M6 G - Umfang von Quadrat und Rechteck berechnen

Einleitung

M6 G - Umfang von Quadrat und Rechteck berechnen richtet sich an Dich in Klasse 6 auf G-Niveau. Du lernst den Umfang als Randlänge einer ebenen Figur kennen: Du gehst gedanklich einmal vollständig am Rand entlang und addierst die Längen aller Randstrecken.

Merksatz: $\text{Umfang }U=\text{Länge des gesamten Randes}$

Figur	Seiten	Umfang
Rechteck	$a,b,a,b$	$U=a+b+a+b=2a+2b=2(a+b)$
Quadrat	$a,a,a,a$	$U=a+a+a+a=4a$

Ein Zaun macht die Idee des Umfangs sichtbar: Wie lang ist der Rand, der eingefasst werden soll?

Am Ende kannst Du bei Zäunen, Bilderrahmen, Spielfeldern und anderen rechteckigen oder quadratischen Formen entscheiden, welche Seitenlängen Du brauchst, die passende Formel einsetzen und das Ergebnis mit einer Längeneinheit angeben.

Umfang bedeutet Randlänge

Stell Dir vor, Du legst eine Schnur genau einmal um den Rand einer Figur. Wenn Du die Schnur anschließend geradeziehst und misst, erhältst Du den Umfang.

Der Umfang eines Rechtecks ist die Länge seines gesamten Randes.

Für ein Rechteck mit den Seitenlängen $a$ und $b$ besteht der Rand aus vier Strecken:

$U=\underset{1.\text{Seite}}{\underbrace{a}}+\underset{2.\text{Seite}}{\underbrace{b}}+\underset{3.\text{Seite}}{\underbrace{a}}+\underset{4.\text{Seite}}{\underbrace{b}}$

Du kannst Dir das wie eine aufgerollte Randstrecke vorstellen:

$0\stackrel{a}{\to }a\stackrel{b}{\to }a+b\stackrel{a}{\to }2a+b\stackrel{b}{\to }2a+2b$

Wichtig: Der Umfang beschreibt den Rand. Der Flächeninhalt beschreibt dagegen, wie groß die Fläche innen ist. Deshalb wird der Umfang in Längeneinheiten wie $\mathrm{m}\mathrm{m}$, $\mathrm{c}\mathrm{m}$ oder $\mathrm{m}$ angegeben.

Rechteck: Umfang aus zwei Seitenlängen berechnen

Bei einem Rechteck sind jeweils die gegenüberliegenden Seiten gleich lang. Deshalb kommen $a$ und $b$ jeweils zweimal vor.

Beim Rechteck sind jeweils die gegenüberliegenden Seiten gleich lang.

Der Rechenweg lässt sich Schritt für Schritt zusammenfassen:

$\begin{array}{cc}U& =a+b+a+b\\ & =a+a+b+b\\ & =2a+2b\\ & =2(a+b)\end{array}$

Beispiel	Rechnung	Ergebnis
$a=6\mathrm{c}\mathrm{m}$, $b=4\mathrm{c}\mathrm{m}$	$U=2\cdot 6\mathrm{c}\mathrm{m}+2\cdot 4\mathrm{c}\mathrm{m}$	$U=20\mathrm{c}\mathrm{m}$

Der Randweg dieses Beispiels kann auch als Rechenkette gelesen werden:

$0\stackrel{+6}{\to }6\stackrel{+4}{\to }10\stackrel{+6}{\to }16\stackrel{+4}{\to }20$

Klappe den vollständigen Kontrollweg auf
$6\mathrm{c}\mathrm{m}+4\mathrm{c}\mathrm{m}+6\mathrm{c}\mathrm{m}+4\mathrm{c}\mathrm{m}=20\mathrm{c}\mathrm{m}$. Beide Rechenwege ergeben dieselbe Randlänge.

Dynamische Geometrie: Verändere beim folgenden Rechteck die Seitenlängen und beobachte, wie sich der Umfang verändert.

Das folgende Lernvideo nutzt ein rechteckiges Volleyballfeld als Anwendung für den Umfang.

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Quadrat: vier gleich lange Seiten

Ein Quadrat ist ein besonderes Rechteck: Alle vier Seiten sind gleich lang. Deshalb brauchst Du nur eine Seitenlänge $a$.

