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M6 Fö - Eine Teilbarkeitsaussage prüfen

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M6 Fö - Eine Teilbarkeitsaussage prüfen

Mathematik · Klasse 6 · Förderschwerpunkt Lernen · Abschnitt Transfer

Unsere Frage: Passen 18 Dinge genau in sechs Gruppen mit je drei Dingen?

Das lernst Du: Du legst Gruppen. Du prüfst, ob etwas übrig bleibt. Du erklärst, warum eine Aussage stimmt oder nicht stimmt.

So lernst Du: Eine Einheit dauert etwa 5 bis 10 Minuten. Du arbeitest in drei Schritten: Alltag – Legen – Selber prüfen. Du darfst alles wiederholen. Es gibt keinen Zeitdruck.

Einleitung

Stell Dir vor: Du hast 18 Kekse. Du möchtest sie auf 6 Teller legen. Auf jedem Teller sollen 3 Kekse liegen.

Geht das genau auf?

Ja! Sechs Teller mit je drei Keksen ergeben 18 Kekse.

3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 18

6 · 3 = 18

18 : 3 = 6

18 : 6 = 3

Es bleibt nichts übrig.

Das heißt: 18 ist durch 3 teilbar. Auch 18 ist durch 6 teilbar.

Eine Teilbarkeitsaussage sagt, dass Du eine Zahl ohne Rest teilen kannst. Du kannst die Aussage mit Dingen, einem Bild oder einer Rechnung prüfen.

So kannst Du antworten

Du darfst eine Antwort auswählen, hören, sprechen, legen, zeigen, zeichnen, tippen oder ausrechnen. Du kannst auch zwei Wege verbinden.

Du brauchst nur Papier und Stift. Wenn möglich, nimm 18 Knöpfe, Bausteine oder Plättchen und sechs kleine Schalen.

Wichtig: Entscheidend ist nicht, wie schnell Du rechnest. Wichtig ist, dass Du die Gruppen prüfen kannst.

Einheit 1: Sechs Dreiergruppen legen

Zeit: etwa 5 bis 10 Minuten

Schritt 1: Beispiel aus dem Alltag

Ein Eierkarton ist eine Idee für das Ordnen in Plätze. Das Foto zeigt einen Eierkarton. Für unsere Aufgabe zählen wir aber mit 18 eigenen Plättchen und sechs Schalen.

Aufgabe: Lege vor jede der sechs Schalen die Zahlenkarte 3. Zähle 18 Plättchen ab.

Höre das Wort „drei“:

Höre das Wort „sechs“:

Du kannst die beiden Hörbeispiele mehrmals abspielen. Sie sprechen jeweils nur das Zahlwort.

Schritt 2: Gemeinsam mit Material

Lege in jede Schale drei Plättchen.

Schale 1	Schale 2	Schale 3	Schale 4	Schale 5	Schale 6
● ● ●	● ● ●	● ● ●	● ● ●	● ● ●	● ● ●

Textalternative: Es gibt sechs Gruppen. In jeder Gruppe liegen drei Punkte. Das sind insgesamt 18 Punkte.

Zähle mit:

3 – 6 – 9 – 12 – 15 – 18.

Rechenweg:

18 Dinge : 3 Dinge je Gruppe = 6 Gruppen.

Gegenprobe:

6 Gruppen · 3 Dinge je Gruppe = 18 Dinge.

Ergebnis: Alle Dinge sind verteilt. Kein Ding bleibt übrig.

Schritt 3: Selber prüfen

Legeaufgabe: Nimm alle Plättchen aus den Schalen. Lege erneut sechs Dreiergruppen.

Sprechaufgabe: Sage: „Ich sehe sechs Gruppen mit je drei Dingen.“

Zeichenaufgabe: Zeichne sechs Kreise. Male in jeden Kreis drei Punkte.

Tippaufgabe: Ergänze: 18 : 3 = ___.

Antwort prüfen und Rückmeldung ansehen

Richtig ist: 18 : 3 = 6.

Warum? Du kannst genau sechs Gruppen mit jeweils drei Dingen legen. Es bleibt kein Rest.

Wenn Du anders gezählt hast: Zähle erst die Plättchen in einer Schale. Zähle dann die sechs Schalen. Versuche es noch einmal.

