M6 G - Ganze Zahlen vergleichen und ordnen

Diesen aiMOOC als Battle spielen: Mathematik, Klasse 5-6, G-Niveau

Einleitung

Ganze Zahlen begegnen Dir im Alltag überall: Temperaturen können unter $0^{\circ }\mathrm{C}$ liegen, ein Aufzug fährt in Untergeschosse, Höhen können unter dem Meeresspiegel liegen und ein Kontostand kann negativ sein. In diesem aiMOOC lernst Du, positive und negative ganze Zahlen sicher zu vergleichen und zu ordnen. Das wichtigste Werkzeug ist die Zahlengerade.

Die Menge der ganzen Zahlen wird mit $\mathbb{Z}$ bezeichnet: $\mathbb{Z}=\{\dots ,-3,-2,-1,0,1,2,3,\dots \}$.

Merke: Auf einer üblichen horizontalen Zahlengeraden werden die Zahlen nach rechts größer und nach links kleiner. Deshalb gilt zum Beispiel: $-7<-2<3$.

Lernziele

Nach diesem aiMOOC kannst Du ganze Zahlen auf einer Zahlengeraden finden, zwei ganze Zahlen mit $<$, $>$ oder $=$ vergleichen, mehrere ganze Zahlen der Größe nach ordnen und Deine Entscheidung mit der Lage auf der Zahlengeraden begründen. Du kannst außerdem Alltagssituationen mit Temperaturen, Stockwerken und Höhenangaben richtig deuten.

Ganze Zahlen verstehen

Positive Zahlen, negative Zahlen und Null

Eine positive ganze Zahl ist größer als $0$. Eine negative ganze Zahl ist kleiner als $0$. Die Zahl $0$ ist weder positiv noch negativ.

Bereich	Beispiele	Lage auf der Zahlengeraden
negative ganze Zahlen	$-8,-3,-1$	links von $0$
Null	$0$	Nullpunkt
positive ganze Zahlen	$1,4,12$	rechts von $0$

Das Pluszeichen bei positiven Zahlen kann geschrieben werden, muss aber meistens nicht geschrieben werden: $+5=5$. Das Minuszeichen bei einer negativen Zahl gehört zur Zahl: $-5$ ist eine andere Zahl als $5$.

Zahlengerade statt Zahlenstrahl

Für ganze Zahlen brauchst Du eine Darstellung, die sich nach links und rechts fortsetzen lässt. Auf der Zahlengeraden sind gleiche Zahlenschritte gleich weit voneinander entfernt. Ganze Zahlen lassen sich so als markierte Punkte auffassen:

$\cdots <-5<-4<-3<-2<-1<0<1<2<3<4<5<\cdots$

Grundregel: Von links nach rechts werden die Zahlen größer.

Diese interaktive Übung führt vom Zahlenstrahl zur Zahlengeraden. Untersuche besonders, warum negative Zahlen links von $0$ liegen.

Ganze Zahlen vergleichen

Die Lage entscheidet

Wenn Du zwei ganze Zahlen vergleichst, stellst Du Dir ihre Positionen auf der Zahlengeraden vor.

Vergleich	Lage auf der Zahlengeraden	Begründung
$-7<-2$	$-7$ liegt links von $-2$	Die linkere Zahl ist kleiner.
$-2<3$	$-2$ liegt links von $3$	Jede negative Zahl ist kleiner als jede positive Zahl.
$6>1$	$6$ liegt rechts von $1$	Die rechtere Zahl ist größer.
$0>-4$	$0$ liegt rechts von $-4$	Null ist größer als jede negative Zahl.

So kannst Du eine Begründung formulieren: „$-7$ liegt auf der Zahlengeraden links von $-2$. Deshalb gilt $-7<-2$.“

Diese interaktive Übung trainiert genau das Vergleichen ganzer Zahlen mit der Zahlengeraden.

Die Vergleichszeichen

Das Zeichen $<$ bedeutet „kleiner als“. Das Zeichen $>$ bedeutet „größer als“. Die offene Seite des Zeichens zeigt zur größeren Zahl, die Spitze zur kleineren Zahl.

$-9<-4$

$5>-2$

$0=-0$

Schnellcheck: Wenn Du unsicher bist, frage nicht „Welche Ziffer sieht größer aus?“, sondern „Welche Zahl liegt weiter rechts?“.

Zwei negative Zahlen vergleichen

Bei negativen Zahlen ist eine typische Falle: $8>3$, aber daraus folgt nicht $-8>-3$. Auf der Zahlengeraden liegt $-8$ weiter links. Deshalb gilt: $-8<-3$.

Du kannst auch den Abstand zur Null betrachten. Unter zwei negativen Zahlen ist die Zahl näher an $0$ die größere: $-2>-7$.

