M6 M - Maximum, Minimum und Mittelwert vergleichen

Diesen aiMOOC als Battle spielen: Mathematik, Klasse 5-6, M-Niveau

Einleitung

Wenn Du Daten vergleichst, reichen einzelne Zahlen oft nicht aus. Bei einer Messreihe, bei Temperaturen, Laufzeiten oder anderen Beobachtungen helfen Dir drei Kennwerte besonders:

1. Minimum: der kleinste Wert eines Datensatzes.
2. Maximum: der größte Wert eines Datensatzes.
3. Arithmetisches Mittel: ein rechnerischer Mittelwert, der alle Werte berücksichtigt.

Diese drei Kennwerte beantworten unterschiedliche Fragen. Minimum und Maximum zeigen die Randwerte. Das arithmetische Mittel beschreibt einen rechnerischen Ausgleichswert. Beim Vergleichen von Datensätzen ist außerdem wichtig, dass Du dieselbe Darstellungsform und dieselbe Einheit verwendest.

Lernziele: Du bestimmst Minimum, Maximum und arithmetisches Mittel, deutest die Kennwerte im Sachzusammenhang und vergleichst zwei Datensätze mit derselben Darstellungsform.

Drei Kennwerte auf einen Blick

Kennwert	Bedeutung	Mathematische Schreibweise	Leitfrage
Minimum	kleinster Wert	$x_{min}$	Welcher Wert ist am kleinsten?
Maximum	größter Wert	$x_{max}$	Welcher Wert ist am größten?
Arithmetisches Mittel	Summe aller Werte geteilt durch ihre Anzahl	$\overline{x}=\frac{x_1+x_2+\dots +x_n}{n}$	Welcher Wert entsteht beim rechnerischen Ausgleichen?

Für jeden Datensatz aus Zahlen gilt:

$x_{min}\le \overline{x}\le x_{max}$

Das arithmetische Mittel liegt also niemals unter dem Minimum und niemals über dem Maximum.

Minimum und Maximum bestimmen

Du kannst die Werte zuerst der Größe nach ordnen. Dann ist der erste Wert das Minimum und der letzte Wert das Maximum.

Beispieldaten:

$7,4,9,6,5$

Geordnet:

$4<5<6<7<9$

Damit gilt:

$x_{min}=4$

$x_{max}=9$

Merke: Bei einer Zahlengeraden liegen kleinere Werte weiter links und größere Werte weiter rechts.

Das arithmetische Mittel verstehen

Das arithmetische Mittel kannst Du Dir als gerechtes Verteilen vorstellen. Zuerst addierst Du alle Werte. Danach teilst Du die Summe durch die Anzahl der Werte.

Allgemein:

$\overline{x}=\frac{x_1+x_2+\dots +x_n}{n}$

Beispiel:

$6,8,7,9,5$

Schritt	Rechnung	Bedeutung
1	$6+8+7+9+5=35$	Alle Werte addieren.
2	$n=5$	Es gibt fünf Werte.
3	$\overline{x}=\frac{35}{5}=7$	Summe durch Anzahl teilen.

Die Wippe veranschaulicht das arithmetische Mittel als Balancepunkt: Werte links und rechts können sich rechnerisch ausgleichen.

Die Animation zeigt einen Rechenweg zum arithmetischen Mittel Schritt für Schritt.

Rechenweg aufklappen

$\overline{x}=\frac{6+8+7+9+5}{5}$

$\overline{x}=\frac{35}{5}$

$\overline{x}=7$

Kontrolle: $5\le 7\le 9$. Das Ergebnis liegt zwischen Minimum und Maximum.

Video laden

YouTube

YouTube sammelt möglicherweise persönliche Daten. Datenschutzrichtlinie

Fortfahren Ausblenden

Mittelwert als Bruch und Dezimalzahl

Nicht jedes arithmetische Mittel ist eine ganze Zahl.

Beispiel:

$7,8,8,10$

$\overline{x}=\frac{7+8+8+10}{4}=\frac{33}{4}=\mathrm{8,25}$

Die Bruchdarstellung $\frac{33}{4}$ bedeutet: Die Gesamtsumme $33$ wird gleichmäßig auf vier Werte verteilt.

Summe	geteilt durch	Anzahl	ergibt
$33$	$:$	$4$	$\mathrm{8,25}$

Wichtig: Der Mittelwert muss nicht selbst als Messwert im Datensatz vorkommen.

