M6 M - Ungleichnamige Brüche addieren und subtrahieren

Diesen aiMOOC als Battle spielen: Deutsch, Klasse 5-6, M-Niveau

Einleitung

In diesem aiMOOC lernst Du, positive ungleichnamige Brüche sicher zu addieren und zu subtrahieren. Du arbeitest auf dem M-Niveau der Klasse 6. Dabei sollst Du nicht nur eine Rechenregel auswendig lernen, sondern verstehen, warum Brüche vor dem Addieren oder Subtrahieren auf einen gemeinsamen Nenner gebracht werden müssen.

Ein Bruch $\frac{a}{b}$ beschreibt Teile eines Ganzen. Der Nenner $b$ gibt an, in wie viele gleich große Teile das Ganze geteilt wurde. Der Zähler $a$ gibt an, wie viele dieser Teile betrachtet werden.

Ziel dieses aiMOOCs: Du kannst geeignete gemeinsame Nenner finden, Brüche durch Erweitern gleichnamig machen, positive Brüche addieren und subtrahieren und Dein Ergebnis mit Zahlengerade, Überschlag und Bruchdarstellungen kontrollieren.

Lernziele

Ich kann ...	Beispiel
ungleichnamige Brüche erkennen	$\frac{2}{3}$ und $\frac{5}{8}$
einen geeigneten gemeinsamen Nenner finden	$\mathrm{kgV}(3,8)=24$
Brüche passend erweitern	$\frac{2}{3}=\frac{16}{24}$
gleichnamige Brüche addieren	$\frac{16}{24}+\frac{15}{24}=\frac{31}{24}$
gleichnamige Brüche subtrahieren	$\frac{15}{20}-\frac{8}{20}=\frac{7}{20}$
Ergebnisse mit Überschlag und Zahlengerade prüfen	Liegt das Ergebnis ungefähr dort, wo Du es erwartest?

Brüche sichtbar machen

Mathematik wird verständlicher, wenn Du Brüche siehst. Bruchstreifen zeigen, dass zum Beispiel zwei Viertel genauso lang sind wie eine Hälfte.

Vergleiche in der Abbildung gleiche Längen. Du kannst dabei entdecken:

$\frac{1}{2}=\frac{2}{4}=\frac{3}{6}=\frac{4}{8}$

Diese Gleichheit ist die Grundlage des Erweiterns.

Animierte Erweiterung

Beim Erweitern werden Zähler und Nenner mit derselben Zahl multipliziert. Der Wert des Bruches bleibt gleich.

$\frac{2}{3}=\frac{2\cdot 2}{3\cdot 2}=\frac{4}{6}$

Die Animation zeigt zwei gleich große Bruchwerte in unterschiedlicher Einteilung. Genau dieses Prinzip brauchst Du, um ungleichnamige Brüche gleichnamig zu machen.

Interaktive Erweiterung mit Schiebereglern:

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Warum die Nenner gleich sein müssen

Du darfst nur gleich große Teile direkt zusammenzählen. Ein Drittelstück und ein Viertelstück sind verschieden groß.

$\frac{1}{3}+\frac{1}{4}$

Zuerst werden beide Brüche in gleich große Teilstücke zerlegt. Ein geeigneter gemeinsamer Nenner ist $12$:

$\frac{1}{3}=\frac{4}{12}$

$\frac{1}{4}=\frac{3}{12}$

Jetzt sind die Teilstücke gleich groß:

$\frac{4}{12}+\frac{3}{12}=\frac{7}{12}$

Merksatz

Schritt	Was Du tust	Beispiel
1. Nenner vergleichen	Sind die Nenner verschieden, sind die Brüche ungleichnamig.	$\frac{2}{3}+\frac{1}{4}$
2. Gemeinsamen Nenner finden	Nutze ein gemeinsames Vielfaches, möglichst das kgV.	$\mathrm{kgV}(3,4)=12$
3. Erweitern	Multipliziere Zähler und Nenner jeweils mit demselben Faktor.	$\frac{2}{3}=\frac{8}{12}$, $\frac{1}{4}=\frac{3}{12}$
4. Zähler rechnen	Addiere oder subtrahiere nur die Zähler. Der gemeinsame Nenner bleibt.	$\frac{8}{12}+\frac{3}{12}=\frac{11}{12}$
5. Prüfen	Kürze falls möglich und kontrolliere mit Überschlag oder Zahlengerade.	$\frac{11}{12}$ liegt knapp unter $1$.