Optional kannst Du dafür den Betrag nutzen: $|-2|=2$ und $|-7|=7$. Unter zwei negativen Zahlen gehört zum größeren Betrag die kleinere Zahl.

Schritt für Schritt vergleichen

Schritt	Beispiel $-6$ und $-1$
1. Zahlen erkennen	Beide Zahlen sind negativ.
2. Lage vorstellen	$-6$ liegt weiter links als $-1$.
3. Vergleichszeichen einsetzen	$-6<-1$.
4. Begründung sprechen	„Weil $-6$ links von $-1$ liegt, ist $-6$ kleiner.“

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Das Video behandelt das Vergleichen und Ordnen ganzer Zahlen für Klasse 6 und nutzt anschauliche Ordnungsbeispiele.

Ganze Zahlen ordnen

Aufsteigend ordnen

Aufsteigend bedeutet: von der kleinsten zur größten Zahl. Auf der Zahlengeraden liest Du dafür von links nach rechts.

Ordne $4,-6,0,-1,3$:

$-6<-1<0<3<4$.

Ein weiteres Beispiel ist: $-7<-2<3$.

Absteigend ordnen

Absteigend bedeutet: von der größten zur kleinsten Zahl. Auf der Zahlengeraden liest Du dafür von rechts nach links.

Für dieselben Zahlen erhältst Du: $4>3>0>-1>-6$.

Visueller Sortierweg

Ausgangskarten	$-5$	$2$	$-1$	$0$	$7$
Schritt 1	Negative Zahlen nach links, Null in die Mitte, positive Zahlen nach rechts.
Schritt 2	Unter den negativen Zahlen liegt $-5$ links von $-1$.
Ergebnis	$-5<-1<0<2<7$

Hier liest Du markierte Zahlen ab, bildest Ordnungsketten und ordnest mehrere ganze Zahlen auf- und absteigend.

Diese Übung eignet sich als kurze interaktive Vergleichsphase auf G-Niveau.

Ganze Zahlen im Alltag

Temperaturen am Thermometer

Temperaturen unter $0^{\circ }\mathrm{C}$ werden mit negativen Zahlen angegeben. Je höher die Temperatur am Thermometer liegt, desto größer ist die Zahl.

Vergleiche $-8^{\circ }\mathrm{C}$, $-3^{\circ }\mathrm{C}$ und $2^{\circ }\mathrm{C}$: $-8<-3<2$.

Also ist $-8^{\circ }\mathrm{C}$ am kältesten und $2^{\circ }\mathrm{C}$ am wärmsten.

Am interaktiven Thermometer kannst Du Temperaturen über und unter $0^{\circ }\mathrm{C}$ ablesen und vergleichen.

Untergeschosse im Aufzug

Untergeschosse werden oft mit negativen Zahlen bezeichnet. Ein Stockwerk $-3$ liegt tiefer als ein Stockwerk $-1$. Mathematisch gilt: $-3<-1$.

Das reale Aufzugfoto zeigt, dass negative Zahlen nicht nur im Mathematikheft vorkommen.

Höhen über und unter dem Meeresspiegel

Der Meeresspiegel kann als Bezugshöhe $0\mathrm{m}$ dienen. Eine Höhe von $120\mathrm{m}$ liegt darüber, eine Höhe von $-30\mathrm{m}$ darunter. Daher gilt: $-30<0<120$.

Lernvideo: Negative Zahlen auf der Zahlengeraden

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Achte beim Video darauf, wie negative Zahlen links von $0$ eingeordnet werden.

Lernvideo: Ganze Zahlen ordnen

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Dieses Erklärvideo zeigt, wie die Zahlengerade beim Vergleichen und bei Ordnungsketten hilft.

Typische Fehler vermeiden

Fehler	Korrektur
„$-9$ ist größer als $-4$, weil $9>4$.“	Falsch. $-9$ liegt weiter links. Also $-9<-4$.
„$0$ ist positiv.“	Falsch. $0$ ist weder positiv noch negativ.
„Das Minuszeichen kann ich beim Vergleichen ignorieren.“	Falsch. Das Vorzeichen gehört zur Zahl.
„Die Spitze des Vergleichszeichens zeigt zur größeren Zahl.“	Falsch. Die Spitze zeigt zur kleineren Zahl.

Merksatz: Rechts ist größer, links ist kleiner.

