M6 M - Mathematik beim Bauen und Einrichten

Diesen aiMOOC als Battle spielen: Mathematik, Klasse 5-6, M-Niveau

Einleitung

Du möchtest ein Zimmer neu planen, Möbel sinnvoll stellen oder herausfinden, wie viel Bodenbelag benötigt wird? Dann brauchst Du Mathematik, die unmittelbar mit der Wirklichkeit verbunden ist. In diesem aiMOOC planst Du einen Raum, misst reale Längen, überträgst sie in einen Maßstab, zeichnest einen Grundriss, berechnest Flächeninhalte und bestimmst Materialmengen. Danach prüfst Du, ob Deine Maße, Rechnungen und Ergebnisse wirklich sinnvoll sein können.

Zielgruppe: Klasse 6, M-Niveau.

Dein Endprodukt: Ein maßstäblicher Raumplan mit Möbeln, Flächenberechnungen, Materialliste und Plausibilitätskontrolle.

Du lernst ...	Du kannst danach ...
Längen messen	reale Raum- und Möbelmaße sauber erfassen
Maßstab	Wirklichkeit und Zeichnung sicher ineinander umrechnen
Grundriss	einen Raum maßstäblich von oben darstellen
Flächeninhalt	Boden-, Wand- und Möbelgrundflächen berechnen
Materialbedarf	benötigte Mengen mit Zuschlag und Packungsgrößen bestimmen
Plausibilitätsprüfung	erkennen, ob ein Ergebnis realistisch sein kann
Quader	Möbel und Verpackungen als einfache 3D-Körper modellieren

Beispiel eines Grundrisses mit eingezeichneten Bereichen

Beobachtungsauftrag: Suche im Grundriss rechteckige Flächen. Überlege bei jedem Bereich, welche zwei Längen Du kennen müsstest, um seine Fläche zu berechnen.

Das Bau- und Einrichtungsprojekt

Du planst beispielhaft ein rechteckiges Zimmer mit den Innenmaßen

$$l=\mathrm{4,80}\mathrm{m}$$

und

$$b=\mathrm{3,60}\mathrm{m}.$$

Die Raumhöhe beträgt

$$h=\mathrm{2,50}\mathrm{m}.$$

Eine Tür ist $\mathrm{0,90}\mathrm{m}$ breit. Ein Fenster ist $\mathrm{1,50}\mathrm{m}$ breit und $\mathrm{1,20}\mathrm{m}$ hoch.

Für Deinen Grundriss verwendest Du zunächst den Maßstab

$$1:50.$$

Das bedeutet:

$$1\mathrm{c}\mathrm{m}\text{ im Plan}\widehat{=}50\mathrm{c}\mathrm{m}\text{ in Wirklichkeit}.$$

Wichtig: Ein Maßstab beschreibt immer ein Verhältnis gleichartiger Längen. Du musst deshalb zuerst auf gleiche Einheiten achten.

Messen wie beim Bauen

Maßband zum Erfassen realer Längen

Beim Messen zählt nicht nur die Zahl. Zu jedem Messwert gehört eine Einheit.

Messgröße	Beispiel	Sinnvolle Einheit
Raumlänge	$\mathrm{4,80}\mathrm{m}$	Meter
Türbreite	$\mathrm{0,90}\mathrm{m}$	Meter oder Zentimeter
Möbelbreite	$120\mathrm{c}\mathrm{m}$	Zentimeter
Dicke einer Platte	$18\mathrm{m}\mathrm{m}$	Millimeter

Messregel: Miss möglichst an zwei Stellen nach, wenn eine Wand, Nische oder ein Möbelstück nicht exakt rechtwinklig wirkt. Notiere immer Einheit und Messrichtung.

Reale Messskizze vor dem Grundriss

Bevor Du maßstäblich zeichnest, erstellst Du eine einfache Handskizze. Sie muss noch nicht maßstabsgerecht sein. Trage aber alle benötigten Maße ein:

1. Raumlänge: längste Innenkante messen.
2. Raumbreite: dazu senkrechte Innenkante messen.
3. Tür: Breite und Abstand zur nächsten Ecke messen.
4. Fenster: Breite und Abstand zur nächsten Ecke messen.
5. Möbel: Länge und Breite der Stellfläche messen.

Kontrollfrage: Addiere Teilstrecken an einer Wand. Ihre Summe darf nicht größer als die gesamte Wandlänge sein.

Maßstab verstehen und anwenden

Ein Maßstab ist ein Verhältnis zwischen Zeichnung und Wirklichkeit. Für den Maßstab $1:n$ gilt:

$$\text{Planlänge}=\frac{\text{Originallänge}}{n}$$

und umgekehrt:

$$\text{Originallänge}=\text{Planlänge}\cdot n.$$

Beim Maßstab $1:50$ ist $n=50$.

