M6 G - Änderungen auf der Zahlengeraden beschreiben

Einleitung

Im Alltag ändern sich Werte ständig: Die Temperatur steigt, ein Aufzug fährt nach oben oder unten, ein Punktestand wächst oder sinkt und ein Kontostand kann sich verändern. In diesem aiMOOC lernst Du, solche gerichteten Veränderungen mit ganzen Zahlen zu beschreiben. Entscheidend sind immer zwei Fragen: Wie viele Schritte? und in welche Richtung?

Auf der Zahlengerade liegen kleinere Zahlen links und größere Zahlen rechts.

Bewegung	Veränderung	mathematisch	Merksatz
nach rechts	Zunahme	$\Delta >0$	Der Wert wird größer.
nach links	Abnahme	$\Delta <0$	Der Wert wird kleiner.
keine Bewegung	keine Änderung	$\Delta =0$	Der Wert bleibt gleich.

Ziel: Du kannst zu einem Startwert und einem Zielwert die Veränderung bestimmen, sie mit einem Vorzeichen angeben und auf der Zahlengeraden als Bewegung deuten.

Die Zahlengerade als Bewegungsmodell

Eine Zahlengerade ist mehr als eine Reihe von Zahlen. Du kannst sie wie einen Weg lesen.

$\dots <-4<-3<-2<-1<0<1<2<3<4<\dots$

Richtung	Beispiel	Bedeutung
$⟶$	$-3⟶-2⟶-1⟶0$	Jeder Schritt nach rechts erhöht den Wert um $1$.
$⟵$	$3⟶2⟶1⟶0$	Jeder Schritt nach links verringert den Wert um $1$.

Wichtig: Das Vorzeichen der Veränderung beschreibt die Richtung.

$+5$ bedeutet: $5$ Schritte nach rechts. $-5$ bedeutet: $5$ Schritte nach links.

Startwert, Zielwert und Veränderung

Bei einer Veränderung brauchst Du drei Angaben:

Begriff	Frage	Beispiel
Startwert	Wo beginnst Du?	$S=-4$
Zielwert	Wo kommst Du an?	$Z=2$
Veränderung	Wie weit und in welche Richtung gehst Du?	$\Delta =+6$

Die Veränderung kannst Du mit der Rechenregel kontrollieren:

$\Delta =Z-S$

Für das Beispiel gilt:

$\Delta =2-(-4)=2+4=+6$

Als Bewegung sieht das so aus:

$-4\stackrel{+6}{\to }2$

G-Niveau-Tipp: Wenn Dir die Rechnung mit zwei Minuszeichen schwerfällt, zähle zuerst die Schritte auf der Zahlengeraden. Das Vorzeichen bestimmst Du anschließend über die Richtung.

Visuelle Schritt-für-Schritt-Methode

Schritt	Frage	Beispiel: von $-5$ nach $1$
1. Start markieren	Wo beginnt die Bewegung?	bei $-5$
2. Ziel markieren	Wo soll die Bewegung enden?	bei $1$
3. Richtung prüfen	Liegt das Ziel rechts oder links?	rechts
4. Schritte zählen	Wie viele Einheiten sind es?	$6$
5. Vorzeichen setzen	Rechts oder links?	rechts $\Rightarrow +6$

$-5\to -4\to -3\to -2\to -1\to 0\to 1$ $\Delta =+6$

Das Bild zeigt beispielhaft eine gerichtete Bewegung auf der Zahlengeraden.

Dynamische Zahlengerade: selbst verschieben

Mit der folgenden GeoGebra-Zahlengeraden kannst Du ganze Zahlen verschieben und Bewegungen untersuchen. Probiere besonders Startwerte links von $0$ aus.

Forscherauftrag: Stelle nacheinander die Bewegungen $-3\to 2$, $4\to -1$, $-6\to -2$ und $1\to 1$ dar. Sage jeweils laut: rechts und Zunahme, links und Abnahme oder keine Änderung.