Einheit 2: Stimmt die Aussage immer?

Zeit: etwa 5 bis 10 Minuten

Schritt 1: Beispiel aus dem Alltag

Heute kommen 19 Kekse an. Wieder sollen immer drei Kekse in eine Tüte.

Frage: Können alle 19 Kekse in volle Dreiertüten verteilt werden?

Schritt 2: Mit Material prüfen

Lege 19 Plättchen. Schiebe immer drei zusammen.

Tüte 1	Tüte 2	Tüte 3	Tüte 4	Tüte 5	Tüte 6	Übrig
● ● ●	● ● ●	● ● ●	● ● ●	● ● ●	● ● ●	●

Textalternative: Sechs Gruppen enthalten je drei Punkte. Ein weiterer Punkt bleibt übrig.

Rechenweg:

6 · 3 = 18.

19 − 18 = 1.

19 : 3 = 6 Rest 1.

Ergebnis: 19 ist nicht durch 3 teilbar. Es bleibt ein Plättchen übrig.

Schritt 3: Selber anwenden

Prüfe jetzt 20 : 3.

Lege zuerst die Dreiergruppen. Lege die übrigen Plättchen daneben.

Frage: Wie viele volle Gruppen erhältst Du? Wie viele Plättchen bleiben übrig?

Antwort und nächste Hilfe

Richtig ist: 20 : 3 = 6 Rest 2.

Warum? Sechs Dreiergruppen brauchen 18 Plättchen. Von 20 Plättchen bleiben zwei übrig.

Nächster Schritt: Lege 21 Plättchen in Dreiergruppen. Prüfe: 21 : 3 = 7, Rest 0.

Einheit 3: Eine Aussage selbst prüfen

Zeit: etwa 5 bis 10 Minuten

Schritt 1: Beispiel aus dem Alltag

In einer Bastelgruppe gibt es 24 Perlen. Je 3 Perlen sollen in eine kleine Schale.

Ein Kind sagt: „Das gibt genau acht volle Schalen.“

Stimmt das?

Schritt 2: Mit Material und Punktefeld

Du kannst Perlen, Plättchen oder Rechenstäbe benutzen.

Bildhinweis: Das Foto zeigt Rechenstäbe. Es ist keine fertige Darstellung unserer 24 Perlen. Lege die Aufgabe selbst mit Material.

Das Hunderterfeld hat zehn Reihen mit jeweils zehn Feldern. Auf ihm kannst Du Zahlen markieren. Für 24 Perlen markiere die ersten 24 Felder und ordne sie gedanklich in Achtergruppen zu drei.

Textalternative: Schreibe achtmal die Zahl 3 auf:

3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 24.

Rechenweg:

24 : 3 = 8.

Gegenprobe:

8 · 3 = 24.

Ergebnis: Die Aussage stimmt. Acht Dreiergruppen ergeben genau 24.

Schritt 3: Selber anwenden

Ein anderes Kind behauptet: „12 Plättchen ergeben genau vier Dreiergruppen.“

Wähle Deinen Weg:

Legen: Lege vier Gruppen mit je drei Plättchen.
Zeichnen: Zeichne vier kleine Kästchen mit je drei Punkten.
Rechnen: Schreibe 12 : 3 = ___.
Erklären: Sage, warum die Behauptung stimmt oder nicht stimmt.

Antwort prüfen

Die Behauptung stimmt.

12 : 3 = 4.

4 · 3 = 12.

Nächster Schritt: Prüfe eine neue Zahl, zum Beispiel 13. Bei 13 : 3 erhältst Du vier Dreiergruppen und Rest 1.

Hilfen: Du entscheidest

Die Hilfen kannst Du nach Bedarf aufklappen und wieder schließen. Du darfst mit jeder Hilfe beginnen.

Hilfe 1: Bildhinweis

Hilfe 1 anzeigen oder verbergen

Schau auf die sechs Schalen im Punktefeld der ersten Einheit.

Frage: Sind in jeder Schale gleich viele Punkte?

Zähle nur eine Schale: ● ● ●.

Hilfe 2: Materialdarstellung

Hilfe 2 anzeigen oder verbergen

Lege sechs leere Kreise aus Papier auf den Tisch.

