M6 M - Brüche sicher vergleichen und ordnen

Diesen aiMOOC als Battle spielen: Deutsch, Klasse 5-6, M-Niveau

Einleitung

Brüche begegnen Dir überall: beim Teilen einer Pizza, beim Ablesen einer Strecke, bei Wahrscheinlichkeiten, in Diagrammen und später auch in vielen Formeln. In diesem aiMOOC lernst Du, positive Brüche sicher zu vergleichen und der Größe nach zu ordnen. Dabei sollst Du nicht nur eine einzige Rechenregel auswendig anwenden, sondern selbst entscheiden, welche Vergleichsstrategie am günstigsten ist.

Das Ziel auf M-Niveau ist deshalb:

1. Du erkennst, ob zwei Brüche bereits leicht vergleichbar sind.
2. Du nutzt Zahlengeraden, Bruchstreifen, Vergleichszahlen wie $\frac{1}{2}$ und $1$, gemeinsame Nenner oder Dezimaldarstellungen sinnvoll.
3. Du kannst mehrere positive Brüche in eine sichere Ordnung bringen.
4. Du begründest Deine Entscheidung mit einer passenden Darstellung oder Rechnung.
5. Du kontrollierst Dein Ergebnis mit einer zweiten Methode.

Die Bruchstreifen zeigen sofort eine wichtige Idee: Die Größe eines Bruchs hängt nicht nur von Zähler oder Nenner allein ab. Entscheidend ist das Verhältnis.

Grundidee: Was bedeutet ein Bruch?

Ein Bruch hat die Form

$\frac{a}{b}$

Dabei ist $a$ der Zähler und $b$ der Nenner. Für unsere positiven Brüche gilt $a>0$ und $b>0$.

Schreibweise	Bedeutung	Beispiel
$\frac{a}{b}$	Das Ganze wird in $b$ gleich große Teile geteilt; $a$ Teile werden betrachtet.	$\frac{3}{4}$ bedeutet: drei von vier gleich großen Teilen.
$a:b$	Ein Bruch kann als Division verstanden werden.	$\frac{3}{4}=3:4$
Dezimaldarstellung	Division von Zähler durch Nenner	$\frac{3}{4}=\mathrm{0,75}$

Die wichtigsten Vergleichszeichen

Zeichen	Bedeutung	Beispiel
$<$	kleiner als	$\frac{3}{8}<\frac{5}{8}$
$>$	größer als	$\frac{5}{6}>\frac{4}{6}$
$=$	gleich groß	$\frac{1}{2}=\frac{2}{4}$

Auf der Zahlengeraden gilt immer:

Je weiter rechts eine positive Zahl liegt, desto größer ist sie.

Du erkennst dort auch: Verschiedene Bruchschreibweisen können denselben Wert haben.

$\frac{3}{5}=\frac{6}{10}=\frac{9}{15}$

Dynamische Zahlengerade

Verändere die Brüche mit den Reglern und beobachte ihre Position auf der Zahlengeraden.

Entdeckerauftrag: Stelle nacheinander $\frac{1}{2}$, $\frac{2}{3}$, $\frac{3}{4}$ und $\frac{4}{5}$ ein. Beobachte, wie sich die Punkte auf der Zahlengeraden verändern.

Strategie 1: Gleiche Nenner

Haben zwei Brüche denselben Nenner, vergleichst Du nur die Zähler.

$\frac{3}{8}<\frac{5}{8}$

Denn Achtel sind gleich große Stücke. Fünf Achtelstücke sind mehr als drei Achtelstücke.

Schritt	Rechnung	Gedanke
1	$\frac{3}{8}\text{und}\frac{5}{8}$	Beide Nenner sind $8$.
2	$3<5$	Vergleiche die Zähler.
3	$\frac{3}{8}<\frac{5}{8}$	Der größere Zähler gehört zum größeren Bruch.

Strategie 2: Gleiche Zähler

Haben zwei positive Brüche denselben Zähler, ist der Bruch mit dem kleineren Nenner größer.

$\frac{3}{5}>\frac{3}{7}$

Warum? Drei Fünftel bestehen aus drei größeren Teilstücken als drei Siebtel.

