M6 E - Rationale Zahlen in Bruchdarstellung sicher berechnen

Diesen aiMOOC als Battle spielen: Mathematik, Klasse 5-6, E-Niveau

Einleitung

Rationale Zahlen begegnen Dir überall dort, wo Anteile, Gewinne und Verluste, Temperaturen, Höhenunterschiede oder Messwerte beschrieben werden. In diesem aiMOOC lernst Du, rationale Zahlen in Bruchdarstellung sicher zu addieren, zu subtrahieren, zu multiplizieren und zu dividieren. Dabei geht es nicht nur um das richtige Ergebnis: Du sollst auch erklären können, warum ein Ergebnis positiv oder negativ ist und warum sein Betrag größer oder kleiner wird.

Eine rationale Zahl kann als Bruch

$\frac{a}{b}$

mit ganzen Zahlen $a$ und $b$ und $b\ne 0$ geschrieben werden. Beispiele sind

$\frac{3}{4},-\frac{2}{5},\frac{-7}{3},0=\frac{0}{5}.$

Das Minuszeichen kann vor dem Bruch oder im Zähler stehen:

$-\frac{3}{7}=\frac{-3}{7}.$

Im Nenner sollte es beim Rechnen möglichst vermieden werden:

$\frac{3}{-7}=-\frac{3}{7}.$

Die Zahlengerade hilft Dir, Vorzeichen und Größen zu verstehen. Rechts von $0$ liegen positive Zahlen, links von $0$ negative Zahlen. Dabei gilt zum Beispiel

$-\frac{5}{4}<-\frac{1}{2}<0<\frac{2}{3}<\frac{3}{2}.$

Lernziele

Nach diesem aiMOOC kannst Du rationale Zahlen in Bruchdarstellung

1. als Brüche darstellen und kürzen: Du erkennst gleichwertige Brüche und bringst sie auf geeignete Nenner.
2. addieren: Du addierst gleichnamige und ungleichnamige positive und negative Brüche.
3. subtrahieren: Du deutest Subtraktion als Addition der Gegenzahl.
4. multiplizieren: Du nutzt Zähler-mal-Zähler und Nenner-mal-Nenner und bestimmst das Vorzeichen sicher.
5. dividieren: Du multiplizierst mit dem Kehrwert des Divisors und beachtest, dass durch $0$ nicht dividiert werden darf.
6. Ergebnisgrößen beurteilen: Du begründest, ob der Betrag eines Ergebnisses größer oder kleiner wird.

Rationale Zahlen auf der Zahlengeraden

Ein Bruch bezeichnet einen Punkt auf der Zahlengeraden. Zwischen zwei ganzen Zahlen liegen unendlich viele rationale Zahlen.

Beispiel:

$-\frac{3}{2}=-1\frac{1}{2}$

liegt genau in der Mitte zwischen $-2$ und $-1$.

Für negative Zahlen gilt eine wichtige Regel:

$-\frac{7}{4}<-\frac{3}{4}$

Obwohl $\frac{7}{4}>\frac{3}{4}$ gilt, liegt $-\frac{7}{4}$ weiter links und ist deshalb kleiner.

Dynamische Zahlengerade

Verschiebe Punkte und beobachte besonders die negative Seite der Zahlengeraden:

Prüfe zum Beispiel gedanklich die Positionen von

$-\frac{1}{4},-\frac{3}{4},-\frac{5}{4},\frac{1}{2}.$

Merksatz:

$|-\frac{5}{4}|=\frac{5}{4}$

Der Betrag beschreibt den Abstand einer Zahl von $0$. Er ist niemals negativ.

Brüche als Modelle verstehen

Ein Bruch

$\frac{a}{b}$

bedeutet: Ein Ganzes wird in $b$ gleich große Teile zerlegt, und $a$ solcher Teile werden betrachtet.

Für

$\frac{3}{4}$

wird ein Ganzes in vier gleich große Teile zerlegt und drei davon werden betrachtet.

Weitere frei nutzbare Bruchmodelle:

Gleichwertige Brüche und Erweitern

Die Größe eines Bruchs ändert sich nicht, wenn Zähler und Nenner mit derselben von $0$ verschiedenen Zahl multipliziert werden:

$\frac{2}{3}=\frac{2\cdot 4}{3\cdot 4}=\frac{8}{12}.$

Ebenso kann gekürzt werden:

$\frac{18}{24}=\frac{18:6}{24:6}=\frac{3}{4}.$

Das ist besonders wichtig für Addition und Subtraktion.

