M6 M - Brüche auf gemeinsamen Nenner bringen

Diesen aiMOOC als Battle spielen: Mathematik, Klasse 5-6, M-Niveau

Einleitung

Brüche wie $\frac{2}{3}$ und $\frac{3}{4}$ sehen zunächst so aus, als könne man sie nicht direkt miteinander vergleichen oder addieren. Der Grund: Ein „Drittelstück“ ist anders groß als ein „Viertelstück“. Damit beide Brüche in gleich große Teilstücke zerlegt werden, brauchst Du einen gemeinsamen Nenner.

In diesem aiMOOC lernst Du auf M-Niveau der Klasse 6, wie Teilbarkeit, Vielfache, kgV, Erweitern und Bruchrechnung zusammenhängen. Du arbeitest mit Bruchstreifen, Vielfachenlisten, Zahlenstrahlen, Flächenmodellen, interaktiven Schiebereglern und visuellen Rechenwegen.

Ein gemeinsamer Nenner ist dabei kein Trick, sondern eine gemeinsame Maßeinheit: Erst wenn beide Brüche in gleich große Teile zerlegt sind, kannst Du die Zähler sinnvoll vergleichen oder zusammenzählen.

Die Bruchstreifen zeigen: Das Ganze bleibt gleich lang, obwohl es unterschiedlich fein unterteilt wird. Genau diese Idee nutzt Du beim Erweitern.

Lernziele

Nach diesem aiMOOC kannst Du …

1. Nenner und Zähler sicher unterscheiden und ihre Bedeutung erklären.
2. Vielfache eines Nenners bilden und gemeinsame Vielfache zweier Nenner finden.
3. mithilfe von Teilbarkeit erkennen, ob ein Nenner bereits ein Vielfaches des anderen ist.
4. das kleinste gemeinsame Vielfache zweier Nenner als besonders günstigen gemeinsamen Nenner bestimmen.
5. einen Bruch durch Erweitern auf einen vorgegebenen Nenner bringen.
6. ungleichnamige Brüche gleichnamig machen und anschließend vergleichen, addieren oder subtrahieren.
7. begründen, warum beim Erweitern Zähler und Nenner mit derselben Zahl multipliziert werden müssen.

Vorwissen: Zähler, Nenner und Bruchstrich

Ein Bruch hat die Form

$\frac{a}{b}$ mit $b\ne 0$.

Dabei gibt der Nenner $b$ an, in wie viele gleich große Teile ein Ganzes zerlegt wird. Der Zähler $a$ sagt, wie viele dieser Teile gemeint sind.

Beispiel:

$\frac{3}{5}$

bedeutet: Das Ganze ist in $5$ gleich große Teile geteilt, davon werden $3$ Teile betrachtet.

Gleichwertige Brüche: gleiche Zahl, andere Schreibweise

Beim Erweitern ändert sich der Wert eines Bruchs nicht. Du zerlegst nur dieselbe Menge feiner.

$\frac{1}{2}=\frac{2}{4}=\frac{3}{6}=\frac{4}{8}$

Warum?

$\frac{1}{2}\cdot \frac{2}{2}=\frac{2}{4}$

und

$\frac{2}{2}=1$.

Du multiplizierst also den Bruch mit $1$. Sein Wert bleibt gleich.

Auf dem Zahlenstrahl erkennst Du besonders gut: Gleichwertige Brüche liegen am selben Punkt.

Bewegliche Bruchdarstellung: Erweitern mit Schiebereglern

Verschiebe im GeoGebra-Material Ausgangsbruch und Erweiterungszahl. Beobachte dabei, wie die Einteilung feiner wird, während der dargestellte Anteil gleich bleibt.

Beobachtungsauftrag: Stelle nacheinander $\frac{1}{2}$, $\frac{2}{3}$ und $\frac{3}{4}$ ein. Erweitere jeweils mit $2$, $3$ und $4$. Beschreibe, was sich an den Teilstücken verändert und was gleich bleibt.

Die Erweiterungsregel

Wenn Du einen Bruch mit der Zahl $k$ erweiterst, multiplizierst Du Zähler und Nenner mit derselben Zahl:

$\frac{a}{b}=\frac{a\cdot k}{b\cdot k}$ für $k\ne 0$.

