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Diesen aiMOOC als Battle spielen: Deutsch, Klasse 5-6, G-Niveau

M6 G - Unbekannte durch Rückwärtsrechnen finden

Einleitung

Manchmal kennst Du das Ergebnis einer Rechnung, aber die Startzahl fehlt. Genau dann suchst Du eine Unbekannte. Sie kann als $x$ , als Kästchen oder als Fragezeichen auftauchen.

Beispiel: $x + 8 = 21$

Die Frage lautet: Welche Zahl muss für $x$ eingesetzt werden, damit die Rechnung stimmt?

Du lernst in diesem aiMOOC zwei einfache Wege:

Weg	Idee	Beispiel
Probieren	Du setzt passende Zahlen ein und verbesserst Deinen Versuch.	$10 + 8 = 18$ , dann $13 + 8 = 21$
Rückwärtsrechnen	Du startest beim Ergebnis und machst die Rechenschritte in umgekehrter Reihenfolge rückgängig.	$21 - 8 = 13$

Zielgruppe: Klasse 6, G-Niveau. Du arbeitest vor allem mit einfachen Aufgaben aus den Grundrechenarten, mit Rechenketten, Gleichungen und Zahlenrätseln.

Das lernst Du

Kompetenz	Das kannst Du am Ende
Unbekannte erkennen	Du findest die gesuchte Zahl in Aufgaben wie $x + 7 = 19$ oder $4 \cdot x = 28$ .
Probieren	Du setzt sinnvolle Werte ein und entscheidest, ob Dein Versuch zu klein, zu groß oder richtig ist.
Rückwärtsrechnen	Du drehst eine Rechenkette vom Ergebnis aus Schritt für Schritt um.
Umkehroperationen nutzen	Du kennst $+$ und $-$ sowie $\cdot$ und $:$ als passende Gegenoperationen.
Kontrollieren	Du setzt Deine gefundene Zahl in die Ausgangsaufgabe ein und führst die Rechnung vorwärts aus.

Grundidee: Eine Rechnung kann rückwärts gelesen werden

Eine Rechenoperation verändert eine Zahl. Mit der passenden Umkehroperation kannst Du diese Veränderung wieder rückgängig machen.

Vorwärts	Umkehrung	Probe
$13 + 8 = 21$	$21 - 8 = 13$	$13 + 8 = 21$
$26 - 9 = 17$	$17 + 9 = 26$	$26 - 9 = 17$
$7 \cdot 5 = 35$	$35 : 5 = 7$	$7 \cdot 5 = 35$
$24 : 4 = 6$	$6 \cdot 4 = 24$	$24 : 4 = 6$

Merksatz: $+ \leftrightarrow -$ und $\cdot \leftrightarrow :$

Das Waagenmodell: Gleich bedeutet im Gleichgewicht

Eine Gleichung kannst Du Dir wie eine Waage vorstellen. Links und rechts steht derselbe Wert. Bei $x + 4 = 12$ muss $x$ also so groß sein, dass die linke Seite genau $12$ ergibt.

Nimm gedanklich auf beiden Seiten $4$ weg: $x + 4 - 4 = 12 - 4$

Dann bleibt: $x = 8$

Die Probe zeigt: $8 + 4 = 12$

Wichtig: Das Waagenbild hilft Dir zu verstehen, warum eine Gleichung stimmt. Beim Rückwärtsrechnen nutzt Du dieselbe Idee praktisch: Du machst den letzten Rechenschritt zuerst rückgängig.

Interaktive Waage: selbst ausprobieren

Bei dieser GeoGebra-Übung für die Schulstufen 5–6 kannst Du einfache Gleichungen mit einer Waage veranschaulichen und durch Probieren untersuchen.

Arbeitsauftrag: Stelle mehrere einfache Aufgaben ein. Schätze zuerst die Unbekannte. Verändere anschließend die Zahl so lange, bis die Waage im Gleichgewicht ist. Notiere zu zwei Aufgaben zusätzlich die passende Umkehroperation.

Methode 1: Unbekannte durch Probieren finden

Beim Probieren setzt Du Zahlen für $x$ ein. Du rechnest die linke Seite aus und vergleichst sie mit dem Ergebnis.