Animierter Rechenweg: auf der Zahlengeraden gehen

Datei:Walk the Line Addition.webm

Die Animation zeigt, wie Rechnen als Bewegung auf einer Zahlengeraden verstanden werden kann.

Eine Bewegung kannst Du auch als Pfeilkette lesen:

$-2\stackrel{+1}{\to }-1\stackrel{+1}{\to }0\stackrel{+1}{\to }1\stackrel{+1}{\to }2$

Damit wurde der Wert insgesamt um $+4$ verändert.

Andersherum:

$3\stackrel{-1}{\to }2\stackrel{-1}{\to }1\stackrel{-1}{\to }0\stackrel{-1}{\to }-1$

Damit wurde der Wert insgesamt um $-4$ verändert.

Alltag 1: Temperatur steigt und fällt

Ein Thermometer macht Veränderungen besonders anschaulich: höher bedeutet wärmer, niedriger bedeutet kälter.

Am Morgen sind es $-4{}^{\circ }\mathrm{C}$. Am Mittag sind es $3{}^{\circ }\mathrm{C}$.

Start	Ziel	Richtung	Schritte	Veränderung
$-4{}^{\circ }\mathrm{C}$	$3{}^{\circ }\mathrm{C}$	rechts	$7$	$+7{}^{\circ }\mathrm{C}$

$-4\stackrel{+7}{\to }3$

Am Abend fällt die Temperatur von $3{}^{\circ }\mathrm{C}$ auf $-2{}^{\circ }\mathrm{C}$:

$3\stackrel{-5}{\to }-2$

Achtung: Die Zieltemperatur $-2{}^{\circ }\mathrm{C}$ ist nicht die Veränderung. Die Veränderung beträgt $-5{}^{\circ }\mathrm{C}$.

Alltag 2: Aufzug

Wir modellieren ein Gebäude so:

$-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5$

Dabei steht $0$ für das Erdgeschoss und negative Zahlen stehen für Untergeschosse.

Der Aufzug fährt vom Stockwerk $-2$ zum Stockwerk $4$:

$-2\stackrel{+6}{\to }4$

Danach fährt er von $4$ zum Stockwerk $-1$:

$4\stackrel{-5}{\to }-1$

Fahrt	Richtung	Veränderung
$-2\to 4$	nach oben / auf der Zahlengeraden nach rechts	$+6$
$4\to -1$	nach unten / auf der Zahlengeraden nach links	$-5$

Alltag 3: Punktestände

Bei Spielen, Quizzen oder Lern-Challenges können Punkte dazukommen oder abgezogen werden. Die Zahlengerade zeigt dabei die Veränderung besonders klar.

Ein Team startet bei $2$ Punkten und erhält $5$ Punkte:

$2\stackrel{+5}{\to }7$

In einer Quizrunde werden anschließend $3$ Punkte abgezogen:

$7\stackrel{-3}{\to }4$

Die Gesamtbewegung vom ursprünglichen Punktestand $2$ zum Endstand $4$ ist:

$2\stackrel{+2}{\to }4$

Merke: Einzelne Änderungen können sich teilweise ausgleichen. Deshalb ist der Endwert nicht immer so weit vom Startwert entfernt wie die Summe aller gelaufenen Schritte.

Änderungen vergleichen

Nicht die Zielzahl allein entscheidet, ob eine Änderung positiv oder negativ ist. Entscheidend ist die Bewegung vom Start zum Ziel.