Quadrat: Alle vier Seiten sind gleich lang.

$U=a+a+a+a=4a$

Da ein Quadrat auch als Rechteck mit $a=b$ betrachtet werden kann, gilt ebenso:

$U=2a+2a=4a$

Seitenlänge	Rechenweg	Umfang
$a=5\mathrm{c}\mathrm{m}$	$U=4\cdot 5\mathrm{c}\mathrm{m}$	$U=20\mathrm{c}\mathrm{m}$
$a=8\mathrm{m}$	$U=4\cdot 8\mathrm{m}$	$U=32\mathrm{m}$

Schnellcheck: Verdoppelst Du bei einem Quadrat die Seitenlänge, verdoppelt sich auch der Umfang:

$U_{\text{neu}}=4\cdot (2a)=2\cdot 4a=2U$

In diesem GeoGebra-Material kannst Du Rechteck und Quadrat vergleichen und Umfangsaufgaben erkunden.

Ein weiteres Lernvideo zeigt Umfang bei Quadrat und Rechteck gemeinsam.

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Messen und Einheiten sicher verwenden

Beim Umfang addierst Du Längen. Vor dem Addieren müssen alle Seitenlängen in derselben Einheit stehen.

Mit einem Maßband kannst Du Randlängen direkt messen.

Meter	Dezimeter	Zentimeter	Millimeter
$1\mathrm{m}$	$10\mathrm{d}\mathrm{m}$	$100\mathrm{c}\mathrm{m}$	$1000\mathrm{m}\mathrm{m}$

Einheiten-Stellenwertmodell:

$\mathrm{m}$	$\mathrm{d}\mathrm{m}$	$\mathrm{c}\mathrm{m}$	Bedeutung
1	2	0	$1\mathrm{m}+2\mathrm{d}\mathrm{m}=120\mathrm{c}\mathrm{m}$
0	8	5	$8\mathrm{d}\mathrm{m}+5\mathrm{c}\mathrm{m}=85\mathrm{c}\mathrm{m}$

Beispiel mit verschiedenen Einheiten: Ein Rechteck hat $a=1\mathrm{m}$ und $b=40\mathrm{c}\mathrm{m}$. Zuerst gilt $1\mathrm{m}=100\mathrm{c}\mathrm{m}$. Dann:

$U=2\cdot 100\mathrm{c}\mathrm{m}+2\cdot 40\mathrm{c}\mathrm{m}=280\mathrm{c}\mathrm{m}=\mathrm{2,8}\mathrm{m}$

Anwendungen: Zaun, Bilderrahmen und Spielfeld

Umfangsrechnungen brauchst Du immer dann, wenn Material entlang eines Randes geplant wird.

Zaun um ein rechteckiges Beet

Ein Zaun ist eine typische Umfangsanwendung.

Ein Beet ist $8\mathrm{m}$ lang und $5\mathrm{m}$ breit.

$U=2\cdot 8\mathrm{m}+2\cdot 5\mathrm{m}=16\mathrm{m}+10\mathrm{m}=26\mathrm{m}$

Für einen vollständig geschlossenen Rand werden also $26\mathrm{m}$ Zaun benötigt. Bleibt ein $1\mathrm{m}$ breites Tor frei, brauchst Du nur

$26\mathrm{m}-1\mathrm{m}=25\mathrm{m}$

Zaun.

Bilderrahmen

Bei einem rechteckigen Bilderrahmen ist die gesuchte Leistenlänge eine Umfangsfrage.

Ein rechteckiger Bilderrahmen soll außen $30\mathrm{c}\mathrm{m}$ breit und $20\mathrm{c}\mathrm{m}$ hoch sein.

$U=2\cdot 30\mathrm{c}\mathrm{m}+2\cdot 20\mathrm{c}\mathrm{m}=100\mathrm{c}\mathrm{m}$

Der äußere Rand ist also $100\mathrm{c}\mathrm{m}=1\mathrm{m}$ lang.

Rechteckiges Spielfeld

Ein Spielfeld ist $12\mathrm{m}$ lang und $7\mathrm{m}$ breit. Eine Markierung soll genau einmal außen herum führen.