Beispiel: $3 \cdot x + 2 = 35$

Versuch für $x$	Rechnung	Ergebnis	Bewertung
$5$	$3 \cdot 5 + 2$	$17$	zu klein
$10$	$3 \cdot 10 + 2$	$32$	noch zu klein
$12$	$3 \cdot 12 + 2$	$38$	zu groß
$11$	$3 \cdot 11 + 2$	$35$	richtig

Also gilt: $x = 11$

Tipp für geschicktes Probieren: Ändere Deinen nächsten Versuch passend. Ist das Ergebnis zu klein, probierst Du meist eine größere Zahl. Ist es zu groß, probierst Du meist eine kleinere Zahl.

Wann ist Probieren sinnvoll?

Probieren ist besonders hilfreich, wenn Du die Aufgabe noch nicht sicher rückwärts lesen kannst oder wenn Du schnell einen passenden Wert überprüfen möchtest.

Vorteil	Grenze
Du kannst sofort starten.	Viele ungeordnete Versuche kosten Zeit.
Du erkennst, ob ein Wert zu klein oder zu groß ist.	Bei größeren Zahlen kann das Rückwärtsrechnen deutlich schneller sein.
Die Probe steckt direkt im Einsetzen.	Du solltest trotzdem Deinen erfolgreichen Rechenweg notieren.

Methode 2: Rückwärtsrechnen mit Rechenketten

Eine Rechenkette zeigt, was nacheinander mit einer Zahl passiert. Beim Rückwärtsrechnen startest Du hinten und gehst in der umgekehrten Reihenfolge zurück.

Vorwärts:

$x$	$⟶$	$\cdot 3$	$⟶$	$+ 5$	$⟶$	$26$

Rückwärts:

$26$	$⟶$	$- 5$	$⟶$	$: 3$	$⟶$	$x$

Jetzt rechnest Du: $26 - 5 = 21$

danach: $21 : 3 = 7$

Also: $x = 7$

Probe: $7 \cdot 3 + 5 = 21 + 5 = 26$

Visuelle Schritt-für-Schritt-Erklärung

Aufgabe: $4 \cdot x - 7 = 29$

Schritt 1: Der letzte Vorwärtsschritt ist $- 7$ . Rückwärts rechnest Du deshalb $+ 7$ .
$29 + 7 = 36$

Schritt 2: Davor wurde mit $4$ multipliziert. Rückwärts teilst Du durch $4$ .
$36 : 4 = 9$

Lösung: $x = 9$

Probe: $4 \cdot 9 - 7 = 36 - 7 = 29$

Aufgabe: $x : 5 + 6 = 14$

Schritt 1: Rückwärts zu $+ 6$ gehört $- 6$ .
$14 - 6 = 8$

Schritt 2: Rückwärts zu $: 5$ gehört $\cdot 5$ .
$8 \cdot 5 = 40$

Lösung: $x = 40$

Probe: $40 : 5 + 6 = 8 + 6 = 14$

Warum muss die Reihenfolge umgedreht werden?

Stell Dir vor, Du ziehst zuerst Schuhe und dann eine Jacke an. Beim Rückgängigmachen ziehst Du zuerst die Jacke und dann die Schuhe aus. Genauso funktioniert eine Rechenkette.

Bei $x \cdot 4 + 3 = 31$ passiert vorwärts zuerst $\cdot 4$ und danach $+ 3$ .

Rückwärts musst Du deshalb zuerst $- 3$ und danach $: 4$ rechnen: $31 - 3 = 28$

$28 : 4 = 7$

Damit ist: $x = 7$

Die vier wichtigsten Grundformen

Unbekannte bei einer Addition

$x + 8 = 21$

Rückwärts: $21 - 8 = 13$

Lösung: $x = 13$

Probe: $13 + 8 = 21$

Unbekannte bei einer Subtraktion

$x - 9 = 17$

Rückwärts: $17 + 9 = 26$

Lösung: $x = 26$

Probe: $26 - 9 = 17$

Unbekannte bei einer Multiplikation

$5 \cdot x = 35$

Rückwärts: $35 : 5 = 7$

Lösung: $x = 7$

Probe: $5 \cdot 7 = 35$

Unbekannte bei einer Division

$x : 4 = 6$

Rückwärts: $6 \cdot 4 = 24$

Lösung: $x = 24$

Probe: $24 : 4 = 6$

Zwei Rechenschritte sicher rückwärts gehen

Bei zwei Rechenschritten gilt immer: Letzter Schritt vorwärts = erster Schritt rückwärts.

