M7 E - Dichte der rationalen Zahlen entdecken

M7 E - Dichte der rationalen Zahlen entdecken

Mini-Beschreibung: Du untersuchst experimentell, dass zwischen zwei verschiedenen rationalen Zahlen immer weitere rationale Zahlen liegen. Du zoomst in Zahlengeraden hinein, konstruierst neue Brüche, formulierst Vermutungen und begründest sie mathematisch.

Zielgruppe: Mathematik Klasse 7, Baden-Württemberg, E-Niveau.

Wichtig: Digitale Werkzeuge helfen beim Entdecken und Prüfen. Eine GeoGebra-Anzeige oder eine KI-Ausgabe ersetzt aber keinen mathematischen Beweis. Verwende bei digitalen Aufgaben keine personenbezogenen Daten.

Freies Medium von Wikimedia Commons. Lizenz und Urheberangaben stehen auf der Dateibeschreibungsseite.

Einleitung

Zwischen $\frac{1}{3}$ und $\frac{1}{2}$ scheint zunächst wenig Platz zu sein.

Aber:

$\frac{1}{3}=\frac{4}{12}$

$\frac{1}{2}=\frac{6}{12}$

Damit liegt

$\frac{5}{12}$

dazwischen:

$\frac{1}{3}<\frac{5}{12}<\frac{1}{2}$

Und zwischen $\frac{1}{3}$ und $\frac{5}{12}$ finden wir wieder eine rationale Zahl.

Die zentrale Entdeckung lautet: Zwischen zwei verschiedenen rationalen Zahlen liegen immer weitere rationale Zahlen.

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Lernziele

Nach diesem aiMOOC kannst Du:

1. rationale Zahlen auf einer Zahlengeraden genauer untersuchen.
2. zwischen zwei rationalen Zahlen weitere rationale Zahlen konstruieren.
3. Brüche durch Erweitern vergleichbar machen.
4. den Mittelpunkt zweier rationaler Zahlen berechnen.
5. Vermutungen zur Dichte der rationalen Zahlen formulieren.
6. Beispiele nachvollziehbar begründen.
7. digitale Zahlengeraden kritisch prüfen.
8. erklären, warum eine Bildschirmdarstellung kein vollständiger Beweis ist.
9. Gegenbeispiele zu falschen Aussagen finden.
10. die Aussage zur Dichte der rationalen Zahlen verallgemeinern.

Vorwissen-Check

Prüfe zuerst, ob Du bereit bist.

1. Kannst Du $\frac{1}{3}$ und $\frac{1}{2}$ auf einer Zahlengeraden ungefähr markieren?
2. Kannst Du $\frac{1}{3}$ auf den Nenner $12$ erweitern?
3. Weißt Du, dass $\frac{4}{12}=\frac{1}{3}$ gilt?
4. Kannst Du Brüche mit gleichem Nenner vergleichen?
5. Kannst Du den Mittelwert von zwei Zahlen berechnen?

Selbstkontrolle öffnen

$\frac{1}{3}=\frac{4}{12}$, $\frac{1}{2}=\frac{6}{12}$ und daher $\frac{4}{12}<\frac{6}{12}$. Den Mittelwert zweier Zahlen $a$ und $b$ berechnet man mit $\frac{a+b}{2}$.

Entdecken mit einer stark zoombaren Zahlengeraden

Auftrag: Öffne die dynamische Zahlengerade. Setze mehrere Punkte zwischen $0$ und $1$. Verkleinere die Abstände immer weiter.

Beobachte:

1. Markiere $\frac{1}{3}$.
2. Markiere $\frac{1}{2}$.
3. Suche mindestens drei weitere rationale Zahlen dazwischen.
4. Zoome oder erhöhe die Genauigkeit.
5. Formuliere eine Vermutung: Gibt es irgendwann keine weitere rationale Zahl mehr?

Denkfrage: Was passiert, wenn zwei Punkte auf dem Bildschirm direkt nebeneinander erscheinen? Bedeutet das mathematisch, dass keine Zahl mehr dazwischen liegt?

Feedback

Nein. Ein Bildschirm hat nur eine endliche Auflösung. Mathematisch kann zwischen zwei verschiedenen rationalen Zahlen trotzdem wieder eine rationale Zahl konstruiert werden.

Bewegliche Bruchdarstellungen

Die Animation zeigt Bruchteile visuell. Freies Medium von Wikimedia Commons.

Gleichwertige Brüche helfen beim Vergleichen und beim Finden neuer Zwischenwerte.