Einen geeigneten gemeinsamen Nenner finden

Ein gemeinsamer Nenner muss durch beide ursprünglichen Nenner teilbar sein. Besonders günstig ist oft der Hauptnenner, also das kleinste gemeinsame Vielfache der Nenner.

Methode 1: Ein Nenner ist schon ein Vielfaches des anderen

Beispiel:

$\frac{3}{8}+\frac{1}{4}$

Da $8$ ein Vielfaches von $4$ ist, genügt der Nenner $8$.

$\frac{1}{4}=\frac{2}{8}$

$\frac{3}{8}+\frac{2}{8}=\frac{5}{8}$

Schnellregel: Wenn ein Nenner durch den anderen teilbar ist, kann der größere Nenner häufig direkt verwendet werden.

Methode 2: Vielfache aufschreiben

Für $6$ und $8$:

Nenner	Erste Vielfache
$6$	$6,12,18,24,30,\dots$
$8$	$8,16,24,32,\dots$

Das erste gemeinsame Vielfache ist $24$.

$\mathrm{kgV}(6,8)=24$

Methode 3: Produkt der Nenner als sichere Notlösung

Das Produkt zweier Nenner ist immer ein gemeinsamer Nenner.

Für $5$ und $7$:

$5\cdot 7=35$

Bei teilerfremden Nennern ist das Produkt sogar das kgV. Bei $6$ und $8$ wäre $48$ zwar ein gemeinsamer Nenner, aber $24$ ist günstiger.

Addition ungleichnamiger Brüche

Beispiel 1: $\frac{2}{3}+\frac{1}{4}$

Schritt	Rechnung	Gedanke
1	$\mathrm{kgV}(3,4)=12$	Gemeinsamen Nenner finden
2	$\frac{2}{3}=\frac{8}{12}$	Mit $4$ erweitern
3	$\frac{1}{4}=\frac{3}{12}$	Mit $3$ erweitern
4	$\frac{8}{12}+\frac{3}{12}=\frac{11}{12}$	Zähler addieren
5	$\frac{11}{12}$	Nicht weiter kürzbar

Überschlag: $\frac{2}{3}$ ist etwas größer als $\frac{1}{2}$, und $\frac{1}{4}$ kommt dazu. Das Ergebnis muss deutlich größer als $\frac{3}{4}$, aber kleiner als $1$ sein. $\frac{11}{12}$ passt.

Rechenweg zum Aufklappen

$\frac{2}{3}+\frac{1}{4}=\frac{2\cdot 4}{3\cdot 4}+\frac{1\cdot 3}{4\cdot 3}=\frac{8}{12}+\frac{3}{12}=\frac{11}{12}$

Beispiel 2: $\frac{3}{10}+\frac{1}{4}$

$\mathrm{kgV}(10,4)=20$

$\frac{3}{10}=\frac{6}{20}$

$\frac{1}{4}=\frac{5}{20}$

$\frac{6}{20}+\frac{5}{20}=\frac{11}{20}$

Selbstkontrolle: $\frac{3}{10}\approx \mathrm{0,3}$ und $\frac{1}{4}=\mathrm{0,25}$. Zusammen erwartest Du ungefähr $\mathrm{0,55}$. $\frac{11}{20}=\mathrm{0,55}$ passt genau.

Interaktiver Rechenweg

Bewege die Regler und suche gemeinsame Nenner. Beobachte, wie unterschiedlich große Bruchteile in gleich große Teilstücke zerlegt werden.

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Subtraktion ungleichnamiger Brüche

Beim Subtrahieren gilt derselbe Grundgedanke: Erst gleichnamig machen, dann die Zähler subtrahieren.

