M6 G - Kreise mit dem Zirkel zeichnen

Diesen aiMOOC als Battle spielen: Mathematik, Klasse 5-6, G-Niveau

Einleitung

In diesem aiMOOC lernst Du, wie Du Kreise sauber mit dem Zirkel zeichnest. Dabei arbeitest Du auf dem G-Niveau der Klasse 6. Du unterscheidest sicher zwischen Mittelpunkt, Radius und Durchmesser und kannst aus einer vorgegebenen Länge die richtige Zirkelöffnung bestimmen.

Entdeckerfrage: Welche runden Gegenstände erkennst Du? Wo würdest Du bei jedem Gegenstand ungefähr den Mittelpunkt vermuten?

Das sollst Du können	Mathematische Kurzschreibweise	Praktische Handlung
Mittelpunkt erkennen	$M$	Zirkelspitze genau auf $M$ setzen
Radius verstehen	$r$	Zirkelöffnung auf $r$ einstellen
Durchmesser verstehen	$d$	zuerst $r=\frac{d}{2}$ bestimmen
Kreis zeichnen	alle Punkte der Kreislinie haben Abstand $r$ von $M$	Zirkel ruhig einmal herumführen

Kreis im Alltag

Kreise und kreisähnliche Formen findest Du überall: an Rädern, Tellern, Knöpfen, Deckeln, Münzen oder Zifferblättern. In der Mathematik ist besonders wichtig: Die Kreislinie besteht aus allen Punkten, die vom Mittelpunkt gleich weit entfernt sind.

Beim Fahrradreifen kannst Du Dir die Nabe als ungefähren Mittelpunkt vorstellen. Eine Speiche vom Mittelpunkt bis zum Reifen veranschaulicht einen Radius. Zwei gegenüberliegende Speichen auf einer geraden Linie veranschaulichen zusammen einen Durchmesser.

Mittelpunkt, Radius und Durchmesser

Begriff	Zeichen	Bedeutung	Merksatz
Mittelpunkt	$M$	fester Punkt in der Mitte des Kreises	Die Zirkelspitze bleibt beim Zeichnen auf $M$.
Radius	$r$	Strecke vom Mittelpunkt bis zur Kreislinie	Jeder Radius desselben Kreises ist gleich lang.
Durchmesser	$d$	Strecke von einer Seite der Kreislinie durch den Mittelpunkt zur gegenüberliegenden Seite	Ein Durchmesser besteht aus zwei Radien.

Der wichtigste Zusammenhang

$d=2\cdot r$      $r=\frac{d}{2}$

Gegeben	Rechenweg	Ergebnis	Zirkelöffnung
$r=3\mathrm{c}\mathrm{m}$	$d=2\cdot 3\mathrm{c}\mathrm{m}$	$d=6\mathrm{c}\mathrm{m}$	$3\mathrm{c}\mathrm{m}$
$d=8\mathrm{c}\mathrm{m}$	$r=\frac{8\mathrm{c}\mathrm{m}}{2}$	$r=4\mathrm{c}\mathrm{m}$	$4\mathrm{c}\mathrm{m}$
$d=7\mathrm{c}\mathrm{m}$	$r=\frac{7\mathrm{c}\mathrm{m}}{2}$	$r=\mathrm{3,5}\mathrm{c}\mathrm{m}$	$\mathrm{3,5}\mathrm{c}\mathrm{m}$

Achtung: Am Zirkel stellst Du immer den Radius ein, nicht den Durchmesser.

Der Zirkel als Werkzeug

Ein Zirkel hat eine Spitze und eine Bleistiftmine. Die Spitze legt den Mittelpunkt fest. Die Bleistiftmine zeichnet die Kreislinie. Der Abstand zwischen Spitze und Mine ist der Radius.