$U=2(12\mathrm{m}+7\mathrm{m})=2\cdot 19\mathrm{m}=38\mathrm{m}$

Du brauchst eine Randmarkierung von $38\mathrm{m}$.

Visuelle Schritt-für-Schritt-Strategie

Schritt	Was Du tust	Mathematisches Beispiel
1. Figur erkennen	Rechteck oder Quadrat?	Rechteck mit $a=9\mathrm{c}\mathrm{m}$, $b=3\mathrm{c}\mathrm{m}$
2. Einheiten prüfen	Alle Längen in dieselbe Einheit bringen	beide bereits in $\mathrm{c}\mathrm{m}$
3. Formel wählen	Rechteck: $U=2a+2b$	$U=2\cdot 9+2\cdot 3$
4. Rechnen	Teilprodukte bilden und addieren	$18+6=24$
5. Einheit angeben	Umfang ist eine Länge	$U=24\mathrm{c}\mathrm{m}$

Häufige Fehler erkennen

Fehler	Warum falsch?	So ist es richtig
$U=a+b$	Es fehlen zwei Randseiten.	$U=a+b+a+b=2a+2b$
$U=a\cdot b$	Das ist die Formel für den Flächeninhalt eines Rechtecks.	Umfang: $U=2a+2b$
$2\mathrm{m}+30\mathrm{c}\mathrm{m}$ sofort zusammenrechnen	Die Einheiten sind verschieden.	Zuerst umwandeln: $2\mathrm{m}=200\mathrm{c}\mathrm{m}$.
Ergebnis ohne Einheit	Ein Umfang ist eine messbare Länge.	Zum Beispiel $U=24\mathrm{c}\mathrm{m}$.

Plausibilitätscheck: Bei einem Rechteck mit positiven Seitenlängen muss gelten $U>2a$ und $U>2b$, weil zum doppelten Wert einer Seitenart noch die beiden anderen Seiten hinzukommen.

Freie und eingebettete Lernmedien

Die eingebundenen Bilder stammen aus Wikimedia Commons und sind dort als Public Domain oder CC0 ausgewiesen. Die Dateibeschreibungsseiten dokumentieren Herkunft und Lizenz.

Medium	Lernzweck	Lizenzhinweis auf Wikimedia Commons
Picket fence (PSF).png	Zaun als Alltagsbild für Randlänge	Public Domain
Empty-frame.png	Bilderrahmen als Umfangsanwendung	Public Domain
PerimeterRectangle.svg	Umfang eines Rechtecks sichtbar machen	CC0
Rectangle (geometry).svg	Eigenschaften des Rechtecks erkennen	Public Domain
Square (geometry).svg	Eigenschaften des Quadrats erkennen	Public Domain
Measuring-tape.jpg	Längen messen und Einheiten verwenden	Public Domain

Die YouTube-Videos werden nur eingebettet und nicht in diesen aiMOOC kopiert. Für die Videos gelten die jeweiligen Bedingungen der Plattform und der Rechteinhaber.

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Was beschreibt der Umfang einer Figur? (Die Länge des gesamten Randes) (!Die Größe der Innenfläche) (!Die Länge nur einer Seite) (!Die Anzahl der Ecken)

Ein Rechteck hat die Seitenlängen 7 cm und 3 cm. Wie groß ist sein Umfang? (20 cm) (!10 cm) (!21 cm) (!14 cm)

Welche Formel passt zum Umfang eines Rechtecks? (U gleich 2a plus 2b) (!U gleich a mal b) (!U gleich a plus b) (!U gleich 4a mal b)

Ein Quadrat hat die Seitenlänge 6 cm. Wie groß ist sein Umfang? (24 cm) (!12 cm) (!18 cm) (!36 cm)

Welche Einheit ist für den Umfang eines Schulhofs besonders sinnvoll? (Meter) (!Quadratmeter) (!Liter) (!Kilogramm)

Ein Rechteck ist 8 m lang und 5 m breit. Wie groß ist sein Umfang? (26 m) (!13 m) (!40 m) (!16 m)

Welche Beschreibung ist gleichwertig zu 2a plus 2b? (Zweimal die Summe aus a und b) (!a mal b) (!a plus b) (!Viermal a plus b)