Bewegliche Bruchdarstellungen

In dieser interaktiven Sammlung kannst Du Brüche am Kreis, Rechteck und an einer Strecke darstellen und verändern:

Beobachte dabei, dass

$\frac{1}{2}=\frac{2}{4}=\frac{3}{6}$

dieselbe Zahl beschreibt, obwohl die Zerlegung verschieden aussieht.

Vorzeichen sicher verstehen

Beim Rechnen mit rationalen Zahlen musst Du zwei Dinge getrennt betrachten:

1. Betrag: Wie groß ist die Zahl ohne Vorzeichen?
2. Vorzeichen: Liegt das Ergebnis rechts oder links von $0$?

Für Multiplikation und Division gilt dasselbe Vorzeichenmuster:

Erstes Vorzeichen	Zweites Vorzeichen	Ergebnis
$+$	$+$	$+$
$+$	$-$	$-$
$-$	$+$	$-$
$-$	$-$	$+$

Kurz:

$(+)\cdot (+)=+,(+)\cdot (-)=-,(-)\cdot (+)=-,(-)\cdot (-)=+.$

Dasselbe gilt bei der Division.

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Addition rationaler Zahlen in Bruchdarstellung

Gleiche Nenner

Sind die Nenner gleich, werden die Zähler unter Beachtung ihrer Vorzeichen addiert:

$\frac{a}{n}+\frac{b}{n}=\frac{a+b}{n}.$

Beispiel:

$-\frac{2}{7}+\frac{5}{7}=\frac{-2+5}{7}=\frac{3}{7}.$

Visuell bedeutet das: Von $-\frac{2}{7}$ gehst Du um $\frac{5}{7}$ nach rechts.

Verschiedene Nenner

Ungleichnamige Brüche werden zuerst gleichnamig gemacht.

Beispiel:

$-\frac{2}{3}+\frac{5}{6}$

Schritt 1:

$-\frac{2}{3}=-\frac{4}{6}$

Schritt 2:

$-\frac{4}{6}+\frac{5}{6}=\frac{1}{6}$

Visueller Rechenweg Addition

Schritt	Rechnung	Gedanke
Ausgang	$-\frac{3}{4}+\frac{5}{6}$	verschiedene Nenner
Hauptnenner	$\mathrm{kgV}(4,6)=12$	beide Brüche auf Zwölftel bringen
Erweitern	$-\frac{9}{12}+\frac{10}{12}$	Vorzeichen bleiben erhalten
Addieren	$\frac{-9+10}{12}$	Zähler mit Vorzeichen addieren
Ergebnis	$\frac{1}{12}$	kleiner positiver Rest

Warum ist das Ergebnis positiv? Weil

$\frac{10}{12}>\frac{9}{12}$

und der positive Anteil betragsmäßig größer ist.

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Subtraktion rationaler Zahlen in Bruchdarstellung

Subtrahieren bedeutet: Addiere die Gegenzahl.

$a-b=a+(-b).$

Darum gilt zum Beispiel:

$\frac{2}{5}-\frac{7}{10}=\frac{4}{10}-\frac{7}{10}=-\frac{3}{10}.$

Besonders wichtig ist das Subtrahieren negativer Zahlen:

$\frac{1}{3}-(-\frac{1}{2})=\frac{1}{3}+\frac{1}{2}=\frac{2}{6}+\frac{3}{6}=\frac{5}{6}.$

Zwei direkt aufeinanderfolgende Minuszeichen haben hier unterschiedliche Rollen: Das erste ist das Rechenzeichen der Subtraktion, das zweite gehört zur negativen Zahl.

Visueller Rechenweg Subtraktion

$-\frac{1}{4}-\frac{2}{3}$

wird zu

$-\frac{1}{4}+(-\frac{2}{3}).$

Mit Hauptnenner $12$:

$-\frac{3}{12}-\frac{8}{12}=-\frac{11}{12}.$

Beide Zahlen wirken in Richtung der negativen Seite. Deshalb ist der Betrag des Ergebnisses größer als jeder einzelne Ausgangsbetrag.