Beispiel:

$\frac{3}{5}=\frac{3\cdot 4}{5\cdot 4}=\frac{12}{20}$.

Schritt	Rechnung	Bedeutung
Ausgang	$\frac{3}{5}$	Das Ganze ist in Fünftel geteilt.
Erweiterungszahl	$4$	Jedes Fünftel wird in vier gleich große Teile zerlegt.
Neuer Nenner	$5\cdot 4=20$	Jetzt wird in Zwanzigstel gedacht.
Neuer Zähler	$3\cdot 4=12$	Drei Fünftel entsprechen zwölf Zwanzigsteln.
Ergebnis	$\frac{3}{5}=\frac{12}{20}$	Der Wert ist unverändert.

Warum ein gemeinsamer Nenner nötig ist

Vergleiche

$\frac{2}{3}$ und $\frac{3}{4}$.

Die Zähler $2$ und $3$ reichen für einen sicheren Vergleich nicht aus, weil Drittel und Viertel verschieden große Teile sind.

Wir wählen den gemeinsamen Nenner $12$:

$\frac{2}{3}=\frac{2\cdot 4}{3\cdot 4}=\frac{8}{12}$

$\frac{3}{4}=\frac{3\cdot 3}{4\cdot 3}=\frac{9}{12}$

Jetzt sind beide Brüche in Zwölftel zerlegt:

$\frac{8}{12}<\frac{9}{12}$

also

$\frac{2}{3}<\frac{3}{4}$.

Merksatz: Sind zwei Brüche gleichnamig, also haben sie denselben Nenner, entscheidet beim Vergleich der Zähler.

Teilbarkeit als Abkürzung

Bevor Du Vielfachenlisten schreibst, lohnt sich eine Teilbarkeitsprüfung.

Wenn ein Nenner ein Vielfaches des anderen ist, kannst Du meistens direkt den größeren Nenner verwenden.

Beispiel:

$\frac{3}{4}$ und $\frac{5}{12}$.

Da

$12:4=3$,

ist $12$ durch $4$ teilbar. Deshalb ist $12$ bereits ein gemeinsamer Nenner.

$\frac{3}{4}=\frac{3\cdot 3}{4\cdot 3}=\frac{9}{12}$

und

$\frac{5}{12}=\frac{5}{12}$.

Damit gilt:

$\frac{9}{12}>\frac{5}{12}$,

also

$\frac{3}{4}>\frac{5}{12}$.

Nützliche Teilbarkeitsregeln

Teilbarkeit durch	Erkennungsregel	Beispiel
$2$	Die letzte Ziffer ist gerade.	$18$ ist durch $2$ teilbar.
$3$	Die Quersumme ist durch $3$ teilbar.	$21$: $2+1=3$.
$4$	Die Zahl aus den letzten zwei Ziffern ist durch $4$ teilbar.	$24$ ist durch $4$ teilbar.
$5$	Die letzte Ziffer ist $0$ oder $5$.	$35$ ist durch $5$ teilbar.
$6$	Die Zahl ist durch $2$ und durch $3$ teilbar.	$18$ ist durch $6$ teilbar.
$9$	Die Quersumme ist durch $9$ teilbar.	$27$: $2+7=9$.
$10$	Die letzte Ziffer ist $0$.	$40$ ist durch $10$ teilbar.

Diese Regeln helfen Dir, Beziehungen zwischen Nennern schnell zu entdecken.

Vielfachenlisten: gemeinsame Nenner sichtbar machen

Suche einen gemeinsamen Nenner für

$\frac{5}{6}$ und $\frac{3}{8}$.

Schreibe zunächst Vielfache der beiden Nenner auf:

Nenner	Vielfache
$6$	$6,12,18,24,30,36,42,48,\dots$
$8$	$8,16,24,32,40,48,\dots$

Die ersten gemeinsamen Vielfachen sind $24$ und $48$. Beide sind mögliche gemeinsame Nenner. Der kleinste ist

$\mathrm{kgV}(6,8)=24$.

Mit $24$ bleiben die Zahlen kleiner:

$\frac{5}{6}=\frac{20}{24}$

und

$\frac{3}{8}=\frac{9}{24}$.

Gemeinsamer Nenner und Hauptnenner

Ein gemeinsamer Nenner ist jede Zahl, die ein Vielfaches beider ursprünglichen Nenner ist.

