M6 G - Quadrat und Rechteck sicher beschreiben

Einleitung

Ein Quadrat und ein Rechteck gehören zu den besonderen Vierecken. In diesem aiMOOC lernst Du, beide Figuren sicher mit geometrischer Fachsprache zu beschreiben. Dabei untersuchst Du besonders Seiten, Winkel und Symmetrie.

Am Ende sollst Du nicht nur sagen können: „Das sieht aus wie ein Quadrat.“ Du sollst begründen können, warum eine Figur ein Quadrat oder Rechteck ist.

Deine wichtigsten Lernziele:

Bereich	Das kannst Du nach dem aiMOOC
Seiten	Du beschreibst Gleichheit und Parallelität von Seiten korrekt.
Winkel	Du erkennst und benennst rechte Winkel mit $90^{\circ }$.
Symmetrie	Du findest Symmetrieachsen und erkennst Drehsymmetrie.
Fachsprache	Du verwendest Begriffe wie parallel, senkrecht, rechter Winkel, Symmetrieachse und Diagonale richtig.
Vergleichen	Du erklärst, was Quadrat und Rechteck gemeinsam haben und worin sie sich unterscheiden.

Die geometrische Grundidee

Ein Viereck hat vier Eckpunkte, vier Seiten und vier Innenwinkel. Wir bezeichnen die Eckpunkte der Reihe nach mit $A$, $B$, $C$ und $D$.

Die Seiten heißen dann:

$\overline{AB},\overline{BC},\overline{CD},\overline{DA}$

Die Innenwinkel heißen:

$\mathrm{\angle }A,\mathrm{\angle }B,\mathrm{\angle }C,\mathrm{\angle }D$

Wichtig: Eine geometrische Figur ändert ihre Eigenschaften nicht, nur weil Du sie drehst, verschiebst oder größer zeichnest.

Das Quadrat

Ein Quadrat besitzt vier gleich lange Seiten und vier rechte Winkel.

$|AB|=|BC|=|CD|=|DA|$

$\mathrm{\angle }A=\mathrm{\angle }B=\mathrm{\angle }C=\mathrm{\angle }D=90^{\circ }$

Außerdem sind jeweils die gegenüberliegenden Seiten parallel:

$AB\parallel CD$

$BC\parallel AD$

Merksatz: Beim Quadrat sind alle vier Seiten gleich lang und alle vier Innenwinkel rechte Winkel.

Das Rechteck

Ein Rechteck besitzt vier rechte Winkel. Die jeweils gegenüberliegenden Seiten sind gleich lang und parallel.

$|AB|=|CD|$

$|BC|=|AD|$

$AB\parallel CD$

$BC\parallel AD$

$\mathrm{\angle }A=\mathrm{\angle }B=\mathrm{\angle }C=\mathrm{\angle }D=90^{\circ }$

Bei einem Rechteck müssen nicht alle vier Seiten gleich lang sein. Sind aber alle vier Seiten gleich lang, dann ist dieses Rechteck zugleich ein Quadrat.

Quadrat und Rechteck gehören zusammen

Mathematisch gilt:

$\{\text{Quadrate}\}\subset \{\text{Rechtecke}\}$

Das bedeutet:

Jedes Quadrat ist ein Rechteck. Aber nicht jedes Rechteck ist ein Quadrat.

Warum? Ein Quadrat erfüllt alle Bedingungen eines Rechtecks: Es hat vier rechte Winkel und gegenüberliegende Seiten sind gleich lang und parallel. Zusätzlich besitzt das Quadrat vier gleich lange Seiten.

