M6 M - Volumen zusammengesetzter Quaderkörper

Diesen aiMOOC als Battle spielen: Mathematik, Klasse 5-6, M-Niveau

Einleitung

Stell Dir einen Körper wie ein kleines Bauwerk aus Quadern vor: eine Treppe, eine Sitzbank, ein Podest oder einen Bausteinturm. Solche Körper sehen zunächst kompliziert aus. Für die Volumenberechnung brauchst Du aber keine neue Zauberformel. Du zerlegst den Körper in einfache Quader, berechnest deren Volumina und setzt die Ergebnisse wieder zusammen.

Die Grundidee lautet:

$\text{komplizierter Körper}=\text{mehrere einfache Quader}$

und deshalb

$V_{\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{a}\mathrm{m}\mathrm{t}}=V_1+V_2+\dots +V_n$

wenn sich die Teilquader nicht überlappen.

Quader mit den Kantenlängen a, b und c – Wikimedia Commons, CC BY-SA

Bei manchen Körpern ist es geschickter, zuerst einen großen Quader zu denken und anschließend eine Aussparung abzuziehen:

$V_{\text{Körper}}=V_{\text{großer Quader}}-V_{\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{s}\mathrm{s}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{u}\mathrm{n}\mathrm{g}}$

In diesem aiMOOC lernst Du, wie Du

Kompetenz	Das kannst Du danach
Quader erkennen	Du findest in einem zusammengesetzten Körper sinnvolle Teilquader.
Volumen berechnen	Du verwendest sicher $V=a\cdot b\cdot h$.
Zerlegen	Du addierst die Volumina nicht überlappender Teilquader.
Ergänzen	Du ziehst eine Aussparung von einem gedachten Gesamtquader ab.
Fehlende Volumina	Du bestimmst ein unbekanntes Teilvolumen durch Subtraktion.
Ergebnisse prüfen	Du kontrollierst Einheit, Größenordnung und Zerlegung.

3D-Blick: Quader sehen und drehen

Ein Quader ist ein dreidimensionaler Körper mit sechs rechteckigen Seitenflächen. Seine drei zueinander senkrechten Kantenlängen werden häufig mit $a$, $b$ und $h$ bezeichnet.

Dreidimensionale Darstellung eines Quaders – Wikimedia Commons, CC BY-SA 4.0

Volumenformel:

$V=a\cdot b\cdot h$

Beispiel:

$a=6\mathrm{c}\mathrm{m},b=4\mathrm{c}\mathrm{m},h=3\mathrm{c}\mathrm{m}$

$V=6\mathrm{c}\mathrm{m}\cdot 4\mathrm{c}\mathrm{m}\cdot 3\mathrm{c}\mathrm{m}$

$V=72\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{\mathrm{3}}$

Die Einheit ist kubisch, weil drei Längen miteinander multipliziert werden:

$\mathrm{c}\mathrm{m}\cdot \mathrm{c}\mathrm{m}\cdot \mathrm{c}\mathrm{m}=\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{\mathrm{3}}$

Rotierender Würfel – Wikimedia Commons, CC BY 4.0

Beobachtungsauftrag: Verfolge beim rotierenden Würfel eine Ecke. Welche Kanten zeigen Länge, Breite und Höhe? Drehen verändert nur die Ansicht, nicht das Volumen.

Vom Einheitswürfel zum Volumen

Ein Einheitswürfel besitzt die Kantenlänge $1$. Bei einer Einheit von Zentimetern hat er das Volumen

$1\mathrm{c}\mathrm{m}\cdot 1\mathrm{c}\mathrm{m}\cdot 1\mathrm{c}\mathrm{m}=1\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{\mathrm{3}}.$

Einheitswürfel – Wikimedia Commons, gemeinfrei

Ein Quader mit den Maßen $5\mathrm{c}\mathrm{m}\times 3\mathrm{c}\mathrm{m}\times 4\mathrm{c}\mathrm{m}$ enthält gedanklich

$5\cdot 3=15$

Einheitswürfel in einer Schicht und

$4$

solche Schichten.

