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M7 E - Proportionalitätsfaktor als mathematisches Modell nutzen

Einleitung

M7 E - Proportionalitätsfaktor als mathematisches Modell nutzen

Du beschreibst proportionale Zusammenhänge mit $y = k x$ und deutest den Proportionalitätsfaktor $k$ im Sachkontext. Dabei wechselst Du gezielt zwischen Tabelle, Graph, Gleichung und Text und prüfst, ob das Modell zur Situation passt.

Bereich	Fokus
Klasse	7
Niveau	E
Kernmodell	$y = k x$
Bedeutung von $k$	Rate pro Einheit
Beispiele	Preis je Einheit, Geschwindigkeit, Verbrauch, Füllrate

Die Geraden zeigen $y = k x$ für verschiedene Werte von $k$ . Mediennachweis: Gabry, „Proporzionalità diretta.svg“, CC BY-SA 3.0, Wikimedia Commons.

Der Kurs orientiert sich an der Leitidee Funktionaler Zusammenhang des Bildungsplans Baden-Württemberg: Zusammenhänge sollen in Texten, Tabellen, Graphen und Gleichungen dargestellt, erkannt und genutzt werden.

Lernziele

Proportionale Zusammenhänge erkennen: Du entscheidest anhand von Tabelle, Graph und Sachtext, ob ein Zusammenhang proportional ist.
Proportionalitätsfaktor bestimmen: Du berechnest $k = \frac{y}{x}$ und begründest, warum der Quotient konstant sein muss.
Modell aufstellen: Du formulierst aus einem Sachkontext eine Gleichung der Form $y = k x$ .
Rate interpretieren: Du deutest $k$ mit passender Einheit, zum Beispiel Euro pro Kilogramm oder Kilometer pro Stunde.
Darstellungen verknüpfen: Du wechselst zwischen Wertetabelle, Gleichung und Graph.
Modell kritisch prüfen: Du untersuchst, ob die proportionale Annahme zur Realität passt.
E-Niveau: Du verallgemeinerst Beobachtungen, begründest Regeln und findest Gegenbeispiele.

Vorwissen-Check

Prüfe zuerst, ob die Grundlagen sicher sind.

Auswertung

Wenn Dir das Dividieren, das Koordinatensystem oder das Rechnen mit Dezimalzahlen noch unsicher ist, wiederhole diese Grundlagen zuerst. Für diesen Kurs brauchst Du besonders sicher $\frac{y}{x}$ .

Kurzer Einstieg: Was bedeutet „pro Einheit“?

Mediennachweis: „Price Tag Flat Icon Vector.svg“, Videoplasty.com, CC BY-SA 4.0, Wikimedia Commons.

Ein Kilogramm Äpfel kostet 2,80 €. Dann gilt:

Masse $x$ in kg	Preis $y$ in €	Quotient
1	2,80	$\frac{2,80}{1} = 2,80$
2	5,60	$\frac{5,60}{2} = 2,80$
3	8,40	$\frac{8,40}{3} = 2,80$
4,5	12,60	$\frac{12,60}{4,5} = 2,80$

Der konstante Wert ist

$k = 2,80 \frac{€}{kg}$ .

Damit lautet das Modell

$y = 2,80 x$ .

Denkfrage: Was ändert sich in der Gleichung, wenn ein Kilogramm statt 2,80 € nun 3,10 € kostet?

Das Modell $y = k x$

Zeichen	Bedeutung
$x$	Eingangsgröße
$y$	abhängige Größe
$k$	konstante Rate pro Einheit
$y = k x$	proportionale Zuordnung

Für jeden Punkt mit $x \neq 0$ gilt

$k = \frac{y}{x}$ .

Ist $k$ immer gleich, dann ist der Zusammenhang proportional.

Merksatz: Bei einer proportionalen Zuordnung wird mit demselben Faktor von $x$ zu $y$ gerechnet.

Visueller Rechenweg

Beispiel: 6 kg kosten 15 €.