Beispiel 1: $\frac{5}{6}-\frac{1}{4}$

$\mathrm{kgV}(6,4)=12$

$\frac{5}{6}=\frac{10}{12}$

$\frac{1}{4}=\frac{3}{12}$

$\frac{10}{12}-\frac{3}{12}=\frac{7}{12}$

Kontrolle	Überlegung
Vorzeichen	$\frac{5}{6}>\frac{1}{4}$, also muss das Ergebnis positiv sein.
Größe	$\frac{5}{6}$ ist knapp unter $1$. Ziehst Du etwa $\frac{1}{4}$ ab, bleibt etwas mehr als $\frac{1}{2}$.
Ergebnis	$\frac{7}{12}$ ist etwas größer als $\frac{1}{2}$. Das passt.

Beispiel 2: $\frac{7}{8}-\frac{1}{3}$

$\mathrm{kgV}(8,3)=24$

$\frac{7}{8}=\frac{21}{24}$

$\frac{1}{3}=\frac{8}{24}$

$\frac{21}{24}-\frac{8}{24}=\frac{13}{24}$

Überschlag: $\frac{7}{8}\approx \mathrm{0,875}$ und $\frac{1}{3}\approx \mathrm{0,333}$. Die Differenz liegt ungefähr bei $\mathrm{0,54}$. $\frac{13}{24}\approx \mathrm{0,542}$ ist plausibel.

Rechenweg zum Aufklappen

$\frac{7}{8}-\frac{1}{3}=\frac{7\cdot 3}{8\cdot 3}-\frac{1\cdot 8}{3\cdot 8}=\frac{21}{24}-\frac{8}{24}=\frac{13}{24}$

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Selbstkontrolle mit der Zahlengerade

Ein Ergebnis sollte nicht nur rechnerisch entstehen. Du kannst prüfen, ob es auf der Zahlengeraden an einer sinnvollen Stelle liegt.

Gleichwertige Brüche liegen an derselben Stelle. Deshalb verändert Erweitern den Wert nicht:

$\frac{3}{5}=\frac{6}{10}$

Dynamische Zahlengerade

Verschiebe die Brüche auf der Zahlengeraden und ändere die Unterteilung. Nutze diese Darstellung besonders zur Ergebniskontrolle.

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Zahlengeraden-Check

Prüfe zum Beispiel $\frac{13}{24}$.

$\frac{12}{24}=\frac{1}{2}$

Da $\frac{13}{24}$ nur einen Vierundzwanzigstel-Schritt rechts von $\frac{1}{2}$ liegt, muss das Ergebnis knapp größer als $\frac{1}{2}$ sein.

$0$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{3}{4}$	$1$
Start	klein	wichtige Vergleichszahl	groß	Ganzes

Tipp: Die Vergleichswerte $0$, $\frac{1}{4}$, $\frac{1}{2}$, $\frac{3}{4}$ und $1$ helfen Dir beim schnellen Überschlag.

Überschlag vor dem exakten Rechnen

Ein Überschlag ist eine grobe, aber sinnvolle Abschätzung. Er schützt Dich vor Ergebnissen, die offensichtlich nicht passen.

Aufgabe	Überschlag	Exaktes Ergebnis	Plausibel?
$\frac{2}{3}+\frac{1}{5}$	etwa $\frac{2}{3}+\frac{1}{5}\approx \mathrm{0,67}+\mathrm{0,2}\approx \mathrm{0,87}$	$\frac{10}{15}+\frac{3}{15}=\frac{13}{15}$	Ja
$\frac{7}{8}-\frac{1}{3}$	etwa $\mathrm{0,88}-\mathrm{0,33}\approx \mathrm{0,55}$	$\frac{13}{24}\approx \mathrm{0,54}$	Ja
$\frac{3}{4}+\frac{2}{9}$	etwas mehr als $\frac{3}{4}$, aber kleiner als $1$	$\frac{27}{36}+\frac{8}{36}=\frac{35}{36}$	Ja