Für die Nenner $6$ und $8$ sind zum Beispiel

$24,48,72,\dots$

gemeinsame Nenner.

Der Hauptnenner ist in der Schulmathematik meist der kleinste gemeinsame Nenner, also das kgV:

$\mathrm{kgV}(6,8)=24$.

Du musst nicht immer den kleinsten gemeinsamen Nenner nehmen. Das Produkt der Nenner funktioniert immer als gemeinsamer Nenner:

$6\cdot 8=48$.

Aber $24$ ist hier geschickter, weil Du mit kleineren Zahlen rechnest.

Interaktive Nenner-Suche

Stelle in diesem Modell zwei Brüche ein. Zerlege die Teile so lange weiter, bis beide Brüche dieselbe Stückgröße besitzen. Suche danach auch den kleinsten möglichen gemeinsamen Nenner.

Forscherauftrag: Probiere die Nennerpaare $3$ und $4$, $4$ und $10$, $6$ und $9$ sowie $8$ und $12$. Notiere jeweils einen gemeinsamen Nenner und den kleinsten gemeinsamen Nenner.

Drei Strategien für die Nenner-Suche

Situation	Sinnvolle Strategie	Beispiel	Gemeinsamer Nenner
Ein Nenner teilt den anderen.	Größeren Nenner direkt prüfen.	$4$ und $12$	$12$
Kleine Nenner ohne direkte Teilbarkeit.	Vielfachenlisten vergleichen.	$6$ und $8$	$24$
Die Vielfachenlisten werden lang.	$\mathrm{kgV}$ über Zerlegung oder systematische Suche bestimmen.	$12$ und $18$	$36$

Für Klasse 6 ist die Vielfachenliste besonders anschaulich. Später kannst Du das kgV auch mit Primfaktorzerlegung bestimmen.

Visueller Rechenweg: $\frac{2}{3}$ und $\frac{5}{8}$ gleichnamig machen

Schritt 1: Nenner untersuchen

$3\nmid 8$ und $8\nmid 3$. Keiner der Nenner teilt den anderen.

Schritt 2: Vielfache suchen

$V_3=\{3,6,9,12,15,18,21,24,\dots \}$

$V_8=\{8,16,24,32,\dots \}$

Erster gemeinsamer Treffer:

$24$.

Schritt 3: Erweiterungszahlen bestimmen

$24:3=8$

und

$24:8=3$.

Schritt 4: Beide Brüche erweitern

$\frac{2}{3}=\frac{2\cdot 8}{3\cdot 8}=\frac{16}{24}$

$\frac{5}{8}=\frac{5\cdot 3}{8\cdot 3}=\frac{15}{24}$.

Schritt 5: Vergleichen

$\frac{16}{24}>\frac{15}{24}$,

also

$\frac{2}{3}>\frac{5}{8}$.

Dynamischer Zahlenstrahl

Auf einem Zahlenstrahl kannst Du überprüfen, ob Dein Vergleich plausibel ist. Verschiebe die Brüche und verändere die Unterteilung.

Achte darauf: Wenn zwei gleichwertige Brüche dargestellt werden, müssen sie denselben Punkt auf dem Zahlenstrahl markieren.

Brüche addieren: Erst gleichnamig, dann Zähler addieren

Ungleichnamige Brüche darfst Du nicht einfach „oben plus oben, unten plus unten“ rechnen.

Falsch wäre zum Beispiel:

$\frac{3}{4}+\frac{5}{6}\ne \frac{8}{10}$.

Richtig ist:

$\mathrm{kgV}(4,6)=12$.

Dann erweiterst Du:

$\frac{3}{4}=\frac{9}{12}$

und

$\frac{5}{6}=\frac{10}{12}$.

Erst jetzt addierst Du:

$\frac{9}{12}+\frac{10}{12}=\frac{19}{12}=1\frac{7}{12}$.

Die Darstellung macht sichtbar: Erst nachdem gleich große Teilstücke entstanden sind, lassen sich die Anteile zusammenfassen.

Noch ein Flächenmodell zur Bruchaddition

Hier wird der gemeinsame Nenner als gemeinsames Raster sichtbar. Die ursprünglichen Flächen werden so weiter unterteilt, dass beide Darstellungen gleich große Zellen besitzen.