Bruch	Größe eines einzelnen Teils	Ergebnis
$\frac{3}{5}$	Fünftel sind relativ groß.	größer
$\frac{3}{7}$	Siebtel sind kleiner.	kleiner

Strategie 3: Mit einer Vergleichszahl arbeiten

Oft ist $\frac{1}{2}$ besonders hilfreich.

Beispiel:

$\frac{4}{9}<\frac{1}{2}$, denn $4<\mathrm{4,5}$.

$\frac{5}{8}>\frac{1}{2}$, denn die Hälfte von $8$ ist $4$ und $5>4$.

Damit folgt sofort:

$\frac{4}{9}<\frac{1}{2}<\frac{5}{8}$

Du musst also nicht immer zuerst einen gemeinsamen Nenner suchen.

Auch $1$ ist eine wichtige Vergleichszahl:

$\frac{7}{8}<1<\frac{9}{8}$

Strategie 4: Gleichnamig machen

Sind Zähler und Nenner verschieden und hilft keine einfache Vergleichszahl, kannst Du die Brüche auf einen gemeinsamen Nenner erweitern.

Beispiel:

$\frac{2}{3}\text{und}\frac{3}{5}$

Der kleinste gemeinsame Nenner ist $15$.

$\frac{2}{3}=\frac{2\cdot 5}{3\cdot 5}=\frac{10}{15}$

$\frac{3}{5}=\frac{3\cdot 3}{5\cdot 3}=\frac{9}{15}$

Nun gilt:

$\frac{10}{15}>\frac{9}{15}$

also

Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle \boxed{\frac23>\frac35}}

Animierter Rechenweg: Erweitern sichtbar machen

In dieser dynamischen Darstellung kannst Du beobachten, wie zwei Brüche durch Erweitern vergleichbar werden.

Achte darauf: Beim Erweitern werden Zähler und Nenner mit demselben Faktor multipliziert.

$\frac{a}{b}=\frac{a\cdot k}{b\cdot k}$

Der Wert des Bruchs verändert sich dadurch nicht.

Strategie 5: Dezimaldarstellung nutzen

Manche Brüche lassen sich schnell als Dezimalzahl schreiben.

Bruch	Rechnung	Dezimalzahl
$\frac{1}{2}$	$1:2$	$\mathrm{0,5}$
$\frac{1}{4}$	$1:4$	$\mathrm{0,25}$
$\frac{3}{4}$	$3:4$	$\mathrm{0,75}$
$\frac{2}{5}$	$2:5$	$\mathrm{0,4}$
$\frac{7}{10}$	$7:10$	$\mathrm{0,7}$

Damit lässt sich zum Beispiel leicht vergleichen:

$\frac{3}{4}=\mathrm{0,75}>\mathrm{0,7}=\frac{7}{10}$

Interaktives Stellenwertmodell für Dezimalzahlen

Nutze die Stellenwerttabelle, um Dezimalzahlen sicher zu lesen und zu vergleichen.

Beispiel:

$\mathrm{0,62}>\mathrm{0,6}$

Denn

$\mathrm{0,62}=\mathrm{0,60}+\mathrm{0,02}$.

Bewegliche Bruchstreifen

Mit Bruchstreifen kannst Du Brüche vergleichen, ohne sofort zu rechnen. Wichtig ist immer, dass sich beide Brüche auf gleich große Ganze beziehen.

Probiere besonders diese Paare:

$\frac{2}{3}\text{und}\frac{3}{5}$

$\frac{3}{8}\text{und}\frac{5}{12}$

$\frac{4}{7}\text{und}\frac{5}{8}$

Deine Strategie-Entscheidung

Nutze diese Reihenfolge als Entscheidungsplan.

Frage	Wenn ja	Wenn nein
Sind die Nenner gleich?	Zähler vergleichen.	Nächste Frage.
Sind die Zähler gleich?	Kleinerer Nenner bedeutet größeren Bruch.	Nächste Frage.
Liegen die Brüche klar auf verschiedenen Seiten von $\frac{1}{2}$ oder $1$?	Mit der Vergleichszahl entscheiden.	Nächste Frage.
Sind die Brüche leicht in Dezimalzahlen umzuwandeln?	Dezimalzahlen vergleichen.	Nächste Frage.
Bleibt der Vergleich unklar?	Gemeinsamen Nenner bilden.	Ergebnis anschließend kontrollieren.

Merksatz: Du brauchst nicht immer dieselbe Methode. Eine gute Mathematikerin oder ein guter Mathematiker wählt die Methode, die sicher, kurz und verständlich ist.

