispiel.
Speichere keine personenbezogenen Daten.

Medienkompetenz: Ein Computerbild kann fehlerhaft skaliert sein, Werte können gerundet werden und ein dynamisches Modell kann falsch konstruiert sein. Prüfe deshalb die mathematische Struktur unabhängig vom Bildschirmbild.

Vom Experiment zur mathematischen Aussage

Eine gute Vermutung benennt den Gültigkeitsbereich.

Zu ungenau:

„Das Produkt ist immer gerade.“

Besser:

„Für jede ganze Zahl $n$ ist das Produkt $n (n + 1)$ gerade.“

Als Wenn-Dann-Aussage:

„Wenn $n$ eine ganze Zahl ist, dann ist $n (n + 1)$ gerade.“

Voraussetzung: $n \in ℤ$

Behauptung: $n (n + 1)$ ist gerade.

Beispiele strategisch auswählen

Teste nicht nur einfache Fälle.

kleine Werte,
große Werte,
$0$ ,
negative Werte,
Brüche oder Dezimalzahlen, falls sie zum Gültigkeitsbereich gehören,
Grenz- und Sonderfälle,
geometrische Extremformen.

Beispiel:

Vermutung: „Das Produkt zweier Zahlen ist größer als jeder Faktor.“

Mit $3 \cdot 4 = 12$ wirkt die Aussage plausibel.

Aber:

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$

Das ist kleiner als beide Faktoren. Der Gültigkeitsbereich war entscheidend.

Visueller Schritt-für-Schritt-Rechenweg

Aufgabe: Prüfe die Vermutung: „Die Differenz zweier aufeinanderfolgender Quadratzahlen ist immer ungerade.“

Schritt 1: Beispiele

$4^{2} - 3^{2} = 16 - 9 = 7$

$8^{2} - 7^{2} = 64 - 49 = 15$

Schritt 2: Allgemein schreiben

$(n + 1)^{2} - n^{2}$

Schritt 3: Umformen

$(n + 1)^{2} - n^{2} = n^{2} + 2 n + 1 - n^{2}$

$= 2 n + 1$

Schritt 4: Begründen

$2 n + 1$ ist für jedes ganze $n$ ungerade. Damit ist die Vermutung allgemein begründet.

Übungen mit Hilfestufen und Feedback

Übung 1: Gerade plus gerade

Vermutung: Die Summe zweier geraden ganzer Zahlen ist gerade.

Hilfe 1: Schreibe gerade Zahlen als $2 a$ und $2 b$ .

Hilfe 2: Addiere $2 a + 2 b$ .

Feedback: $2 a + 2 b = 2 (a + b)$ . Das Ergebnis besitzt den Faktor $2$ und ist daher gerade.

Übung 2: Quadrat und Vorzeichen

Vermutung: Wenn $a^{2} > b^{2}$ , dann gilt $a > b$ .

Hilfe 1: Teste auch negative Zahlen.

Hilfe 2: Probiere $a = - 5$ und $b = 4$ .

Feedback: $(- 5)^{2} = 25 > 16 = 4^{2}$ , aber $- 5 < 4$ . Das Paar $a = - 5$ , $b = 4$ ist ein Gegenbeispiel.

Übung 3: Vierecke

Vermutung: Jedes Viereck mit vier gleich langen Seiten ist ein Quadrat.

Hilfe 1: Denke an eine Raute.

Hilfe 2: Muss eine Raute vier rechte Winkel haben?

Feedback: Eine nicht quadratische Raute hat vier gleich lange Seiten, aber keine vier rechten Winkel. Sie ist ein Gegenbeispiel.

Übung 4: Streichholzmodell

Eine Reihe aus aneinanderliegenden Quadraten wird mit Streichhölzern gelegt.

Für $n = 1$ brauchst Du $4$ Hölzer, für $n = 2$ $7$ , für $n = 3$ $10$ .

Vermutung:

$H (n) = 3 n + 1$

Hilfe 1: Jedes weitere Quadrat teilt eine Seite mit dem vorherigen.

Hilfe 2: Startwert $4$ , danach kommen jeweils $3$ Hölzer hinzu.

Feedback: $H (n) = 4 + 3 (n - 1) = 3 n + 1$ . Prüfe zusätzlich $n = 10$ : $H (10) = 31$ .