Eigenschaft	Quadrat	Rechteck
vier Seiten	ja	ja
vier rechte Winkel	ja	ja
gegenüberliegende Seiten parallel	ja	ja
gegenüberliegende Seiten gleich lang	ja	ja
alle vier Seiten gleich lang	ja	nicht notwendig

Sichere Fachsprache für Seiten

Beim Beschreiben von Seiten sind drei Aussagen besonders wichtig:

Fachbegriff	Bedeutung	Beispiel
gleich lang	Zwei Strecken besitzen dieselbe Länge.	$|AB|=|CD|$
parallel	Zwei Geraden oder Strecken verlaufen in gleicher Richtung und schneiden sich nicht.	$AB\parallel CD$
benachbart	Zwei Seiten treffen sich in einem Eckpunkt.	$\overline{AB}$ und $\overline{BC}$
gegenüberliegend	Zwei Seiten besitzen keinen gemeinsamen Eckpunkt.	$\overline{AB}$ und $\overline{CD}$

Sprachbaustein für das Quadrat: „Alle vier Seiten sind gleich lang. Je zwei gegenüberliegende Seiten sind parallel.“

Sprachbaustein für das Rechteck: „Je zwei gegenüberliegende Seiten sind gleich lang und parallel.“

Sichere Fachsprache für Winkel

Ein rechter Winkel hat die Größe

$90^{\circ }$.

Bei Quadrat und Rechteck gilt deshalb:

$\mathrm{\angle }A=\mathrm{\angle }B=\mathrm{\angle }C=\mathrm{\angle }D=90^{\circ }$

Wenn zwei Geraden einen rechten Winkel bilden, stehen sie senkrecht aufeinander.

$AB\perp BC$

Achtung: „Gerade“ und „senkrecht“ bedeuten in der Geometrie nicht dasselbe. Eine Strecke kann schräg auf dem Blatt liegen und trotzdem Teil eines Quadrats sein.

Symmetrie beim Quadrat

Ein Quadrat besitzt vier Symmetrieachsen.

1. Zwei Symmetrieachsen verlaufen durch die Mittelpunkte gegenüberliegender Seiten.
2. Zwei Symmetrieachsen sind die Diagonalen.

Das Quadrat ist außerdem drehsymmetrisch. Drehst Du es um seinen Mittelpunkt um

$90^{\circ },180^{\circ }\text{oder}270^{\circ }$,

passt es wieder genau auf seine Ausgangslage.

Symmetrie beim Rechteck

Ein Rechteck besitzt immer die beiden Symmetrieachsen durch die Mittelpunkte gegenüberliegender Seiten.

Ein Rechteck, das kein Quadrat ist, hat genau zwei Symmetrieachsen. Seine Diagonalen sind dann keine Symmetrieachsen.

Ein Quadrat ist ein besonderes Rechteck. Deshalb hat ein Rechteck, das zugleich Quadrat ist, vier Symmetrieachsen.

Auch ein Rechteck ist drehsymmetrisch:

$180^{\circ }$

Eine Drehung um $180^{\circ }$ um den Mittelpunkt bringt jedes Rechteck wieder auf sich selbst.

Vergleich der Symmetrie

Symmetrie-Eigenschaft	Quadrat	Rechteck, das kein Quadrat ist
Symmetrieachsen	vier	zwei
Achsen durch Seitenmitten	zwei	zwei
Diagonalen als Symmetrieachsen	zwei	keine
Drehung um $180^{\circ }$	passt wieder	passt wieder
Drehung um $90^{\circ }$	passt wieder	passt nicht wieder

Interaktive Eigenschaftskarten

Eigenschaftskarte 1: Seiten des Quadrats

$|AB|=|BC|=|CD|=|DA|$
Alle vier Seiten sind gleich lang. Je zwei gegenüberliegende Seiten sind parallel.

Eigenschaftskarte 2: Seiten des Rechtecks

$|AB|=|CD|$ und $|BC|=|AD|$
Gegenüberliegende Seiten sind gleich lang und parallel.

Eigenschaftskarte 3: Winkel

Für Quadrat und Rechteck gilt: $\mathrm{\angle }A=\mathrm{\angle }B=\mathrm{\angle }C=\mathrm{\angle }D=90^{\circ }$.