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Dynamische Subtraktion

Verändere Zähler und Nenner und beobachte, wie die Flächen- oder Streckenmodelle den Rechenweg sichtbar machen.

Multiplikation rationaler Zahlen in Bruchdarstellung

Für Brüche gilt:

$\frac{a}{b}\cdot \frac{c}{d}=\frac{a\cdot c}{b\cdot d}.$

Vor dem Multiplizieren darfst Du über Kreuz kürzen, wenn gemeinsame Faktoren vorhanden sind.

Beispiel:

$-\frac{6}{7}\cdot \frac{14}{15}$

Kürzen:

$6:3=2,15:3=5,14:7=2,7:7=1.$

Dann:

$-\frac{2}{1}\cdot \frac{2}{5}=-\frac{4}{5}.$

Flächenmodell zur Multiplikation

Ein Produkt wie

$\frac{2}{3}\cdot \frac{4}{5}$

kann als „$\frac{4}{5}$ von $\frac{2}{3}$“ verstanden werden:

$\frac{2}{3}\cdot \frac{4}{5}=\frac{8}{15}.$

Bei einem negativen Faktor wird zusätzlich das Vorzeichen bestimmt:

$-\frac{2}{3}\cdot \frac{4}{5}=-\frac{8}{15}.$

Wie verändert Multiplikation die Ergebnisgröße?

Für einen positiven Ausgangsbetrag $|a|$ gilt:

Multiplikationsfaktor	Wirkung auf den Betrag	Beispiel
$0<|q|<1$	Betrag wird kleiner	$|-\frac{3}{4}\cdot \frac{1}{2}|=\frac{3}{8}$
$|q|=1$	Betrag bleibt gleich	$|\frac{3}{4}\cdot (-1)|=\frac{3}{4}$
$|q|>1$	Betrag wird größer	$|-\frac{3}{4}\cdot 2|=\frac{3}{2}$

Das Vorzeichen wird getrennt davon mit der Vorzeichenregel bestimmt.

Dynamische Multiplikation

Variiere die Faktoren. Achte darauf, wie sich der überdeckte Flächenanteil verändert.

Division rationaler Zahlen in Bruchdarstellung

Durch einen Bruch zu dividieren bedeutet, mit seinem Kehrwert zu multiplizieren.

$\frac{a}{b}:\frac{c}{d}=\frac{a}{b}\cdot \frac{d}{c}$

mit $c\ne 0$.

Beispiel:

$-\frac{3}{5}:\frac{9}{10}$

Kehrwert des Divisors bilden:

$\frac{9}{10}⟶\frac{10}{9}$

Dann:

$-\frac{3}{5}\cdot \frac{10}{9}=-\frac{30}{45}=-\frac{2}{3}.$

Division durch eine negative Zahl

$-\frac{4}{7}:(-\frac{2}{3})$

Zwei negative Vorzeichen ergeben ein positives Ergebnis:

$-\frac{4}{7}\cdot (-\frac{3}{2})=\frac{12}{14}=\frac{6}{7}.$

Achtung: Division durch Null

Der Ausdruck

$\frac{3}{4}:0$

ist nicht definiert. Es gibt keine Zahl, mit der man $0$ multiplizieren könnte, um $\frac{3}{4}$ zu erhalten.

Wie verändert Division die Ergebnisgröße?

Divisor	Wirkung auf den Betrag	Beispiel
$0<|q|<1$	Betrag wird größer	$|\frac{1}{2}:\frac{1}{4}|=2$
$|q|=1$	Betrag bleibt gleich	$|-\frac{3}{5}:(-1)|=\frac{3}{5}$
$|q|>1$	Betrag wird kleiner	$|\frac{3}{4}:\frac{3}{2}|=\frac{1}{2}$

Die Begründung steckt im Kehrwert. Durch $\frac{1}{4}$ zu teilen bedeutet mit $4$ zu multiplizieren.

Dynamische Division

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Vorzeichen und Ergebnisgröße begründen

Eine sichere Lösung besteht aus drei getrennten Entscheidungen:

1. Rechenart wählen: Was muss mit Zähler, Nenner oder Kehrwert geschehen?
2. Vorzeichen bestimmen: Ist das Ergebnis positiv oder negativ?
3. Größe prüfen: Passt der Betrag des Ergebnisses zur Rechnung?