Teil des Zirkels	Aufgabe	Darauf achtest Du
Metallspitze	hält den Mittelpunkt fest	senkrecht und sicher auf $M$ setzen
Bleistiftmine	zeichnet die Kreislinie	Mine soll spitz sein und das Papier leicht berühren
Gelenk	hält die Zirkelöffnung	beim Zeichnen nicht zusammendrücken
Zirkelöffnung	entspricht dem Radius	mit dem Lineal genau messen

Eine Kreiszeichnung als Animation

Beobachte die Animation genau: Die Zirkelspitze bleibt an einer Stelle. Nur der andere Schenkel bewegt sich um den Mittelpunkt. So entsteht eine Kreislinie mit gleichbleibendem Radius.

Kreis bei vorgegebenem Radius zeichnen

Beispiel: Zeichne einen Kreis mit Mittelpunkt $M$ und Radius $r=3\mathrm{c}\mathrm{m}$.

Schritt	Was Du tust	Kontrolle
1. Mittelpunkt markieren	Setze einen gut sichtbaren Punkt und beschrifte ihn mit $M$.	Der Punkt darf nicht zu dick sein.
2. Radius einstellen	Öffne den Zirkel am Lineal auf $3\mathrm{c}\mathrm{m}$.	Miss von der Metallspitze bis zur Bleistiftmine.
3. Zirkelspitze setzen	Setze die Metallspitze genau auf $M$.	Die Spitze darf nicht verrutschen.
4. Kreis zeichnen	Halte den Zirkel oben am Griff und drehe ihn gleichmäßig einmal herum.	Die Zirkelöffnung bleibt unverändert.
5. Prüfen	Miss an mehreren Stellen vom Mittelpunkt bis zur Kreislinie.	Es soll jeweils ungefähr $3\mathrm{c}\mathrm{m}$ sein.

Mini-Check: Wenn $r=3\mathrm{c}\mathrm{m}$ ist, dann gilt $d=2\cdot 3\mathrm{c}\mathrm{m}=6\mathrm{c}\mathrm{m}$.

Sauber zeichnen: die 5-Punkte-Kontrolle

Prüffrage	Ja	Noch verbessern
Ist der Mittelpunkt klar markiert?	□	□
Ist die Zirkelöffnung genau eingestellt?	□	□
Bleibt die Spitze im Mittelpunkt?	□	□
Bleibt die Zirkelöffnung beim Drehen gleich?	□	□
Ist die Kreislinie dünn, geschlossen und ohne Doppelspur?	□	□

Kreis bei vorgegebenem Durchmesser zeichnen

Bei einem gegebenen Durchmesser musst Du zuerst halbieren. Denn der Zirkel wird auf den Radius eingestellt.

Beispiel: Gegeben ist $d=10\mathrm{c}\mathrm{m}$.

Schritt	Rechnung oder Handlung
Durchmesser ablesen	$d=10\mathrm{c}\mathrm{m}$
Radius bestimmen	$r=\frac{d}{2}=\frac{10\mathrm{c}\mathrm{m}}{2}=5\mathrm{c}\mathrm{m}$
Zirkel einstellen	$5\mathrm{c}\mathrm{m}$
Mittelpunkt markieren	$M$
Kreis zeichnen	Zirkelspitze auf $M$, einmal ruhig herumdrehen

Noch ein Beispiel: Bei $d=9\mathrm{c}\mathrm{m}$ gilt $r=\frac{9\mathrm{c}\mathrm{m}}{2}=\mathrm{4,5}\mathrm{c}\mathrm{m}$. Die Zirkelöffnung beträgt also $\mathrm{4,5}\mathrm{c}\mathrm{m}$.