Schritt	Rechnung	Bedeutung
1	$k = \frac{15}{6} = 2,5$	Preis pro Kilogramm
2	$y = 2,5 x$	Modell
3	$y = 2,5 \cdot 9$	9 kg einsetzen
4	$y = 22,5$	9 kg kosten 22,50 €

Warum wird zuerst durch 6 geteilt?

Weil $k$ die Rate für genau eine Einheit von $x$ beschreibt. Aus 15 € für 6 kg wird so 2,50 € für 1 kg.

Graph und Proportionalitätsfaktor

Bei $y = k x$ ist der Graph eine Gerade durch den Ursprung $(0 | 0)$ .

$k = \frac{Δ y}{Δ x}$

beschreibt gleichzeitig die Steigung der Ursprungsgeraden.

Schieberegler: Was bewirkt $k$ ?

Bewege im Applet den Regler für $k$ . Beobachte die Gerade und formuliere drei Regeln.

Vergleiche: Was passiert bei $k = 0,5$ , $k = 1$ , $k = 2$ ?
Verallgemeinere: Wie hängt die Größe von $k$ mit der Steilheit des Graphen zusammen?
Prüfe: Reicht es aus, dass ein Graph eine Gerade ist, damit eine proportionale Zuordnung vorliegt?

Feedback

Eine Gerade ist nur dann der Graph einer proportionalen Zuordnung, wenn sie durch den Ursprung geht. Eine Gerade mit einem von null verschiedenen Achsenabschnitt ist linear, aber nicht proportional.

Rate, Quotient und Einheitsdarstellung

Der Proportionalitätsfaktor ist eine Einheitsrate.

Situation	Gleichung	Bedeutung von $k$
Äpfel	$y = 2,8 x$	$2,8 \frac{€}{kg}$
Fahrradfahrt	$s = 18 t$	$18 \frac{km}{h}$
Wasserhahn	$V = 7,5 t$	$7,5 \frac{L}{min}$
Kopien	$K = 0,12 n$	$0,12 \frac{€}{Kopie}$

Das Bild zeigt einen Tachometer in km/h. Mediennachweis: „Speedometer (kmh).JPG“, vom Urheber als gemeinfrei veröffentlicht, Wikimedia Commons.

Bei konstanter Geschwindigkeit von 18 km/h gilt:

$s = 18 t$ .

Dabei ist $18 \frac{km}{h}$ der Proportionalitätsfaktor.

Bewegliche Bruch- und Ratendarstellung

Verändere die Regler. Beobachte, wie Quotient, Verhältnis und Steigung zusammenhängen.

E-Auftrag: Begründe mit $k = \frac{y}{x}$ , warum alle Punkte einer proportionalen Zuordnung auf derselben Ursprungsgeraden liegen.

Darstellungen sicher wechseln

Aus

$y = 1,5 x$

entsteht zum Beispiel:

$x$	$y$
0	0
1	1,5
2	3
4	6
7	10,5

Aus jedem Tabellenpaar mit $x \neq 0$ erhältst Du wieder

$k = \frac{y}{x} = 1,5$ .

Interaktive Untersuchung: Tabelle, Graph, Gleichung

Arbeitsauftrag: Finde den Proportionalitätsfaktor in mindestens drei verschiedenen Darstellungen und erkläre, woran Du erkennst, dass stets dieselbe Rate gemeint ist.

Interaktive Beispiele mit Hilfestufen

Beispiel 1: Preis pro Einheit

4,8 kg Orangen kosten 12,96 €. Stelle ein proportionales Modell auf und berechne den Preis für 7,5 kg.

Hilfestufe 1

Berechne zuerst den Preis für 1 kg mit $k = \frac{y}{x}$ .

Hilfestufe 2

$k = \frac{12,96}{4,8}$

Lösung und Feedback

$k = 2,7 \frac{€}{kg}$ . Das Modell lautet $y = 2,7 x$ . Für $x = 7,5$ gilt $y = 2,7 \cdot 7,5 = 20,25$ . Wichtig ist die Einheit: $k$ ist hier ein Preis pro Kilogramm.

Beispiel 2: Geschwindigkeit

Ein Radfahrer legt bei gleichbleibender Geschwindigkeit in 25 Minuten 7,5 km zurück. Bestimme die Geschwindigkeit in km/h und ein Modell für die Strecke $s$ in Abhängigkeit von der Zeit $t$ in Stunden.