Nimm 18 Plättchen. Lege der Reihe nach in jeden Kreis ein Plättchen, bis überall drei liegen.

Prüfe: Sind alle 18 Plättchen verteilt?

Hilfe 3: Einfache Wörter und Rechenplan

Hilfe 3 anzeigen oder verbergen

Gruppe bedeutet: Dinge liegen zusammen.

Rest bedeutet: Etwas bleibt übrig.

Teilbar bedeutet: Beim Teilen bleibt nichts übrig.

Rechenplan:

Zähle alle Dinge.
Bilde gleich große Gruppen.
Zähle die Gruppen.
Prüfe den Rest.
Rechne zur Kontrolle zurück.

Hilfe 4: Vollständig vorgemachtes Beispiel

Hilfe 4 anzeigen oder verbergen

Beispiel: 12 Plättchen in Dreiergruppen.

Ich lege zuerst drei Plättchen in die erste Schale.

Dann lege ich drei in die zweite Schale. Jetzt sind sechs verteilt.

Ich lege drei in die dritte Schale. Jetzt sind neun verteilt.

Ich lege die letzten drei in die vierte Schale. Jetzt sind zwölf verteilt.

12 : 3 = 4.

4 · 3 = 12.

Kein Plättchen bleibt übrig. 12 ist durch 3 teilbar.

Jetzt Du: Mache es mit 18 Plättchen nach.

Teilbarkeit, Primfaktoren und Potenzen

Eine Zahl kann mehrere Teiler haben

18 lässt sich auf verschiedene Arten ohne Rest aufteilen.

Rechenaufgabe	Ergebnis	Prüfen
18 : 2	9	9 · 2 = 18
18 : 3	6	6 · 3 = 18
18 : 6	3	3 · 6 = 18
18 : 9	2	2 · 9 = 18

Merke: 2, 3, 6 und 9 sind Teiler von 18. Auch 1 und 18 sind Teiler von 18.

Eine Primzahl hat genau zwei positive Teiler: 1 und sich selbst. Die Zahlen 2 und 3 sind Primzahlen.

Primfaktoren: Die 18 zerlegen

Eine Zahl kann aus kleinen Malaufgaben aufgebaut werden.

18 = 2 · 9

9 = 3 · 3

Also:

18 = 2 · 3 · 3

Das heißt Primfaktorzerlegung. Die Primfaktoren von 18 sind 2, 3 und 3.

Bildhinweis: Das Commons-Bild zeigt einen Faktorenbaum zur Zahl 6, nicht zur Zahl 18.

Textalternative und Aufgabe: Zeichne selbst einen Faktorenbaum für 18. Schreibe oben 18. Darunter stehen 2 und 9. Unter 9 stehen 3 und 3.

Potenzen: Gleiche Faktoren kurz schreiben

3 · 3 = 9

Dafür schreiben wir auch: 3² = 9.

Die kleine 2 oben bedeutet: Die 3 wird zweimal miteinander multipliziert.

18 = 2 · 3²

Achtung: 3² ist 9, nicht 18.

Bildhinweis: Das Quadratbild zeigt neun Elemente in einer Anordnung mit drei Reihen und drei Spalten.

3 · 3 = 9

Bildhinweis: Das Quadratbild zeigt 16 Elemente in einer Anordnung mit vier Reihen und vier Spalten.

4 · 4 = 16

Zeichenaufgabe: Zeichne ein Quadrat aus drei Reihen mit jeweils drei Punkten.

Sprechaufgabe: Erkläre mit eigenen Worten, was 3² bedeutet.

Lernen mit kurzen Videos

Video 1: Division durch Aufteilen

Das Video „Division einfach erklärt: Aufteilen“ von Lernen mit Leo zeigt das Bilden von Gruppen. Es ist ein einfaches Wiederholungsvideo.

Dein Auftrag: Halte das Video an. Lege selbst 18 Plättchen in Dreiergruppen. Erzähle, was Du siehst.

Video 2: Teilbarkeit durch 3

Das Video „Teilbarkeitsregel für die 3 erklärt“ von einfach Schule ist eine freiwillige Vertiefung.