Damit:

$15\cdot 4=60$

und folglich

$V=60\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{\mathrm{3}}.$

Merke:

$\underset{\text{Würfel pro Schicht}}{\underbrace{a\cdot b}}\cdot \underset{\text{Anzahl der Schichten}}{\underbrace{h}}=\underset{\text{Volumen}}{\underbrace{V}}$

Dynamisches 3D-Modell: Quader mit Einheitswürfeln füllen

Verändere im GeoGebra-Modell die Kantenlängen. Beobachte, wie viele Einheitswürfel in eine Schicht passen und wie viele Schichten entstehen.

Forscherauftrag:

Schritt	Deine Untersuchung
1	Stelle $a=4$, $b=3$ und $h=2$ ein.
2	Bestimme zuerst die Würfelzahl einer Schicht: $4\cdot 3=12$.
3	Nutze zwei Schichten: $12\cdot 2=24$.
4	Prüfe am Modell: $V=24$ Volumeneinheiten.

Volumeneinheiten als Stellenwertmodell

Beim Umrechnen von Volumeneinheiten ändert sich jede Kantenlänge um den Faktor $10$. Deshalb ändert sich das Volumen um

$10\cdot 10\cdot 10=1000.$

Einheit	Beziehung	Vorstellung
$1{\mathrm{m}}^{\mathrm{3}}$	$1{\mathrm{m}}^{\mathrm{3}}=1000\mathrm{d}{\mathrm{m}}^{\mathrm{3}}$	Würfel mit $1\mathrm{m}$ Kantenlänge
$1\mathrm{d}{\mathrm{m}}^{\mathrm{3}}$	$1\mathrm{d}{\mathrm{m}}^{\mathrm{3}}=1000\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{\mathrm{3}}$	Würfel mit $1\mathrm{d}\mathrm{m}$ Kantenlänge
$1\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{\mathrm{3}}$	$1\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{\mathrm{3}}=1000\mathrm{m}{\mathrm{m}}^{\mathrm{3}}$	Würfel mit $1\mathrm{c}\mathrm{m}$ Kantenlänge

Volumen-Stellenwertweg:

${\mathrm{m}}^{\mathrm{3}}\stackrel{\times 1000}{\to }\mathrm{d}{\mathrm{m}}^{\mathrm{3}}\stackrel{\times 1000}{\to }\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{\mathrm{3}}\stackrel{\times 1000}{\to }\mathrm{m}{\mathrm{m}}^{\mathrm{3}}$

In die andere Richtung wird jeweils durch $1000$ geteilt.

Klappe den Kontrollweg für $\mathrm{3,5}\mathrm{d}{\mathrm{m}}^{\mathrm{3}}$ auf.

$\mathrm{3,5}\mathrm{d}{\mathrm{m}}^{\mathrm{3}}=\mathrm{3,5}\cdot 1000\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{\mathrm{3}}=3500\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{\mathrm{3}}$

Zusammengesetzte Quaderkörper erkennen

Ein zusammengesetzter Quaderkörper besteht aus mehreren Quadern, die ohne Lücke oder mit gezielten Aussparungen zu einem größeren Körper verbunden sind.

Wichtig: Eine Zerlegung ist dann sinnvoll, wenn jeder Teilkörper ein Quader ist und kein Raum doppelt gezählt wird.

Transparent wirkende Würfeldarstellung – Wikimedia Commons, CC BY-SA 4.0

Du kannst Dir gedachte Schnittflächen vorstellen. Diese Schnittflächen sind keine echten Wände. Sie helfen nur beim Rechnen.

Strategie A: Zerlegen und addieren

Diese Strategie ist günstig, wenn der Körper deutlich aus einzelnen Quaderteilen aufgebaut ist.