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Welche Zahl ist größer? (-2) (!-7) (!-9) (!-12)

Welcher Vergleich ist richtig? (-7 < -2) (!-7 > -2) (!-2 < -7) (!-7 = -2)

Welche Zahl liegt auf der Zahlengeraden am weitesten links? (-9) (!-4) (!0) (!3)

Welche Ordnung ist aufsteigend? (-5 < -1 < 0 < 4) (!4 < 0 < -1 < -5) (!-1 < -5 < 0 < 4) (!0 < -1 < -5 < 4)

Welche Aussage über Null stimmt? (Null ist weder positiv noch negativ) (!Null ist immer positiv) (!Null ist immer negativ) (!Null ist kleiner als jede negative Zahl)

Welche Temperatur ist am wärmsten? (3 Grad Celsius) (!-1 Grad Celsius) (!-5 Grad Celsius) (!-9 Grad Celsius)

Welche Zahl ist kleiner als -3? (-8) (!-1) (!0) (!5)

Welche Ordnung ist absteigend? (6 > 1 > 0 > -2) (!-2 > 0 > 1 > 6) (!0 > 6 > 1 > -2) (!1 > 6 > 0 > -2)

Warum gilt -6 < -1? (-6 liegt auf der Zahlengeraden links von -1) (!-6 hat die größere Ziffer) (!-1 ist negativ und -6 ist positiv) (!Negative Zahlen sind immer gleich groß)

Welches Stockwerk liegt tiefer? (Untergeschoss -4) (!Untergeschoss -1) (!Erdgeschoss 0) (!Stockwerk 2)

Memory

Zahlengerade	Zahlen werden von links nach rechts größer
negative Zahl	kleiner als Null
positive Zahl	größer als Null
Null	weder positiv noch negativ
Kleinerzeichen	Spitze zeigt zur kleineren Zahl
größere Zahl	liegt weiter rechts
Thermometer	zeigt Temperaturen oberhalb und unterhalb von null Grad

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Thema
Zahlengerade	Ordnungsmodell
Nullpunkt	Grenze zwischen negativem und positivem Bereich
Kleinerzeichen	Vergleich mit Spitze zur kleineren Zahl
aufsteigend	von klein nach groß
absteigend	von groß nach klein

Interaktive Sortierung

Nutze die Zuordnungs- und Sortierübung, um ganze Zahlen sicher einzuordnen. Begründe anschließend mindestens einen Vergleich mit „liegt links von“ oder „liegt rechts von“.

Kreuzworträtsel

Zahlengerade	Wie heißt die Gerade, auf der Zahlen ihrer Größe nach angeordnet werden?
negativ	Wie nennt man eine Zahl, die kleiner als Null ist?
positiv	Wie nennt man eine Zahl, die größer als Null ist?
Nullpunkt	Wie heißt der Punkt der Zahl Null auf der Zahlengeraden?
Vorzeichen	Wie heißt das Zeichen vor einer positiven oder negativen Zahl?
Thermometer	Welches Messgerät veranschaulicht Temperaturen über und unter null Grad?

Lückentext

Vervollständige den Text.

Ganze Zahlen werden auf der ihrer Größe nach angeordnet. Auf einer üblichen horizontalen Zahlengeraden werden die Zahlen nach rechts . Negative Zahlen liegen links von der . Die Zahl Null ist weder positiv noch . Von zwei negativen Zahlen ist die Zahl weiter rechts die . Beim aufsteigenden Ordnen beginnt man mit der Zahl. Beim absteigenden Ordnen beginnt man mit der Zahl. Die Spitze des Kleinerzeichens zeigt zur Zahl.

Offene Aufgaben

Leicht

1. Zahlengerade zeichnen: Zeichne eine Zahlengerade von $-10$ bis $10$ und markiere $-7,-2,0,3,8$. Schreibe anschließend drei richtige Vergleiche auf.
2. Temperaturtagebuch: Erfinde fünf Temperaturen zwischen $-10^{\circ }\mathrm{C}$ und $10^{\circ }\mathrm{C}$. Ordne sie vom kältesten zum wärmsten Wert.
3. Aufzugmodell: Zeichne ein Gebäude mit Erdgeschoss, vier Obergeschossen und drei Untergeschossen. Beschrifte die Ebenen mit ganzen Zahlen.
4. Vergleichssätze: Formuliere zu den Paaren $-6$ und $-2$, $0$ und $-4$ sowie $5$ und $-1$ jeweils eine Begründung mit „liegt links von“ oder „liegt rechts von“.

Standard

1. Zahlenkarten sortieren: Schreibe zehn ganze Zahlen auf Karten, mische sie und sortiere sie aufsteigend. Fotografiere oder zeichne Deine fertige Ordnungskette und begründe zwei schwierige Stellen.
2. Fehlerdetektiv: Erfinde drei falsche Vergleiche mit negativen Zahlen. Korrigiere sie und erkläre jeweils den Denkfehler.
3. Thermometer-Aufgabe: Entwirf ein Thermometer mit mindestens sechs markierten Temperaturen. Stelle zwei Vergleichsfragen und eine Sortierfrage dazu.
4. Alltagszahlen recherchieren: Finde in Deiner Umgebung oder in Medien drei sinnvolle Anwendungen negativer Zahlen, zum Beispiel Temperaturen, Untergeschosse oder Höhen. Erkläre jeweils, was $0$ bedeutet.