Typische Fehler

Beispiel: „Ich habe fünf Beispiele gerechnet, also ist es bewiesen.“ – Nein. Beispiele prüfen Plausibilität.
Gegenbeispiel: Ein Gegenbeispiel muss wirklich alle Voraussetzungen erfüllen und die Behauptung verletzen.
Gültigkeitsbereich: Eine Aussage kann für natürliche Zahlen stimmen und für negative Zahlen oder Brüche scheitern.
Messfehler: $179, 9^{\circ}$ oder $180, 1^{\circ}$ können aus Rundungen entstehen.
Digitale Simulation: Eine fehlerhafte Konstruktion kann eine falsche Vermutung scheinbar bestätigen.
KI: Eine KI-Ausgabe kann Ideen liefern, muss aber rechnerisch und logisch geprüft werden. Sie ersetzt keinen mathematischen Beweis.

Selbstkontrolle

Kannst Du diese Fragen mit „Ja“ beantworten?

Formuliere ich meine Vermutung so, dass klar ist, für welche Zahlen oder Figuren sie gelten soll?
Teste ich auch Sonderfälle?
Kann ich erklären, warum Beispiele noch kein Beweis sind?
Kann ich ein Gegenbeispiel gezielt suchen?
Dokumentiere ich Rechenweg, Darstellung und Begründung getrennt?
Prüfe ich digitale und KI-erzeugte Ergebnisse kritisch?

Transfer

Ein digitales Modell erzeugt für $n = 1, 2, 3, 4$ die Werte

$4, 7, 10, 13$ .

Eine KI schlägt vor:

$f (n) = 3 n + 1$

Deine Aufgabe:

Prüfe die Formel für die vier gegebenen Werte.
Berechne die Vorhersage für $n = 20$ .
Erfinde eine konkrete Streichholzfigur, zu der die Formel passt.
Verändere die Anordnung so, dass dieselbe Formel nicht mehr passt.
Erkläre, warum die vier Anfangswerte allein die Formel nicht eindeutig beweisen.

Hinweis: Auch andere Formeln können endlich viele vorgegebene Werte treffen. Erst das Modell und eine Begründung erklären, warum eine Regel allgemein gelten soll.

Kompetenzcheck E-Niveau

A. Zahlenmuster

Untersuche die Folge:

$2, 6, 12, 20, 30, \dots$

Formuliere eine Vermutung für den $n$ -ten Wert und begründe sie mit einer passenden Darstellung.

B. Gegenbeispiel

Widerlege oder begründe:

„Wenn $a + b$ gerade ist, dann sind $a$ und $b$ beide gerade.“

C. Geometrie

Untersuche mit dynamischer Geometrie:

„Wenn ein Viereck zwei parallele Seiten besitzt, ist es ein Parallelogramm.“

D. Digitale Prüfung

Erstelle eine Wertetabelle zu einer selbst gewählten Vermutung. Markiere ausdrücklich:

untersuchte Beispiele,
mögliche Sonderfälle,
Ergebnis der digitalen Prüfung,
mathematische Begründung oder Gegenbeispiel.

Reflexion

Welche Vermutung hat Dich am stärksten überrascht?
Wann war ein Gegenbeispiel schneller als eine lange Rechnung?
Welcher digitale Versuch war hilfreich?
Wo hätte Dich eine Simulation täuschen können?
Was unterscheidet für Dich jetzt „plausibel“ von „bewiesen“?

Folgekurs

Als nächster Schritt eignet sich ein Kurs zu Aussagen begründen und Beweise aufbauen. Dort werden Vermutungen systematisch zu Wenn-Dann-Aussagen, Argumentationsketten und einfachen Beweisen weiterentwickelt.