Ausgangsaufgabe	Rückwärts Schritt 1	Rückwärts Schritt 2	Lösung
$2 \cdot x + 7 = 25$	$25 - 7 = 18$	$18 : 2 = 9$	$x = 9$
$5 \cdot x - 4 = 31$	$31 + 4 = 35$	$35 : 5 = 7$	$x = 7$
$x : 3 + 2 = 8$	$8 - 2 = 6$	$6 \cdot 3 = 18$	$x = 18$
$x : 4 - 3 = 5$	$5 + 3 = 8$	$8 \cdot 4 = 32$	$x = 32$

Mini-Training: Rechenketten

Berechne die gesuchte Zahl im Kopf oder mit einer kurzen Rückwärtskette.

Aufgabe	Rückwärtskette	Lösung
$x + 12 = 30$	$30 \to - 12$	$x = 18$
$x - 15 = 24$	$24 \to + 15$	$x = 39$
$6 \cdot x = 42$	$42 \to : 6$	$x = 7$
$x : 8 = 9$	$9 \to \cdot 8$	$x = 72$
$3 \cdot x + 4 = 25$	$25 \to - 4 \to : 3$	$x = 7$

Zahlengerade: vorwärts und rückwärts denken

Bei Additionen und Subtraktionen hilft eine Zahlengerade. Vorwärts bedeutet: Du führst den Rechenschritt aus. Rückwärts bedeutet: Du gehst genau den entgegengesetzten Weg.

Beispiel: $x + 6 = 14$

Wenn Du vom Ergebnis $14$ sechs Schritte zurückgehst, erhältst Du: $14 - 6 = 8$

Also: $x = 8$

Probe: $8 + 6 = 14$

Dynamische Zahlengerade

Mit dieser interaktiven Zahlengeraden kannst Du Start- und Endwert verändern und Sprünge sichtbar machen.

Forscherauftrag: Stelle eine Bewegung von $32$ nach $67$ dar. Überlege anschließend, welche Rechnung den Weg beschreibt und wie die Umkehrung aussieht.

Stellenwertmodell als Hilfe bei größeren Zahlen

Beim Rückwärtsrechnen können auch größere natürliche Zahlen auftreten, zum Beispiel: $x + 326 = 1000$

Dann gilt: $x = 1000 - 326 = 674$

Wenn Dir das Kopfrechnen schwerfällt, kann eine Stellenwerttabelle helfen, Hunderter, Zehner und Einer geordnet zu betrachten.

Interaktive Stellenwerttabelle

Die folgende geprüfte GeoGebra-Übung ist für die Schulstufen 5–6 gedacht und trainiert das Stellenwertsystem natürlicher Zahlen.

Verbindung zum Rückwärtsrechnen: Nutze die Stellenwerttabelle als Rechenhilfe, wenn Du bei einer Umkehroperation wie $1000 - 326$ oder $240 : 6$ unsicher bist. Das Ziel bleibt, die gesuchte Zahl zu finden.

Zahlenrätsel knacken

Zahlenrätsel sind Rechenketten in Worten. Übersetze den Text zuerst in eine Rechenkette.

Rätsel 1: „Ich denke mir eine Zahl. Ich verdopple sie und addiere $6$ . Das Ergebnis ist $30$ .“

Als Rechnung: $2 \cdot x + 6 = 30$

Rückwärts: $30 - 6 = 24$

$24 : 2 = 12$

Gesuchte Zahl: $x = 12$

Probe: $2 \cdot 12 + 6 = 30$

Rätsel 2: „Ich denke mir eine Zahl. Ich teile sie durch $4$ und addiere $3$ . Das Ergebnis ist $10$ .“ — Klicke für die Lösung.

$x : 4 + 3 = 10$
$10 - 3 = 7$
$7 \cdot 4 = 28$
Also $x = 28$ .
Probe: $28 : 4 + 3 = 7 + 3 = 10$ .

Probieren oder Rückwärtsrechnen?

Beide Wege sind erlaubt. Entscheidend ist, dass Du Deine Lösung begründen und kontrollieren kannst.