Vier-Schritt-Rechenweg:

Schritt	Frage	Mathematik
1. Zerlegen	Welche Teilquader erkennst Du?	$Q_1,Q_2,\dots$
2. Maße zuordnen	Welche drei Kantenlängen gehören zu jedem Teilquader?	$a_i,b_i,h_i$
3. Einzelvolumina	Wie groß ist jeder Teil?	$V_i=a_i\cdot b_i\cdot h_i$
4. Addieren	Wie groß ist der gesamte Körper?	$V_{\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{a}\mathrm{m}\mathrm{t}}=\sum V_i$

Beispiel 1: Stufenkörper aus zwei Quadern

Ein Stufenkörper wird in einen unteren Quader $Q_1$ und einen oberen Quader $Q_2$ zerlegt.

Für $Q_1$ gelten:

$a_1=8\mathrm{c}\mathrm{m},b_1=4\mathrm{c}\mathrm{m},h_1=2\mathrm{c}\mathrm{m}$

$V_1=8\cdot 4\cdot 2=64\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{\mathrm{3}}$

Für $Q_2$ gelten:

$a_2=3\mathrm{c}\mathrm{m},b_2=4\mathrm{c}\mathrm{m},h_2=3\mathrm{c}\mathrm{m}$

$V_2=3\cdot 4\cdot 3=36\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{\mathrm{3}}$

Zusammen:

$V_{\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{a}\mathrm{m}\mathrm{t}}=64\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{\mathrm{3}}+36\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{\mathrm{3}}$

$V_{\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{a}\mathrm{m}\mathrm{t}}=100\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{\mathrm{3}}$

Visueller Rechenweg:

Teilkörper	Kantenprodukt	Teilvolumen
$Q_1$	$8\cdot 4\cdot 2$	$64\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{\mathrm{3}}$
$Q_2$	$3\cdot 4\cdot 3$	$36\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{\mathrm{3}}$
Gesamt	$64+36$	$100\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{\mathrm{3}}$

Interaktive Zerlegung in 3D

Drehe den Körper im GeoGebra-Modell und suche verschiedene Möglichkeiten, ihn in Quader zu zerlegen.

M-Niveau-Auftrag: Finde mindestens zwei verschiedene Zerlegungen desselben Körpers. Berechne mit beiden Zerlegungen das Volumen. Die Ergebnisse müssen übereinstimmen.

Mathematisch kann dieselbe Raumfüllung beispielsweise so beschrieben werden:

$V=V_1+V_2+V_3$

oder nach einer anderen Zerlegung

$V=W_1+W_2.$

Wenn beide Zerlegungen denselben Körper ohne Überlappung füllen, gilt:

$V_1+V_2+V_3=W_1+W_2.$

Strategie B: Ergänzen und subtrahieren

Manchmal ist der Körper fast ein großer Quader. Dann ist es schneller, die fehlende Aussparung abzuziehen.

Rechenidee:

$\text{Restkörper}=\text{voller Quader}-\text{fehlender Quader}$

Beispiel 2: Quader mit rechteckiger Aussparung

Der gedachte Gesamtquader hat die Maße

$10\mathrm{c}\mathrm{m}\times 6\mathrm{c}\mathrm{m}\times 5\mathrm{c}\mathrm{m}.$

Sein Volumen beträgt

$V_{\text{groß}}=10\cdot 6\cdot 5=300\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{\mathrm{3}}.$

Die ausgesparte Ecke hat die Maße

$4\mathrm{c}\mathrm{m}\times 2\mathrm{c}\mathrm{m}\times 3\mathrm{c}\mathrm{m}.$

Damit:

$V_{\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{s}\mathrm{s}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{u}\mathrm{n}\mathrm{g}}=4\cdot 2\cdot 3=24\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{\mathrm{3}}.$

Der verbleibende Körper besitzt das Volumen

$V_{\text{Körper}}=300-24=276\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{\mathrm{3}}.$

$V_{\text{Körper}}=276\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{\mathrm{3}}$

Warum darfst Du subtrahieren?