Start	Ziel	Bewegung	Veränderung
$-7$	$-3$	rechts um $4$	$+4$
$-3$	$-7$	links um $4$	$-4$
$2$	$6$	rechts um $4$	$+4$
$6$	$2$	links um $4$	$-4$
$-5$	$-5$	keine Bewegung	$0$

Daraus folgt:

$\text{rechts}\Rightarrow \text{Zunahme}\Rightarrow \Delta >0$ $\text{links}\Rightarrow \text{Abnahme}\Rightarrow \Delta <0$

Fehlerfallen

Häufiger Fehler	Beispiel	Korrektur
Zielwert und Veränderung werden verwechselt.	von $-5$ auf $-2$	Veränderung ist $+3$, nicht $-2$.
Negative Zahlen werden nur nach ihrem Vorzeichen betrachtet.	$-7\to -3$	Das Ziel liegt rechts, also ist die Veränderung $+4$.
Schritte werden falsch gezählt.	$-2\to 2$	Es sind $4$ Schritte: $-2,-1,0,1,2$ hat fünf Markierungen, aber vier Abstände.
Die Richtung wird vergessen.	Abstand zwischen $4$ und $-1$ ist $5$	Von $4$ nach $-1$ lautet die gerichtete Veränderung $-5$.

Dynamisches Training: Vorgänger, Nachfolger und Ordnung

Mit diesem GeoGebra-Material kannst Du eine Zahl verschieben und beobachten, wie sich Vorgänger und Nachfolger verändern.

Teste die Idee an $-5$: Ein Schritt nach rechts führt zu $-4$, ein Schritt nach links zu $-6$.

Lernvideo: Ganze Zahlen und Zahlengerade

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Das Video führt ganze Zahlen ein und zeigt, wie sie auf der Zahlengeraden eingeordnet werden. Achte besonders darauf, wie die Zahlengerade nach links in den negativen Bereich erweitert wird.

Lernvideo: Positive und negative Zahlen

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Nutze das Video als Wiederholung und notiere anschließend je ein eigenes Beispiel für eine positive und eine negative Veränderung.

Mini-Merkkarte

Frage	Antwort
Ziel liegt rechts vom Start?	$\Delta >0$ — Zunahme
Ziel liegt links vom Start?	$\Delta <0$ — Abnahme
Ziel ist gleich Start?	$\Delta =0$ — keine Änderung
Wie prüfe ich rechnerisch?	$\Delta =Z-S$
Was zeigt der Betrag?	$|\Delta |$ zeigt die Anzahl der Schritte.
Was zeigt das Vorzeichen?	$+$ bedeutet rechts, $-$ bedeutet links.

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Ein Punkt startet bei -3 und endet bei 2. Wie groß ist die Veränderung? (+5) (!-5) (!+2) (!-1)

Welche Richtung bedeutet auf der Zahlengeraden eine Zunahme? (nach rechts) (!nach links) (!nach oben) (!keine Bewegung)

Die Temperatur fällt von 4 Grad auf -2 Grad. Wie lautet die Veränderung? (-6 Grad) (!+6 Grad) (!-2 Grad) (!+2 Grad)

Ein Aufzug fährt vom Stockwerk -2 zum Stockwerk 3. Welche Veränderung passt? (+5) (!-5) (!+1) (!-1)

Was bedeutet eine Veränderung von -4 auf der Zahlengeraden? (4 Schritte nach links) (!4 Schritte nach rechts) (!Start bei -4) (!Ziel bei 4)

Von -7 nach -3 bewegt man sich ... (4 Schritte nach rechts) (!4 Schritte nach links) (!10 Schritte nach rechts) (!10 Schritte nach links)

Welche Formel berechnet die Veränderung aus Start S und Ziel Z? (Delta gleich Z minus S) (!Delta gleich S minus Z) (!Delta gleich Z plus S) (!Delta gleich S mal Z)

Was ist die Veränderung von 5 nach 5? (0) (!+5) (!-5) (!10)

Ein Punktestand ändert sich von 8 auf 3. Welche Aussage stimmt? (Der Punktestand nimmt um 5 ab) (!Der Punktestand nimmt um 5 zu) (!Der Punktestand nimmt um 3 ab) (!Der Punktestand bleibt gleich)

Welche Aussage zu -6 nach -2 ist richtig? (Die Veränderung ist +4) (!Die Veränderung ist -4) (!Die Veränderung ist -8) (!Die Veränderung ist +8)