Maßstabslineal

Visueller Rechenweg: 4,80 m in den Plan übertragen

Schritt 1 – gleiche Einheit herstellen

$$\mathrm{4,80}\mathrm{m}=480\mathrm{c}\mathrm{m}$$

Schritt 2 – durch die Maßstabszahl teilen

$$\frac{480\mathrm{c}\mathrm{m}}{50}=\mathrm{9,6}\mathrm{c}\mathrm{m}$$

Schritt 3 – Plausibilität prüfen

Bei einer Verkleinerung $1:50$ muss die Planlänge viel kleiner als die reale Länge sein.

$$\mathrm{9,6}\mathrm{c}\mathrm{m}<480\mathrm{c}\mathrm{m}$$

Also ist $\mathrm{9,6}\mathrm{c}\mathrm{m}$ als Planlänge plausibel.

Wirklichkeit	Rechnung bei $1:50$	Plan
$\mathrm{4,80}\mathrm{m}=480\mathrm{c}\mathrm{m}$	$480:50$	$\mathrm{9,6}\mathrm{c}\mathrm{m}$
$\mathrm{3,60}\mathrm{m}=360\mathrm{c}\mathrm{m}$	$360:50$	$\mathrm{7,2}\mathrm{c}\mathrm{m}$
$\mathrm{0,90}\mathrm{m}=90\mathrm{c}\mathrm{m}$	$90:50$	$\mathrm{1,8}\mathrm{c}\mathrm{m}$
$\mathrm{1,50}\mathrm{m}=150\mathrm{c}\mathrm{m}$	$150:50$	$\mathrm{3,0}\mathrm{c}\mathrm{m}$

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Dynamischer Maßstab

Verändere in der interaktiven Darstellung die Größen und beobachte, wie sich Planlänge, Originallänge und Maßstab gegenseitig beeinflussen.

Forscherauftrag: Stelle nacheinander $1:20$, $1:50$ und $1:100$ ein. Notiere, wie lang eine reale Strecke von $2\mathrm{m}$ jeweils im Plan wäre.

Dynamische Zahlengerade für Dezimalmaße

Raummaße enthalten oft Dezimalzahlen wie $\mathrm{3,6}\mathrm{m}$ oder $\mathrm{4,8}\mathrm{m}$. Auf der Zahlengeraden kannst Du ihre Lage kontrollieren.

Vergleiche zum Beispiel

$$\mathrm{3,60}\mathrm{m}=\mathrm{3,6}\mathrm{m}$$

und

$$\mathrm{3,06}\mathrm{m}.$$

Die beiden Zahlen unterscheiden sich deutlich. Eine vertauschte Dezimalstelle kann im Raumplan also einen großen Fehler verursachen.

Stellenwert und Einheiten

Beim Bauen und Einrichten wechselst Du häufig zwischen Meter, Zentimeter und Millimeter.

m	dm	cm	mm
4	8	0	0

Die Tabelle kann $\mathrm{4,800}\mathrm{m}$ beziehungsweise $4800\mathrm{m}\mathrm{m}$ darstellen.

Für Längen gilt:

$$1\mathrm{m}=10\mathrm{d}\mathrm{m}=100\mathrm{c}\mathrm{m}=1000\mathrm{m}\mathrm{m}.$$

Für Flächen gilt dagegen:

$$1{\mathrm{m}}^{\mathrm{2}}=100\mathrm{d}{\mathrm{m}}^{\mathrm{2}}=10000\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{\mathrm{2}}.$$

Warum mal 100?

Ein Quadrat von $1\mathrm{m}$ Seitenlänge hat auf jeder Seite $100\mathrm{c}\mathrm{m}$:

$$1{\mathrm{m}}^{\mathrm{2}}=100\mathrm{c}\mathrm{m}\cdot 100\mathrm{c}\mathrm{m}=10000\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{\mathrm{2}}.$$

Interaktives Stellenwertmodell

Nutze den Schieberegler, um Einer und Zehntel sichtbar zu verändern. Übertrage die Idee auf Längenangaben in Metern.

Beispiel:

$$\mathrm{4,8}\mathrm{m}=4\mathrm{m}+8\mathrm{d}\mathrm{m}=480\mathrm{c}\mathrm{m}.$$

Einen maßstäblichen Grundriss zeichnen

Ein Grundriss stellt einen Raum vereinfacht von oben dar. Für die Raumplanung brauchst Du vor allem Wände, Öffnungen und Stellflächen.

Schritt-für-Schritt-Grundriss im Maßstab 1:50

Schritt 1 – Raumrechteck

Reale Maße:

$$\mathrm{4,80}\mathrm{m}\times \mathrm{3,60}\mathrm{m}$$

Planmaße:

$$\mathrm{9,6}\mathrm{c}\mathrm{m}\times \mathrm{7,2}\mathrm{c}\mathrm{m}$$

Zeichne also ein Rechteck mit $\mathrm{9,6}\mathrm{c}\mathrm{m}$ Länge und $\mathrm{7,2}\mathrm{c}\mathrm{m}$ Breite.

Schritt 2 – Tür

Reale Türbreite:

$$\mathrm{0,90}\mathrm{m}=90\mathrm{c}\mathrm{m}$$

Planbreite:

$$90:50=\mathrm{1,8}\mathrm{c}\mathrm{m}$$

Schritt 3 – Fenster

Reale Fensterbreite:

$$\mathrm{1,50}\mathrm{m}=150\mathrm{c}\mathrm{m}$$

Planbreite:

$$150:50=3\mathrm{c}\mathrm{m}$$

Schritt 4 – Möbel

Alle Möbel werden mit demselben Maßstab verkleinert.