Beispiel 1: Temperaturen vergleichen

Die folgenden Werte sind didaktische Beispieldaten für Tageshöchsttemperaturen in Grad Celsius.

Datensatz A

Tag	Montag	Dienstag	Mittwoch	Donnerstag	Freitag
Temperatur	14 °C	16 °C	18 °C	17 °C	15 °C

$x_{min}=14{}^{\circ }\mathrm{C}$

$x_{max}=18{}^{\circ }\mathrm{C}$

$\overline{x}=\frac{14+16+18+17+15}{5}=\frac{80}{5}=16{}^{\circ }\mathrm{C}$

Datensatz B

Tag	Montag	Dienstag	Mittwoch	Donnerstag	Freitag
Temperatur	12 °C	16 °C	20 °C	17 °C	15 °C

$x_{min}=12{}^{\circ }\mathrm{C}$

$x_{max}=20{}^{\circ }\mathrm{C}$

$\overline{x}=\frac{12+16+20+17+15}{5}=\frac{80}{5}=16{}^{\circ }\mathrm{C}$

Vergleich: Beide Datensätze haben denselben Mittelwert von $16{}^{\circ }\mathrm{C}$. Trotzdem unterscheiden sie sich: Datensatz B hat ein kleineres Minimum und ein größeres Maximum.

Zur zusätzlichen Beschreibung kann die Spannweite verwendet werden:

$R=x_{max}-x_{min}$

Für A:

$R_A=18-14=4{}^{\circ }\mathrm{C}$

Für B:

$R_B=20-12=8{}^{\circ }\mathrm{C}$

Datensatz B schwankt zwischen seinen Randwerten stärker.

Warum derselbe Mittelwert nicht dieselben Daten bedeutet

Zwei Datensätze können denselben Mittelwert besitzen und trotzdem deutlich verschieden sein.

Datensatz	Werte	Minimum	Maximum	Mittelwert
A	14, 16, 18, 17, 15	14	18	16
B	12, 16, 20, 17, 15	12	20	16

Darum solltest Du beim Vergleichen nicht nur $\overline{x}$, sondern auch Minimum und Maximum betrachten.

Prüffrage: Haben zwei Datensätze denselben Mittelwert, müssen sie dann gleich sein? Nein.

Beispiel 2: Sportwerte richtig deuten

Bei Sportdaten hängt die Bedeutung von Minimum und Maximum vom Kontext ab. Bei einer Laufzeit ist ein kleinerer Wert meist schneller.

Die folgenden 50-Meter-Zeiten sind didaktische Beispieldaten in Sekunden.

Gruppe A

Lauf	1	2	3	4	5
Zeit	9,8 s	10,1 s	9,9 s	10,0 s	10,2 s

$x_{min}=\mathrm{9,8}\mathrm{s}$

$x_{max}=\mathrm{10,2}\mathrm{s}$

$\overline{x}=\frac{\mathrm{9,8}+\mathrm{10,1}+\mathrm{9,9}+\mathrm{10,0}+\mathrm{10,2}}{5}=\frac{\mathrm{50,0}}{5}=\mathrm{10,0}\mathrm{s}$

Gruppe B

Lauf	1	2	3	4	5
Zeit	9,6 s	10,4 s	10,0 s	9,8 s	10,2 s

$x_{min}=\mathrm{9,6}\mathrm{s}$

$x_{max}=\mathrm{10,4}\mathrm{s}$

$\overline{x}=\frac{\mathrm{9,6}+\mathrm{10,4}+\mathrm{10,0}+\mathrm{9,8}+\mathrm{10,2}}{5}=\frac{\mathrm{50,0}}{5}=\mathrm{10,0}\mathrm{s}$

Interpretation: Beide Gruppen haben denselben Mittelwert. Gruppe B enthält aber sowohl die schnellste als auch die langsamste Einzelzeit.

Kontext beachten: Bei Laufzeiten bedeutet das Minimum die schnellste Zeit. Bei Punkten in einem Spiel wäre dagegen häufig das Maximum der höchste erreichte Wert.