Experiment: Stelle Dir einen Bruchstreifen von $0$ bis $1$ vor. Unterteile ihn zuerst in $6$, dann in $12$, dann in $24$ gleich große Teile.

$\frac{1}{3}=\frac{2}{6}=\frac{4}{12}=\frac{8}{24}$

$\frac{1}{2}=\frac{3}{6}=\frac{6}{12}=\frac{12}{24}$

Zwischen $\frac{8}{24}$ und $\frac{12}{24}$ liegen zum Beispiel:

$\frac{9}{24},\frac{10}{24},\frac{11}{24}$

Beispiel 1: Eine Zahl zwischen einem Drittel und einem Halb

Schritt 1: Erweitern

$\frac{1}{3}=\frac{4}{12}$

$\frac{1}{2}=\frac{6}{12}$

Schritt 2: Zähler vergleichen

$4<5<6$

Schritt 3: Zwischenzahl einsetzen

$\frac{4}{12}<\frac{5}{12}<\frac{6}{12}$

Ergebnis

$\frac{1}{3}<\frac{5}{12}<\frac{1}{2}$

Warum funktioniert das?

Bei gleichem positiven Nenner bestimmt der Zähler die Reihenfolge. Da $4<5<6$ gilt, liegt $\frac{5}{12}$ zwischen den beiden Brüchen.

Beispiel 2: Der Mittelpunkt-Trick

Für zwei verschiedene rationale Zahlen $a$ und $b$ mit $a<b$ betrachten wir den Mittelpunkt

$m=\frac{a+b}{2}$

Für $a=\frac{1}{3}$ und $b=\frac{1}{2}$ ergibt sich:

$m=\frac{\frac{1}{3}+\frac{1}{2}}{2}$

$m=\frac{\frac{5}{6}}{2}$

$m=\frac{5}{12}$

Und:

$\frac{1}{3}<\frac{5}{12}<\frac{1}{2}$

Warum liegt der Mittelpunkt immer dazwischen?

Aus $a<b$ folgt:

$2a<a+b<2b$

Teilen durch $2$ ergibt:

$a<\frac{a+b}{2}<b$

Da Summe und Quotient rationaler Zahlen wieder rational sind, ist auch $\frac{a+b}{2}$ rational.

Visuelle Schritt-für-Schritt-Erklärung

Schritt	Darstellung
Start	$\frac{1}{3}<\frac{1}{2}$
Gleichnamig machen	$\frac{4}{12}<\frac{6}{12}$
Zahl einsetzen	$\frac{4}{12}<\frac{5}{12}<\frac{6}{12}$
Zurückübersetzen	$\frac{1}{3}<\frac{5}{12}<\frac{1}{2}$

Nun wiederholen:

$\frac{1}{3}<\frac{3}{8}<\frac{5}{12}<\frac{1}{2}$

Denn:

$\frac{\frac{1}{3}+\frac{5}{12}}{2}=\frac{3}{8}$

Du kannst dieses Verfahren immer wieder fortsetzen.

Dichte der rationalen Zahlen

Freies Medium von Wikimedia Commons: rationale Zahlen zwischen $0$ und $1$.

Merksatz:

Sind $a$ und $b$ zwei rationale Zahlen mit

$a<b$,

dann gibt es eine rationale Zahl $m$ mit

$a<m<b$.

Zum Beispiel:

$m=\frac{a+b}{2}$

Da man denselben Schritt erneut zwischen $a$ und $m$ ausführen kann, entstehen immer weitere rationale Zahlen.

Folgerung: Zwischen zwei verschiedenen rationalen Zahlen liegen unendlich viele rationale Zahlen.

Experiment: Immer weiter hineinzoomen

Auftrag:

1. Wähle zwei verschiedene Brüche zwischen $0$ und $1$.
2. Bestimme ihren Mittelpunkt.
3. Markiere ihn.
4. Wiederhole das Verfahren zwischen dem linken Ausgangsbruch und dem neuen Mittelpunkt.
5. Führe mindestens fünf Schritte durch.
6. Notiere die entstehende Folge von Zwischenzahlen.

Beispielstart:

$\frac{1}{3}<\frac{1}{2}$

$\frac{1}{3}<\frac{5}{12}<\frac{1}{2}$

$\frac{1}{3}<\frac{3}{8}<\frac{5}{12}<\frac{1}{2}$

Dezimalzahlen als Zoom-Hilfe

$\frac{1}{3}=\mathrm{0,333}\dots$

$\frac{1}{2}=\mathrm{0,5}$

Eine Zahl dazwischen ist:

$\mathrm{0,4}=\frac{2}{5}$

Noch genauer:

$\mathrm{0,35}=\frac{7}{20}$

Und:

$\mathrm{0,34}=\frac{17}{50}$

Es gibt also auch in der Dezimaldarstellung immer feinere Zwischenwerte.