Typische Fehler

Fehler	Warum falsch?	Richtig
$\frac{1}{3}+\frac{1}{4}=\frac{2}{7}$	Zähler und Nenner dürfen bei der Addition nicht einfach getrennt addiert werden.	$\frac{1}{3}+\frac{1}{4}=\frac{4}{12}+\frac{3}{12}=\frac{7}{12}$
Nur den Nenner erweitern	Beim Erweitern müssen Zähler und Nenner mit derselben Zahl multipliziert werden.	$\frac{2}{3}=\frac{8}{12}$
Nach dem Erweitern den Nenner wieder verändern	Sind die Brüche gleichnamig, bleibt der gemeinsame Nenner beim Addieren oder Subtrahieren erhalten.	$\frac{8}{12}+\frac{3}{12}=\frac{11}{12}$
Kein Plausibilitätscheck	Ein Rechenfehler bleibt unbemerkt.	Mit Überschlag und Zahlengerade prüfen.

Interaktives Bruchlabor

In diesem GeoGebra-Material kannst Du Addition und Subtraktion ungleichnamiger Brüche üben und Deine Eingaben kontrollieren.

Forscherauftrag: Stelle nacheinander Aufgaben ein, bei denen

1. ein Nenner ein Vielfaches des anderen ist,
2. die Nenner teilerfremd sind,
3. beide Nenner einen gemeinsamen Faktor besitzen.

Beobachte, wann der Hauptnenner besonders schnell erkennbar ist.

Visuelle Schritt-für-Schritt-Strategie

START	$\to$	GEMEINSAMER NENNER	$\to$	ERWEITERN	$\to$	ZÄHLER RECHNEN	$\to$	KONTROLLIEREN
$\frac{a}{b}\pm \frac{c}{d}$	$\to$	z. B. $\mathrm{kgV}(b,d)$	$\to$	gleichnamig machen	$\to$	addieren oder subtrahieren	$\to$	kürzen, Überschlag, Zahlengerade

Kurzformel für die allgemeine Idee:

$\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{ad}{bd}+\frac{bc}{bd}=\frac{ad+bc}{bd}$

und

$\frac{a}{b}-\frac{c}{d}=\frac{ad}{bd}-\frac{bc}{bd}=\frac{ad-bc}{bd}$

Für Klasse 6 ist es meist günstiger, nicht automatisch das Produkt $bd$ zu verwenden, sondern zuerst nach einem kleineren gemeinsamen Nenner zu suchen.

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Was musst Du vor dem Addieren ungleichnamiger Brüche zuerst tun? (Die Brüche auf einen gemeinsamen Nenner bringen) (!Die Zähler auf null setzen) (!Die Nenner direkt addieren) (!Beide Brüche in ganze Zahlen umwandeln)

Wie lautet das Ergebnis von 1/3 plus 1/4? (7/12) (!2/7) (!2/12) (!5/12)

Wie lautet das Ergebnis von 5/6 minus 1/4? (7/12) (!4/2) (!4/10) (!9/24)

Welches ist das kleinste gemeinsame Vielfache von 6 und 8? (24) (!14) (!36) (!48)

Welche Erweiterung von 3/5 hat den Nenner 20? (12/20) (!8/20) (!15/20) (!3/20)

Wie lautet 2/3 plus 1/6? (5/6) (!3/9) (!3/6) (!1/2)

Wo liegt 13/24 ungefähr auf der Zahlengerade? (Knapp rechts von 1/2) (!Knapp links von 1/4) (!Genau bei 3/4) (!Rechts von 1)

Was gilt für gleichwertige Brüche auf der Zahlengerade? (Sie liegen an derselben Stelle) (!Sie liegen immer nebeneinander) (!Sie haben immer denselben Zähler) (!Sie haben immer denselben Nenner)

Welcher gemeinsame Nenner eignet sich besonders gut für 1/4 und 3/10? (20) (!14) (!40) (!6)

Warum ist 2/5 plus 1/3 gleich 3/8 falsch? (Die Nenner wurden unzulässig addiert) (!Die Zähler wurden zu klein gewählt) (!Die Brüche hätten zuerst gekürzt werden müssen) (!Eine Addition von Brüchen ist nicht erlaubt)