Beispiel 3: Eine Messreihe kontrollieren

Fünf Füllmengen werden in Gramm gemessen:

$248,251,250,249,252$

Minimum:

$x_{min}=248\mathrm{g}$

Maximum:

$x_{max}=252\mathrm{g}$

Mittelwert:

$\overline{x}=\frac{248+251+250+249+252}{5}=\frac{1250}{5}=250\mathrm{g}$

Visuelle Schritt-für-Schritt-Kontrolle aufklappen

Rechenschritt	Ergebnis
$248+251$	$499$
$499+250$	$749$
$749+249$	$998$
$998+252$	$1250$
$1250:5$	$250$

Hier ist der Mittelwert genau $250\mathrm{g}$. Die einzelnen Messwerte liegen zwischen $248\mathrm{g}$ und $252\mathrm{g}$.

Daten in derselben Darstellungsform vergleichen

Ein fairer Vergleich gelingt leichter, wenn beide Datensätze gleich dargestellt werden.

Geeignet:

1. Tabelle mit Tabelle vergleichen.
2. Säulendiagramm mit Säulendiagramm vergleichen.
3. Zahlengerade mit Zahlengerade vergleichen.
4. Gleiche Einheit und möglichst gleiche Skala verwenden.

Ein Säulendiagramm kann Unterschiede sichtbar machen. Achte darauf, dass unterschiedliche Skalen einen Vergleich verzerren können.

Vergleichsstrategie:

Schritt	Frage
1	Sind Einheit und Darstellung gleich?
2	Welches Minimum hat jeder Datensatz?
3	Welches Maximum hat jeder Datensatz?
4	Welches arithmetische Mittel hat jeder Datensatz?
5	Was bedeuten die Unterschiede im Sachzusammenhang?

Dynamische Datenanalyse mit GeoGebra

In dieser GeoGebra-Aktivität kannst Du Minimum, Maximum, Mittelwert und Summe an Daten untersuchen:

Bearbeite dazu diese Forscherfragen:

1. Verändere einen Wert und beobachte, welche Kennwerte sich ändern.
2. Verändere nur den kleinsten Wert und untersuche Minimum, Maximum und Mittelwert.
3. Erzeuge zwei verschiedene Datensätze mit demselben Mittelwert.
4. Prüfe, ob der Mittelwert immer zwischen Minimum und Maximum liegt.

Eine weitere dynamische Aktivität verbindet Kennwerte mit Basketball-Daten. Du kannst Punkte bewegen und Veränderungen untersuchen:

Denkfehler erkennen

Fehler 1: „Der Mittelwert ist einfach der mittlere Wert.“

Das stimmt nicht immer. Beim arithmetischen Mittel werden alle Werte addiert und durch ihre Anzahl geteilt.

Fehler 2: „Das Maximum ist immer das beste Ergebnis.“

Das hängt vom Kontext ab. Bei einer Laufzeit kann das Maximum die langsamste Zeit sein.

Fehler 3: „Gleicher Mittelwert bedeutet gleicher Datensatz.“

Das ist falsch. Unterschiedliche Daten können denselben Mittelwert besitzen.

Fehler 4: „Beim Mittelwert teilt man durch den größten Wert.“

Richtig ist:

$\overline{x}=\frac{\text{Summe aller Werte}}{\text{Anzahl der Werte}}$

Eine schnelle Plausibilitätskontrolle

Nach Deiner Rechnung kannst Du prüfen:

$x_{min}\le \overline{x}\le x_{max}$

Beispiel:

$4,6,8$

$x_{min}=4,x_{max}=8,\overline{x}=6$

Die Bedingung

$4\le 6\le 8$

ist erfüllt.

Wenn Du für diese Werte zum Beispiel $\overline{x}=10$ berechnet hättest, wäre sofort klar, dass ein Rechenfehler vorliegt.

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Was ist das Minimum eines Datensatzes? (Der kleinste Wert) (!Der größte Wert) (!Die Summe aller Werte) (!Die Anzahl der Werte)

Was ist das Maximum eines Datensatzes? (Der größte Wert) (!Der kleinste Wert) (!Der häufigste Wert) (!Die Differenz aller Werte)

Wie berechnest Du das arithmetische Mittel? (Summe aller Werte geteilt durch die Anzahl der Werte) (!Maximum geteilt durch Minimum) (!Minimum plus Maximum) (!Anzahl der Werte geteilt durch die Summe)

Welches Minimum hat der Datensatz 7, 4, 9, 6, 5? (4) (!5) (!7) (!9)

Welches Maximum hat der Datensatz 7, 4, 9, 6, 5? (9) (!4) (!6) (!7)

Welches arithmetische Mittel haben die Werte 4, 6 und 8? (6) (!4) (!8) (!18)