Eigenschaftskarte 4: Symmetrie

Das Quadrat hat vier Symmetrieachsen. Ein Rechteck, das kein Quadrat ist, hat zwei Symmetrieachsen. Beide Figuren sind bei einer Drehung um $180^{\circ }$ um ihren Mittelpunkt drehsymmetrisch.

Eigenschaftskarte 5: Quadrat als besonderes Rechteck

Jedes Quadrat erfüllt alle Bedingungen eines Rechtecks. Deshalb ist jedes Quadrat ein Rechteck. Ein Rechteck muss aber nicht vier gleich lange Seiten besitzen.

Dynamische Geometrie: Verändern und beobachten

Bei dynamischer Geometrie kannst Du Punkte verschieben und beobachten, welche Eigenschaften erhalten bleiben.

Arbeitsauftrag zum dynamischen Rechteck:

1. Ziehe an den beweglichen Punkten.
2. Beobachte die Seitenlängen.
3. Prüfe, ob die vier Winkel rechte Winkel bleiben.
4. Suche eine Einstellung, bei der alle vier Seiten gleich lang sind.
5. Beschreibe, wann aus dem Rechteck zugleich ein Quadrat wird.

Arbeitsauftrag zum dynamischen Quadrat:

1. Verändere die Größe.
2. Prüfe, ob alle Seiten gleich lang bleiben.
3. Beobachte die Winkel.
4. Formuliere einen Satz, welche Eigenschaften trotz der Veränderung unverändert bleiben.

Arbeiten im Raster

Ein Raster hilft Dir, Seitenlängen, rechte Winkel und Parallelität sichtbar zu prüfen.

Raster-Aufgabe:

Zeichne zuerst ein Rechteck, das $6$ Kästchen breit und $3$ Kästchen hoch ist.

Prüfe anschließend:

$\text{obere Seite}=\text{untere Seite}$

$\text{linke Seite}=\text{rechte Seite}$

$\text{alle Innenwinkel}=90^{\circ }$

Zeichne danach ein Quadrat mit

$a=4\text{Kästchen}$.

Prüfe:

$a=a=a=a$

und

$4\cdot 90^{\circ }=360^{\circ }$.

Visuelle Schritt-für-Schritt-Prüfung

Wenn Du eine unbekannte Figur beschreiben sollst, arbeite in dieser Reihenfolge:

Schritt	Prüffrage	Mögliche Fachsprache
1	Hat die Figur vier Seiten?	„Die Figur ist ein Viereck.“
2	Sind alle vier Innenwinkel rechte Winkel?	„Alle Innenwinkel sind $90^{\circ }$ groß.“
3	Sind gegenüberliegende Seiten parallel?	„$AB\parallel CD$ und $BC\parallel AD$.“
4	Sind gegenüberliegende Seiten gleich lang?	„$|AB|=|CD|$ und $|BC|=|AD|$.“
5	Sind sogar alle vier Seiten gleich lang?	„Die Figur ist ein Quadrat.“
6	Wie viele Symmetrieachsen besitzt die Figur?	„Die Figur besitzt ... Symmetrieachsen.“

Die Diagonalen als Zusatzwissen

Eine Diagonale verbindet zwei gegenüberliegende Eckpunkte.

Beim Rechteck sind die beiden Diagonalen gleich lang und halbieren einander.

Beim Quadrat gilt zusätzlich: Die Diagonalen stehen senkrecht aufeinander.

$AC\perp BD$

Für die sichere Grundbeschreibung in diesem aiMOOC bleiben jedoch Seiten, Winkel und Symmetrie die wichtigsten Merkmale.

Fehlerdetektiv

Behauptung: „Ein gedrehtes Quadrat ist kein Quadrat mehr.“

Falsch. Drehen verändert Seitenlängen und Winkel nicht.

Behauptung: „Jedes Quadrat ist ein Rechteck.“

Richtig. Ein Quadrat hat vier rechte Winkel und erfüllt damit die Rechteck-Bedingung.