Mehrere Brüche ordnen: Beispiel

Ordne:

$\frac{3}{10},\frac{1}{3},\frac{2}{5},\frac{5}{8},\frac{3}{4}$

Eine sichere Möglichkeit ist ein gemeinsamer Nenner. Das kleinste gemeinsame Vielfache der Nenner $10,3,5,8,4$ ist $120$.

$\frac{3}{10}=\frac{36}{120}$

$\frac{1}{3}=\frac{40}{120}$

$\frac{2}{5}=\frac{48}{120}$

$\frac{5}{8}=\frac{75}{120}$

$\frac{3}{4}=\frac{90}{120}$

Daraus folgt:

Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle \boxed{\frac3{10}<\frac13<\frac25<\frac58<\frac34}}

Kontrolle mit Dezimalzahlen:

$\mathrm{0,3}<\mathrm{0,}\bar{3}<\mathrm{0,4}<\mathrm{0,625}<\mathrm{0,75}$

Interaktive Sortierung auf der Zahlengeraden

Hier kannst Du Brüche auf der Zahlengeraden vergleichen und Ordnungsketten bilden.

Typische Fehler und wie Du sie vermeidest

Falscher Gedanke	Gegenbeispiel	Besserer Gedanke
„Der größere Nenner macht den Bruch größer.“	$\frac{1}{3}>\frac{1}{5}$	Bei gleichem Zähler macht ein größerer Nenner die Teile kleiner.
„Ich vergleiche einfach die Zähler.“	$\frac{5}{7}<\frac{6}{8}$ ist nicht allein aus $5<6$ begründbar.	Erst gleiche Teilgrößen herstellen oder eine andere Strategie nutzen.
„Beim Erweitern multipliziere ich nur den Nenner.“	$\frac{1}{2}\ne \frac{1}{4}$	Zähler und Nenner immer mit demselben Faktor erweitern.
„Zwei verschieden gezeichnete Ganze kann ich direkt vergleichen.“	Ein halber kleiner Kuchen kann kleiner sein als ein Drittel eines großen Kuchens.	Bruchmodelle müssen sich auf gleich große Ganze beziehen.

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Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Welcher Bruch ist bei gleichem Nenner größer? ($\frac{5}{8}$) (!$\frac{3}{8}$) (!Beide sind gleich groß) (!Das lässt sich nicht entscheiden)

Welcher Bruch ist bei gleichem Zähler größer? ($\frac{3}{5}$) (!$\frac{3}{7}$) (!Beide sind gleich groß) (!Der Bruch mit dem größeren Nenner)

Welcher Vergleich ist richtig? ($\frac{2}{3}>\frac{3}{5}$) (!$\frac{2}{3}<\frac{3}{5}$) (!$\frac{2}{3}=\frac{3}{5}$) (!Beide Brüche sind größer als 1)

Welche Ordnung ist richtig? ($\frac{4}{9}<\frac{1}{2}<\frac{5}{8}$) (!$\frac{5}{8}<\frac{1}{2}<\frac{4}{9}$) (!$\frac{1}{2}<\frac{4}{9}<\frac{5}{8}$) (!$\frac{4}{9}=\frac{1}{2}=\frac{5}{8}$)

Welche Dezimalzahl gehört zu $\frac{3}{4}$? (0,75) (!0,34) (!0,43) (!0,25)

Welche Ordnung vom kleinsten zum größten ist richtig? ($\frac{1}{3}<\frac{2}{5}<\frac{1}{2}$) (!$\frac{1}{2}<\frac{2}{5}<\frac{1}{3}$) (!$\frac{2}{5}<\frac{1}{3}<\frac{1}{2}$) (!$\frac{1}{3}<\frac{1}{2}<\frac{2}{5}$)

Welcher Bruch ist gleichwertig zu $\frac{3}{5}$? ($\frac{6}{10}$) (!$\frac{4}{10}$) (!$\frac{6}{8}$) (!$\frac{3}{10}$)

Was ist der kleinste gemeinsame Nenner von $\frac{1}{6}$ und $\frac{1}{8}$? (24) (!14) (!48) (!8)

Was gilt auf einer Zahlengeraden? (Die weiter rechts liegende positive Zahl ist größer) (!Die weiter links liegende positive Zahl ist größer) (!Alle Brüche liegen an derselben Stelle) (!Der Nenner bestimmt allein die Position)