Ein Bilderrahmen ist 15 cm breit und 10 cm hoch. Wie lang ist sein äußerer Rand? (50 cm) (!25 cm) (!150 cm) (!40 cm)

Warum gilt beim Quadrat U gleich 4a? (Weil alle vier Seiten gleich lang sind) (!Weil ein Quadrat zwei Seiten hat) (!Weil Länge und Breite multipliziert werden) (!Weil der Umfang immer vier Zentimeter beträgt)

Was musst Du tun, bevor Du Seitenlängen in Metern und Zentimetern addierst? (Die Längen in dieselbe Einheit umwandeln) (!Die Zahlen miteinander multiplizieren) (!Die Einheiten weglassen) (!Nur die längere Seite verwenden)

Memory

Umfang	gesamte Randlänge
Rechteck	gegenüberliegende Seiten gleich lang
Quadrat	vier gleich lange Seiten
Seitenlänge a	erste Seitenart
Seitenlänge b	zweite Seitenart
Längeneinheit	Zentimeter oder Meter
Zaun	typische Randanwendung

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Thema
Randlänge	Umfang
2a plus 2b	Rechteckformel
4a	Quadratformel
Meter	Längeneinheit
Zaun	Anwendung am Rand

Kreuzworträtsel

Umfang	Wie heißt die gesamte Länge des Randes einer Figur?
Rechteck	Welche Figur hat vier rechte Winkel und paarweise gleich lange Gegenseiten?
Quadrat	Welche Figur hat vier rechte Winkel und vier gleich lange Seiten?
Randlänge	Welches Wort erklärt anschaulich, was beim Umfang gemessen wird?
Seitenlänge	Welche Länge wird mit einem Buchstaben wie a oder b bezeichnet?
Meter	Welche Längeneinheit eignet sich oft für einen Gartenzaun?

Lückentext

Vervollständige den Text.

Der Umfang einer Figur ist die Länge ihres gesamten .

Beim Rechteck werden die Längen aller vier Seiten .

Gegenüberliegende Seiten eines Rechtecks sind jeweils lang.

Darum kommt die Seitenlänge a beim Rechteck vor.

Auch die Seitenlänge b kommt beim Rechteck vor.

Beim Quadrat sind alle vier Seiten lang.

Der Umfang eines Quadrats ist deshalb das Vierfache einer .

Vor dem Addieren müssen verschiedene Längeneinheiten zuerst werden.

Ein Umfang wird in einer angegeben.

Ein Zaun um ein Beet ist eine typische Aufgabe zur .

Offene Aufgaben

Leicht

1. Rand-Detektiv: Suche in Deinem Klassenraum drei rechteckige oder quadratische Gegenstände. Schätze zuerst ihren Umfang und miss dann die Seitenlängen. Berechne $U$ und vergleiche Schätzung und Ergebnis.
2. Schnurmodell: Zeichne ein Rechteck mit $a=8\mathrm{c}\mathrm{m}$ und $b=5\mathrm{c}\mathrm{m}$. Lege eine Schnur am Rand entlang, miss die Schnur und prüfe mit $U=2a+2b$.
3. Bilderrahmen: Entwirf auf Papier einen rechteckigen Bilderrahmen mit selbst gewählten Seitenlängen. Beschrifte $a$ und $b$ und berechne die benötigte äußere Leistenlänge.
4. Quadrat-Werkstatt: Zeichne drei Quadrate mit verschiedenen Seitenlängen. Berechne jeweils $U=4a$ und beschreibe, was mit $U$ geschieht, wenn Du $a$ verdoppelst.

Standard

1. Zaunplan: Ein rechteckiger Garten ist $12\mathrm{m}$ lang und $7\mathrm{m}$ breit. Plane einen Zaun mit einem $1\mathrm{m}$ breiten Tor und begründe Deine Rechnung.
2. Messprojekt: Miss Länge und Breite einer Tischplatte oder eines Teppichs. Berechne den Umfang auf zwei Wegen: $a+b+a+b$ und $2a+2b$. Erkläre, warum beide Wege dasselbe Ergebnis liefern.
3. Fehlerdetektiv: Erfinde drei typische falsche Umfangsrechnungen und schreibe jeweils eine kurze Korrektur mit passender Formel und Einheit.
4. Erklärprodukt: Gestalte ein Lernplakat, eine Fotostory oder ein kurzes eigenes Erklärvideo, das den Unterschied zwischen Umfang und Flächeninhalt an einem Rechteck zeigt.