Behauptung: „Bei jedem Rechteck sind alle vier Seiten gleich lang.“

Falsch. Bei einem Rechteck sind jeweils gegenüberliegende Seiten gleich lang.

Behauptung: „Ein Rechteck, das kein Quadrat ist, hat zwei Symmetrieachsen.“

Richtig. Diese verlaufen durch die Mittelpunkte gegenüberliegender Seiten.

Lernvideo: Quadrat und Rechteck

Das folgende Video konzentriert sich auf Eigenschaften von Quadrat und Rechteck:

Video laden

YouTube

YouTube sammelt möglicherweise persönliche Daten. Datenschutzrichtlinie

Fortfahren Ausblenden

Ein weiteres kurzes Lernvideo behandelt Rechteck und Quadrat mit geometrischen Grundbegriffen:

Video laden

YouTube

YouTube sammelt möglicherweise persönliche Daten. Datenschutzrichtlinie

Fortfahren Ausblenden

Fachwortschatz

Fachwort	Sichere Bedeutung
Viereck	Ebene Figur mit vier Seiten.
Quadrat	Rechteck mit vier gleich langen Seiten.
Rechteck	Viereck mit vier rechten Winkeln.
parallel	Geraden oder Strecken verlaufen in gleicher Richtung und schneiden sich nicht.
senkrecht	Zwei Geraden bilden einen rechten Winkel.
Rechter Winkel	Winkel mit $90^{\circ }$.
Symmetrieachse	Gerade, an der eine Figur auf sich selbst gespiegelt werden kann.
Drehsymmetrie	Eine Figur passt nach einer passenden Drehung wieder genau auf sich selbst.
Diagonale	Strecke zwischen zwei gegenüberliegenden Ecken.

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Welche Eigenschaft besitzt jedes Quadrat? (Alle vier Seiten sind gleich lang) (!Nur zwei Seiten sind gleich lang) (!Es besitzt keinen rechten Winkel) (!Es besitzt genau eine Symmetrieachse)

Welche Aussage beschreibt jedes Rechteck richtig? (Alle vier Innenwinkel sind rechte Winkel) (!Alle vier Seiten müssen gleich lang sein) (!Die gegenüberliegenden Seiten schneiden sich) (!Es besitzt keine parallelen Seiten)

Wie groß ist ein rechter Winkel? (90 Grad) (!45 Grad) (!60 Grad) (!180 Grad)

Welche Aussage zu gegenüberliegenden Seiten eines Rechtecks stimmt? (Sie sind jeweils gleich lang und parallel) (!Sie sind immer unterschiedlich lang) (!Sie stehen immer senkrecht aufeinander) (!Sie treffen sich in einem Eckpunkt)

Wie viele Symmetrieachsen besitzt ein Quadrat? (Vier) (!Eine) (!Zwei) (!Drei)

Wie viele Symmetrieachsen hat ein Rechteck, das kein Quadrat ist? (Zwei) (!Keine) (!Eine) (!Vier)

Welche Aussage über Quadrat und Rechteck ist richtig? (Jedes Quadrat ist ein Rechteck) (!Jedes Rechteck ist ein Quadrat) (!Ein Quadrat hat keine rechten Winkel) (!Ein Rechteck hat keine parallelen Seiten)

Was verbindet eine Diagonale? (Zwei gegenüberliegende Ecken) (!Zwei benachbarte Seiten) (!Zwei rechte Winkel) (!Zwei Symmetrieachsen)

Was bleibt erhalten, wenn ein Quadrat auf dem Blatt gedreht wird? (Seitenlängen und Winkel) (!Nur seine Position) (!Nur die Beschriftung) (!Keine geometrische Eigenschaft)

Welche Drehung bringt jedes Rechteck wieder auf sich selbst? (Eine Drehung um 180 Grad) (!Eine Drehung um 30 Grad) (!Eine Drehung um 45 Grad) (!Eine Drehung um 60 Grad)