Was gilt immer für das arithmetische Mittel eines Zahlen-Datensatzes? (Es liegt zwischen Minimum und Maximum) (!Es ist immer das Maximum) (!Es ist immer eine ganze Zahl) (!Es kommt immer als Messwert vor)

Was bedeutet bei einer Laufzeit normalerweise das Minimum? (Die schnellste gemessene Zeit) (!Die langsamste gemessene Zeit) (!Die Summe aller Laufzeiten) (!Die Anzahl der Läufe)

Zwei Datensätze haben denselben Mittelwert. Was folgt daraus? (Sie können trotzdem unterschiedliche Werte enthalten) (!Sie müssen vollständig gleich sein) (!Sie müssen dasselbe Minimum haben) (!Sie müssen dasselbe Maximum haben)

Warum sollten zwei Diagramme beim Vergleichen möglichst dieselbe Skala verwenden? (Damit Unterschiede fair beurteilt werden können) (!Damit der Mittelwert immer ganzzahlig wird) (!Damit Minimum und Maximum gleich werden) (!Damit alle Werte addiert werden)

Memory

Minimum	kleinster Wert
Maximum	größter Wert
Arithmetisches Mittel	Summe geteilt durch Anzahl
Spannweite	Abstand der Randwerte
Datensatz	Sammlung zusammengehöriger Werte
Einheit	Bedeutung einer Messzahl

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Thema
Minimum	kleinster Messwert
Maximum	größter Messwert
Arithmetisches Mittel	rechnerischer Ausgleichswert
Spannweite	Abstand zwischen Randwerten
Vergleichbarkeit	gleiche Darstellung und gleiche Einheit

Kreuzworträtsel

Minimum	Wie heißt der kleinste Wert eines Datensatzes?
Maximum	Wie heißt der größte Wert eines Datensatzes?
Mittelwert	Welcher Kennwert entsteht aus Summe geteilt durch Anzahl?
Datensatz	Wie heißt eine Sammlung zusammengehöriger Werte?
Spannweite	Wie heißt die Differenz aus Maximum und Minimum?
Einheit	Was muss bei Messwerten wie Sekunden oder Grad Celsius angegeben werden?

Lückentext

Vervollständige den Text.

Der kleinste Wert eines Datensatzes heißt .

Der größte Wert eines Datensatzes heißt .

Für das arithmetische Mittel addierst Du zuerst alle .

Danach teilst Du durch die der Werte.

Das arithmetische Mittel liegt zwischen Minimum und .

Bei Laufzeiten kann das Minimum die Zeit darstellen.

Zwei Datensätze können denselben Mittelwert und trotzdem verschiedene besitzen.

Für einen fairen Vergleich sollten die Datensätze dieselbe verwenden.

Die Differenz zwischen Maximum und Minimum heißt .

Ein Ergebnis außerhalb von Minimum und Maximum kann beim arithmetischen Mittel auf einen hinweisen.

Offene Aufgaben

Leicht

1. Eigene Messreihe: Miss fünfmal die Zeit, die Du für eine kurze, ungefährliche Alltagstätigkeit brauchst. Bestimme Minimum, Maximum und arithmetisches Mittel.
2. Temperaturdaten: Erfinde zwei fünftägige Temperaturreihen mit demselben Mittelwert, aber verschiedenen Minima und Maxima. Kontrolliere Deine Rechnungen.
3. Kennwerte markieren: Zeichne eine Zahlengerade zu einem Datensatz und markiere Minimum, Maximum und Mittelwert mit drei verschiedenen Symbolen.
4. Rechenfehler finden: Erstelle selbst einen absichtlich falschen Mittelwert-Rechenweg und erkläre, wie ein Mitschüler den Fehler durch eine Plausibilitätskontrolle erkennen kann.

Standard

1. Sportwerte untersuchen: Erfasse fünf selbst gemessene oder frei erfundene Sportwerte in derselben Einheit. Erkläre, was Minimum, Maximum und Mittelwert in diesem Sport bedeuten.
2. Zwei Datensätze konstruieren: Erzeuge zwei verschiedene Datensätze mit je fünf Werten und exakt demselben arithmetischen Mittel. Vergleiche ihre Randwerte.
3. Gleiche Darstellung: Stelle zwei Datensätze mit derselben Skala als Säulendiagramme dar. Beschreibe, welche Unterschiede sofort sichtbar werden.
4. Dynamische Untersuchung: Nutze eine eingebettete GeoGebra-Aktivität. Verändere nur einen Wert und dokumentiere in einer Tabelle, wie sich Minimum, Maximum und Mittelwert verändern.