Dein Auftrag: Rechne 1 + 8 = 9. Die Quersumme von 18 ist 9. Weil 9 durch 3 teilbar ist, ist auch 18 durch 3 teilbar.

Hinweis: Du musst die Quersummenregel nicht verwenden. Das Prüfen mit Plättchen reicht für die Kernaufgabe.

Dein Lernweg und Deine Rückmeldung

Du kannst Aufgaben und Zahlen auswählen. Beginne zum Beispiel mit 6 oder 12 Plättchen. Arbeite später mit 18, 21 oder 24. Wenn es sinnvoll ist, darfst Du weitere Zahlen nehmen. Die Auswahl erfolgt gemeinsam mit der Lehrkraft nach Deinem Lernweg, ohne feste Leistungsstufe oder Diagnose.

Du kannst nur eine Aufgabe bearbeiten oder mehrere Aufgaben ausprobieren. Jede Aufgabe darf wiederholt werden.

So prüfst Du Deine Antwort:

Wenn kein Plättchen übrig bleibt, kannst Du sagen: „Die Zahl ist teilbar, denn alle Gruppen sind vollständig.“

Wenn etwas übrig bleibt, kannst Du sagen: „Die Zahl ist nicht ohne Rest teilbar. Es bleiben Dinge übrig.“

Wenn Deine Antwort noch nicht stimmt: Das ist ein guter Anlass, die Gruppen neu zu legen. Wähle eine Hilfe. Zähle langsamer. Vergleiche mit der Gegenprobe. Versuche es erneut.

Datenschutz: Für diesen Kurs brauchst Du weder Deinen Namen noch persönliche Angaben einzugeben.

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Wie viele Dreiergruppen kannst Du aus 18 Plättchen legen? (6) (!5) (!7) (!9)

Wie viele Punkte liegen in sechs Gruppen mit je drei Punkten? (18) (!12) (!15) (!21)

Welche Gegenprobe zeigt, dass 18 : 3 = 6 stimmt? (6 mal 3 = 18) (!6 plus 3 = 18) (!6 mal 2 = 18) (!6 mal 4 = 18)

Wie viele Plättchen bleiben bei 19 : 3 übrig? (1) (!0) (!2) (!3)

Wann ist eine Zahl durch eine andere Zahl teilbar? (Wenn kein Rest bleibt) (!Wenn genau ein Rest bleibt) (!Wenn immer zwei Dinge übrig bleiben) (!Wenn die Gruppen verschieden groß sind)

Was ist 12 : 3? (4) (!3) (!5) (!6)

Wie lautet der Rest bei 20 : 3? (2) (!0) (!1) (!3)

18 Dinge liegen gleichmäßig in sechs Schalen. Wie viele Dinge sind in jeder Schale? (3) (!2) (!4) (!6)

Welche Primfaktoren ergeben zusammen die Zahl 18? (2 mal 3 mal 3) (!2 mal 2 mal 3) (!3 mal 3 mal 3) (!2 mal 3 mal 6)

Wie viel ist drei hoch zwei? (9) (!6) (!12) (!18)

Rückmeldung zum Quiz: Wenn Du eine Antwort noch nicht sicher weißt, lege die Zahl mit Plättchen. Prüfe danach die passende Malaufgabe. Du darfst die Fragen erneut lösen.

Memory

Finde die passenden Wortpaare.

Division	Teilen
Multiplikation	Malrechnen
Rest	Übriggebliebenes
Punktefeld	Geordnete Punkte
Gegenprobe	Rechnung zur Kontrolle
Primzahl	Zahl mit genau zwei positiven Teilern
Potenz	Kurze Schreibweise für gleiche Faktoren

Drag and Drop

Ordne jedem Begriff die passende Erklärung zu.

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Erklärung
Aufteilen	Gleich große Gruppen bilden
Gegenprobe	Das Ergebnis durch Zurückrechnen prüfen
Rest	Dinge, die nicht in volle Gruppen passen
Zahlenkarte	Eine Karte mit einer geschriebenen Zahl
Dreiergruppe	Drei Dinge, die zusammengehören

Kreuzworträtsel

Teilbarkeit	Wie heißt die Eigenschaft, dass eine Zahl ohne Rest durch eine andere geteilt werden kann?
Gruppen	Wie heißen die gleich großen Päckchen beim Aufteilen?
Division	Wie heißt die Rechenart beim Teilen?
Multiplikation	Mit welcher Rechenart kannst Du eine Division kontrollieren?
Quersumme	Wie heißt die Summe der Ziffern einer Zahl?
Primzahl	Wie heißt eine Zahl mit genau zwei positiven Teilern?