Memory

Quadrat	vier gleich lange Seiten
Rechteck	gegenüberliegende Seiten gleich lang
rechter Winkel	Winkel von 90 Grad
parallel	Geraden mit gleichbleibendem Abstand
Symmetrieachse	Spiegelgerade einer Figur
Diagonale	Verbindung gegenüberliegender Ecken
Drehsymmetrie	Figur passt nach einer Drehung wieder auf sich

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Eigenschaft
Quadrat-Seiten	alle Seiten gleich lang
Rechteck-Seiten	gegenüberliegende Seiten gleich lang
Innenwinkel	ausschließlich rechte Winkel
Quadrat-Symmetrie	Achsen durch Seitenmitten und Diagonalen
Rechteck-Symmetrie	Achsen durch gegenüberliegende Seitenmitten
Lage einer Figur	verändert die geometrischen Eigenschaften nicht

Kreuzworträtsel

Quadrat	Welches Viereck hat vier gleich lange Seiten und vier rechte Winkel?
Rechteck	Welches Viereck hat vier rechte Winkel?
Parallel	Wie heißen Geraden, die in gleicher Richtung verlaufen und sich nicht schneiden?
Senkrecht	Wie stehen zwei Geraden zueinander, wenn sie einen rechten Winkel bilden?
Diagonale	Wie heißt die Strecke zwischen zwei gegenüberliegenden Ecken?
Symmetrie	Wie heißt die Eigenschaft, bei der eine Figur durch Spiegeln oder Drehen wieder auf sich passen kann?

Lückentext

Vervollständige den Text.

Ein besitzt vier gleich lange Seiten.

Ein Rechteck besitzt vier Winkel.

Bei einem Rechteck sind gegenüberliegende Seiten .

Ein rechter Winkel hat eine Größe von Grad.

Ein Quadrat besitzt Symmetrieachsen.

Ein Rechteck, das kein Quadrat ist, besitzt Symmetrieachsen.

Die Strecke zwischen zwei gegenüberliegenden Ecken heißt .

Jedes Quadrat ist auch ein .

Eine Drehung um 180 Grad bildet jedes Rechteck wieder auf selbst ab.

Beim Quadrat sind die Diagonalen ebenfalls .

Offene Aufgaben

Leicht

1. Quadrat-Suche: Finde in Deinem Klassenraum fünf Gegenstände oder Flächen, die quadratisch wirken. Prüfe bei mindestens zwei Beispielen mit Lineal und Geodreieck, ob Seiten und Winkel wirklich passen.
2. Rechteck-Suche: Suche fünf rechteckige Flächen in Deiner Umgebung. Beschreibe bei zwei Beispielen die gegenüberliegenden Seiten mit geometrischer Fachsprache.
3. Symmetrie-Falten: Schneide ein Papierquadrat und ein nicht quadratisches Papierrechteck aus. Falte beide so, dass Du alle Symmetrieachsen findest. Dokumentiere Deine Faltungen mit einer Skizze.
4. Fachwort-Plakat: Gestalte ein kleines Lernplakat mit den Begriffen Quadrat, Rechteck, parallel, senkrecht, rechter Winkel und Symmetrieachse.

Standard

1. Figuren im Raster: Zeichne im Kästchenraster drei verschiedene Rechtecke und drei verschiedene Quadrate. Markiere gleiche Seiten mit gleichen Zeichen und rechte Winkel mit Winkelmarkierungen.
2. Eigenschafts-Steckbrief: Erstelle je einen Steckbrief zu Quadrat und Rechteck. Verwende mindestens die Bereiche Seiten, Winkel und Symmetrie.
3. Fehler finden: Erfinde vier falsche Aussagen über Quadrat oder Rechteck. Tausche sie mit einer Partnerin oder einem Partner und verbessert die Aussagen gemeinsam mit Fachsprache.
4. Dynamische Geometrie untersuchen: Nutze eine dynamische Geometrie-Anwendung. Verändere ein Rechteck und notiere, was sich ändern darf und welche Eigenschaften erhalten bleiben müssen.