Möbel	Reale Stellfläche	Planmaß bei $1:50$
Bett	$\mathrm{2,00}\mathrm{m}\times \mathrm{0,90}\mathrm{m}$	$\mathrm{4,0}\mathrm{c}\mathrm{m}\times \mathrm{1,8}\mathrm{c}\mathrm{m}$
Schreibtisch	$\mathrm{1,20}\mathrm{m}\times \mathrm{0,60}\mathrm{m}$	$\mathrm{2,4}\mathrm{c}\mathrm{m}\times \mathrm{1,2}\mathrm{c}\mathrm{m}$
Schrank	$\mathrm{1,50}\mathrm{m}\times \mathrm{0,60}\mathrm{m}$	$\mathrm{3,0}\mathrm{c}\mathrm{m}\times \mathrm{1,2}\mathrm{c}\mathrm{m}$
Regal	$\mathrm{0,80}\mathrm{m}\times \mathrm{0,35}\mathrm{m}$	$\mathrm{1,6}\mathrm{c}\mathrm{m}\times \mathrm{0,7}\mathrm{c}\mathrm{m}$

Schreibtisch und Stuhl als Möbelbeispiel

Möbel als Grundriss-Symbole

Im Grundriss interessieren zuerst die Stellflächen. Ein Schreibtisch kann deshalb als Rechteck modelliert werden.

$$A_{\text{Schreibtisch}}=\mathrm{1,20}\mathrm{m}\cdot \mathrm{0,60}\mathrm{m}=\mathrm{0,72}{\mathrm{m}}^{\mathrm{2}}$$

Das Bett benötigt als Stellfläche:

$$A_{\text{Bett}}=\mathrm{2,00}\mathrm{m}\cdot \mathrm{0,90}\mathrm{m}=\mathrm{1,80}{\mathrm{m}}^{\mathrm{2}}$$

Achtung: Zwei Möbel können rechnerisch in den Raum passen und trotzdem ungünstig stehen. Türen müssen aufgehen können, Fenster sollten erreichbar bleiben und Wege dürfen nicht vollständig blockiert werden.

Dynamische Raumplanung

Verschiebe und skaliere Objekte in einer digitalen Zeichenumgebung. Prüfe dabei immer, ob alle Objekte denselben Maßstab verwenden.

Planungsauftrag: Erstelle zwei Varianten für ein Zimmer. Variante A soll möglichst viel freie Bodenfläche in der Mitte lassen. Variante B soll einen großen Arbeitsplatz ermöglichen.

Flächen berechnen

Für ein Rechteck gilt:

$$A=l\cdot b.$$

Für das Beispielzimmer:

$$A=\mathrm{4,80}\mathrm{m}\cdot \mathrm{3,60}\mathrm{m}$$

$$A=\mathrm{17,28}{\mathrm{m}}^{\mathrm{2}}.$$

Das Zimmer hat also eine Bodenfläche von $\mathrm{17,28}{\mathrm{m}}^{\mathrm{2}}$.

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Flächeninhalt interaktiv entdecken

Verändere Länge und Breite des Rechtecks. Beobachte, wie sich die Anzahl der Einheitsquadrate und der Flächeninhalt ändern.

Erkenntnis:

$$\underset{\text{Anzahl je Reihe}}{\underbrace{l}}\cdot \underset{\text{Anzahl der Reihen}}{\underbrace{b}}=\underset{\text{Anzahl der Flächeneinheiten}}{\underbrace{A}}.$$

Vorsicht: Maßstab bei Flächen

Ein Längenmaßstab $1:50$ bedeutet nicht, dass Flächen nur durch $50$ geteilt werden. Beide Seitenlängen werden durch $50$ geteilt:

$$\frac{1}{50}\cdot \frac{1}{50}=\frac{1}{2500}.$$

Der Flächenmaßstab lautet deshalb:

$$1:2500.$$

Kontrolle am Beispielzimmer:

Planfläche:

$$\mathrm{9,6}\mathrm{c}\mathrm{m}\cdot \mathrm{7,2}\mathrm{c}\mathrm{m}=\mathrm{69,12}\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{\mathrm{2}}$$

Reale Fläche in Quadratzentimetern:

$$\mathrm{17,28}{\mathrm{m}}^{\mathrm{2}}=172800\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{\mathrm{2}}$$

Und tatsächlich:

$$\mathrm{69,12}\cdot 2500=172800.$$

Materialmengen bestimmen

Beim Bauen reicht die reine Fläche häufig nicht aus. Verschnitt, Zuschnitte oder Packungsgrößen können zusätzlichen Bedarf erzeugen. Im Unterricht verwenden wir dafür einen fest vorgegebenen Zuschlag.