Schwer

1. Umkehraufgabe: Ein Rechteck hat $U=30\mathrm{c}\mathrm{m}$ und $b=5\mathrm{c}\mathrm{m}$. Bestimme $a$ und erkläre jeden Rechenschritt.
2. Gleicher Umfang: Finde mindestens vier verschiedene Rechtecke mit ganzzahligen Seitenlängen und $U=24\mathrm{c}\mathrm{m}$. Stelle Deine Ergebnisse in einer Tabelle dar und suche Muster.
3. Maßstabsplan: Zeichne einen rechteckigen Schulhof im Maßstab $1:100$. Berechne aus den echten Seitenlängen den Umfang und kontrolliere ihn mithilfe Deiner Zeichnung.
4. Planungsaufgabe: Entwickle eine eigene Sachaufgabe, in der Material nur am Rand einer rechteckigen oder quadratischen Fläche benötigt wird. Gib Skizze, Rechnung, Einheit, Plausibilitätsprüfung und eine Musterlösung an.

Lernkontrolle

1. Begründung der Rechteckformel: Erkläre mit einer beschrifteten Skizze, warum aus $a+b+a+b$ die Formel $U=2a+2b$ entsteht. Eine reine Formel ohne Begründung reicht nicht.
2. Vergleich von Figuren: Ein Quadrat hat $a=6\mathrm{c}\mathrm{m}$. Finde ein Rechteck, das denselben Umfang hat, aber andere Seitenlängen. Zeige Deine Rechnung und begründe den Vergleich.
3. Zaun mit Öffnung: Ein rechteckiges Gehege ist $10\mathrm{m}$ lang und $6\mathrm{m}$ breit. Eine $2\mathrm{m}$ breite Öffnung bleibt ohne Zaun. Bestimme die tatsächlich benötigte Zaunlänge und erkläre, warum Du nicht einfach den vollen Umfang als Materialbedarf verwenden kannst.
4. Einheiten-Transfer: Ein Rechteck hat $a=\mathrm{1,5}\mathrm{m}$ und $b=80\mathrm{c}\mathrm{m}$. Wähle eine gemeinsame Einheit, berechne den Umfang und gib das Ergebnis zusätzlich in Metern an.
5. Fehleranalyse: Eine Schülerin rechnet bei $a=9\mathrm{c}\mathrm{m}$ und $b=4\mathrm{c}\mathrm{m}$: $U=9\cdot 4=36\mathrm{c}\mathrm{m}$. Erkläre zwei Fehler in dieser Lösung und verbessere sie.
6. Transferaufgabe: Beschreibe eine Alltagssituation, in der Du den Umfang und nicht den Flächeninhalt brauchst. Lege sinnvolle Maße fest, rechne und erkläre, woran Du erkennst, dass es eine Umfangsaufgabe ist.

Lernnachweis

Für einen Lernnachweis zu diesem Thema ist wichtig:

1. Du erklärst den Umfang als gesamte Randlänge einer Figur.
2. Du erkennst beim Rechteck die Seitenfolge $a,b,a,b$ und nutzt $U=2a+2b=2(a+b)$.
3. Du nutzt beim Quadrat $U=4a$.
4. Du wandelst Längeneinheiten vor dem Addieren korrekt um und schreibst eine passende Einheit an das Ergebnis.
5. Du kannst Umfang und Flächeninhalt unterscheiden und begründen, welche Größe in einer Sachsituation gefragt ist.
6. Du löst einfache Sach- und Umkehraufgaben, prüfst Dein Ergebnis auf Plausibilität und erklärst Deinen Rechenweg verständlich.

OERs zum Thema

Der Wikipedia-Artikel zum mathematischen Umfang bietet eine weiterführende Einordnung:

Weitere passende freie Lernmedien findest Du über die eingebundenen Wikimedia-Commons-Dateien und die verknüpften Artikel Rechteck, Quadrat und Längeneinheit.

Verknüpfte Lernbereiche

Umfang und Randlänge Rechteck Quadrat Längeneinheit Geometrie Flächeninhalt Maßstab