Memory

Bewegung nach rechts	Zunahme
Bewegung nach links	Abnahme
Startwert	Beginn der Bewegung
Zielwert	Ende der Bewegung
positives Vorzeichen	gerichtete Änderung nach rechts
negatives Vorzeichen	gerichtete Änderung nach links
Nulländerung	Start und Ziel sind gleich

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Thema
Zunahme um fünf	Bewegung von -3 nach 2
Abnahme um vier	Bewegung von 3 nach -1
Zunahme um drei	Bewegung von -6 nach -3
Abnahme um sechs	Bewegung von 2 nach -4
Keine Änderung	Bewegung von -2 nach -2

Kreuzworträtsel

Zahlengerade	Auf welcher Linie werden ganze Zahlen der Größe nach angeordnet?
Zunahme	Wie heißt eine positive gerichtete Veränderung?
Abnahme	Wie heißt eine negative gerichtete Veränderung?
Startwert	Wie heißt der Wert am Beginn einer Bewegung?
Zielwert	Wie heißt der Wert am Ende einer Bewegung?
Richtung	Was zeigt das Vorzeichen einer gerichteten Veränderung?

Lückentext

Vervollständige den Text.

Auf der Zahlengeraden werden die Zahlen nach rechts . Eine Bewegung nach rechts beschreibt eine . Eine Bewegung nach links beschreibt eine . Das Vorzeichen steht bei einer positiven Veränderung. Das Vorzeichen steht bei einer negativen Veränderung. Von -4 nach 2 beträgt die Veränderung . Von 3 nach -2 beträgt die Veränderung . Wenn Start und Ziel gleich sind, beträgt die Veränderung . Die rechnerische Kontrolle lautet Veränderung gleich Zielwert Startwert.

Offene Aufgaben

Leicht

1. Zahlengeraden-Weg: Zeichne eine Zahlengerade von $-10$ bis $10$. Markiere drei Start-Ziel-Paare und zeichne die Bewegungen mit Pfeilen ein.
2. Temperaturtagebuch: Erfinde vier Temperaturen für Morgen, Mittag, Abend und Nacht. Beschreibe jede Veränderung mit $+$ oder $-$.
3. Aufzug-Geschichte: Zeichne ein Haus mit den Stockwerken $-3$ bis $5$. Erfinde drei Fahrten und notiere zu jeder Fahrt die gerichtete Veränderung.
4. Punktekarten: Gestalte sechs Karten mit Startpunktestand und Zielpunktestand. Tausche sie mit einer Partnerperson und bestimmt gegenseitig die Veränderungen.

Standard

1. Fehlerdetektiv: Erfinde drei falsche Aussagen wie „von -6 nach -2 ist die Änderung -4“. Erkläre jeweils den Fehler und korrigiere ihn.
2. Bewegungsdiagramm: Zeichne zu einer Geschichte mit mindestens fünf Änderungen eine Zahlengerade und stelle jede Änderung als Pfeil dar. Bestimme am Ende die Gesamtveränderung.
3. Mathe-Interview: Frage zwei Personen, wo ihnen positive und negative Veränderungen im Alltag begegnen. Ordne die Beispiele anschließend den Begriffen Zunahme und Abnahme zu.
4. Stop-Motion-Zahlengerade: Produziere mit Papierkarten eine kurze Stop-Motion-Animation, in der eine Spielfigur von einer negativen zu einer positiven Zahl und wieder zurück wandert. Blende die jeweilige Veränderung ein.

Schwer

1. Rückwärtsaufgabe: Erfinde fünf Aufgaben, bei denen Startwert und Veränderung gegeben sind und der Zielwert gesucht wird. Löse sie anschließend.
2. Mehrschritt-Challenge: Beginne bei $-4$ und erfinde mindestens sechs gerichtete Veränderungen, sodass Du am Ende genau bei $3$ landest. Finde zwei verschiedene Wege.
3. Datenprojekt: Sammle für eine Woche reale Temperaturwerte aus einer verlässlichen Quelle. Berechne die Änderung von Tag zu Tag und stelle die Werte auf einer Zahlengeraden oder in einem Diagramm dar.
4. Erklärvideo: Produziere ein ein- bis zweiminütiges Lernvideo zum Satz „Rechts ist Zunahme, links ist Abnahme“. Verwende mindestens ein Beispiel, das bei einer negativen Zahl startet.