LearningApps

Hier kannst Du nach weiteren Übungen suchen.

Lückentext

Für unsere erste Aufgabe liegen insgesamt

Plättchen bereit.

In jeder Schale sollen

Plättchen liegen.

Wir können damit genau

Schalen füllen.

Die passende Division lautet 18 : 3 =

.

Die Gegenprobe lautet 6 mal 3 =

.

Beim Verteilen von 19 Plättchen in Dreiergruppen bleibt

Plättchen übrig.

Eine Zahl ist ohne Rest

, wenn nichts übrig bleibt.

Drei Reihen mit je drei Punkten enthalten zusammen

Punkte.

Drei hoch zwei ergibt

.

Die Primfaktoren der Zahl 18 sind 2, 3 und

.

Bei 20 Plättchen und Dreiergruppen beträgt der Rest

.

Offene Aufgaben

Du kannst mit der Lehrkraft eine passende Aufgabenmenge wählen. Bearbeite die Aufgaben in Deinem Tempo. Nutze Material, Sprache, Zeichnungen oder Rechnungen.

Leicht

Dreiergruppen legen: Lege mit sechs Plättchen zwei Gruppen mit je drei Dingen. Zeige die Gruppen mit dem Finger.
Zählen und sprechen: Lege zwölf Plättchen in Dreiergruppen. Zähle laut: drei, sechs, neun, zwölf.
Zahlenkarten ordnen: Schreibe die Zahlen 3, 6, 9, 12 und 18 auf kleine Papierkarten. Ordne die Karten der Größe nach.
Punkte zeichnen: Zeichne zwei Dreiergruppen. Male die Punkte an und sage, wie viele es insgesamt sind.

Standard

Aussage überprüfen: Prüfe mit Material, ob 18 in sechs Dreiergruppen passt. Erkläre Deine Antwort.
Einen Rest erkennen: Lege 19 Dinge in Dreiergruppen. Zeichne den Rest daneben.
Hunderterfeld nutzen: Markiere 24 Felder in einem selbst gezeichneten oder ausgedruckten Hunderterfeld. Finde acht Dreiergruppen.
Gegenprobe zeigen: Denke Dir eine Teilaufgabe ohne Rest aus. Lege sie mit Material und prüfe sie mit einer Malaufgabe.

Schwer

Behauptungen vergleichen: Ein Kind sagt: „18 ist durch 3 teilbar.“ Ein anderes sagt: „18 ist durch 4 teilbar.“ Prüfe beide Aussagen mit Punkten und begründe den Unterschied.
Faktorenbaum bauen: Zerlege 18 zuerst in 2 und 9. Zerlege danach 9 weiter. Erkläre, warum 2, 3 und 3 am Ende stehen.
Quadratbild erklären: Zeichne 3 mal 3 und 4 mal 4 Punkte. Vergleiche die Bilder. Schreibe die beiden Potenzen auf.
Eigene Alltagssituation erfinden: Erfinde eine Aufgabe zu 21 oder 24 Gegenständen. Zeichne die Gruppen, schreibe eine Rechnung und lasse eine andere Person Deine Aussage überprüfen.

Lernkontrolle

Hier ist wichtig, wie Du denkst und prüfst. Du darfst Material benutzen.

Einen Fehler finden: Jemand sagt: „Sechs Gruppen mit je zwei Plättchen ergeben 18.“ Zeige mit Plättchen, warum das nicht stimmt, und verbessere die Aussage.
Zwei Teilungen vergleichen: Prüfe 18 : 3 und 18 : 4. Erkläre, bei welcher Aufgabe ein Rest bleibt und warum.
Eine Geschichte in eine Rechnung verwandeln: 24 Stifte kommen in Schachteln mit je drei Stiften. Zeichne oder lege die Schachteln und finde die Anzahl.
Zwei Rechenwege verbinden: Erkläre, warum 18 : 3 = 6 und 6 · 3 = 18 zusammengehören.
Eine Zahl verändern: Bei 19 : 3 bleibt ein Plättchen übrig. Welche kleinste Änderung der Plättchenzahl führt zu einer Teilung ohne Rest? Begründe mit Material.
Eine Behauptung begründen: Erkläre mit einem Quadratbild, warum 3² = 9 ist. Erkläre danach, weshalb die ganze Zahl 18 als 2 · 3² geschrieben werden kann.