Hilfestufe 1

Wandle zuerst 25 Minuten in Stunden um: $25 min = \frac{25}{60} h$ .

Hilfestufe 2

Berechne $k = \frac{7,5}{25 / 60}$ .

Lösung und Feedback

$k = 18 \frac{km}{h}$ . Das Modell lautet $s = 18 t$ . Die Einheit von $k$ zeigt, dass es sich um eine Geschwindigkeit handelt.

Beispiel 3: Ist das Modell proportional?

Eine Taxifahrt kostet 4,50 € Grundgebühr und zusätzlich 2,20 € pro Kilometer.

Strecke in km	Preis in €
0	4,50
1	6,70
2	8,90
5	15,50

Aufgabe: Prüfe, ob hier $y = k x$ passt.

Hilfestufe

Prüfe den Punkt bei $x = 0$ und untersuche die Quotienten $\frac{y}{x}$ .

Lösung und Feedback

Das Modell ist nicht proportional, weil bei $x = 0$ bereits 4,50 € anfallen. Der Graph geht nicht durch den Ursprung. Ein passenderes lineares Modell wäre $y = 2,2 x + 4,5$ .

Balkenmodell und Einheitsrate

Auftrag: Nutze das Balkenmodell, um zu erklären, warum beim Dreisatz zuerst auf eine Einheit zurückgerechnet wird. Verbinde Deine Erklärung mit $k = \frac{y}{x}$ .

Typische Fehler

Fehler	Beispiel	Korrektur
Quotient vertauscht	$\frac{x}{y}$ statt $\frac{y}{x}$	Prüfe, welche Größe pro Einheit gesucht ist.
Einheit fehlt	$k = 2,8$	Schreibe zum Beispiel $2,8 \frac{€}{kg}$ .
Gerade genügt angeblich	beliebige Gerade	Eine proportionale Gerade muss durch $(0 \| 0)$ gehen.
Grundgebühr übersehen	Taxi oder Versand	Prüfe den Wert bei $x = 0$ .
Zahlenwert ungeprüft übernommen	digitales Tool liefert Ergebnis	Prüfe Größenordnung, Einheit und Rechenweg.

Digitale Werkzeuge kritisch nutzen

Digitale Werkzeuge helfen beim Experimentieren mit Tabellen, Graphen und Schiebereglern. Sie ersetzen aber keine Begründung.

Prüfe die Größenordnung: Ist das Ergebnis im Sachkontext sinnvoll?
Prüfe die Einheit: Passt sie zur Bedeutung von $k$ ?
Begründe: Ein KI-Ergebnis oder Applet ist kein mathematischer Beweis.
Schütze Daten: Gib in Aufgaben und Tools keine personenbezogenen Daten ein.

Selbstkontrolle

Aussage	sicher	teilweise	noch üben
Ich berechne $k = \frac{y}{x}$ .	□	□	□
Ich gebe die Einheit von $k$ an.	□	□	□
Ich erkenne Ursprungsgeraden.	□	□	□
Ich stelle $y = k x$ aus einem Sachtext auf.	□	□	□
Ich finde Gegenbeispiele zu falschen Aussagen.	□	□	□
Ich prüfe, ob ein Modell realistisch ist.	□	□	□

Transfer auf neue Situationen

Füllrate: Ein Behälter wird gleichmäßig mit 6,5 L pro Minute gefüllt. Stelle das Modell auf und bestimme die Füllmenge nach 7,4 Minuten.
Datenrate: Eine Datei wird mit konstant 12 MB/s übertragen. Formuliere ein Modell für die übertragene Datenmenge.
Mischungsverhältnis: Für ein Getränk werden pro 1 L Wasser 0,25 L Sirup verwendet. Untersuche, ob Sirupmenge und Wassermenge proportional sind.
Modellgrenze: Finde eine Alltagssituation, die zunächst proportional wirkt, aber bei genauer Prüfung nicht über den gesamten Bereich proportional sein kann.