Animierter Rechenweg im Video: gemeinsamer Nenner mit dem kgV

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Beobachte beim Video besonders, wie das kleinste gemeinsame Vielfache der Nenner zum gemeinsamen Nenner wird.

Video: Brüche erweitern und kürzen

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Nutze das Video, um die zentrale Regel zu überprüfen: Beim Erweitern werden Zähler und Nenner mit derselben Zahl multipliziert.

Video: Ungleichnamige Brüche addieren und subtrahieren

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Halte das Video vor jedem Rechenschritt kurz an und sage voraus, welcher gemeinsame Nenner beziehungsweise welche Erweiterungszahl als Nächstes gebraucht wird.

Vergleichen mit beweglichen Bruchmodellen

In diesem interaktiven Modell kannst Du zwei Brüche verändern und durch gleichwertige Brüche mit gemeinsamem Nenner leichter vergleichen.

Denkfrage: Warum reicht es beim Vergleichen gleichnamiger Brüche aus, nur die Zähler zu betrachten?

M6-Übung: Erweitern trainieren

Arbeite zuerst ohne Taschenrechner. Prüfe nach jeder Aufgabe, ob Deine Erweiterungszahl aus der Division „Zielnenner : Ausgangsnenner“ entsteht.

Der 100er-Nenner als Brücke zu Dezimalzahlen und Prozenten

Manche Brüche lassen sich besonders gut auf den Nenner $100$ erweitern.

Beispiel:

$\frac{3}{4}=\frac{75}{100}=\mathrm{0,75}=75\mathrm{\%}$.

Ein 100er-Feld verbindet Bruchrechnung und Stellenwertdenken: Ein Hundertstel ist $\frac{1}{100}$, also $\mathrm{0,01}$ beziehungsweise $1\mathrm{\%}$.

Für $\frac{2}{5}$ gilt:

$\frac{2}{5}=\frac{40}{100}=\mathrm{0,4}=40\mathrm{\%}$.

Interaktive Bruch-Dezimal-Brücke

Untersuche, welche gleichwertigen Brüche dieselbe Dezimalzahl besitzen. Nutze das als zusätzliche Kontrolle für Deine Erweiterungen.

Typische Fehler und wie Du sie erkennst

Fehler	Beispiel	Warum falsch?	Korrektur
Nur den Nenner erweitern	$\frac{2}{3}\to \frac{2}{12}$	Der Wert des Bruchs wurde verändert.	$\frac{2}{3}=\frac{8}{12}$
Erweiterungszahl falsch bestimmen	$\frac{3}{5}\to \frac{6}{20}$	Nenner wurde mit $4$, Zähler aber mit $2$ multipliziert.	$\frac{3}{5}=\frac{12}{20}$
Nenner addieren	$\frac{1}{3}+\frac{1}{4}=\frac{2}{7}$	Drittel und Viertel sind verschieden große Teile.	$\frac{1}{3}+\frac{1}{4}=\frac{4}{12}+\frac{3}{12}=\frac{7}{12}$
Irgendeinen Nenner wählen	Nenner $10$ für Drittel und Viertel	$10$ ist kein Vielfaches von $3$ und $4$.	Zum Beispiel $12$, $24$ oder $36$ verwenden.
Nur Zähler vergleichen	$\frac{4}{9}$ und $\frac{3}{5}$	Die Teilstücke sind verschieden groß.	Erst gleichnamig machen oder anders sinnvoll vergleichen.

Schnellcheck: Ist der Nenner geeignet?

Ein Zielnenner $N$ ist für die Brüche

$\frac{a}{b}$ und $\frac{c}{d}$

genau dann als gemeinsamer Nenner geeignet, wenn

$b\mid N$

und

$d\mid N$.

Beispiel mit den Nennern $6$ und $9$:

$18:6=3$

und

$18:9=2$.

Also ist $18$ geeignet.

Für $24$ gilt dagegen:

$24:9$ ist keine natürliche Zahl.

Deshalb ist $24$ für die Nenner $6$ und $9$ kein gemeinsamer Nenner.