Beispiel Bodenbelag mit 10 Prozent Reserve

Bodenfläche:

$$A=\mathrm{17,28}{\mathrm{m}}^{\mathrm{2}}$$

Zehn Prozent entsprechen

$$10\mathrm{\%}=\frac{10}{100}=\frac{1}{10}=\mathrm{0,1.}$$

Reserve:

$$\mathrm{17,28}{\mathrm{m}}^{\mathrm{2}}\cdot \mathrm{0,1}=\mathrm{1,728}{\mathrm{m}}^{\mathrm{2}}$$

Gesamtbedarf:

$$\mathrm{17,28}+\mathrm{1,728}=\mathrm{19,008}{\mathrm{m}}^{\mathrm{2}}$$

Für eine Bestellung darfst Du nicht einfach nach unten runden. Wenn nur ganze Packungen gekauft werden können, musst Du so weit aufrunden, dass die benötigte Menge vollständig abgedeckt ist.

Parkett als Beispiel für einen Bodenbelag

Bewegliche Bruchdarstellung für Materialreserve

Stelle mit den Schiebereglern $\frac{1}{10}$ dar. Dieser Bruch entspricht einer Reserve von $10\mathrm{\%}$.

Übertragung auf den Raum: Wenn die gesamte Bodenfläche als ein Rechteck dargestellt wird, entspricht die Reserve von $10\mathrm{\%}$ zusätzlich einem Zehntel dieser Fläche.

Packungsgrößen richtig berücksichtigen

Angenommen, eine Packung Bodenbelag deckt

$$\mathrm{2,20}{\mathrm{m}}^{\mathrm{2}}$$

ab.

Dann benötigst Du bei $\mathrm{19,008}{\mathrm{m}}^{\mathrm{2}}$ Gesamtbedarf:

$$\frac{\mathrm{19,008}}{\mathrm{2,20}}\approx \mathrm{8,64.}$$

Acht Packungen reichen nicht. Du brauchst mindestens neun Packungen:

$$9\cdot \mathrm{2,20}{\mathrm{m}}^{\mathrm{2}}=\mathrm{19,80}{\mathrm{m}}^{\mathrm{2}}.$$

Restmenge:

$$\mathrm{19,80}-\mathrm{19,008}=\mathrm{0,792}{\mathrm{m}}^{\mathrm{2}}.$$

Sockelleisten als Längenproblem

Für Sockelleisten brauchst Du nicht die Fläche, sondern den Umfang.

Für das Zimmer:

$$U=2\cdot (l+b)$$

$$U=2\cdot (\mathrm{4,80}+\mathrm{3,60})=\mathrm{16,80}\mathrm{m}.$$

Wenn im Bereich der $\mathrm{0,90}\mathrm{m}$ breiten Tür keine Sockelleiste liegt:

$$\mathrm{16,80}-\mathrm{0,90}=\mathrm{15,90}\mathrm{m}.$$

Bei einem Unterrichtszuschlag von $5\mathrm{\%}$:

$$\mathrm{15,90}\cdot \mathrm{1,05}=\mathrm{16,695}\mathrm{m}.$$

Je nach verfügbaren Leistenlängen musst Du wieder passend aufrunden.

Wandfläche und Farbe

Die vier Wandflächen können zunächst über Umfang mal Raumhöhe berechnet werden:

$$A_{\text{Wände, roh}}=U\cdot h$$

$$A_{\text{Wände, roh}}=\mathrm{16,80}\mathrm{m}\cdot \mathrm{2,50}\mathrm{m}=\mathrm{42,00}{\mathrm{m}}^{\mathrm{2}}.$$

Türfläche:

$$A_{\text{Tür}}=\mathrm{0,90}\mathrm{m}\cdot \mathrm{2,00}\mathrm{m}=\mathrm{1,80}{\mathrm{m}}^{\mathrm{2}}$$

Fensterfläche:

$$A_{\text{Fenster}}=\mathrm{1,50}\mathrm{m}\cdot \mathrm{1,20}\mathrm{m}=\mathrm{1,80}{\mathrm{m}}^{\mathrm{2}}$$

Zu streichende Fläche bei einmaligem Anstrich:

$$\mathrm{42,00}-\mathrm{1,80}-\mathrm{1,80}=\mathrm{38,40}{\mathrm{m}}^{\mathrm{2}}.$$

Wenn ein Beispiel-Farbwert von $7{\mathrm{m}}^{\mathrm{2}}$ pro Liter vorgegeben wird, ergibt sich:

$$\frac{\mathrm{38,40}}{7}\approx \mathrm{5,49}\mathrm{l}.$$

Bei zwei vollständigen Anstrichen:

$$2\cdot \mathrm{38,40}=\mathrm{76,80}{\mathrm{m}}^{\mathrm{2}}$$

und damit:

$$\frac{\mathrm{76,80}}{7}\approx \mathrm{10,97}\mathrm{l}.$$

Plausibilitätscheck: Für zwei Anstriche muss mehr Farbe benötigt werden als für einen Anstrich. Ein kleineres Ergebnis wäre ein Warnsignal.

3D-Modelle: Möbel als Quader

Viele Möbelstücke lassen sich vereinfacht als Quader betrachten. Das Modell ist nicht perfekt, aber für Volumen- und Oberflächenberechnungen nützlich.