Memory

Hauptnenner	kgV der Nenner
Erweitern	Zähler und Nenner mit derselben Zahl multiplizieren
gleichnamig	gleiche Nenner
Zahlengerade	Lage des Ergebnisses prüfen
Überschlag	Ergebnisgröße grob einschätzen
Bruchstreifen	gleich große Anteile sichtbar machen
Kürzen	Zähler und Nenner durch denselben Teiler teilen

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Thema
gleichnamig machen	Voraussetzung für Addition und Subtraktion ungleichnamiger Brüche
Hauptnenner finden	günstigen gemeinsamen Nenner bestimmen
Erweiterungsfaktor	zeigt die Multiplikation von Zähler und Nenner
Überschlag	Plausibilität vor oder nach dem Rechnen prüfen
Zahlengeradenkontrolle	Ergebnis als Lage zwischen Vergleichswerten prüfen

Kreuzworträtsel

Hauptnenner	Wie heißt der besonders günstige kleinste gemeinsame Nenner?
Erweitern	Wie heißt das Multiplizieren von Zähler und Nenner mit derselben Zahl?
Zähler	Welcher Teil des Bruches wird nach dem Gleichnamigmachen addiert oder subtrahiert?
Nenner	Welcher Teil des Bruches gibt die Größe der Teilstücke an?
Überschlag	Wie heißt die grobe Abschätzung eines Ergebnisses?
Zahlengerade	Auf welcher Darstellung kannst Du die Lage eines Bruches kontrollieren?

Lückentext

Vervollständige den Text.

Brüche mit verschiedenen Nennern heißen . Vor dem Addieren oder Subtrahieren bringt man sie auf einen . Besonders günstig ist häufig das der Nenner. Beim Erweitern werden Zähler und Nenner mit demselben multipliziert. Sind die Brüche gleichnamig, werden bei der Addition nur die addiert. Bei der Subtraktion werden entsprechend die Zähler . Der gemeinsame Nenner bleibt beim eigentlichen Addieren oder Subtrahieren . Ein grober Größencheck heißt . Gleichwertige Brüche liegen auf der Zahlengerade an derselben . Am Ende prüfst Du außerdem, ob sich das Ergebnis noch lässt.

Offene Aufgaben

Leicht

1. Bruchstreifen: Stelle aus Papier Streifen für Halbe, Drittel, Viertel, Sechstel, Achtel und Zwölftel her. Zeige damit zwei verschiedene Möglichkeiten, $\frac{1}{2}$ darzustellen.
2. Erweitern: Erfinde fünf Brüche und erweitere jeden auf zwei verschiedene Arten. Markiere jeweils den Erweiterungsfaktor.
3. Zahlengerade: Zeichne eine Zahlengerade von $0$ bis $1$ und trage $\frac{1}{4}$, $\frac{1}{2}$, $\frac{2}{3}$ und $\frac{3}{4}$ ein.
4. Fehlersuche: Erfinde eine falsche Rechnung zur Addition ungleichnamiger Brüche. Tausche sie mit einer Lernpartnerin oder einem Lernpartner und korrigiert euch gegenseitig.

Standard

1. Stop-Motion: Produziere eine kurze Stop-Motion-Animation, die zeigt, wie aus $\frac{1}{3}$ durch Unterteilen $\frac{2}{6}$ wird.
2. Rechenweg: Erstelle ein Lernplakat zu $\frac{5}{8}+\frac{1}{6}$. Zeige Hauptnenner, Erweiterung, Rechnung und Selbstkontrolle.
3. Überschlag: Finde drei Additions- und drei Subtraktionsaufgaben mit positiven Brüchen. Notiere zuerst einen Überschlag und rechne erst danach exakt.
4. GeoGebra: Nutze die eingebettete dynamische Zahlengerade. Dokumentiere mit Screenshots oder Skizzen drei Fälle, in denen gleichwertige Brüche an derselben Stelle liegen.