Rechenweg zum Aufklappen im Kopf

Start	Operation	Ziel
$r$	$\times 2$	$d$
$d$	$:2$	$r$

$r\stackrel{\times 2}{\to }d$      $d\stackrel{:2}{\to }r$

Typische Fehler erkennen und verbessern

Fehler	Was passiert?	Verbesserung
Durchmesser direkt am Zirkel eingestellt	Der Kreis wird doppelt so groß wie gewünscht.	Erst $r=\frac{d}{2}$ berechnen.
Zirkelspitze verrutscht	Die Kreislinie bekommt keinen festen Mittelpunkt.	Spitze kräftig, aber vorsichtig auf $M$ halten.
Zirkelöffnung verändert sich	Der Kreis wird ungleichmäßig oder schließt nicht sauber.	Gelenk kontrollieren und nur am Griff drehen.
Mine ist stumpf	Die Kreislinie wird dick und ungenau.	Mine vorsichtig spitzen.
Zu viel Druck	Papier kann einreißen oder die Spitze kann wegrutschen.	Mit wenig Druck und gleichmäßiger Bewegung zeichnen.

Dynamische Geometrie: Radius verändern

Mit einer dynamischen Geometrie kannst Du beobachten, wie sich ein Kreis verändert, wenn der Radius größer oder kleiner wird. Der Mittelpunkt bleibt dabei fest.

Beobachtungsauftrag: Verändere den Radius. Beschreibe, was mit dem Kreis geschieht. Prüfe dabei immer: Der Abstand von $M$ zur Kreislinie ist genau der eingestellte Radius.

Mittelpunkt, Radius und Durchmesser interaktiv

Bearbeite die Fragen im Material und nutze dabei: $d=2r$ und $r=\frac{d}{2}$.

Lernvideos

Das folgende Video erklärt Kreis, Radius, Durchmesser und das Zeichnen mit dem Zirkel.

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Ein weiteres Video zeigt den Umgang mit Zirkel, Radius und Durchmesser.

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Übungsstrecke

Aufgabe	Gegeben	Bestimme zuerst	Zirkelöffnung
A	$r=2\mathrm{c}\mathrm{m}$	$d=4\mathrm{c}\mathrm{m}$	$2\mathrm{c}\mathrm{m}$
B	$r=\mathrm{4,5}\mathrm{c}\mathrm{m}$	$d=9\mathrm{c}\mathrm{m}$	$\mathrm{4,5}\mathrm{c}\mathrm{m}$
C	$d=6\mathrm{c}\mathrm{m}$	$r=3\mathrm{c}\mathrm{m}$	$3\mathrm{c}\mathrm{m}$
D	$d=11\mathrm{c}\mathrm{m}$	$r=\mathrm{5,5}\mathrm{c}\mathrm{m}$	$\mathrm{5,5}\mathrm{c}\mathrm{m}$

Arbeitsauftrag: Zeichne zu jeder Zeile einen Kreis mit einem selbst gewählten Mittelpunkt. Beschrifte jeweils $M$, $r$ und $d$.

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Was ist der Radius eines Kreises? (Die Strecke vom Mittelpunkt zur Kreislinie) (!Die Strecke einmal um den Kreis) (!Die Strecke zwischen zwei beliebigen Punkten) (!Der Mittelpunkt selbst)

Welche Formel verbindet Durchmesser und Radius? (d gleich zwei mal r) (!d gleich r geteilt durch zwei) (!d gleich r plus eins) (!d gleich r mal r)

Ein Kreis hat den Radius 4 cm. Wie groß ist sein Durchmesser? (8 cm) (!2 cm) (!4 cm) (!16 cm)

Ein Kreis hat den Durchmesser 10 cm. Welche Zirkelöffnung brauchst Du? (5 cm) (!10 cm) (!20 cm) (!2 cm)

Wo steht die Metallspitze des Zirkels beim Zeichnen? (Im Mittelpunkt) (!Auf dem Durchmesserende) (!Irgendwo auf der Kreislinie) (!Am Linealrand)

Was muss beim Zeichnen eines Kreises gleich bleiben? (Die Zirkelöffnung) (!Die Richtung des Lineals) (!Die Länge des Bleistifts) (!Die Lage des Papiers)

Welche Aussage über Punkte auf derselben Kreislinie stimmt? (Sie haben alle denselben Abstand vom Mittelpunkt) (!Sie liegen alle auf einer Geraden) (!Sie haben verschiedene Abstände vom Mittelpunkt) (!Sie liegen alle im Mittelpunkt)