Achtung: Eine gerundete Anzeige kann Zahlen zusammenfallen lassen. Prüfe deshalb immer, ob das digitale Werkzeug rundet.

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Üben mit Hilfestufen und Feedback

Übung A: Zwischenzahl durch Erweitern

Finde eine rationale Zahl zwischen

$\frac{2}{5}$

und

$\frac{3}{5}$.

Hilfestufe 1

Mit Nenner $5$ gibt es keinen ganzzahligen Zähler zwischen $2$ und $3$. Erweitere beide Brüche.

Hilfestufe 2

Erweitere mit $2$: $\frac{2}{5}=\frac{4}{10}$ und $\frac{3}{5}=\frac{6}{10}$.

Feedback

Eine mögliche Lösung ist $\frac{5}{10}=\frac{1}{2}$.

Übung B: Mittelpunkt berechnen

Bestimme den Mittelpunkt zwischen

$-\frac{1}{4}$

und

$\frac{3}{4}$.

Hilfestufe 1

Nutze $m=\frac{a+b}{2}$.

Hilfestufe 2

$m=\frac{-\frac{1}{4}+\frac{3}{4}}{2}$

Feedback

$m=\frac{\frac{2}{4}}{2}=\frac{1}{4}$. Kontrolle: $-\frac{1}{4}<\frac{1}{4}<\frac{3}{4}$.

Übung C: Mehrere Zwischenzahlen

Finde mindestens vier rationale Zahlen zwischen

$\frac{1}{3}$

und

$\frac{1}{2}$.

Hilfestufe

Erweitere zum Beispiel auf den Nenner $60$.

Feedback

$\frac{1}{3}=\frac{20}{60}$ und $\frac{1}{2}=\frac{30}{60}$. Daher liegen zum Beispiel $\frac{21}{60}$, $\frac{22}{60}$, $\frac{23}{60}$ und $\frac{24}{60}$ dazwischen.

Vermutungen formulieren und prüfen

Beurteile die folgenden Aussagen zunächst experimentell und begründe sie dann.

1. Vermutung A: Zwischen zwei verschiedenen rationalen Zahlen gibt es immer genau eine rationale Zahl.
2. Vermutung B: Zwischen zwei verschiedenen rationalen Zahlen gibt es immer mindestens eine rationale Zahl.
3. Vermutung C: Zwischen zwei verschiedenen rationalen Zahlen gibt es unendlich viele rationale Zahlen.
4. Vermutung D: Wenn zwei Zahlen auf dem Display direkt nebeneinander erscheinen, gibt es mathematisch keine Zahl dazwischen.

Auswertung

A ist falsch. B und C sind richtig. D ist falsch. Der Mittelpunkt liefert immer eine neue rationale Zwischenzahl. Das Verfahren kann wiederholt werden.

Gegenbeispiele finden

Falsche Behauptung: Zwischen $\mathrm{0,4}$ und $\mathrm{0,5}$ gibt es keine rationale Zahl mit drei Nachkommastellen.

Ein Gegenbeispiel ist:

$\mathrm{0,450}$

Denn:

$\mathrm{0,4}<\mathrm{0,450}<\mathrm{0,5}$

Falsche Behauptung: Zwei aufeinanderfolgende Hundertstel haben keine Zahl dazwischen.

Gegenbeispiel:

$\mathrm{0,33}<\mathrm{0,335}<\mathrm{0,34}$

Typische Fehler

1. Fehler: Nur den Zähler mitteln. Aus $\frac{1}{3}$ und $\frac{1}{2}$ darf nicht einfach $\frac{1+1}{3+2}$ als allgemeine Mittelpunktregel gebildet werden.
2. Fehler: Bildschirmabstand mit mathematischem Abstand verwechseln.
3. Fehler: Gerundete Dezimalzahlen als exakt ansehen.
4. Fehler: Nur ein Beispiel nennen und daraus eine allgemeine Aussage ableiten.
5. Fehler: Eine KI-Antwort ungeprüft als Beweis übernehmen.

Besser: Nutze Beispiele zum Entdecken und danach eine allgemeine Begründung mit $\frac{a+b}{2}$.