Kompetenzcheck E

Aufgabe A: Verallgemeinern

Eine proportionale Zuordnung enthält den Punkt $(a | b)$ mit $a \neq 0$ .

Begründe:

$y = \frac{b}{a} x$ .

Kontrolle

Für den bekannten Punkt gilt $k = \frac{b}{a}$ . Da bei einer proportionalen Zuordnung derselbe Faktor für alle Werte gilt, folgt $y = \frac{b}{a} x$ .

Aufgabe B: Gegenbeispiel

Die Behauptung lautet: „Jede steigende Gerade beschreibt eine proportionale Zuordnung.“

Finde ein Gegenbeispiel und begründe.

Kontrolle

Zum Beispiel $y = 2 x + 3$ . Die Gerade ist steigend, geht aber nicht durch den Ursprung. Daher ist sie nicht proportional.

Aufgabe C: Mehrschrittiges Modellieren

Eine Maschine füllt 42 Flaschen in 3,5 Minuten. Die Füllgeschwindigkeit bleibt konstant.

Bestimme die Rate in Flaschen pro Minute.
Stelle ein Modell auf.
Berechne die Zeit für 300 Flaschen.
Nenne mindestens eine reale Bedingung, unter der das Modell ungenau werden könnte.

Kontrolle

$k = \frac{42}{3,5} = 12$ Flaschen pro Minute. Für die Anzahl $n$ gilt $n = 12 t$ . Für 300 Flaschen folgt $t = \frac{300}{12} = 25$ Minuten. In der Realität können Pausen, Störungen oder schwankende Maschinenleistung das Modell begrenzen.

Reflexion

Darstellung: Welche Darstellung hilft Dir am schnellsten, $k$ zu erkennen: Tabelle, Graph, Gleichung oder Text? Begründe.
Bedeutung: Warum ist die Einheit von $k$ oft genauso wichtig wie der Zahlenwert?
Modellgrenze: Woran erkennst Du, dass ein proportionales Modell nicht mehr zur Realität passt?
Begründung: Formuliere in eigenen Worten, warum der Graph von $y = k x$ durch den Ursprung gehen muss.

Folgekurs

Als nächster Schritt bietet sich Lineare Funktionen mit $y = m x + b$ an. Dort untersuchst Du, was sich ändert, wenn zusätzlich ein Startwert $b$ vorkommt.

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Diesen aiMOOC als Battle spielen

Welche Gleichung beschreibt eine proportionale Zuordnung? (y = k mal x) (!y = k plus x) (!y = x plus 4) (!y = k geteilt durch x)

3 kg Ware kosten 7,50 Euro. Wie groß ist der Proportionalitätsfaktor? (2,50 Euro je Kilogramm) (!22,50 Euro je Kilogramm) (!0,40 Euro je Kilogramm) (!4,50 Euro je Kilogramm)

Ein proportionaler Graph enthält den Punkt 4 und 10. Wie groß ist k? (2,5) (!4) (!6) (!14)

Welche Eigenschaft hat der Graph jeder proportionalen Zuordnung? (Er geht durch den Ursprung) (!Er ist immer waagerecht) (!Er schneidet die y Achse bei 1) (!Er ist immer gekrümmt)

Für k gleich 1,8 und x gleich 5 gilt welcher y Wert? (9) (!3,2) (!6,8) (!10,8)

Welche Einheit kann k bei einer gleichförmigen Fahrt haben? (Kilometer je Stunde) (!Kilometer mal Stunde) (!Stunde je Quadratkilometer) (!Euro je Kilogramm)

Was passiert bei einer proportionalen Zuordnung mit y wenn x verdoppelt wird? (y verdoppelt sich) (!y bleibt gleich) (!y halbiert sich) (!y wächst immer um eins)

Woran kann eine Tabelle als nicht proportional erkannt werden? (Der Quotient y durch x ist nicht konstant) (!Alle x Werte sind positiv) (!Die Tabelle enthält Dezimalzahlen) (!Die y Werte steigen)

Wie stellt man x aus y gleich k mal x frei? (x gleich y geteilt durch k) (!x gleich y mal k) (!x gleich k geteilt durch y) (!x gleich y minus k)