Der gedachte große Quader besteht genau aus dem vorhandenen Körper und der fehlenden Aussparung.

$V_{\text{groß}}=V_{\text{Körper}}+V_{\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{s}\mathrm{s}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{u}\mathrm{n}\mathrm{g}}$

Nach Umstellen:

$V_{\text{Körper}}=V_{\text{groß}}-V_{\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{s}\mathrm{s}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{u}\mathrm{n}\mathrm{g}}.$

Zerlegen oder Ergänzen?

Situation	Meist günstige Strategie	Leitfrage
Körper besteht sichtbar aus mehreren Blöcken	Zerlegen	Welche Quader kann ich direkt erkennen?
Körper ist fast ein vollständiger großer Quader	Ergänzen	Welcher Quader fehlt?
Mehrere Wege sind möglich	Vergleichen	Welcher Rechenweg braucht weniger Teilrechnungen?

Wichtig: Verschiedene richtige Zerlegungen dürfen unterschiedlich aussehen. Entscheidend ist, dass sie den gesamten Körper genau einmal erfassen.

GeoGebra: Zusammengesetztes Volumen berechnen

Bearbeite den Körper in drei Ansichten:

1. Vorne: Welche Höhen erkennst Du?
2. Von oben: Welche Grundflächen erkennst Du?
3. Gedreht: Welche Kanten waren vorher verdeckt?

Notiere anschließend eine Zerlegung als Formel, zum Beispiel

$V=(a_1\cdot b_1\cdot h_1)+(a_2\cdot b_2\cdot h_2).$

Fehlende Volumina bestimmen

Ist das Gesamtvolumen bekannt, kannst Du ein fehlendes Teilvolumen durch Subtraktion finden.

Beispiel:

$V_{\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{a}\mathrm{m}\mathrm{t}}=180\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{\mathrm{3}}$

$V_1=72\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{\mathrm{3}},V_2=48\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{\mathrm{3}}$

Gesucht ist $V_3$.

Zuerst die bekannten Teile:

$V_1+V_2=72+48=120\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{\mathrm{3}}$

Dann:

$V_3=180-120$

$V_3=60\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{\mathrm{3}}$

Als Gleichung:

$72+48+V_3=180$

$120+V_3=180$

$V_3=60$

Fehlende Kantenlänge eines Teilquaders

Am M-Niveau ist auch der umgekehrte Weg wichtig. Wenn das Volumen und zwei Kantenlängen bekannt sind, kannst Du die dritte Kante bestimmen.

Gegeben:

$V=96\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{\mathrm{3}},a=8\mathrm{c}\mathrm{m},b=3\mathrm{c}\mathrm{m}.$

Mit

$V=a\cdot b\cdot h$

folgt

$96=8\cdot 3\cdot h.$

$96=24h$

$h=\frac{96}{24}=4\mathrm{c}\mathrm{m}.$

$h=4\mathrm{c}\mathrm{m}$

Kontrolle:

$8\cdot 3\cdot 4=96.$

Bruchteile des Gesamtvolumens

Teilquader können als Bruchteile des gesamten Volumens betrachtet werden.

Beim Stufenkörper aus Beispiel 1 gilt:

$V_{\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{a}\mathrm{m}\mathrm{t}}=100\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{\mathrm{3}}$

und

$V_2=36\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{\mathrm{3}}.$

Der Anteil des oberen Teilquaders ist

$\frac{V_2}{V_{\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{a}\mathrm{m}\mathrm{t}}}=\frac{36}{100}=\mathrm{0,36}=36\mathrm{\%}.$

Damit nimmt der untere Quader

$\frac{64}{100}=64\mathrm{\%}$

des Gesamtvolumens ein.