Ein Quader mit Kantenlängen $a$, $b$ und $c$ hat das Volumen

$$V=a\cdot b\cdot c$$

und die Oberfläche

$$O=2\cdot (ab+ac+bc).$$

Netz eines Quaders

Beispiel: Stauraum als Quader

Eine Aufbewahrungsbox sei innen näherungsweise

$$\mathrm{0,60}\mathrm{m}\times \mathrm{0,40}\mathrm{m}\times \mathrm{0,30}\mathrm{m}$$

groß.

Volumen:

$$V=\mathrm{0,60}\cdot \mathrm{0,40}\cdot \mathrm{0,30}=\mathrm{0,072}{\mathrm{m}}^{\mathrm{3}}.$$

Da

$$1{\mathrm{m}}^{\mathrm{3}}=1000\mathrm{l}$$

gilt:

$$\mathrm{0,072}{\mathrm{m}}^{\mathrm{3}}=72\mathrm{l}.$$

Modellkritik: Ein echter Schrank oder eine echte Box hat Wandstärken, Fächer und Beschläge. Das Quader-Modell ist deshalb eine mathematische Vereinfachung.

Faltbarer und rotierbarer Körper

Rotierender Würfel als animierter 3D-Körper

Animation zum Falten und Entfalten eines Würfelnetzes

Mit der folgenden dynamischen Geometrie kannst Du ein Quadernetz auf- und zufalten.

Verändere anschließend Länge, Breite und Höhe eines Quaders:

Forscherfrage: Was passiert mit dem Volumen, wenn nur eine Kantenlänge verdoppelt wird?

Aus

$$V=a\cdot b\cdot c$$

wird

$$V_{\text{neu}}=2a\cdot b\cdot c=2V.$$

Das Volumen verdoppelt sich.

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Realistische Ergebnisse kontrollieren

Rechnen ist beim Bauen nur dann hilfreich, wenn das Ergebnis zur Wirklichkeit passt.

Der Fünf-Punkte-Check

Prüfschritt	Frage	Beispiel
Einheit	Passt die Einheit zur Größe?	Fläche braucht z. B. ${\mathrm{m}}^{\mathrm{2}}$, nicht $\mathrm{m}$.
Größenordnung	Ist die Zahl ungefähr erwartbar?	Ein Zimmer von rund $5\mathrm{m}\times 4\mathrm{m}$ hat ungefähr $20{\mathrm{m}}^{\mathrm{2}}$.
Maßstab	Ist die Zeichnung wirklich kleiner?	Bei $1:50$ werden $4\mathrm{m}$ zu $8\mathrm{c}\mathrm{m}$.
Rechenart	Rechne ich Länge, Fläche oder Volumen?	Bodenbelag benötigt eine Fläche.
Material	Muss aufgerundet werden?	Ganze Packungen dürfen den Bedarf nicht unterschreiten.

Überschlag vor der genauen Rechnung

Für das Beispielzimmer kannst Du zuerst grob rechnen:

$$\mathrm{4,80}\mathrm{m}\approx 5\mathrm{m}$$

$$\mathrm{3,60}\mathrm{m}\approx 4\mathrm{m}$$

also ungefähr:

$$5\cdot 4=20{\mathrm{m}}^{\mathrm{2}}.$$

Das genaue Ergebnis

$$\mathrm{17,28}{\mathrm{m}}^{\mathrm{2}}$$

liegt sinnvoll in der Nähe von $20{\mathrm{m}}^{\mathrm{2}}$.

Ein Ergebnis von $1728{\mathrm{m}}^{\mathrm{2}}$ wäre dagegen offensichtlich unplausibel.

Fehlerdetektiv: Welche Rechnung kann nicht stimmen?

Eine Person schreibt:

$$\mathrm{4,80}\mathrm{m}\cdot \mathrm{3,60}\mathrm{m}=\mathrm{17,28}\mathrm{m}.$$

Der Zahlenwert stimmt, aber die Einheit ist falsch. Weil Länge mal Länge gerechnet wird, lautet die Einheit:

$$\mathrm{m}\cdot \mathrm{m}={\mathrm{m}}^{\mathrm{2}}.$$

Richtig ist:

$$A=\mathrm{17,28}{\mathrm{m}}^{\mathrm{2}}.$$

Eine andere Person schreibt für $4\mathrm{m}$ bei $1:50$:

$$4:50=\mathrm{0,08}\mathrm{m}.$$

Das ist mathematisch zwar $\mathrm{0,08}\mathrm{m}=8\mathrm{c}\mathrm{m}$, aber zum Zeichnen ist die Angabe $8\mathrm{c}\mathrm{m}$ viel praktischer.

Visuelle Mathematik-Werkstatt

Maßstabs-Zahlengerade

Die Zuordnung bei $1:50$ kann wie zwei gekoppelte Zahlengeraden gelesen werden:

Plan in cm	0	1	2	3	4	5
Wirklichkeit in cm	0	50	100	150	200	250
Wirklichkeit in m	0	0,5	1,0	1,5	2,0	2,5

Jeder Schritt von $1\mathrm{c}\mathrm{m}$ im Plan entspricht $50\mathrm{c}\mathrm{m}$ in Wirklichkeit.