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Diesen aiMOOC als Battle spielen

Was kann ein einzelnes Gegenbeispiel leisten? (Eine allgemeine Vermutung widerlegen) (!Eine allgemeine Vermutung beweisen) (!Alle Beispiele einer Aussage berechnen) (!Eine Zeichnung automatisch exakt machen)

Was folgt aus zehn passenden Beispielen für eine Vermutung? (Die Vermutung ist für diese zehn Beispiele bestätigt) (!Die Vermutung ist allgemein bewiesen) (!Ein Gegenbeispiel ist unmöglich) (!Der Gültigkeitsbereich spielt keine Rolle)

Welcher Ausdruck ist für jede ganze Zahl n gerade? (n mal n plus 1) (!n plus 1) (!n zum Quadrat plus 1) (!2n plus 1)

Welches Paar widerlegt die Aussage aus a Quadrat größer b Quadrat folgt a größer b? (a gleich minus 5 und b gleich 4) (!a gleich 5 und b gleich 4) (!a gleich 4 und b gleich 3) (!a gleich 3 und b gleich 2)

Was sollte beim digitalen Prüfen einer geometrischen Vermutung zusätzlich verändert werden? (Die Figur in unterschiedliche und extreme Lagen) (!Nur die Farbe der Figur) (!Nur die Schriftgröße) (!Nur der Dateiname)

Welche Aussage beschreibt Beispiele korrekt? (Beispiele können eine Vermutung plausibel machen) (!Beispiele beweisen jede allgemeine Aussage) (!Beispiele ersetzen eine Begründung) (!Beispiele verhindern Gegenbeispiele)

Welche Aussage ist für jede ganze Zahl n richtig? (Die Differenz aufeinanderfolgender Quadratzahlen ist ungerade) (!Jede Quadratzahl ist ungerade) (!Jede Quadratzahl ist prim) (!Jede Quadratzahl ist negativ)

Was ist bei einer mathematischen Vermutung besonders wichtig? (Der Gültigkeitsbereich) (!Die Hintergrundfarbe) (!Die Anzahl der Bildschirmfenster) (!Die Länge des Dateinamens)

Was gilt für Messwerte aus dynamischer Geometrie? (Sie können durch Rundung leicht abweichen) (!Sie sind immer ein vollständiger Beweis) (!Sie können nie falsch konstruiert sein) (!Sie benötigen keine Kontrolle)

Wie sollte eine KI-Ausgabe in Mathematik behandelt werden? (Sie muss mathematisch geprüft und begründet werden) (!Sie gilt automatisch als Beweis) (!Sie ersetzt alle eigenen Rechnungen) (!Sie darf nie hinterfragt werden)

Memory

Vermutung	Allgemeine Aussage aus Beobachtungen
Gegenbeispiel	Widerlegt eine allgemeine Behauptung
Plausibilitätsprüfung	Test mit ausgewählten Beispielen
Gültigkeitsbereich	Menge der erlaubten Fälle
Begründung	Nachvollziehbare mathematische Argumentation
Simulation	Digitales Experimentieren mit veränderbaren Fällen

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Thema
Experimentieren	Beispiele erzeugen und beobachten
Vermuten	Eine allgemeine Aussage formulieren
Prüfen	Weitere und besondere Fälle untersuchen
Widerlegen	Ein passendes Gegenbeispiel angeben
Begründen	Allgemeine mathematische Argumente darstellen

Kreuzworträtsel

Vermutung	Wie heißt eine allgemeine Aussage, die aus Beobachtungen entwickelt wird?
Beispiel	Wie heißt ein einzelner untersuchter Fall?
Gegenbeispiel	Was widerlegt eine allgemeine Behauptung?
Plausibel	Wie nennt man eine Aussage, die nach mehreren Prüfungen glaubwürdig wirkt?
Beweis	Wie heißt eine allgemeingültige mathematische Begründung?
Simulation	Wie heißt ein digitales Experiment mit veränderbaren Werten oder Figuren?

LearningApps

Lückentext

Offene Aufgaben

Leicht

Zahlenmuster: Erfinde eine Folge mit mindestens sechs Gliedern. Formuliere eine Vermutung für die Regel und lasse eine andere Person die Regel prüfen.
Gegenbeispiel: Finde drei falsche allgemeine Aussagen über ganze Zahlen und jeweils ein möglichst kleines Gegenbeispiel.
Geometrie: Zeichne ein Rechteck, eine Raute und ein gleichschenkliges Trapez. Formuliere zwei Vermutungen über Diagonalen und prüfe sie an den drei Figuren.
Digitale Zahlengerade: Untersuche $x$ und $- x$ für mindestens zehn Werte und dokumentiere Deine Vermutung.