Strategie-Karte für jede Aufgabe

Prüfschritt	Frage	Aktion
A	Sind die Nenner schon gleich?	Direkt vergleichen oder die Zähler addieren beziehungsweise subtrahieren.
B	Teilt ein Nenner den anderen?	Den größeren Nenner verwenden.
C	Gibt es kein direktes Teilbarkeitsverhältnis?	Vielfachenlisten bilden und ersten gemeinsamen Treffer suchen.
D	Welcher Faktor führt zum Zielnenner?	Zielnenner durch Ausgangsnenner teilen.
E	Wurde korrekt erweitert?	Zähler und Nenner mit derselben Erweiterungszahl multiplizieren.
F	Ist das Ergebnis plausibel?	Bruchstreifen, Zahlenstrahl oder Überschlag nutzen.

Mini-Beispielgalerie

Aufgabe	Geeigneter gemeinsamer Nenner	Gleichnamige Brüche
$\frac{1}{3}$ und $\frac{5}{6}$	$6$	$\frac{2}{6}$ und $\frac{5}{6}$
$\frac{3}{4}$ und $\frac{2}{5}$	$20$	$\frac{15}{20}$ und $\frac{8}{20}$
$\frac{5}{8}$ und $\frac{7}{12}$	$24$	$\frac{15}{24}$ und $\frac{14}{24}$
$\frac{2}{9}$ und $\frac{5}{6}$	$18$	$\frac{4}{18}$ und $\frac{15}{18}$
$\frac{7}{10}$ und $\frac{3}{4}$	$20$	$\frac{14}{20}$ und $\frac{15}{20}$

Medienhinweis

Die statischen Abbildungen sind als Dateien von Wikimedia Commons eingebunden. Über die jeweilige Dateibeschreibungsseite sind Urheber- und Lizenzangaben nachvollziehbar. YouTube- und GeoGebra-Materialien werden als externe Lernmedien eingebettet und nicht in den aiMOOC kopiert.

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Warum braucht man beim Addieren ungleichnamiger Brüche einen gemeinsamen Nenner? (Damit die Teilstücke gleich groß sind) (!Damit beide Zähler gleich werden) (!Damit jeder Bruch größer wird) (!Damit man die Nenner addieren kann)

Welcher ist der kleinste gemeinsame Nenner für die Nenner 3 und 4? (12) (!6) (!8) (!24)

Welche Zahl ist ein gemeinsames Vielfaches von 6 und 8? (24) (!14) (!18) (!20)

Was geschieht beim Erweitern eines Bruchs? (Zähler und Nenner werden mit derselben Zahl multipliziert) (!Nur der Nenner wird multipliziert) (!Nur der Zähler wird multipliziert) (!Zähler und Nenner werden addiert)

Welcher gemeinsame Nenner ist für die Nenner 4 und 12 am günstigsten? (12) (!16) (!20) (!48)

Woran erkennst Du einen geeigneten gemeinsamen Nenner? (Er ist durch beide Ausgangsnenner teilbar) (!Er ist kleiner als beide Ausgangsnenner) (!Er ist gleich der Summe der Zähler) (!Er ist immer eine Primzahl)

Wie heißt der kleinste gemeinsame Nenner zweier Brüche häufig? (Hauptnenner) (!Zählerwert) (!Restnenner) (!Quotientenzahl)

Welcher Bruch ist zu zwei Dritteln gleichwertig? (Acht Zwölftel) (!Sechs Zwölftel) (!Zehn Zwölftel) (!Elf Zwölftel)

Was solltest Du zuerst prüfen, wenn die Nenner 5 und 15 sind? (Ob der größere Nenner durch den kleineren teilbar ist) (!Ob die Zähler gleich sind) (!Ob beide Brüche kleiner als eins sind) (!Ob die Nenner addiert werden können)

Was darfst Du nach dem Gleichnamigmachen bei einer Addition tun? (Die Zähler addieren und den Nenner beibehalten) (!Die Nenner addieren und den Zähler beibehalten) (!Beide Nenner miteinander addieren) (!Beide Brüche nochmals beliebig erweitern)

Memory

Gemeinsamer Nenner	Vielfaches beider Ausgangsnenner
Hauptnenner	Kleinstes gemeinsames Vielfaches der Nenner
Erweitern	Zähler und Nenner mit demselben Faktor multiplizieren
Teilbarkeit	Prüfen, ob eine Division ohne Rest möglich ist
Vielfachenliste	Folge von Produkten einer Zahl mit natürlichen Zahlen
Gleichnamige Brüche	Brüche mit demselben Nenner
Erweiterungszahl	Faktor für Zähler und Nenner
Bruchstreifen	Visuelles Modell für gleich große Ganze