Schwer

1. Extremwert-Experiment: Ersetze in einem Datensatz einen Wert durch einen sehr großen Wert. Untersuche rechnerisch und sprachlich, wie sich Maximum und Mittelwert verändern.
2. Kontextvergleich: Vergleiche einen Temperaturdatensatz und einen Laufzeitdatensatz. Erkläre, warum ein großes Maximum in den beiden Kontexten unterschiedlich bewertet werden kann.
3. Klassenprojekt: Plant eine kleine Umfrage mit einer zahlenmäßigen Frage, sammelt Daten, berechnet die drei Kennwerte und gestaltet eine gemeinsame Datenauswertung.
4. Erklärvideo produzieren: Erstellt ein kurzes Video, in dem Ihr anhand eines selbst gewählten Datensatzes Minimum, Maximum und Mittelwert bestimmt und anschließend die Kennwerte im Kontext interpretiert.

Lernkontrolle

1. Vergleich mit Begründung: Zwei Datensätze besitzen denselben Mittelwert, aber verschiedene Minima und Maxima. Beschreibe, welche Informationen dadurch über die Datensätze sichtbar werden.
2. Kennwerte im Kontext: Erkläre anhand eines eigenen Beispiels, warum das Maximum nicht automatisch das beste Ergebnis bedeutet.
3. Faire Darstellung: Zwei Säulendiagramme verwenden unterschiedliche Skalen. Erkläre, warum dadurch ein irreführender Eindruck entstehen kann, und beschreibe eine bessere Darstellung.
4. Ergebnis prüfen: Ein Schüler berechnet für die Werte $6,7,8,9$ den Mittelwert $10$. Begründe ohne vollständige Neuberechnung, warum das Ergebnis nicht stimmen kann, und korrigiere es anschließend.
5. Wert gezielt verändern: Verändere genau einen Wert im Datensatz $4,6,8,10$ so, dass das Maximum steigt. Beschreibe, was mit dem Mittelwert geschieht.
6. Datensätze konstruieren: Konstruiere zwei verschiedene Datensätze mit vier Werten und dem Mittelwert $12$. Vergleiche Minimum und Maximum.
7. Entscheidung begründen: Du sollst zwei Trainingsreihen vergleichen. Erkläre, warum Du für eine sinnvolle Aussage mehrere Kennwerte und nicht nur den Mittelwert betrachtest.

Lernnachweis

Für einen Lernnachweis zu diesem Thema solltest Du zeigen können:

1. Du erkennst in einer Datenliste sicher das Minimum und das Maximum.
2. Du berechnest das arithmetische Mittel mit $\overline{x}=\frac{\text{Summe}}{\text{Anzahl}}$.
3. Du kontrollierst, ob $x_{min}\le \overline{x}\le x_{max}$ erfüllt ist.
4. Du verwendest Einheiten korrekt, zum Beispiel Sekunden, Gramm oder Grad Celsius.
5. Du erklärst die Bedeutung der Kennwerte im jeweiligen Sachzusammenhang.
6. Du vergleichst zwei Datensätze in derselben Darstellungsform.
7. Du begründest, warum gleiche Mittelwerte nicht gleiche Datensätze bedeuten.
8. Du kannst Unterschiede zwischen Randwerten und Mittelwert sprachlich beschreiben.

OERs zum Thema

Der Wikipedia-Artikel zum arithmetischen Mittel bietet weiterführende Informationen:

Freie und interaktive Medien

Die im aiMOOC eingebundenen Wikimedia-Commons-Dateien besitzen freie Lizenzen oder sind gemeinfrei; die jeweilige Lizenz und Urheberangabe findest Du auf der Dateibeschreibungsseite.

1. Arithmetisches Mittel als Einleitungsbild
2. Arithmetisches Mittel als Wippenmodell
3. Animation zur Berechnung des arithmetischen Mittels
4. Zahlengerade
5. Thermometer
6. Stoppuhr
7. Laufbahn
8. Säulendiagramm

Video laden

YouTube

YouTube sammelt möglicherweise persönliche Daten. Datenschutzrichtlinie

Fortfahren Ausblenden

Verknüpfte Lernbereiche

Daten und Zufall Datensatz Minimum Maximum Arithmetisches Mittel Spannweite Zahlengerade Säulendiagramm Statistik