Lernkontrolle

1. Richtungswechsel erklären: Ein Wert verändert sich von $-8$ auf $-3$. Erkläre ohne bloß zu rechnen, warum die Veränderung positiv sein muss.
2. Zwei Wege vergleichen: Weg A führt von $-5$ nach $2$, Weg B von $4$ nach $-3$. Vergleiche Betrag und Richtung der beiden Veränderungen.
3. Alltagsmodell übertragen: Beschreibe, wie die Bewegung eines Aufzugs von Untergeschoss $-2$ in Stockwerk $3$ auf einer Zahlengeraden dargestellt werden kann. Begründe das Vorzeichen.
4. Fehleranalyse: Jemand behauptet: „Von $-6$ auf $-1$ ist die Änderung negativ, weil beide Zahlen negativ sind.“ Widerlege die Aussage mit einer Zahlengerade.
5. Gesamtänderung deuten: Ein Punktestand verändert sich nacheinander um $+4$, $-7$ und $+5$. Erkläre, wie Du die Gesamtveränderung auf der Zahlengeraden findest und was sie bedeutet.
6. Eigenes Modell: Erfinde eine Alltagssituation, in der dieselbe Veränderung $-4$ sinnvoll als Temperaturänderung, Aufzugfahrt oder Punkteverlust beschrieben werden kann. Erkläre die Gemeinsamkeit der drei Darstellungen.

Lernnachweis

Für einen Lernnachweis solltest Du zeigen, dass Du die folgenden Zusammenhänge sicher anwenden kannst:

1. Zahlengerade lesen: ganze Zahlen korrekt einordnen und Start- sowie Zielwerte markieren.
2. Richtung deuten: eine Bewegung nach rechts als Zunahme und eine Bewegung nach links als Abnahme erklären.
3. Veränderung bestimmen: die Anzahl der Schritte und das passende Vorzeichen zu einer Start-Ziel-Bewegung angeben.
4. Alltag übertragen: Temperatur, Aufzug und Punktestand als Bewegungen zwischen ganzen Zahlen modellieren.
5. Fehler begründen: Zielwert, Abstand und gerichtete Veränderung unterscheiden.
6. Darstellungen verbinden: Text, Zahlengerade, Pfeilschreibweise und Rechnung miteinander verknüpfen.

OERs zum Thema

Freie Medien und weiterführende OER

Die verwendeten Wikimedia-Commons-Medien sind frei lizenziert beziehungsweise gemeinfrei. Die jeweilige Dateiseite enthält Urheber- und Lizenzangaben.

1. Number-line.svg — Hakunamenta, CC0 1.0
2. NumberLineIntegers.svg — Ezra Katz, CC BY-SA 3.0
3. Number line with addition of -2 and 3.svg — Stephan Kulla, CC BY 3.0
4. Walk the Line Addition.webm — Plains5728, CC BY-SA 3.0
5. Thermometer Flat Icon GIF Animation.gif — Videoplasty.com, CC BY-SA 4.0
6. Elevator buttons.jpg — Melv_L - MACASR, CC BY-SA 2.0
7. Football Scoreboard.jpg — Yotejonga, CC0 1.0
8. GeoGebra: Addition und Subtraktion ganzer Zahlen an der Zahlengerade — interaktive Zahlengerade
9. GeoGebra: Ordnung ganzer Zahlen — interaktives Material für Schulstufe 5–6

Verknüpfte Lernbereiche

Ganze Zahlen Zahlengerade Negative Zahlen Positive Zahlen Addition Subtraktion Temperatur Koordinatensystem Daten und Diagramme