Digitale Ergebnisse kritisch prüfen

Prüfkette:

1. Stimmen die eingegebenen Zahlen?
2. Wird gerundet oder exakt dargestellt?
3. Ist der gefundene Zwischenwert wirklich größer als die linke Zahl?
4. Ist er wirklich kleiner als die rechte Zahl?
5. Ist die Zahl rational?
6. Kannst Du die Aussage ohne das digitale Werkzeug begründen?

Datenschutz: Verwende in GeoGebra, LearningApps oder KI-Systemen keine Namen, Fotos, Adressen oder andere personenbezogene Daten.

Selbstkontrolle

Prüfe ohne Taschenrechner:

1. Liegt $\frac{7}{20}$ zwischen $\frac{1}{3}$ und $\frac{1}{2}$?
2. Liegt $\frac{11}{30}$ zwischen $\frac{1}{3}$ und $\frac{1}{2}$?
3. Ist $\frac{5}{12}$ der Mittelpunkt von $\frac{1}{3}$ und $\frac{1}{2}$?
4. Kannst Du eine weitere Zahl zwischen $\frac{1}{3}$ und $\frac{5}{12}$ finden?

Lösungen

$\frac{7}{20}=\mathrm{0,35}$ liegt dazwischen. $\frac{11}{30}\approx \mathrm{0,3667}$ liegt ebenfalls dazwischen. $\frac{5}{12}$ ist der Mittelpunkt. Eine weitere Zahl ist zum Beispiel $\frac{3}{8}$.

Transfer

Temperaturmodell: Zwei Messwerte sind $-\mathrm{1,}{2}^{\circ }\mathrm{C}$ und $-\mathrm{1,}{1}^{\circ }\mathrm{C}$.

Ein rationaler Zwischenwert ist:

$-\mathrm{1,1}{5}^{\circ }\mathrm{C}$

Noch einer:

$-\mathrm{1,12}{5}^{\circ }\mathrm{C}$

Messidee: Reale Messgeräte haben eine begrenzte Genauigkeit. Die mathematische Zahlengerade ist dagegen nicht durch Pixel oder Messstufen begrenzt.

Kompetenzcheck E-Niveau

Du hast das Ziel erreicht, wenn Du selbstständig:

1. zwei rationale Zahlen auf verschiedenen Darstellungsformen vergleichst.
2. mindestens eine Zwischenzahl konstruierst.
3. mehrere verschiedene Konstruktionswege nutzt.
4. die Mittelpunktidee allgemein mit $a<b$ begründest.
5. die Aussage auf negative rationale Zahlen überträgst.
6. falsche Aussagen durch Gegenbeispiele widerlegst.
7. digitale Darstellungen kritisch beurteilst.
8. zwischen experimenteller Beobachtung und mathematischem Beweis unterscheidest.

Reflexion

Beantworte kurz:

1. Welche Darstellung hat Dir am meisten geholfen: Bruch, Dezimalzahl oder Zahlengerade?
2. Warum kann man zwischen zwei rationalen Zahlen immer weiter hineinzoomen?
3. Was ist der Unterschied zwischen einer Vermutung und einem Beweis?
4. Wo könnte eine digitale Darstellung täuschen?
5. Welche eigene Frage zur Dichte der rationalen Zahlen ist bei Dir entstanden?

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Welche Zahl liegt zwischen $\frac{1}{3}$ und $\frac{1}{2}$? ($\frac{5}{12}$) (!$\frac{1}{4}$) (!$\frac{2}{3}$) (!$\frac{3}{4}$)

Welche Formel liefert den Mittelpunkt von $a$ und $b$? ($\frac{a+b}{2}$) (!$a+b$) (!$\frac{a-b}{2}$) (!$2a+b$)

Welche Aussage beschreibt die Dichte der rationalen Zahlen? (Zwischen zwei verschiedenen rationalen Zahlen liegt immer eine weitere rationale Zahl) (!Jede rationale Zahl hat einen direkten rationalen Nachfolger) (!Zwischen zwei rationalen Zahlen liegt nie eine dritte) (!Rationale Zahlen gibt es nur zwischen null und eins)

Welche Erweiterung ist richtig? ($\frac{1}{3}=\frac{4}{12}$) (!$\frac{1}{3}=\frac{3}{12}$) (!$\frac{1}{3}=\frac{5}{12}$) (!$\frac{1}{3}=\frac{6}{12}$)