Was musst Du zuerst tun, wenn nur der Durchmesser gegeben ist? (Den Durchmesser halbieren) (!Den Durchmesser verdoppeln) (!Den Radius verdoppeln) (!Den Mittelpunkt löschen)

Woran erkennst Du eine saubere Kreiszeichnung? (Die Kreislinie ist geschlossen und die Zirkelspitze blieb fest) (!Die Linie ist möglichst dick) (!Der Mittelpunkt wurde nicht markiert) (!Die Zirkelöffnung wurde beim Drehen verändert)

Bei einem Durchmesser von 7 cm beträgt der Radius? (3,5 cm) (!7 cm) (!14 cm) (!2,5 cm)

Memory

Mittelpunkt	fester Punkt in der Kreismitte
Radius	Strecke von der Kreismitte zur Kreislinie
Durchmesser	Strecke durch die Kreismitte von Rand zu Rand
Zirkelspitze	bleibt beim Zeichnen am festen Punkt
Bleistiftmine	zeichnet die Kreislinie
Halbieren	macht aus dem Durchmesser den passenden Radius

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Thema
Mittelpunkt	Hier bleibt die Zirkelspitze stehen.
Radius	Diese Länge stellst Du am Zirkel ein.
Durchmesser	Diese Strecke geht durch die Mitte von Rand zu Rand.
Halbieren	Das machst Du mit einem gegebenen Durchmesser.
Kreislinie	Sie wird von der Bleistiftmine gezeichnet.

Kreuzworträtsel

Radius	Wie heißt die Strecke vom Mittelpunkt zur Kreislinie?
Zirkel	Welches Werkzeug benutzt Du zum Zeichnen eines Kreises?
Mittelpunkt	Wie heißt der feste Punkt in der Mitte des Kreises?
Durchmesser	Welche Strecke geht durch den Mittelpunkt von Rand zu Rand?
Kreislinie	Was zeichnet die Mine beim Drehen des Zirkels?
Halbieren	Welche Rechenhandlung brauchst Du vom Durchmesser zum Radius?

Lückentext

Vervollständige den Text.

Die feste Stelle in der Mitte eines Kreises heißt . Die Strecke vom Mittelpunkt zur Kreislinie heißt . Die Strecke von einer Seite der Kreislinie durch den Mittelpunkt zur anderen Seite heißt . Für den Durchmesser gilt die Formel . Ist der Durchmesser gegeben, musst Du ihn zuerst . Die Zirkelspitze bleibt beim Zeichnen auf dem . Der Abstand zwischen Zirkelspitze und Mine entspricht dem . Eine saubere Kreislinie gelingt, wenn die Zirkelöffnung beim Drehen bleibt.

Offene Aufgaben

Leicht

1. Kreis: Suche drei kreisförmige Gegenstände in Deinem Alltag, fotografiere oder skizziere sie und markiere jeweils den vermuteten Mittelpunkt.
2. Radius: Zeichne drei Kreise mit $r=2\mathrm{c}\mathrm{m}$, $r=3\mathrm{c}\mathrm{m}$ und $r=4\mathrm{c}\mathrm{m}$ und vergleiche ihre Größen.
3. Durchmesser: Erstelle eine Karte mit den beiden Beziehungen $d=2r$ und $r=\frac{d}{2}$ und ergänze je ein Zahlenbeispiel.
4. Zirkel: Lass einen Partner Deine Zirkelhaltung beobachten und nutze gemeinsam die 5-Punkte-Kontrolle aus dem Lerntext.

Standard

1. Geometrische Konstruktion: Zeichne einen Kreis mit $d=9\mathrm{c}\mathrm{m}$ und dokumentiere jeden Schritt mit einer kleinen Skizze.
2. Fehleranalyse: Erfinde eine fehlerhafte Kreiszeichnung, beschreibe den Fehler und erkläre, wie er verbessert werden kann.
3. GeoGebra: Verändere in der interaktiven Geometrie den Radius und notiere drei Beobachtungen zum Zusammenhang von Radius und Durchmesser.
4. Kreismuster: Gestalte eine Rosette aus mehreren Kreisen mit demselben Radius und markiere alle verwendeten Mittelpunkte.