Welcher Vergleich ist richtig? ($\frac{5}{8}>\frac{7}{12}$) (!$\frac{5}{8}<\frac{7}{12}$) (!$\frac{5}{8}=\frac{7}{12}$) (!Beide Brüche sind größer als 1)

Memory

Gleichnamige Brüche	Nenner sind gleich
Gleicher Zähler	Kleinerer Nenner bedeutet größeren Bruch
Erweitern	Zähler und Nenner mit demselben Faktor multiplizieren
Zahlengerade	Weiter rechts bedeutet größer
Dezimaldarstellung	Bruch als Division ausrechnen
Hauptnenner	Kleinstes gemeinsames Vielfaches der Nenner

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Thema
Zähler gleich	Kleinerer Nenner bedeutet größerer Bruch
Nenner gleich	Größerer Zähler bedeutet größerer Bruch
Vergleich mit einem Halb	Referenzwert nutzen
Erweitern	Gemeinsamen Nenner herstellen
Dezimalzahl	Zähler durch Nenner teilen

Kreuzworträtsel

Nenner	Wie heißt die Zahl unter dem Bruchstrich?
Zähler	Wie heißt die Zahl über dem Bruchstrich?
Hauptnenner	Wie heißt der kleinste gemeinsame Nenner mehrerer Brüche?
Zahlengerade	Auf welcher Darstellung gilt: weiter rechts bedeutet größer?
Erweitern	Wie heißt das Multiplizieren von Zähler und Nenner mit demselben Faktor?
Bruchstreifen	Welche Streifendarstellung hilft beim anschaulichen Vergleichen von Brüchen?

Lückentext

Vervollständige den Text.

Bei zwei Brüchen mit gleichem Nenner entscheidet der über die Größe. Haben zwei positive Brüche denselben Zähler, ist der Bruch mit dem kleineren größer. Auf der Zahlengeraden liegt die größere Zahl weiter . Ein besonders nützlicher Vergleichswert ist . Beim Erweitern werden Zähler und Nenner mit demselben multipliziert. Dadurch bleibt der Wert des Bruchs . Für einen gemeinsamen Nenner kann man das kleinste gemeinsame der Nenner verwenden. Eine Dezimaldarstellung erhältst Du durch die Division des Zählers durch den . Der Bruch $\frac{3}{4}$ entspricht der Dezimalzahl . Beim Ordnen mehrerer Brüche sollte das Ergebnis mit einer zweiten kontrolliert werden.

Offene Aufgaben

Leicht

1. Bruchstreifen bauen: Schneide gleich lange Papierstreifen aus und teile sie in Hälften, Drittel, Viertel, Sechstel und Achtel. Vergleiche anschließend mindestens fünf Bruchpaare und fotografiere Deine Darstellung.
2. Zahlengerade gestalten: Zeichne eine Zahlengerade von $0$ bis $1$ und trage $\frac{1}{4}$, $\frac{1}{3}$, $\frac{1}{2}$, $\frac{2}{3}$ und $\frac{3}{4}$ ein.
3. Brüche als Dezimalzahlen: Erstelle eine Tabelle mit zehn Brüchen, ihrer Dezimaldarstellung und einer passenden Einordnung zwischen $0$ und $1$.
4. Vergleichskarten: Gestalte Karten mit $<$, $>$ und $=$. Lege zufällige Bruchpaare und begründe jede Entscheidung mündlich.

Standard

1. Strategie-Plakat: Entwickle ein Lernplakat mit einem Entscheidungsbaum für die Strategien gleicher Nenner, gleicher Zähler, Vergleichszahl, Dezimalzahl und gemeinsamer Nenner.
2. Bruch-Sortierchallenge: Erfinde acht positive Brüche zwischen $0$ und $1$, ordne sie und kontrolliere die Reihenfolge auf einer Zahlengeraden.
3. Hauptnenner erklären: Produziere ein kurzes Erklärvideo, in dem Du zwei Brüche auf einen gemeinsamen Nenner bringst und den Größenvergleich begründest.
4. Fehlerdetektiv: Erfinde drei typische Fehler beim Vergleichen von Brüchen. Formuliere jeweils eine falsche Schülerlösung und korrigiere sie mit einer passenden Darstellung.