Lernnachweis

Zeige, was Du gelernt hast. Du darfst sprechen, legen, zeichnen oder schreiben.

Ich kann 18 Dinge in sechs Gruppen mit je drei Dingen aufteilen.
Ich kann zeigen, ob beim Teilen etwas übrig bleibt.
Ich kann erklären, was „teilbar ohne Rest“ bedeutet.
Ich kann eine Division mit einer Multiplikation prüfen.
Ich kann eine falsche Teilbarkeitsaussage verbessern.
Ich kann an einem einfachen Beispiel die Primfaktoren von 18 zeigen.
Ich kann mit einem Punktequadrat erklären, dass 3² = 9 ist.
Ich kann meinen Lösungsweg mit Material oder einer Zeichnung begründen.

Ein möglicher Lernnachweis: Lege 18 Plättchen in sechs Dreiergruppen. Zeige die Rechnung 18 : 3 = 6. Prüfe mit 6 · 3 = 18. Erkläre dann, was bei 19 Plättchen anders ist.

Hinweis für die Lehrkraft: Der Lernnachweis dient der Beobachtung mathematischer Handlungen und Erklärungen. Der Kurs vergibt keine diagnostischen oder schulrechtlichen Einstufungen.

OERs zum Thema

Weiterlesen:

Fachliche Quellen:

Bildungsplan Baden-Württemberg 2022: Mathematik, Förderschwerpunkt Lernen, besonders 2.2.1 „Leitidee Zahl – Variable – Operation“ mit 2.2.1.1 „Mengen-/Zahlvorstellungen“ und 2.2.1.2 „Operationen und Rechenstrategien“.
Landesbildungsserver Baden-Württemberg: Teilbarkeit.
Wikipedia: Teilbarkeit.
Wikipedia: Primfaktorzerlegung.
Wikipedia: Quadratzahl.

Wikimedia Commons: Dateiseiten, Urheber und Lizenzen

Alle hier eingebetteten Bilder und Hörbeispiele stammen aus vorhandenen Dateien auf Wikimedia Commons. Die mathematischen Punktetabellen im Text sind reine Textdarstellungen, keine neu erzeugten Mediendateien.

Eingesetzte Datei und Dateiseite	Urheber	Lizenz
An egg carton.jpg	Gaurav Dhwaj Khadka	CC BY-SA 4.0
De-Drei.ogg	Jeuwre	CC BY-SA 4.0
De-Sechs.ogg	Jeuwre	CC BY-SA 4.0
Cuisenaire-Rods.jpg	Celcom	CC BY 3.0
100 grid.svg	Daniel Maak	CC BY-SA 4.0
Factor Tree of 6.png	Sebastian, thefactortree.com	Gemeinfrei gemäß Commons-Dateiseite
Square number 9.png	Fredrik	Gemeinfrei
Square number 16.png	Fredrik	Gemeinfrei

Hinweis zu den Bildern: Das Eierkartonfoto, die Rechenstäbe und das Hunderterfeld zeigen Anschauungsmaterial. Sie stellen nicht von sich aus die Rechnung 18 : 3 dar. Die Gruppen werden deshalb zusätzlich mit Material und eindeutigen Punktetabellen erklärt.

YouTube-Quellen:

Die Videos sind ergänzende Lernangebote. Alle wesentlichen Rechenwege stehen auch als Text im Kurs.

Verknüpfte Lernbereiche

Teilbarkeit

Das Wichtigste: Aus 18 Dingen werden sechs Dreiergruppen. Die Rechnung lautet 18 : 3 = 6. Die Gegenprobe lautet 6 · 3 = 18. Es bleibt kein Rest. Deshalb ist 18 durch 3 teilbar.