Animierter Rechenweg als Kette

Vom Raum zum Plan

$$\mathrm{4,80}\mathrm{m}\to 480\mathrm{c}\mathrm{m}\to 480:50\to \mathrm{9,6}\mathrm{c}\mathrm{m}$$

Vom Plan zur Wirklichkeit

$$\mathrm{2,4}\mathrm{c}\mathrm{m}\to \mathrm{2,4}\cdot 50\to 120\mathrm{c}\mathrm{m}\to \mathrm{1,20}\mathrm{m}$$

Von der Fläche zur Materialmenge

$$\mathrm{17,28}{\mathrm{m}}^{\mathrm{2}}\to +10\mathrm{\%}\to \mathrm{19,008}{\mathrm{m}}^{\mathrm{2}}\to \text{Packungen aufrunden}$$

Dynamische Rechteckfläche

Bewege Länge und Breite. Suche drei verschiedene Rechtecke mit demselben Flächeninhalt. Prüfe anschließend, ob deren Umfang ebenfalls gleich ist.

Dynamische Brüche und Reserveanteile

Markiere $\frac{1}{10}$, $\frac{1}{5}$ und $\frac{1}{4}$ auf dem Zahlenstrahl. Überlege, welcher Bruch zu $10\mathrm{\%}$, $20\mathrm{\%}$ und $25\mathrm{\%}$ passt.

Komplettes Planungsbeispiel

Du sollst das Beispielzimmer mit Bett, Schreibtisch, Schrank und Regal einrichten.

Raumfläche

$$A_{\text{Raum}}=\mathrm{4,80}\cdot \mathrm{3,60}=\mathrm{17,28}{\mathrm{m}}^{\mathrm{2}}$$

Möbelgrundflächen

Bett:

$$\mathrm{2,00}\cdot \mathrm{0,90}=\mathrm{1,80}{\mathrm{m}}^{\mathrm{2}}$$

Schreibtisch:

$$\mathrm{1,20}\cdot \mathrm{0,60}=\mathrm{0,72}{\mathrm{m}}^{\mathrm{2}}$$

Schrank:

$$\mathrm{1,50}\cdot \mathrm{0,60}=\mathrm{0,90}{\mathrm{m}}^{\mathrm{2}}$$

Regal:

$$\mathrm{0,80}\cdot \mathrm{0,35}=\mathrm{0,28}{\mathrm{m}}^{\mathrm{2}}$$

Summe der Stellflächen:

$$\mathrm{1,80}+\mathrm{0,72}+\mathrm{0,90}+\mathrm{0,28}=\mathrm{3,70}{\mathrm{m}}^{\mathrm{2}}$$

Rechnerisch nicht belegte Bodenfläche:

$$\mathrm{17,28}-\mathrm{3,70}=\mathrm{13,58}{\mathrm{m}}^{\mathrm{2}}$$

Wichtig: Diese Zahl bedeutet nicht, dass automatisch $\mathrm{13,58}{\mathrm{m}}^{\mathrm{2}}$ bequem nutzbar sind. Zwischen Möbeln können schmale Restflächen entstehen.

Planmaße der Möbel

Möbel	Rechnung	Planmaß
Bett	$200:50$ und $90:50$	$\mathrm{4,0}\mathrm{c}\mathrm{m}\times \mathrm{1,8}\mathrm{c}\mathrm{m}$
Schreibtisch	$120:50$ und $60:50$	$\mathrm{2,4}\mathrm{c}\mathrm{m}\times \mathrm{1,2}\mathrm{c}\mathrm{m}$
Schrank	$150:50$ und $60:50$	$\mathrm{3,0}\mathrm{c}\mathrm{m}\times \mathrm{1,2}\mathrm{c}\mathrm{m}$
Regal	$80:50$ und $35:50$	$\mathrm{1,6}\mathrm{c}\mathrm{m}\times \mathrm{0,7}\mathrm{c}\mathrm{m}$

Materialliste

Material	Mathematische Grundlage	Beispielergebnis
Bodenbelag	Bodenfläche plus $10\mathrm{\%}$	$\mathrm{19,008}{\mathrm{m}}^{\mathrm{2}}$
Sockelleiste	Umfang minus Tür plus $5\mathrm{\%}$	$\mathrm{16,695}\mathrm{m}$
Wandfarbe	Wandfläche minus Öffnungen	$\mathrm{38,40}{\mathrm{m}}^{\mathrm{2}}$ pro Anstrich

Abschlusskontrolle

1. Einheiten prüfen: Längen in $\mathrm{m}$ oder $\mathrm{c}\mathrm{m}$, Flächen in ${\mathrm{m}}^{\mathrm{2}}$, Volumen in ${\mathrm{m}}^{\mathrm{3}}$.
2. Maßstab prüfen: Jede Planlänge muss mit demselben Maßstab berechnet sein.
3. Möbel prüfen: Türen und Fenster dürfen nicht unbrauchbar werden.
4. Material prüfen: Packungsgrößen und Zuschläge müssen berücksichtigt sein.
5. Plausibilität prüfen: Überschlag und genaues Ergebnis müssen zusammenpassen.