Schwer

1. Strategievergleich: Berechne $\frac{5}{12}+\frac{7}{18}$ einmal mit dem Produkt der Nenner und einmal mit dem kgV. Vergleiche den Rechenaufwand und begründe, welche Methode günstiger ist.
2. Sachaufgabe: Erfinde eine realistische Alltagssituation, in der $\frac{3}{4}$ und $\frac{2}{5}$ addiert oder subtrahiert werden. Löse und visualisiere die Aufgabe.
3. Erklärvideo: Produziere ein maximal zweiminütiges Erklärvideo für Klasse 6 mit den fünf Schritten gemeinsamer Nenner, Erweitern, Zähler rechnen, Kürzen und Kontrollieren.
4. Forschungsauftrag: Untersuche zehn zufällige Nennerpaare zwischen $2$ und $12$. Ordne sie danach, ob ein Nenner Vielfaches des anderen ist, ob sie teilerfremd sind oder ob sie einen gemeinsamen Faktor besitzen.

Lernkontrolle

1. Transferaufgabe Einkauf: Zwei Saftflaschen enthalten zusammen noch $\frac{2}{3}$ Liter und $\frac{3}{8}$ Liter. Entscheide zuerst durch Überschlag, ob zusammen mehr oder weniger als ein Liter vorhanden ist. Berechne anschließend exakt und begründe Deinen Kontrollweg.
2. Methodenwahl: Für die Nenner $6$ und $15$ stehen die gemeinsamen Nenner $30$ und $90$ zur Auswahl. Erkläre, warum beide funktionieren, aber einer günstiger ist.
3. Fehleranalyse: Eine Schülerin schreibt $\frac{3}{4}-\frac{1}{6}=\frac{2}{2}$. Beschreibe den Denkfehler, entwickle einen korrekten Rechenweg und prüfe das Ergebnis mit einer Zahlengerade.
4. Darstellungswechsel: Löse $\frac{2}{5}+\frac{1}{3}$ rechnerisch und stelle dieselbe Rechnung anschließend mit Bruchstreifen oder einer Flächendarstellung dar. Erkläre, wie beide Darstellungen zusammenpassen.
5. Plausibilitätsprüfung: Jemand behauptet, $\frac{7}{8}-\frac{1}{5}=\frac{1}{40}$. Entscheide ohne vollständige Rechnung, ob das plausibel sein kann. Begründe und berechne danach exakt.
6. Strategie erklären: Formuliere eine allgemeine Anleitung zum Addieren und Subtrahieren ungleichnamiger positiver Brüche, die ein Kind aus Klasse 5 verstehen könnte. Verwende dabei mindestens ein selbst gewähltes Beispiel.

Lernnachweis

Für einen erfolgreichen Lernnachweis solltest Du zeigen können:

1. Du erkennst, ob Brüche gleichnamig oder ungleichnamig sind.
2. Du findest einen geeigneten gemeinsamen Nenner und kannst erklären, warum er geeignet ist.
3. Du erweiterst Brüche korrekt, indem Du Zähler und Nenner mit demselben Faktor multiplizierst.
4. Du addierst und subtrahierst gleichnamig gemachte positive Brüche sicher.
5. Du kürzt Ergebnisse, wenn dies möglich ist.
6. Du kontrollierst Ergebnisse mit Überschlag, Vergleichsbrüchen oder Zahlengerade.
7. Du erkennst typische Fehler und kannst falsche Rechenwege begründet verbessern.
8. Du kannst zwischen Rechnung, Bruchstreifen, Flächenmodell und Zahlengerade wechseln.

OERs zum Thema

Weitere freie und interaktive Lernmedien

GeoGebra: Ungleichnamige Brüche addieren und subtrahieren

GeoGebra: Brüche erweitern

GeoGebra: Brüche auf dem Zahlenstrahl

Verknüpfte Lernbereiche

Bruchrechnung Bruch Erweitern Kürzen Kleinstes gemeinsames Vielfaches Hauptnenner Addition Subtraktion Zahlengerade Überschlag