In V gleich 0,75 mal t beschreibt k am besten was? (0,75 Liter pro Zeiteinheit) (!0,75 Zeiteinheiten pro Liter) (!den Startwert 0,75 Liter) (!eine feste Zusatzmenge)

Memory

Proportionalitätsfaktor	Einheitsrate
Ursprung	Nullpunkt
Wertetabelle	Zahlenpaare
Ursprungsgerade	ProportionalerGraph
Preisrate	EuroProKilogramm
Geschwindigkeit	KilometerProStunde
Quotient	YdurchX

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Thema
Einheitsrate	Bedeutung von k im Sachkontext
Ursprungsgerade	Graph einer proportionalen Zuordnung
Konstanter Quotient	y geteilt durch x
Wertetabelle	Darstellung durch Zahlenpaare
Gegenbeispiel	Widerlegt eine allgemeine Behauptung

Kreuzworträtsel

Ursprung	Durch welchen Punkt verläuft jeder proportionale Graph?
Steigung	Welche graphische Bedeutung besitzt der Faktor k?
Einheitsrate	Wie nennt man die Rate für genau eine Einheit?
Gerade	Welche Form hat der Graph einer proportionalen Zuordnung?
Quotient	Wie heißt das Ergebnis von y geteilt durch x?
Modellieren	Wie nennt man das Übersetzen einer Sachsituation in Mathematik?

LearningApps

Lückentext

Eine proportionale Zuordnung kann mit der Gleichung

y = k x

beschrieben werden; dabei heißt

k

.

Für

x \neq 0

berechnet man

k

mit dem Quotienten

.

Im Sachkontext beschreibt

k

häufig eine

.

Der Graph einer proportionalen Zuordnung ist eine Gerade durch den

.

Wenn sich

x

verdoppelt, dann

sich auch

y

.

Bei einem Preis von 3,20 € je Kilogramm besitzt

k

die Einheit

.

Eine feste Grundgebühr führt dazu, dass der Zusammenhang meist nicht

ist.

Digitale Ergebnisse müssen durch Rechnung, Einheit und

geprüft werden.

Offene Aufgaben

Leicht

Preissuche: Wähle drei Produkte mit eindeutigem Preis pro Einheit und formuliere jeweils eine Gleichung $y = k x$ . Verwende keine personenbezogenen Daten.
Graph zeichnen: Zeichne zu $y = 1,6 x$ eine Wertetabelle mit mindestens fünf Wertepaaren und den zugehörigen Graphen.
Einheiten erklären: Erstelle eine kleine Karte mit drei verschiedenen Einheiten für $k$ und jeweils einem passenden Sachbeispiel.
Fehler finden: Erfinde eine falsche Lösung zu einer proportionalen Aufgabe und markiere anschließend den Fehler.

Standard

Preisvergleich: Vergleiche zwei Packungsgrößen über den Preis pro Einheit und stelle beide Modelle gegenüber.
Geschwindigkeitsmodell: Plane eine fiktive gleichförmige Fahrradfahrt, erstelle Tabelle, Graph und Gleichung und prüfe, ob alle Darstellungen zusammenpassen.
Modellprüfung: Untersuche eine Alltagssituation mit Startgebühr und erkläre, warum $y = k x$ dort scheitert.
Erklärvideo: Produziere ein kurzes Erklärvideo zu $k = \frac{y}{x}$ mit eigenem Zahlenbeispiel und sichtbarem Rechenweg.

Schwer

Verallgemeinern: Beweise für eine proportionale Zuordnung mit zwei Punkten $(x_{1} | y_{1})$ und $(x_{2} | y_{2})$ , dass $\frac{y_{1}}{x_{1}} = \frac{y_{2}}{x_{2}}$ gilt, sofern $x_{1}, x_{2} \neq 0$ .
Gegenbeispiele: Formuliere drei Aussagen über proportionale Zuordnungen, von denen genau zwei falsch sind, und widerlege die falschen mit Gegenbeispielen.
Mehrschrittiges Modellieren: Entwickle eine Sachsituation, in der zunächst eine Einheit umgerechnet werden muss, bevor $k$ bestimmt werden kann. Löse sie vollständig.
Digitale Untersuchung: Nutze einen Schieberegler für $k$ , dokumentiere mindestens fünf Beobachtungen und begründe zwei davon algebraisch.