Schwer

1. Strategien vergleichen: Löse dieselben fünf Bruchvergleiche jeweils mit zwei verschiedenen Methoden und bewerte, welche Methode schneller und welche anschaulicher ist.
2. Sortieralgorithmus: Formuliere eine genaue Schrittfolge, mit der eine andere Person sechs beliebige positive Brüche ordnen kann. Teste Deine Anleitung mit einer Mitschülerin oder einem Mitschüler.
3. Brüche im Alltag: Suche in Rezepten, Statistiken, Sportdaten oder Messangaben mindestens fünf reale Brüche. Bringe sie in eine sinnvolle Reihenfolge und dokumentiere, welche Strategie Du jeweils benutzt hast.
4. Beweisidee: Erkläre allgemein, warum bei zwei positiven Brüchen mit gleichem Zähler der Bruch mit dem kleineren Nenner größer ist. Nutze zusätzlich eine Skizze oder ein selbst erstelltes digitales Modell.

Lernkontrolle

1. Strategie begründen: Vergleiche $\frac{7}{12}$ und $\frac{5}{8}$. Wähle selbst eine Methode, begründe Deine Wahl und überprüfe das Ergebnis mit einer zweiten Methode.
2. Mehrere Brüche ordnen: Ordne $\frac{2}{5}$, $\frac{7}{10}$, $\frac{2}{3}$, $\frac{3}{4}$ und $\frac{1}{2}$. Dokumentiere Deinen Rechenweg so, dass eine andere Person ihn nachvollziehen kann.
3. Schülerlösung prüfen: Mia behauptet: $\frac{4}{9}>\frac{4}{7}$, weil $9>7$. Erkläre den Denkfehler und formuliere eine richtige Regel.
4. Darstellungen verbinden: Stelle $\frac{3}{8}$, $\frac{1}{2}$ und $\frac{5}{8}$ als Bruchstreifen, auf einer Zahlengeraden und als Dezimalzahlen dar. Begründe, warum alle drei Darstellungen dieselbe Reihenfolge ergeben.
5. Vergleich ohne Hauptnenner: Finde drei Bruchpaare, die sich besonders gut mit $\frac{1}{2}$ vergleichen lassen. Erkläre, warum ein gemeinsamer Nenner hier unnötig umständlich wäre.
6. Eigene Herausforderung: Erfinde vier positive Brüche mit verschiedenen Nennern, sodass zwei kleiner als $\frac{1}{2}$, einer genau gleich $\frac{1}{2}$ und einer größer als $\frac{1}{2}$ ist. Ordne sie und begründe.

Lernnachweis

Für einen erfolgreichen Lernnachweis solltest Du zeigen können:

1. Du verwendest die Zeichen $<$, $>$ und $=$ korrekt.
2. Du vergleichst gleichnamige Brüche sicher über ihre Zähler.
3. Du vergleichst Brüche mit gleichem Zähler sicher über ihre Nenner.
4. Du nutzt $\frac{1}{2}$ und $1$ als Vergleichszahlen.
5. Du kannst Brüche durch Erweitern auf einen gemeinsamen Nenner bringen.
6. Du verstehst, dass Erweitern den Wert eines Bruchs nicht verändert.
7. Du kannst geeignete Brüche in Dezimalzahlen umwandeln und vergleichen.
8. Du kannst mehrere positive Brüche in eine Ordnungskette bringen.
9. Du begründest, warum Deine Reihenfolge stimmt.
10. Du kontrollierst ein Ergebnis mit einer zweiten Darstellung oder Strategie.

OERs zum Thema

Der Wikipedia-Artikel zur Bruchrechnung bietet weiterführende Informationen zu Bruchschreibweisen, Erweitern, Kürzen und Rechenregeln.

Weitere passende offene beziehungsweise frei zugängliche Lernmedien sind die im Kurs eingebundenen Dateien aus Wikimedia Commons sowie die interaktiven GeoGebra-Materialien. Die jeweilige Lizenz und Urheberschaft der Commons-Dateien ist auf der Dateibeschreibungsseite dokumentiert.

Verknüpfte Lernbereiche

Brüche sicher vergleichen und ordnen Bruchzahl Zähler Nenner Bruchstreifen Zahlengerade Erweitern Kürzen Hauptnenner Dezimalzahl Rationale Zahl Vergleichszeichen