Volumen-Anteilsleiste:

$0\mathrm{\%}⟶36\mathrm{\%}⟶100\mathrm{\%}$

$0\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{\mathrm{3}}⟶36\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{\mathrm{3}}⟶100\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{\mathrm{3}}$

3D-Training: Zerlegen und kontrollieren

Arbeite nach diesem Kontrollschema:

Prüffrage	Ja/Nein
Habe ich den Körper vollständig erfasst?
Überlappen sich meine Teilquader?
Hat jeder Teilquader drei passende Kantenlängen?
Habe ich bei jedem Quader $a\cdot b\cdot h$ gerechnet?
Habe ich am Ende alle Teilvolumina addiert oder die Aussparung subtrahiert?
Steht am Ergebnis eine Kubikeinheit?

Animierter Lernweg: Volumen zusammengesetzter Körper

Das folgende Video zeigt das Zerlegen und Ergänzen zusammengesetzter Körper Schritt für Schritt.

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Videoauftrag: Stoppe vor jedem eingeblendeten Ergebnis. Entscheide selbst, ob Du addieren oder subtrahieren würdest, und rechne zuerst im Heft.

Wiederholung: Volumen von Quadern

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Merksatz als Formelbild:

$V_{\mathrm{Q}\mathrm{u}\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{r}}=\underset{G}{\underbrace{a\cdot b}}\cdot h=G\cdot h$

Dabei ist $G=a\cdot b$ der Flächeninhalt einer rechteckigen Grundfläche.

Körpernetz und Raumvorstellung

Ein Quadernetz zeigt die sechs Flächen eines Quaders ausgebreitet in der Ebene. Für die Volumenberechnung genügt ein Netz allein nicht, aber es hilft Dir, Kantenlängen und die räumliche Struktur zu verstehen.

Netz eines Quaders – Wikimedia Commons, gemeinfrei

Denkfrage: Warum wird aus $a\cdot b$ erst dann ein Volumen, wenn noch eine dritte Länge $h$ hinzukommt?

$\underset{\text{Fläche}}{\underbrace{a\cdot b}}\cdot \underset{\text{Höhe}}{\underbrace{h}}=\underset{\mathrm{R}\mathrm{a}\mathrm{u}\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h}\mathrm{a}\mathrm{l}\mathrm{t}}{\underbrace{V}}$

Typische Fehler und Gegenstrategien

Fehler	Beispiel	Gegenstrategie
Längen statt Volumina addieren	$8+4+2$	Für jeden Teilquader zuerst $a\cdot b\cdot h$ berechnen.
Überlappung doppelt zählen	Derselbe Raum gehört zu $Q_1$ und $Q_2$.	Schnittflächen so setzen, dass Teilquader sich nur an Flächen berühren.
Aussparung addieren	$300+24$	Bei einem fehlenden Teil gilt $V_{\mathrm{R}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{t}}=V_{\text{groß}}-V_{\mathrm{f}\mathrm{e}\mathrm{h}\mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{d}}$.
Falsche Einheit	$72\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{\mathrm{2}}$	Volumen braucht eine Kubikeinheit: $\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{\mathrm{3}}$.
Verdeckte Kante übersehen	Eine Tiefe wird nicht berücksichtigt.	Körper drehen oder Gegenansicht nutzen.

Profi-Check: Plausibilität

Du kannst ein Ergebnis oft prüfen, ohne alles neu zu rechnen.

Untergrenze: Enthält der Körper einen Teilquader mit $V=80\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{\mathrm{3}}$, muss das Gesamtvolumen mindestens $80\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{\mathrm{3}}$ betragen.

Obergrenze: Passt der Körper vollständig in einen Quader mit $V=300\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{\mathrm{3}}$, kann sein Volumen nicht größer als $300\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{\mathrm{3}}$ sein.