Lernkontrolle

Modellvergleich: Zwei Lieferdienste verlangen unterschiedliche Preise. Einer arbeitet rein proportional, der andere mit Grundgebühr. Entwickle passende Gleichungen und erläutere, ab wann welches Modell günstiger wäre.
Darstellungswechsel: Du erhältst nur einen Graphen einer Ursprungsgeraden. Beschreibe, wie Du daraus eine Tabelle, eine Gleichung und einen Sachkontext erzeugen kannst.
Fehleranalyse: Eine Schülerin berechnet bei einem Punkt $(4 | 10)$ den Faktor mit $\frac{4}{10}$ . Analysiere den Denkfehler und formuliere eine Regel zur Vermeidung.
Modellgrenze: Begründe an einem Beispiel, warum ein mathematisch korrektes proportionales Modell in der Realität nur für einen begrenzten Bereich sinnvoll sein kann.
Begründung: Erkläre ohne bloßes Ablesen, warum eine proportionale Zuordnung mit $k > 0$ für größere positive $x$ auch größere $y$ liefert.
Transfer: Entwickle selbst eine Rate mit einer zusammengesetzten Einheit und zeige, wie aus ihr $y = k x$ entsteht.

Lernnachweis

Für einen Lernnachweis zu diesem Thema ist wichtig:

Du erkennst proportionale Zusammenhänge in Text, Tabelle, Gleichung und Graph.
Du bestimmst $k$ korrekt mit $k = \frac{y}{x}$ .
Du interpretierst den Faktor mit passender Einheit im Sachkontext.
Du stellst aus Sachsituationen Modelle der Form $y = k x$ auf.
Du wechselst nachvollziehbar zwischen Tabelle, Graph und Gleichung.
Du begründest, warum ein Graph durch den Ursprung gehen muss.
Du findest Gegenbeispiele zu falschen allgemeinen Aussagen.
Du löst mehrschrittige Modellierungsaufgaben einschließlich Einheitenumrechnung.
Du prüfst Ergebnisse auf Plausibilität und kennzeichnest Grenzen des Modells.
Du dokumentierst Rechenweg, Darstellung und Begründung so, dass sie überprüfbar sind.

OERs zum Thema

Wikipedia:

Interaktive OER:

Freie Medien im Kurs:

Proporzionalità diretta.svg: Gabry, CC BY-SA 3.0.
Price Tag Flat Icon Vector.svg: Videoplasty.com, CC BY-SA 4.0.
Speedometer (kmh).JPG: vom Urheber gemeinfrei veröffentlicht.

Weiterführende Videos:

Bildungsplanbezug:

Bildungsplan Baden-Württemberg – Leitidee Funktionaler Zusammenhang, Klassen 7/8/9

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M7 E - Proportionalitätsfaktor als mathematisches Modell nutzen

Einleitung

Lernziele

Vorwissen-Check

Kurzer Einstieg: Was bedeutet „pro Einheit“?

Das Modell y=kx

Visueller Rechenweg

Graph und Proportionalitätsfaktor

Schieberegler: Was bewirkt k?

Rate, Quotient und Einheitsdarstellung

Bewegliche Bruch- und Ratendarstellung

Darstellungen sicher wechseln

Interaktive Untersuchung: Tabelle, Graph, Gleichung

Interaktive Beispiele mit Hilfestufen

Beispiel 1: Preis pro Einheit

Beispiel 2: Geschwindigkeit

Beispiel 3: Ist das Modell proportional?

Balkenmodell und Einheitsrate

Typische Fehler

Digitale Werkzeuge kritisch nutzen

Selbstkontrolle

Transfer auf neue Situationen

Kompetenzcheck E

Aufgabe A: Verallgemeinern

Aufgabe B: Gegenbeispiel

Aufgabe C: Mehrschrittiges Modellieren

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