Schwer

1. Zahlengeraden-Rätsel: Erfinde ein Rätsel mit fünf unbekannten Zahlen und Hinweisen wie „A liegt links von B“ oder „C ist größer als 0“. Gib eine eindeutige Lösung an.
2. Begründung prüfen: Untersuche die Behauptung „Je größer der Betrag einer ganzen Zahl, desto größer ist die Zahl.“ Finde Gegenbeispiele und formuliere eine korrekte Aussage für zwei negative Zahlen.
3. Erklärvideo planen: Erstelle ein kurzes Drehbuch für ein altersgerechtes Erklärvideo zum Vergleich $-8<-3$. Nutze eine gezeichnete Zahlengerade und eine Alltagssituation.
4. Transferaufgabe Meereshöhe: Erfinde vier Orte mit Höhen zwischen $-100\mathrm{m}$ und $500\mathrm{m}$. Ordne sie und formuliere zwei Aussagen darüber, welcher Ort höher oder tiefer liegt.

Lernkontrolle

1. Begründen mit der Zahlengerade: Leon behauptet $-9>-4$, weil $9>4$. Erkläre seinen Fehler und begründe den richtigen Vergleich mithilfe der Zahlengeraden.
2. Temperaturen vergleichen: Morgens werden $-6^{\circ }\mathrm{C}$, mittags $-1^{\circ }\mathrm{C}$ und abends $2^{\circ }\mathrm{C}$ gemessen. Ordne die Temperaturen und erkläre, wann es am wärmsten war.
3. Aufzug und Höhe: Ein Aufzug steht in Ebene $-3$, fährt zu $0$ und danach zu $4$. Beschreibe die Lage der drei Ebenen zueinander und formuliere eine passende Ordnungskette.
4. Unbekannte Zahl: Finde drei verschiedene ganze Zahlen $x$, für die $-5<x<2$ gilt. Begründe jede Wahl mit ihrer Lage auf der Zahlengeraden.
5. Sortierstrategie: Ordne $7,-2,-8,0,3,-1$ aufsteigend. Beschreibe anschließend eine Strategie, mit der Du die Reihenfolge auch ohne Zeichnung sicher prüfen kannst.
6. Alltagstransfer: Erkläre an einem eigenen Beispiel, warum eine negative Zahl mit größerem Betrag kleiner sein kann als eine negative Zahl mit kleinerem Betrag.

Lernnachweis

1. Zahlengerade: Du kannst ganze Zahlen korrekt auf einer Zahlengeraden eintragen und ablesen.
2. Vergleichszeichen: Du setzt $<$, $>$ und $=$ sicher ein.
3. Ordnungskette: Du ordnest mehrere ganze Zahlen auf- und absteigend.
4. Begründung: Du begründest Vergleiche über die Lage „links von“ beziehungsweise „rechts von“.
5. Alltagstransfer: Du deutest negative Zahlen bei Temperaturen, Untergeschossen und Höhen und erkennst typische Fehlvorstellungen.

OERs zum Thema

Freie Medien und interaktive Vertiefung

Die verwendeten Abbildungen stammen aus Wikimedia Commons. Die jeweiligen Dateibeschreibungsseiten enthalten Urheber- und Lizenzangaben. Die eingebetteten GeoGebra-Materialien dienen der interaktiven Vertiefung zum Vergleichen und Ordnen ganzer Zahlen. Die YouTube-Videos werden als externe Videos eingebettet.

Datei	Lizenz laut Wikimedia Commons	Einsatz im aiMOOC
NumberLineIntegers.svg	CC BY-SA 3.0 beziehungsweise weitere angegebene freie Lizenzen	Zahlengerade von negativen zu positiven ganzen Zahlen
Integers-line.svg	CC BY-SA 3.0 beziehungsweise GFDL	Ganze Zahlen mit Vorzeichen
Thermometer Celcius.svg	CC0 1.0	Temperaturdarstellung
AufzugA3.jpg	CC BY-SA 4.0	Negative Stockwerke
Elevator Negative Floor Numbers in Ireland (16785350923).jpg	CC BY 2.0	Reales Beispiel für Untergeschosse

Verknüpfte Lernbereiche

Ganze Zahlen Positive und negative Zahlen Zahlengerade Zahlen vergleichen Betrag Koordinatensystem Temperatur