Damit entsteht eine Volumenspanne:

$80\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{\mathrm{3}}\le V_{\text{Körper}}\le 300\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{\mathrm{3}}.$

Medien- und OER-Hinweis

Die eingebundenen statischen und animierten Dateien stammen von Wikimedia Commons. Die jeweiligen Urheber- und Lizenzangaben sind über die Dateiseiten erreichbar. Verwendet werden hier unter anderem gemeinfreie Dateien sowie Dateien unter Creative-Commons-Lizenzen. Die interaktiven 3D-Modelle stammen von GeoGebra und werden als externe Lernaktivitäten eingebettet.

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Welche Formel berechnet das Volumen eines Quaders? (V gleich a mal b mal h) (!V gleich a plus b plus h) (!V gleich zwei mal a plus b) (!V gleich a mal b)

Ein Körper besteht aus zwei nicht überlappenden Quadern. Was musst Du tun? (Die beiden Teilvolumina addieren) (!Die beiden Teilvolumina multiplizieren) (!Nur den größeren Quader berechnen) (!Die Kantenlängen aller Quader addieren)

Wann ist Ergänzen und Subtrahieren besonders günstig? (Wenn der Körper fast ein vollständiger großer Quader ist) (!Wenn der Körper nur aus einem Würfel besteht) (!Wenn keine Maße angegeben sind) (!Wenn ausschließlich Flächen gesucht sind)

Welche Einheit passt zu einem Volumen? (Kubikzentimeter) (!Quadratzentimeter) (!Zentimeter) (!Kilogramm)

Ein Quader ist 4 cm lang, 3 cm breit und 2 cm hoch. Wie groß ist sein Volumen? (24 Kubikzentimeter) (!9 Kubikzentimeter) (!18 Kubikzentimeter) (!12 Kubikzentimeter)

Ein Körper hat insgesamt 150 Kubikzentimeter. Zwei bekannte Teilvolumina betragen 60 und 50 Kubikzentimeter. Wie groß ist das fehlende Volumen? (40 Kubikzentimeter) (!100 Kubikzentimeter) (!160 Kubikzentimeter) (!50 Kubikzentimeter)

Was muss bei einer Zerlegung unbedingt vermieden werden? (Ein Raumteil wird doppelt gezählt) (!Jeder Teilkörper ist ein Quader) (!Die Maße werden notiert) (!Das Ergebnis wird kontrolliert)

Wie viele Kubikzentimeter sind ein Kubikdezimeter? (1000) (!100) (!10) (!10000)

Ein Quader hat ein Volumen von 96 Kubikzentimetern sowie Kantenlängen 8 cm und 3 cm. Wie lang ist die dritte Kante? (4 cm) (!6 cm) (!8 cm) (!12 cm)

Welche Aussage eignet sich als Plausibilitätskontrolle? (Das Volumen eines Teilquaders darf nicht größer als das Gesamtvolumen sein) (!Ein Volumen muss immer kleiner als eine Kantenlänge sein) (!Alle Teilquader müssen gleich groß sein) (!Jedes Volumen wird in Quadrateinheiten angegeben)

Memory

Teilquader	einzeln berechenbarer Baustein
Aussparung	fehlender Raumteil
Einheitswürfel	Würfel mit Kantenlänge eins
Kubikzentimeter	Volumeneinheit für kleine Körper
Zerlegen	Aufteilen in einfache Körper
Ergänzen	Denken zum vollständigen Gesamtquader
Plausibilität	Prüfung der Größenordnung
Grundfläche	Länge mal Breite

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Thema
Addition	Volumina nicht überlappender Teilquader zusammensetzen
Subtraktion	Volumen einer Aussparung vom Gesamtquader abziehen
Kubikeinheit	passende Einheit für einen Rauminhalt
Zerlegung	zusammengesetzten Körper in einfache Quader aufteilen
Grundfläche	rechteckige Fläche mit dem Inhalt Länge mal Breite
Höhe	Anzahl gleichartiger Schichten in Volumenrichtung
Kontrolle	Ergebnis auf Einheit und Größenordnung prüfen

Kreuzworträtsel

Volumen	Wie heißt der Rauminhalt eines Körpers?
Quader	Welcher Körper hat sechs rechteckige Flächen?
Zerlegung	Wie heißt das Aufteilen eines Körpers in einfachere Teilkörper?
Aussparung	Wie heißt ein herausgenommener quaderförmiger Raumteil?
Einheitswürfel	Welcher Würfel dient als Grundbaustein für Volumeneinheiten?
Kubikzentimeter	Wie heißt die Volumeneinheit mit dem Kurzzeichen cm hoch drei?