Schwer

1. Konstruktionsbeschreibung: Schreibe eine so genaue Anleitung für einen Kreis mit $d=7\mathrm{c}\mathrm{m}$, dass jemand anderes ihn ohne Rückfrage zeichnen kann.
2. Mathematische Modellierung: Plane ein rundes Klassenschild mit Durchmesser $20\mathrm{c}\mathrm{m}$. Bestimme die nötige Zirkelöffnung und erkläre Deinen Rechenweg.
3. Qualitätskontrolle: Zeichne einen Kreis mit $r=5\mathrm{c}\mathrm{m}$, miss den Radius an vier verschiedenen Stellen und beurteile, wie genau Deine Zeichnung ist.
4. Erklärvideo: Produziere ein kurzes Lernvideo, in dem Du Mittelpunkt, Radius, Durchmesser und das Zeichnen eines Kreises mit dem Zirkel verständlich erklärst.

Lernkontrolle

1. Transfer Radius Durchmesser: Ein Deckel hat einen Durchmesser von $12\mathrm{c}\mathrm{m}$. Erkläre, welche Zirkelöffnung Du für eine gleich große Kreiszeichnung brauchst und warum.
2. Fehler beim Kreiszeichnen: Ein Schüler stellt den Zirkel bei $d=8\mathrm{c}\mathrm{m}$ auf $8\mathrm{c}\mathrm{m}$. Beschreibe den Fehler und korrigiere ihn.
3. Begründen mit Geometrie: Erkläre mit einer Skizze, warum der Durchmesser immer doppelt so lang wie der Radius ist.
4. Konstruktionsvergleich: Vergleiche zwei Vorgehensweisen: Kreis mit gegebenem Radius und Kreis mit gegebenem Durchmesser. Nenne den zusätzlichen Rechenschritt bei der zweiten Variante.
5. Genauigkeit: Eine Kreislinie schließt nicht sauber. Nenne zwei mögliche Ursachen am Zirkel und passende Verbesserungen.
6. Alltagsgeometrie: Wähle einen runden Gegenstand aus dem Alltag und beschreibe, wie Du Mittelpunkt, Radius und Durchmesser daran sinnvoll kennzeichnen würdest.

Lernnachweis

Für einen Lernnachweis solltest Du zeigen, dass Du:

1. Mittelpunkt: den Mittelpunkt korrekt markierst und beim Zeichnen festhältst.
2. Radius: den Radius als Abstand vom Mittelpunkt zur Kreislinie erklärst und am Zirkel einstellst.
3. Durchmesser: den Durchmesser als Strecke durch den Mittelpunkt von Rand zu Rand erkennst.
4. Radius und Durchmesser: sicher mit $d=2r$ und $r=\frac{d}{2}$ arbeitest.
5. Kreis konstruieren: Kreise zu vorgegebenem Radius sauber mit dem Zirkel zeichnest.
6. Kreis konstruieren: Kreise zu vorgegebenem Durchmesser zeichnest, indem Du zuerst den Radius bestimmst.
7. Geometrische Genauigkeit: Deine Zeichnung mit Lineal und Sichtkontrolle überprüfst und typische Fehler verbesserst.

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Medien- und Lizenzhinweise

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A bicycle wheel.jpg	Moebiusuibeom-en	CC BY-SA 4.0
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Center, radius and diameter.gif	Firestom57	CC BY-SA 3.0 und GFDL
Basic constructions animation.gif	Spiritual Directive	CC BY-SA 4.0

Verknüpfte Lernbereiche

Kreis Mittelpunkt Radius Durchmesser Zirkel Geometrische Konstruktion Strecke GeoGebra