Situation	Passender Weg	Begründung
$x + 5 = 12$	Rückwärtsrechnen	$12 - 5$ führt direkt zur Lösung.
Du weißt noch nicht, welche Umkehroperation passt.	Probieren	Durch Einsetzen bekommst Du schnell Rückmeldung.
$4 \cdot x + 3 = 31$	Rückwärtsrechnen	Zwei Rechenschritte lassen sich klar umkehren.
Du möchtest eine gefundene Zahl prüfen.	Einsetzen und vorwärts rechnen	Die Ausgangsaufgabe muss wieder das vorgegebene Ergebnis liefern.

Die Probe: So kontrollierst Du Deine Lösung

Eine Lösung ist erst überzeugend, wenn sie die Ausgangsaufgabe erfüllt.

Beispiel: $4 \cdot x + 3 = 31$

Rückwärts: $31 - 3 = 28$

$28 : 4 = 7$

Vermutete Lösung: $x = 7$

Einsetzen: $4 \cdot 7 + 3 = 28 + 3 = 31$

Damit ist die Lösung bestätigt.

Kontrollidee mit Umkehroperationen: $7 \cdot 4 = 28$ und $28 + 3 = 31$ sind die Vorwärtsschritte. Rückwärts erhältst Du mit $31 - 3 = 28$ und $28 : 4 = 7$ wieder den Startwert.

Typische Fehler erkennen

Fehler	Beispiel	Besser
Falsche Umkehroperation	Aus $x + 7 = 20$ wird fälschlich $20 + 7$ .	Nutze $20 - 7 = 13$ .
Falsche Reihenfolge	Bei $3 x + 5 = 26$ wird zuerst durch $3$ geteilt.	Zuerst $26 - 5$ , danach $: 3$ .
Division und Multiplikation verwechselt	Aus $x : 4 = 7$ wird $7 : 4$ .	Umkehrung zu $: 4$ ist $\cdot 4$ .
Probe fehlt	$x = 8$ wird nur behauptet.	Setze $8$ in die Ausgangsaufgabe ein.
Ungeordnetes Probieren	Werte werden zufällig gewechselt.	Nutze die Rückmeldung „zu klein“ oder „zu groß“ für den nächsten Versuch.

Merkkarte

Rückwärtsrechnen in vier Schritten
1	Ergebnis finden und dort starten.
2	Letzten Rechenschritt der Kette erkennen.
3	Passende Umkehroperation anwenden und die Reihenfolge rückwärts gehen.
4	Gefundene Zahl einsetzen und vorwärts prüfen.

Kurzform: $Ergebnis \to Umkehrung des letzten Schritts \to \dots \to x$

Medien und Lizenzen

Die verwendeten Wikimedia-Commons-Dateien wurden gezielt als freie bzw. gemeinfreie Medien ausgewählt. Maßgeblich sind jeweils die Lizenzangaben auf der Dateiseite.

Balance scale.svg: CC0; geeignet zur Veranschaulichung des Gleichgewichts einer Gleichung.
Arithmetic operations.svg: CC BY 4.0; Darstellung der vier Grundrechenarten.
Basic arithmetic operators.svg: gemeinfreie einfache mathematische Symbole.
FunctionMachine.svg: CC0; Rechenmaschine als Bild für Eingabe, Verarbeitung und Ausgabe.
Simple number line.svg: Public Domain; Zahlengerade.
Die eingebetteten YouTube-Videos werden über den YouTube-Player wiedergegeben; die Rechte am Videoinhalt verbleiben bei den jeweiligen Rechteinhabern.
Die interaktiven GeoGebra-Materialien werden über GeoGebra eingebettet. Besonders die Waagen- und Stellenwertübungen sind als Materialien für die Schulstufen 5–6 ausgewiesen.