Lückentext

Vervollständige den Text.

Das Volumen eines Quaders berechnest Du mit der Formel .

Ein aus mehreren Quadern aufgebauter Körper kann durch eine sinnvolle vereinfacht werden.

Die Volumina nicht überlappender Teilquader werden .

Bei einer quaderförmigen Aussparung kann das fehlende Volumen vom großen Quader werden.

Eine passende Einheit für kleine Körper ist der .

Ein Kubikdezimeter entspricht Kubikzentimetern.

Ein Würfel mit der Kantenlänge eins heißt .

Beim Zerlegen darf kein Raumteil gezählt werden.

Ein unbekanntes Teilvolumen erhältst Du häufig aus Gesamtvolumen minus .

Zum Schluss solltest Du Einheit und des Ergebnisses kontrollieren.

Offene Aufgaben

Leicht

1. Quader im Alltag: Suche zu Hause oder im Klassenzimmer drei Gegenstände, die näherungsweise Quader sind. Miss ihre Kanten und berechne jeweils das Volumen.
2. Bausteintreppe: Baue aus Würfeln oder Quaderbausteinen einen Stufenkörper aus zwei Teilquadern. Zeichne ihn als Schrägbild und beschrifte die Maße.
3. Zerlegung markieren: Zeichne einen zusammengesetzten Quaderkörper und markiere mit zwei unterschiedlichen Farben eine sinnvolle Zerlegung in zwei Teilquader.
4. Volumeneinheiten: Erstelle ein eigenes Stellenwertplakat mit ${\mathrm{m}}^{\mathrm{3}}$, $\mathrm{d}{\mathrm{m}}^{\mathrm{3}}$, $\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{\mathrm{3}}$ und $\mathrm{m}{\mathrm{m}}^{\mathrm{3}}$. Zeige jeweils den Faktor $1000$.

Standard

1. Zwei Rechenwege: Entwirf einen Körper, dessen Volumen sowohl durch Zerlegen als auch durch Ergänzen berechnet werden kann. Löse beide Wege und vergleiche.
2. 3D-Modell: Baue in einer dynamischen Geometriesoftware einen zusammengesetzten Quaderkörper aus mindestens drei Quadern. Drehe ihn und dokumentiere zwei Ansichten.
3. Fehlerdetektiv: Erfinde einen falschen Rechenweg mit einem typischen Fehler. Tausche ihn mit einer anderen Person und lasse den Fehler erklären und korrigieren.
4. Volumen-Interview: Befrage eine Person, die mit Verpackungen, Lagerung, Bau oder Möbeln arbeitet. Frage, warum räumliche Maße und Volumen im Alltag wichtig sind.

Schwer

1. Optimale Zerlegung: Zeichne einen komplizierteren Stufenkörper. Finde drei verschiedene Zerlegungen und entscheide anhand der Zahl der Rechenschritte, welche am kürzesten ist.
2. Unbekannter Teilkörper: Erstelle eine Aufgabe, in der das Gesamtvolumen und zwei Teilvolumina bekannt sind, aber ein drittes Teilvolumen fehlt. Formuliere eine vollständige Musterlösung.
3. Kantenlänge rückwärts: Entwickle eine Aufgabe, bei der zunächst ein fehlendes Teilvolumen und anschließend eine fehlende Kantenlänge dieses Quaders bestimmt werden muss.
4. Mathematik-Erklärvideo: Produziere ein kurzes Erklärvideo oder eine Stop-Motion-Animation, in der ein zusammengesetzter Quaderkörper sichtbar zerlegt und das Gesamtvolumen Schritt für Schritt berechnet wird.