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Thema
Teilbarkeitsprüfung	Nennerbeziehung erkennen
Vielfachenliste	Gemeinsame Vielfache suchen
Hauptnenner	Kleinsten gemeinsamen Nenner verwenden
Erweiterungszahl	Faktor zum Zielnenner bestimmen
Gleichnamigkeit	Brüche vergleichbar und addierbar machen

Interaktive Nenner-Suche zum Ausfüllen

Bruchpaar	Passender kleinster gemeinsamer Nenner
$\frac{1}{3}$ und $\frac{1}{4}$	12
$\frac{1}{4}$ und $\frac{1}{6}$	12
$\frac{1}{5}$ und $\frac{1}{10}$	10
$\frac{1}{6}$ und $\frac{1}{8}$	24
$\frac{1}{9}$ und $\frac{1}{12}$	36

Kreuzworträtsel

Nenner	Wie heißt die Zahl unter dem Bruchstrich?
Vielfaches	Wie heißt eine Zahl, die durch Multiplikation mit einer natürlichen Zahl entsteht?
Erweitern	Wie heißt das Multiplizieren von Zähler und Nenner mit demselben Faktor?
gleichnamig	Wie nennt man Brüche mit demselben Nenner?
Teilbarkeit	Welcher Begriff beschreibt, ob eine Division ohne Rest möglich ist?
Hauptnenner	Wie heißt häufig der kleinste gemeinsame Nenner mehrerer Brüche?

Lückentext

Vervollständige den Text.

Der Nenner zeigt, in wie viele gleich große Teile ein Ganzes zerlegt wird; die Zahl unter dem Bruchstrich heißt .

Ein gemeinsamer Nenner muss ein beider Ausgangsnenner sein.

Der kleinste gemeinsame Nenner entspricht dem der Nenner.

Beim Erweitern werden Zähler und Nenner mit derselben multipliziert.

Wenn ein Nenner den anderen teilt, ist der größere Nenner oft direkt ein geeigneter .

Für die Nenner sechs und acht ist vierundzwanzig der kleinste .

Brüche mit demselben Nenner nennt man .

Sind zwei positive Brüche gleichnamig, ist der Bruch mit dem größeren größer.

Vor dem Addieren ungleichnamiger Brüche musst Du sie zuerst machen.

Ein Zahlenstrahl hilft Dir zu überprüfen, ob zwei gleichwertige Brüche an derselben liegen.

Offene Aufgaben

Leicht

1. Bruchstreifen: Zeichne einen gleich langen Streifen für $\frac{1}{2}$, $\frac{2}{4}$ und $\frac{4}{8}$. Markiere die Anteile und erkläre mit einem Satz, warum die Brüche gleichwertig sind.
2. Vielfachenliste: Erstelle Vielfachenlisten für $4$ und $6$ bis mindestens $36$. Kreise alle gemeinsamen Vielfachen ein und markiere das kleinste besonders.
3. Erweitern: Erfinde drei Brüche und jeweils einen Zielnenner, auf den sich der Bruch erweitern lässt. Tausche Deine Aufgaben mit einer anderen Person.
4. Zahlenstrahl: Zeichne einen Zahlenstrahl von $0$ bis $1$ und trage zwei verschiedene Schreibweisen desselben Bruchs ein.

Standard

1. Gemeinsamer Nenner: Finde für die Nennerpaare $6$ und $9$, $8$ und $12$ sowie $10$ und $15$ jeweils drei gemeinsame Nenner. Begründe, welcher davon am günstigsten ist.
2. Teilbarkeit: Entwickle ein Entscheidungsdiagramm mit der Frage „Wie finde ich einen gemeinsamen Nenner?“. Baue die Teilbarkeitsprüfung, die Vielfachenliste und das kgV ein.
3. Bruchrechnung: Erstelle ein Erklärplakat für die Addition $\frac{2}{3}+\frac{3}{8}$. Zeige jeden Rechenschritt mit Bild, Rechnung und Begründung.
4. Fehleranalyse: Erfinde zwei typische Fehlrechnungen zum Gleichnamigmachen. Lass eine andere Person die Fehler finden, erklären und korrigieren.