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Welche Umkehroperation passt zu plus 7? (minus 7) (!plus 7) (!mal 7) (!geteilt durch 7)

Welche Umkehroperation passt zu mal 5? (geteilt durch 5) (!mal 5) (!plus 5) (!minus 5)

Wie lautet die Lösung von x plus 8 gleich 21? (13) (!12) (!14) (!29)

Wie lautet die Lösung von x minus 9 gleich 17? (26) (!8) (!18) (!27)

Wie lautet die Lösung von 5 mal x gleich 35? (7) (!5) (!6) (!30)

Wie lautet die Lösung von x geteilt durch 4 gleich 6? (24) (!2) (!10) (!18)

Was machst Du beim Rückwärtsrechnen zuerst? (Den letzten Vorwärtsschritt rückgängig) (!Den ersten Vorwärtsschritt wiederholen) (!Immer zuerst addieren) (!Sofort eine zufällige Zahl einsetzen)

Welche Zahl löst 3 mal x plus 2 gleich 35? (11) (!9) (!10) (!12)

Wozu dient die Probe? (Sie zeigt ob die gefundene Zahl die Ausgangsaufgabe erfüllt) (!Sie ersetzt jeden Rechenweg) (!Sie macht aus Addition immer Multiplikation) (!Sie vergrößert die gesuchte Zahl)

Was ist beim geschickten Probieren sinnvoll wenn das Ergebnis zu klein ist? (Einen passend größeren Wert testen) (!Immer denselben Wert nochmals einsetzen) (!Sofort durch null teilen) (!Die Ausgangsaufgabe verändern)

Memory

Addition	Subtraktion
Multiplikation	Division
Probieren	Werte einsetzen
Rückwärtsrechnen	Ergebnis zurückverfolgen
Probe	Lösung einsetzen
Unbekannte	gesuchte Zahl

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Umkehroperation
plus sieben	minus sieben
mal vier	geteilt durch vier
minus neun	plus neun
geteilt durch fünf	mal fünf
letzter Vorwärtsschritt	erster Rückwärtsschritt

Kreuzworträtsel

Probe	Wie heißt die Kontrolle durch Einsetzen der gefundenen Zahl?
Addition	Welche Rechenart ist die Umkehrung der Subtraktion?
Division	Welche Rechenart ist die Umkehrung der Multiplikation?
Ergebnis	Bei welchem Teil der Rechenkette startest Du beim Rückwärtsrechnen?
Variable	Wie heißt ein Buchstabe wie x, der für eine Zahl stehen kann?
Subtraktion	Welche Rechenart ist die Umkehrung der Addition?

LearningApps

Lückentext

Eine Zahl, deren Wert noch nicht bekannt ist, heißt

. Beim Rückwärtsrechnen startest Du beim

. Die Umkehroperation zur Addition ist die

. Die Umkehroperation zur Multiplikation ist die

. Bei mehreren Rechenschritten machst Du zuerst den

Vorwärtsschritt rückgängig. Beim Probieren setzt Du mögliche

für die gesuchte Zahl ein. Ist ein Ergebnis zu klein, wählst Du beim nächsten Versuch oft eine

Zahl. Eine gefundene Lösung kontrollierst Du mit einer

. Bei der Probe setzt Du die gefundene Zahl in die

ein. Stimmt das berechnete Ergebnis mit der Vorgabe überein, ist die Lösung

.

Offene Aufgaben

Leicht

Umkehrkarten: Gestalte vier Kartenpaare zu $+$ und $-$ sowie $\cdot$ und $:$ . Ergänze auf jeder Karte ein eigenes Zahlenbeispiel.
Rechenkette zeichnen: Erfinde eine Rechenkette mit zwei Schritten, die bei einer ganzen Zahl startet und bei einer ganzen Zahl endet. Zeichne Vorwärts- und Rückwärtsweg.
Zahlensprung: Zeichne eine Zahlengerade zu $x + 9 = 24$ . Markiere den Rückwärtssprung und erkläre mit einem Satz, warum er zur Lösung führt.
Partner-Rätsel: Denke Dir eine Zahl aus, führe zwei einfache Rechenschritte aus und nenne nur das Endergebnis. Lass eine Partnerperson rückwärts rechnen.

Standard

Waage bauen: Stelle $x + 5 = 13$ mit gleich schweren Gegenständen oder gezeichneten Gewichten als Waage dar. Dokumentiere jeden Schritt mit einem Foto oder einer Skizze.
60-Sekunden-Erklärung: Erstelle ein kurzes Erklärvideo zu $3 \cdot x + 4 = 25$ . Zeige Rechenkette, Rückwärtsweg und Probe.
Fehlerdetektiv: Erfinde drei typische Fehler beim Rückwärtsrechnen und schreibe jeweils eine Korrektur dazu.
Rückwärts-Duell: Entwickle ein kleines Karten- oder Würfelspiel, bei dem Rechenketten rückwärts gelöst werden. Formuliere klare Spielregeln und teste sie mit einer anderen Person.