Lernkontrolle

1. Strategievergleich: Ein Körper kann entweder in drei Quader zerlegt oder als großer Quader mit einer Aussparung betrachtet werden. Erkläre, welche Informationen Du für beide Wege brauchst, und begründe, wann welcher Weg kürzer sein kann.
2. Fehleranalyse Volumen: Eine Schülerin berechnet für zwei Teilquader $V_1=48\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{\mathrm{3}}$ und $V_2=36\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{\mathrm{3}}$, erhält aber $V_{\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{a}\mathrm{m}\mathrm{t}}=1728\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{\mathrm{3}}$. Erkläre den wahrscheinlichen Denkfehler und gib das richtige Ergebnis an.
3. Überlappung erkennen: Zwei gedachte Teilquader überschneiden sich in einem Bereich von $12\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{\mathrm{3}}$. Erkläre, warum einfaches Addieren zu viel ergibt und wie Du die Rechnung korrigieren kannst.
4. Plausibilitätsprüfung: Ein Körper passt vollständig in einen Quader mit $240\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{\mathrm{3}}$. Jemand berechnet $278\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{\mathrm{3}}$. Begründe ohne vollständige Neuberechnung, warum das Ergebnis nicht stimmen kann.
5. Rückwärtsaufgabe: Ein zusammengesetzter Körper hat $V_{\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{a}\mathrm{m}\mathrm{t}}=210\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{\mathrm{3}}$. Ein Teilquader hat $90\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{\mathrm{3}}$. Der zweite Teilquader besitzt die Kanten $5\mathrm{c}\mathrm{m}$ und $4\mathrm{c}\mathrm{m}$. Bestimme zuerst sein Volumen und dann seine fehlende Höhe.
6. Eigene Modellierung: Skizziere ein reales Objekt, das sich näherungsweise aus Quadern zusammensetzen lässt. Lege sinnvolle Maße fest und erkläre, welche Vereinfachungen Dein mathematisches Modell verwendet.

Lernnachweis

Für einen Lernnachweis zu diesem Thema ist wichtig, dass Du nicht nur Ergebnisse nennen, sondern Rechenwege nachvollziehbar darstellen kannst.

Bereich	Das solltest Du zeigen können
Grundwissen	$V=a\cdot b\cdot h$ sicher anwenden und Kubikeinheiten verwenden.
Raumvorstellung	In Schrägbildern und 3D-Modellen passende Teilquader erkennen.
Zerlegen	Einen zusammengesetzten Körper vollständig und ohne Überlappung in Quader zerlegen.
Ergänzen	Einen Restkörper als großer Quader minus Aussparung berechnen.
Fehlende Größen	Fehlende Teilvolumina und einfache fehlende Kantenlängen bestimmen.
Darstellung	Maße, Formeln, Zwischenergebnisse und Einheiten geordnet notieren.
Begründung	Erklären, warum ein gewählter Rechenweg den Körper genau einmal erfasst.
Kontrolle	Ergebnisse durch einen zweiten Rechenweg, eine Probe oder eine Größenabschätzung prüfen.

Ein vollständiger Muster-Rechenweg enthält daher mindestens:

Skizze/Zerlegung ⇒ Teilvolumina ⇒ Zusammensetzen ⇒ Einheit ⇒ Kontrolle.

OERs zum Thema

Wikipedia: Quader

Wikipedia: Volumen

GeoGebra: Volumen eines rechteckigen Prismas mit veränderbaren Maßen

Verknüpfte Lernbereiche

M6 M - Volumen zusammengesetzter Quaderkörper Quader Würfel Volumen Volumeneinheiten Einheitswürfel Raumgeometrie Schrägbild Körpernetze Grundfläche Multiplikation Subtraktion Brüche Prozentrechnung