Schwer

1. Kleinstes gemeinsames Vielfaches: Vergleiche bei drei selbst gewählten Nennerpaaren den Hauptnenner mit dem Produkt der Nenner. Formuliere eine Vermutung dazu, wann beide Zahlen gleich sind.
2. Strategievergleich: Löse $\frac{5}{12}+\frac{7}{18}$ einmal mit dem Hauptnenner und einmal mit dem Produkt der Nenner. Vergleiche Rechenaufwand und Zwischenergebnisse.
3. Mathematik erklären: Produziere ein höchstens dreiminütiges Lernvideo oder eine Stop-Motion-Animation, in der Bruchstreifen sichtbar in gleich große Teilstücke zerlegt werden. Verwende mindestens ein Beispiel mit direkter Teilbarkeit und eines mit kgV-Suche.
4. Transferaufgabe: Entwirf eine Alltagssituation, in der zwei unterschiedlich eingeteilte Anteile verglichen oder addiert werden müssen. Stelle die Situation als Text, Skizze und Bruchrechnung dar und begründe Deinen gemeinsamen Nenner.

Lernkontrolle

1. Strategie begründen: Zwei Lernende wollen $\frac{5}{6}$ und $\frac{7}{9}$ vergleichen. Eine Person wählt den Nenner $54$, die andere $18$. Entscheide, welche Wege mathematisch korrekt sind, und beurteile, welcher Weg geschickter ist.
2. Fehler erklären: Jemand rechnet $\frac{2}{5}=\frac{6}{10}$. Erkläre ohne bloß das richtige Ergebnis zu nennen, woran man erkennt, dass diese Erweiterung den Wert verändert hat.
3. Teilbarkeit übertragen: Untersuche die Nenner $8$ und $24$. Begründe mithilfe der Teilbarkeit, warum keine Vielfachenliste nötig ist, und nutze Deine Erkenntnis zum Vergleichen von $\frac{5}{8}$ und $\frac{13}{24}$.
4. Darstellungen verknüpfen: Zeige $\frac{3}{4}$ und einen gleichwertigen Bruch gleichzeitig als Bruchstreifen, auf einem Zahlenstrahl und als Rechnung. Erkläre, was in allen drei Darstellungen gleich bleibt.
5. Effizienz beurteilen: Für die Nenner $12$ und $18$ werden $36$, $72$ und $216$ als gemeinsame Nenner vorgeschlagen. Prüfe alle drei und bewerte ihre Eignung für eine möglichst einfache Rechnung.
6. Neue Situation entwickeln: Erfinde zwei Brüche, deren Nenner weder gleich sind noch einander teilen, deren Hauptnenner aber kleiner als das Produkt der beiden Nenner ist. Löse eine Vergleichs- oder Additionsaufgabe mit diesen Brüchen und begründe jeden Schritt.

Lernnachweis

Für einen Lernnachweis solltest Du nicht nur Ergebnisse angeben, sondern Deinen mathematischen Weg verständlich darstellen.

1. Bruchbegriff: Du kannst Zähler und Nenner deuten und erklären, warum unterschiedliche Nenner unterschiedliche Teilgrößen bedeuten.
2. Teilbarkeit: Du kannst erkennen und begründen, ob ein Nenner ein Vielfaches eines anderen Nenners ist.
3. Vielfache: Du kannst Vielfachenlisten bilden und gemeinsame Vielfache sicher identifizieren.
4. Kleinstes gemeinsames Vielfaches: Du kannst einen günstigen gemeinsamen Nenner bestimmen und Deine Wahl begründen.
5. Erweitern: Du kannst die passende Erweiterungszahl finden und Zähler sowie Nenner korrekt erweitern.
6. Brüche vergleichen: Du kannst ungleichnamige Brüche gleichnamig machen und anschließend korrekt vergleichen.
7. Bruchaddition: Du kannst ungleichnamige Brüche vor dem Addieren auf einen gemeinsamen Nenner bringen.
8. Darstellungswechsel: Du kannst Deine Rechnung mit Bruchstreifen, Zahlenstrahl oder Flächenmodell erklären und auf Plausibilität prüfen.
9. Fehleranalyse: Du kannst typische Fehler erkennen, mathematisch begründen und korrigieren.

Verknüpfte Lernbereiche

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