Welche Zahl liegt zwischen $\mathrm{0,33}$ und $\mathrm{0,34}$? ($\mathrm{0,335}$) (!$\mathrm{0,32}$) (!$\mathrm{0,35}$) (!$\mathrm{0,40}$)

Was folgt aus $a<b$ für den Mittelpunkt $m=\frac{a+b}{2}$? ($a<m<b$) (!$m<a<b$) (!$a<b<m$) (!$m=a=b$)

Welche Aussage über eine stark gezoomte digitale Zahlengerade ist richtig? (Ein fehlender sichtbarer Zwischenpunkt beweist nicht, dass es mathematisch keinen gibt) (!Jeder Pixel entspricht genau einer rationalen Zahl) (!Direkt benachbarte Bildpunkte sind immer direkte Nachbarzahlen) (!Eine digitale Zahlengerade zeigt alle rationalen Zahlen gleichzeitig)

Was ist ein geeignetes Gegenbeispiel zur Behauptung Zwischen $\mathrm{0,4}$ und $\mathrm{0,5}$ liegt keine rationale Zahl? ($\mathrm{0,45}$) (!$\mathrm{0,3}$) (!$\mathrm{0,6}$) (!$1$)

Warum gibt es nicht nur eine einzige Zwischenzahl? (Weil man das Mittelpunktverfahren immer wieder auf kleinere Intervalle anwenden kann) (!Weil jeder Bruch automatisch eine ganze Zahl ist) (!Weil alle rationalen Zahlen denselben Nenner haben) (!Weil Dezimalzahlen immer endlich sind)

Was ist bei einer KI-Ausgabe zu einer mathematischen Behauptung wichtig? (Die Ausgabe muss rechnerisch und logisch geprüft werden) (!Die Ausgabe gilt automatisch als Beweis) (!Nur die letzte Zeile muss gelesen werden) (!Eine KI kann keine Rechenfehler machen)

Memory

Dichte	Zwischen zwei verschiedenen rationalen Zahlen liegen weitere rationale Zahlen
Mittelpunkt	$\frac{a+b}{2}$
Erweitern	Zähler und Nenner mit derselben Zahl multiplizieren
Zahlengerade	Zahlen werden ihrer Größe nach angeordnet
Gegenbeispiel	Widerlegt eine allgemeine falsche Behauptung
Rational	Als Quotient zweier ganzer Zahlen darstellbar

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Thema
Mittelpunkt	Zahl zwischen zwei Ausgangszahlen
Erweitern	Gleichwertigen Bruch erzeugen
Zoomen	Ausschnitt der Zahlengeraden vergrößern
Gegenbeispiel	Falsche allgemeine Aussage widerlegen
Beweis	Allgemeine Aussage logisch begründen

Kreuzworträtsel

Dichte	Wie heißt die Eigenschaft, dass zwischen zwei verschiedenen rationalen Zahlen weitere rationale Zahlen liegen?
Bruch	Wie heißt eine Darstellung mit Zähler und Nenner?
Nenner	Welcher Teil eines Bruchs steht unter dem Bruchstrich?
Zaehler	Welcher Teil eines Bruchs steht über dem Bruchstrich?
Mittelwert	Wie nennt man bei zwei Zahlen den Wert genau in der Mitte?
Beweis	Wie nennt man eine allgemeine mathematische Begründung?

Lückentext

Vervollständige den Text.

Zwischen zwei verschiedenen rationalen Zahlen liegt immer eine weitere .

Der Ausdruck $\frac{a+b}{2}$ beschreibt den zweier Zahlen.

Beim Erweitern werden Zähler und Nenner mit derselben multipliziert.

Aus $a<b$ folgt $a<\frac{a+b}{2}<b$; damit liegt der Mittelpunkt .

Ein digitales Bild kann wegen begrenzter Auflösung nur endlich viele Punkte .

Eine allgemeine mathematische Aussage braucht eine nachvollziehbare .

Offene Aufgaben

Leicht

1. Zahlengerade zeichnen: Zeichne eine Zahlengerade von $0$ bis $1$ und markiere $\frac{1}{3}$, $\frac{5}{12}$ und $\frac{1}{2}$.
2. Brüche erweitern: Erweitere $\frac{1}{3}$ und $\frac{1}{2}$ auf drei verschiedene gemeinsame Nenner.
3. Zwischenzahlen sammeln: Finde fünf rationale Zahlen zwischen $\frac{1}{3}$ und $\frac{1}{2}$.
4. Digitale Zahlengerade: Nutze eine zoombare Zahlengerade und notiere, welche Zahlen beim stärkeren Zoomen sichtbar werden.