Medien und Lernhilfen

Die eingebundenen Wikimedia-Commons-Dateien sind über ihre Dateiseiten mit Urheber- und Lizenzangaben dokumentiert. Nutze beim Weiterverwenden die jeweils dort genannte Lizenz.

Freies Möbelsymbol

Bemaßte Möbelskizze als Beispiel

Datei:3D model of a Cube.stl

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Was bedeutet der Maßstab 1:50? (1 cm im Plan entspricht 50 cm in Wirklichkeit) (!1 cm im Plan entspricht 5 cm in Wirklichkeit) (!50 cm im Plan entsprechen 1 cm in Wirklichkeit) (!1 m im Plan entspricht 50 cm in Wirklichkeit)

Wie lang werden 4 m in einem Plan im Maßstab 1:50 dargestellt? (8 cm) (!2 cm) (!20 cm) (!80 cm)

Wie lautet die Formel für den Flächeninhalt eines Rechtecks? (A gleich Länge mal Breite) (!A gleich Länge plus Breite) (!A gleich zwei mal Länge plus Breite) (!A gleich Länge mal Breite mal Höhe)

Wie groß ist die Fläche eines 4,80 m langen und 3,60 m breiten Raumes? (17,28 m²) (!8,40 m²) (!16,80 m²) (!172,80 m²)

Wie viele Quadratzentimeter sind ein Quadratmeter? (10000 cm²) (!100 cm²) (!1000 cm²) (!100000 cm²)

Ein Boden hat 20 m² Fläche. Wie viel Material werden bei genau 10 Prozent Zuschlag rechnerisch benötigt? (22 m²) (!20,1 m²) (!21 m²) (!30 m²)

Der Bedarf beträgt 18 m² und eine Packung deckt 2,2 m² ab. Wie viele ganze Packungen werden mindestens benötigt? (9 Packungen) (!8 Packungen) (!7 Packungen) (!10 Packungen sind immer zwingend)

Ein Schreibtisch ist 1,20 m lang. Wie lang ist er im Maßstab 1:50 im Plan? (2,4 cm) (!24 cm) (!0,24 cm) (!6 cm)

Welcher Planwert ist für eine reale Länge von 6 m im Maßstab 1:50 plausibel? (12 cm) (!12 m) (!120 cm) (!3 cm)

Wie berechnet man das Volumen eines Quaders mit den Kanten a, b und c? (V gleich a mal b mal c) (!V gleich a plus b plus c) (!V gleich zwei mal a plus b) (!V gleich a mal b)

Memory

Maßstab 1:50	1 cm im Plan entspricht 50 cm in Wirklichkeit
Grundriss	Draufsicht auf die Anordnung eines Raumes
Flächeninhalt	Länge mal Breite bei einem Rechteck
Quadratmeter	Einheit für eine Fläche
Materialreserve	zusätzlicher Anteil zum berechneten Bedarf
Plausibilitätscheck	Prüfung auf realistische Größenordnung
Quader	Körper mit sechs rechteckigen Begrenzungsflächen
Packungsbedarf	benötigte Menge auf ganze Verpackungen aufrunden

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Thema
Messen	Reale Raum- und Möbelmaße erfassen
Umrechnen	Einheiten für die Maßstabsrechnung vereinheitlichen
Verkleinern	Planmaße aus den Realmaßen bestimmen
Einzeichnen	Möbel maßstäblich im Grundriss platzieren
Kontrollieren	Einheit Größenordnung und Nutzbarkeit prüfen

Kreuzworträtsel

Maßstab	Wie heißt das Verhältnis zwischen Zeichnung und Wirklichkeit?
Grundriss	Wie heißt die zweidimensionale Draufsicht eines Raumes?
Rechteck	Welche Figur wird häufig als Modell für einen Raum verwendet?
Reserve	Wie heißt eine zusätzlich eingeplante Materialmenge?
Quader	Welcher Körper eignet sich als vereinfachtes Modell vieler Möbel?
Quadratmeter	Wie heißt die typische Einheit für eine Raumfläche?

Lückentext

Vervollständige den Text.

Ein Grundriss zeigt einen Raum vereinfacht in einer . Beim Maßstab 1 zu 50 entspricht ein Zentimeter im Plan in Wirklichkeit. Vor einer Maßstabsrechnung müssen die verwendeten zusammenpassen. Den Flächeninhalt eines rechteckigen Raumes berechnest Du mit Länge mal . Eine Fläche wird zum Beispiel in angegeben. Bei Flächeneinheiten gilt ein anderer Umrechnungsfaktor als bei . Für Bodenbelag kann zusätzlich eine vorher festgelegte berücksichtigt werden. Ganze Packungen werden so gewählt, dass der Bedarf mindestens ist. Möbel können für 3D-Berechnungen vereinfacht als modelliert werden. Am Ende hilft ein Überschlag bei der Prüfung, ob ein Ergebnis ist.