Schwer

1. Begründen statt raten: Erkläre schriftlich, warum jedes Quadrat ein Rechteck ist, aber nicht jedes Rechteck ein Quadrat. Nutze dabei Bedingungen an Seiten und Winkel.
2. Symmetrie-Vergleich: Zeichne Quadrat, nicht quadratisches Rechteck, Raute und Parallelogramm. Untersuche die Symmetrieachsen und entwickle eine Vergleichstabelle.
3. Logo mit Bedingungen: Entwirf ein Logo aus Quadraten und Rechtecken. Das Gesamtbild soll mindestens zwei Symmetrieachsen besitzen. Begründe die Symmetrie.
4. Geometrie-Erklärvideo: Produziere ein kurzes Erklärvideo, in dem Du ein Quadrat und ein Rechteck sicher beschreibst. Zeige Seiten, Winkel und Symmetrie direkt an einer Zeichnung.

Lernkontrolle

1. Figur prüfen: Eine gezeichnete Figur sieht wie ein Quadrat aus. Beschreibe eine Prüfmethode mit Lineal und Geodreieck, mit der Du entscheidest, ob sie wirklich ein Quadrat ist.
2. Rechteck verändern: Ein Rechteck wird breiter, aber seine Höhe bleibt gleich. Erkläre, welche Eigenschaften sich verändern und welche Rechteck-Eigenschaften erhalten bleiben.
3. Quadrat als Rechteck begründen: Begründe mit mindestens zwei Eigenschaften, warum ein Quadrat die Definition eines Rechtecks erfüllt.
4. Symmetrie übertragen: Eine unbekannte Figur hat vier rechte Winkel und genau zwei Symmetrieachsen. Erkläre, was Du über die Figur aussagen kannst und welche zusätzliche Prüfung nötig wäre, um zu entscheiden, ob sie ein Quadrat ist.
5. Drehung untersuchen: Vergleiche ein Quadrat und ein nicht quadratisches Rechteck bei Drehungen um $90^{\circ }$ und $180^{\circ }$. Erkläre die unterschiedlichen Ergebnisse.
6. Fehleranalyse: Jemand behauptet: „Ein Quadrat, das auf einer Ecke steht, ist eine Raute und kein Quadrat mehr.“ Erkläre den Denkfehler mit geometrischen Eigenschaften.

Lernnachweis

Für einen Lernnachweis zu diesem Thema ist wichtig, dass Du:

1. Quadrat und Rechteck anhand ihrer Eigenschaften erkennst und nicht nur nach dem Aussehen entscheidest.
2. Seiten mit den Begriffen gleich lang, benachbart, gegenüberliegend und parallel beschreiben kannst.
3. rechte Winkel sicher erkennst und mit $90^{\circ }$ angibst.
4. die Symmetrieachsen von Quadrat und Rechteck korrekt bestimmen kannst.
5. erklären kannst, warum jedes Quadrat ein Rechteck ist.
6. eine geometrische Aussage mit einer Zeichnung, Messung oder passenden Fachbegriffen begründen kannst.
7. zwischen einer Veränderung der Lage und einer Veränderung der geometrischen Eigenschaften unterscheiden kannst.

OERs zum Thema

Wikipedia zum Quadrat:

Wikipedia zum Rechteck:

Weitere freie und interaktive Lernmedien

Die eingebundenen Wikimedia-Commons-Dateien führen ihre jeweilige Lizenzinformation auf der Dateiseite. Die GeoGebra-Elemente werden als externe interaktive Lernangebote eingebunden.

Verknüpfte Lernbereiche

M6 G - Quadrat und Rechteck sicher beschreiben Viereck Quadrat Rechteck Rechter Winkel Parallelität Senkrechte Symmetrie Symmetrieachse Drehsymmetrie Diagonale