Schwer

Alltagsrätsel: Erfinde eine Alltagssituation, die zu $4 \cdot x + 6 = 38$ passt. Löse sie durch Rückwärtsrechnen und prüfe, ob Deine Geschichte zur Rechnung passt.
Strategievergleich: Löse $5 \cdot x - 7 = 43$ einmal durch Probieren und einmal durch Rückwärtsrechnen. Vergleiche Zeit, Anzahl der Schritte und Fehlerrisiko.
Interaktive Erklärung: Nutze eine dynamische Zahlengerade oder eine Gleichungswaage und erstelle eine Bildschirmaufnahme, in der Du eine unbekannte Zahl findest und die Umkehroperation erklärst.
Mini-Lernstation: Entwickle eine Lernstation mit einem Waagenrätsel, einer Rechenkette, einem Zahlenrätsel und einer Kontrollaufgabe. Gib zu jeder Teilaufgabe einen Tipp, aber nicht sofort die Lösung.

Lernkontrolle

Reihenfolge begründen: Erkläre an $4 \cdot x + 7 = 39$ , warum beim Rückwärtsrechnen zuerst $7$ abgezogen und erst danach durch $4$ geteilt wird.
Zwei Wege vergleichen: Löse $3 \cdot x + 5 = 26$ durch Probieren und durch Rückwärtsrechnen. Entscheide, welcher Weg für Dich übersichtlicher ist, und begründe Deine Entscheidung.
Fehler finden: Eine Person rechnet bei $x : 6 + 2 = 7$ zuerst $7 \cdot 6$ und danach $- 2$ . Erkläre den Denkfehler und korrigiere den Rechenweg.
Rückwärts aus dem Alltag: Ein Eintrittspreis wird mit $4$ multipliziert und anschließend kommen $2$ Euro Gebühr dazu. Insgesamt sind es $30$ Euro. Bestimme den Eintrittspreis und erläutere Deinen Rückwärtsweg.
Von der Lösung zur Aufgabe: Erfinde eine zweistufige Rechenkette mit der Lösung $x = 8$ und einem Endergebnis zwischen $20$ und $60$ . Zeige, dass Deine Aufgabe wirklich zu $x = 8$ führt.
Probe erklären: Wähle eine selbst gelöste Aufgabe und zeige mathematisch, wie die Probe bestätigt oder widerlegt, dass Deine gefundene Zahl richtig ist.

Lernnachweis

Für einen Lernnachweis zu diesem Thema ist wichtig, dass Du nicht nur ein Ergebnis nennst, sondern Deinen Denkweg sichtbar machst.

Bereich	Das solltest Du zeigen können
Unbekannte erkennen	Du markierst die gesuchte Zahl oder Variable in einer einfachen Aufgabe.
Umkehroperationen	Du ordnest $+ \leftrightarrow -$ und $\cdot \leftrightarrow :$ sicher zu.
Probieren	Du setzt Werte sinnvoll ein und nutzt „zu klein“ oder „zu groß“ für den nächsten Versuch.
Rückwärtsrechnen	Du startest beim Ergebnis und kehrst die Rechenschritte in umgekehrter Reihenfolge um.
Darstellung	Du kannst Deinen Weg als Rechenkette, Tabelle, Zahlengerade oder Waagenmodell darstellen.
Kontrolle	Du setzt die Lösung in die Ausgangsaufgabe ein und führst die Rechnung vorwärts aus.
Erklärung	Du begründest in eigenen Worten, warum Dein Rechenweg funktioniert.

OERs zum Thema

Ein passender Wikipedia-Grundlagenartikel ist Gleichung. Er erklärt den mathematischen Begriff der Gleichung und die Bedeutung des Gleichheitszeichens.

Weitere frei zugängliche Lernmedien in diesem aiMOOC sind die eingebetteten Wikimedia-Commons-Dateien sowie die verlinkten GeoGebra-Aktivitäten.

Verknüpfte Lernbereiche

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