Offene Aufgaben

Leicht

1. Raum messen: Miss einen rechteckigen Raum oder einen klar abgegrenzten Teil eines Raumes. Notiere Länge und Breite in Metern und Zentimetern.
2. Möbel vermessen: Miss drei Möbelstücke und zeichne ihre Stellflächen als Rechtecke mit Maßangaben.
3. Maßstabskarte: Erstelle eine kleine Umrechnungskarte für den Maßstab 1:50 mit mindestens sechs Realmaßen und den passenden Planmaßen.
4. Fläche schätzen: Schätze zuerst die Fläche eines Raumes und berechne sie danach genau. Beschreibe, wie gut Deine Schätzung war.

Standard

1. Grundriss erstellen: Zeichne einen Raum im Maßstab 1:50 und trage Tür, Fenster und mindestens vier Möbel maßstäblich ein.
2. Materialliste: Berechne für Deinen Raum Bodenfläche, Bodenbelag mit einem vorgegebenen Zuschlag und Sockelleistenlänge.
3. Planungsvarianten: Entwickle zwei unterschiedliche Möbelanordnungen und vergleiche freie Flächen, Wege und Nutzbarkeit.
4. 3D-Modell: Baue aus Papier oder digital ein Quader-Modell eines Möbelstücks und berechne Volumen sowie Oberfläche des vereinfachten Modells.

Schwer

1. Fehleranalyse: Erfinde drei typische Fehler bei Maßstab, Flächeneinheiten oder Materialmengen. Erstelle zu jedem Fehler eine Erklärung und eine korrekte Lösung.
2. Packungsoptimierung: Vergleiche zwei fiktive Bodenbeläge mit unterschiedlichen Packungsgrößen. Bestimme, bei welchem weniger Restmaterial entsteht.
3. Raumoptimierung: Plane die Möbel so, dass eine möglichst große zusammenhängende freie Rechteckfläche entsteht. Begründe Deine Lösung mathematisch.
4. Erklärvideo: Produziere ein kurzes Lernvideo, in dem Du Deinen Grundriss zeigst, mindestens eine Maßstabsrechnung ausführst und einen Plausibilitätscheck erklärst.

Lernkontrolle

1. Planvergleich: Zwei Grundrisse desselben Raumes sind in den Maßstäben 1:50 und 1:100 gezeichnet. Erkläre ohne bloßes Nachrechnen, wie sich alle Planlängen verändern und warum die Planfläche nicht nur halbiert wird.
2. Materialentscheidung: Ein Raum benötigt rechnerisch 18,6 m² Bodenmaterial. Packung A enthält 2,1 m², Packung B enthält 2,4 m². Bestimme für beide die Mindestzahl an Packungen und vergleiche die Restmengen.
3. Fehlerdiagnose: Jemand berechnet aus 4,5 m mal 3,2 m das Ergebnis 14,4 m. Erkläre den Fehler vollständig und verbessere Einheit sowie Bedeutung des Ergebnisses.
4. Möbelproblem: Ein Schrank passt laut Stellfläche in eine Nische. Trotzdem lässt sich seine Tür nicht öffnen. Erkläre, welche zusätzlichen Maße im Grundriss fehlen und wie Du sie darstellen könntest.
5. 3D-Transfer: Zwei Aufbewahrungsboxen haben dieselbe Grundfläche, aber unterschiedliche Höhen. Erkläre, wie sich ihr Volumen vergleicht und welche Information für einen genauen Vergleich noch benötigt wird.
6. Plausibilitätsurteil: Für ein Zimmer von ungefähr 5 m mal 4 m wird ein Bodenbedarf von 180 m² angegeben. Beurteile das Ergebnis mit einem Überschlag und nenne mindestens zwei mögliche Fehlerquellen.

Lernnachweis

Für einen Lernnachweis zu diesem Thema solltest Du zeigen, dass Du Mathematik auf eine echte Planungssituation übertragen kannst.

1. Messdaten: Du dokumentierst reale oder vorgegebene Raum- und Möbelmaße mit passenden Einheiten.
2. Maßstabsrechnung: Du rechnest mindestens fünf Längen korrekt in einen einheitlichen Maßstab um.
3. Grundriss: Du zeichnest Wände, Tür, Fenster und Möbel maßstäblich und nachvollziehbar.
4. Flächenberechnung: Du berechnest mindestens die Bodenfläche und zwei weitere relevante Flächen.
5. Materialbedarf: Du bestimmst eine Materialmenge mit vorgegebenem Zuschlag und berücksichtigst ganze Packungsgrößen.
6. 3D-Modell: Du verwendest mindestens ein Quader-Modell und berechnest dazu Volumen oder Oberfläche.
7. Plausibilitätsprüfung: Du führst mindestens einen Überschlag durch und begründest, warum Deine Ergebnisse realistisch sind.
8. Dokumentation: Rechenwege, Einheiten, Skizzen und Ergebnisse sind so dargestellt, dass eine andere Person sie überprüfen kann.

Verknüpfte Lernbereiche

M6 M - Mathematik beim Bauen und Einrichten Maßstab Grundriss Längeneinheit Flächeneinheit Flächeninhalt Umfang Materialbedarf Quader Volumen Plausibilitätsprüfung