Standard

Pascalsches Dreieck: Entdecke ein Muster, dokumentiere mindestens fünf Beobachtungen und formuliere eine allgemeine Vermutung.
Dynamische Geometrie: Konstruiere ein bewegliches Dreieck. Untersuche eine Eigenschaft zu Winkeln oder Seiten und dokumentiere auch extreme Formen.
Streichholzproblem: Entwickle ein Figurenmuster, erstelle eine Wertetabelle und leite eine Formel in $n$ her.
Fehleranalyse: Erstelle ein Lernplakat mit den Unterschieden zwischen Beispiel, Gegenbeispiel, Begründung und Beweis.

Schwer

Primzahl: Untersuche $n^{2} + n + 41$ . Dokumentiere, wie lange die Primzahlvermutung funktioniert und wo sie scheitert.
Modellieren: Entwickle ein reales Wachstumsmodell, zum Beispiel Sitzplätze an zusammengestellten Tischen. Formuliere eine Regel und beschreibe, wann sie nicht mehr gilt.
KI und Mathematik: Lass eine KI eine Vermutung zu einem selbst gewählten Zahlenmuster formulieren. Prüfe die Aussage unabhängig und dokumentiere Fehler oder Lücken.
Mathematische Argumentation: Wähle eine wahre Vermutung aus dem Kurs und entwickle eine mehrschrittige Begründung mit Rechnung, Bild und Text.

Lernkontrolle

Vermutung prüfen: Eine Schülerin untersucht $n^{2} + n + 2$ für $n = 1, 2, 3, 4$ und behauptet, der Term sei immer gerade. Untersuche die Aussage systematisch und erkläre Deine Entscheidung.
Gegenbeispiel konstruieren: Widerlege die Aussage „Wenn das Produkt zweier Zahlen positiv ist, sind beide Zahlen positiv“ und erkläre, warum Dein Beispiel alle Voraussetzungen erfüllt.
Darstellungen verbinden: Zeige die Vermutung $1 + 3 + \dots + (2 n - 1) = n^{2}$ mit Rechnung und Bild. Erkläre, wie beide Darstellungen zusammenpassen.
Digitale Simulation bewerten: Eine GeoGebra-Datei zeigt bei 50 Dreiecken stets ungefähr $18 0^{\circ}$ . Erkläre, was dadurch gestützt wird und was noch begründet werden muss.
Modellgrenze: Für eine Reihe verbundener Quadrate gilt $H (n) = 3 n + 1$ . Verändere die Figurenanordnung so, dass die Formel nicht mehr passt, und begründe die Ursache.
Aussage verbessern: Die Behauptung „Ein Produkt ist größer als seine Faktoren“ ist falsch. Formuliere eine eingeschränkte Version, die plausibel richtig ist, und untersuche sie.

Lernnachweis

Für einen Lernnachweis solltest Du zeigen können, dass Du:

aus mathematischen Experimenten eine präzise Vermutung entwickelst,
den Gültigkeitsbereich einer Aussage nennst,
Beispiele und Sonderfälle systematisch auswählst,
ein korrektes Gegenbeispiel findest oder konstruierst,
eine wahre Aussage mit einer nachvollziehbaren Argumentation begründest,
Zahlenmuster algebraisch mit $n$ beschreibst,
geometrische Vermutungen mit einer dynamischen Konstruktion untersuchst,
Rechenweg, Darstellung und Begründung unterscheidbar dokumentierst,
digitale Ergebnisse und KI-Ausgaben kritisch überprüfst,
bei digitalen Arbeiten keine personenbezogenen Daten verwendest.

OERs zum Thema

Wikipedia: Gegenbeispiel

Wikipedia: Vermutung in der Mathematik

Dynamische Geometrie: Winkelsumme im Dreieck

Freie Medien: Die verwendeten Wikimedia-Commons-Dateien sind über ihre jeweiligen Dateibeschreibungsseiten mit Lizenz- und Urheberangaben nachvollziehbar. YouTube-Videos werden eingebettet und nicht neu veröffentlicht.

Bildungsplanbezug Baden-Württemberg

Der Kurs unterstützt insbesondere die prozessbezogenen Kompetenzen des Mathematikunterrichts: Vermutungen entwickeln, mathematische Aussagen formulieren, Vermutungen anhand von Beispielen auf Plausibilität prüfen, Gegenbeispiele zur Widerlegung nutzen, Hilfsmittel einsetzen und Lösungswege begründen.

Bildungsplan Baden-Württemberg – Mathematisch argumentieren und beweisen