Standard

1. Mittelpunktverfahren: Starte mit $\frac{1}{3}$ und $\frac{1}{2}$ und führe das Mittelpunktverfahren fünfmal durch.
2. Darstellungen vergleichen: Stelle drei Zwischenzahlen jeweils als Bruch und Dezimalzahl dar und ordne sie.
3. Fehleranalyse: Erfinde eine typische falsche Lösung zur Zwischenzahl-Aufgabe und erkläre genau, wo der Fehler liegt.
4. Gegenbeispiel entwickeln: Formuliere eine falsche Behauptung über rationale Zahlen und widerlege sie mit einem Gegenbeispiel.

Schwer

1. Allgemeine Begründung: Begründe mit Variablen, warum $\frac{a+b}{2}$ für $a<b$ immer zwischen $a$ und $b$ liegt.
2. Unendlich viele Zwischenzahlen: Erkläre, warum wiederholtes Halbieren eines Intervalls unendlich viele verschiedene rationale Zwischenzahlen erzeugt.
3. Negativer Zahlenbereich: Untersuche die Dichte zwischen $-\frac{5}{6}$ und $-\frac{2}{3}$ und begründe mehrere Zwischenwerte.
4. Digitaler Beweischeck: Lass Dir von einem digitalen Werkzeug oder einer KI eine Begründung zur Dichte rationaler Zahlen geben. Prüfe jeden Rechenschritt, finde mögliche Lücken und schreibe eine verbesserte eigene Begründung. Nutze keine personenbezogenen Daten.

Lernkontrolle

1. Begründung mit Mittelpunkt: Zeige allgemein, dass zwischen zwei rationalen Zahlen $a<b$ die Zahl $\frac{a+b}{2}$ liegt.
2. Darstellungswechsel: Finde drei Zahlen zwischen $\frac{2}{7}$ und $\frac{3}{7}$ und stelle jede als Bruch und Dezimalzahl dar.
3. Fehler bewerten: Eine Schülerin sagt: „Zwischen $\mathrm{0,12}$ und $\mathrm{0,13}$ liegt nichts, weil keine Hundertstelzahl dazwischenliegt.“ Erkläre den Denkfehler und gib mindestens zwei Gegenbeispiele.
4. Transfer negative Zahlen: Finde und begründe drei rationale Zahlen zwischen $-\mathrm{1,4}$ und $-\mathrm{1,3}$.
5. Digitales Modell beurteilen: Erkläre, warum eine gezoomte Zahlengerade die Dichte veranschaulichen, aber nicht allein beweisen kann.
6. Verallgemeinern: Beschreibe ein Verfahren, das für jedes Paar verschiedener rationaler Zahlen eine neue rationale Zwischenzahl erzeugt.

Lernnachweis

Für einen Lernnachweis solltest Du zeigen können:

1. Du kannst rationale Zahlen sicher vergleichen.
2. Du kannst Zwischenzahlen durch Erweitern konstruieren.
3. Du kannst den Mittelpunkt zweier rationaler Zahlen berechnen.
4. Du kannst $a<\frac{a+b}{2}<b$ nachvollziehbar begründen.
5. Du kannst erklären, warum das Verfahren beliebig oft wiederholt werden kann.
6. Du kannst Gegenbeispiele zu falschen Aussagen finden.
7. Du kannst digitale Ergebnisse rechnerisch kontrollieren.
8. Du kannst zwischen Vermutung, Beispiel und allgemeiner Begründung unterscheiden.

OERs zum Thema

Weitere freie Lernmedien:

1. Wikimedia Commons: Rationale Zahlen
2. GeoGebra: Rationale Zahlen

Medienwerkstatt

Zahlengerade als frei skalierbare Vektorgrafik:

Interaktive Bruch-Zahlengerade:

Hinweis zur Mediennutzung: Prüfe bei externen Materialien immer Quelle, Lizenz, mathematische Richtigkeit und Aktualität. Übernimm keine KI-Ausgabe ungeprüft.

Folgekurs

Als nächster Schritt eignet sich:

M7 E - Rationale Zahlen ordnen und vergleichen

Dort kannst Du die Zahlengerade weiter nutzen, um rationale Zahlen systematisch zu ordnen und Rechenwege zu begründen.

Verknüpfte Lernbereiche

Rationale Zahlen Zahlengerade Bruchrechnung Brüche erweitern Mittelwert Ungleichung Mathematischer Beweis Gegenbeispiel Dezimalzahl