Beispiel:

$-\frac{3}{4}\cdot (-\frac{2}{5})=\frac{6}{20}=\frac{3}{10}.$

Begründung:

$(-)\cdot (-)=+$

und

$0<\frac{2}{5}<1.$

Darum muss der Betrag kleiner als $\frac{3}{4}$ sein. Das Ergebnis

$\frac{3}{10}$

passt.

Gegenbeispiel zur Fehlerkontrolle: Ein Ergebnis wie $\frac{15}{8}$ wäre hier offensichtlich zu groß.

Strategien zur Selbstkontrolle

Prüfe Deine Rechnung mit mindestens zwei dieser Ideen:

1. Vorzeichenprobe: Überlege zuerst unabhängig vom Rechnen, ob das Ergebnis positiv oder negativ sein muss.
2. Größenprobe: Schätze den Betrag mit einfachen Vergleichszahlen wie $0$, $\frac{1}{2}$, $1$ oder $2$.
3. Umkehroperation: Prüfe eine Division durch Multiplikation oder eine Subtraktion durch Addition.
4. Kürzprobe: Prüfe, ob das Ergebnis vollständig gekürzt ist.
5. Zahlengeradenprobe: Ordne Ausgangszahlen und Ergebnis ungefähr auf der Zahlengerade ein.

Beispiel:

$-\frac{5}{6}+\frac{1}{4}$

Da $\frac{5}{6}>\frac{1}{4}$, muss das Ergebnis negativ sein.

Rechnung:

$-\frac{10}{12}+\frac{3}{12}=-\frac{7}{12}.$

Die Vorhersage stimmt.

Interaktive Rechenkette

Führe die Rechenkette Schritt für Schritt aus.

$-\frac{1}{2}+\frac{3}{4}=$ .

$\frac{1}{4}\cdot (-\frac{2}{3})=$ .

$-\frac{1}{6}:\frac{5}{6}=$ .

$-\frac{1}{5}-(-\frac{3}{10})=$ .

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Was ist -2/3 + 5/6? (1/6) (!-1/6) (!7/9) (!-7/6)

Was ist 3/4 - 5/6? (-1/12) (!1/12) (!19/24) (!-2/10)

Was ist -3/5 - 1/10? (-7/10) (!-1/2) (!7/10) (!-4/15)

Was ist -2/3 mal 9/10? (-3/5) (!3/5) (!-18/13) (!-11/30)

Was ist -4/7 mal -7/8? (1/2) (!-1/2) (!4/8) (!-11/15)

Was ist 3/5 geteilt durch 9/10? (2/3) (!27/50) (!3/2) (!-2/3)

Was ist -5/6 geteilt durch -5/12? (2) (!-2) (!5/72) (!1/2)

Welches Vorzeichen hat das Produkt aus zwei negativen rationalen Zahlen? (positiv) (!negativ) (!immer null) (!nicht bestimmbar)

Was passiert mit dem Betrag einer Zahl, wenn sie mit 1/3 multipliziert wird? (er wird kleiner) (!er wird größer) (!er bleibt immer gleich) (!er wird negativ)

Was passiert mit dem Betrag einer von null verschiedenen Zahl, wenn sie durch 1/4 geteilt wird? (er wird viermal so groß) (!er wird viermal so klein) (!er bleibt gleich) (!er wird null)

Memory

Gleichnamige Brüche	gleiche Nenner
Gegenzahl	gleiche Entfernung von null mit anderem Vorzeichen
Kehrwert	Zähler und Nenner vertauschen
Kürzen	Zähler und Nenner durch denselben Faktor teilen
Betrag	Abstand von null
Minus mal Minus	positives Ergebnis
Division durch Bruch	Multiplikation mit dem Kehrwert
Hauptnenner	gemeinsames Vielfaches der Nenner

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Thema
Gegenzahl addieren	Subtraktion
Kehrwert multiplizieren	Division
Zähler mal Zähler	Multiplikation
gemeinsamer Nenner	Addition ungleichnamiger Brüche
Abstand von null	Betrag

Kreuzworträtsel

Kehrwert	Wie heißt der Bruch, bei dem Zähler und Nenner vertauscht wurden?
Betrag	Wie heißt der Abstand einer Zahl von null?
Nenner	Welcher Teil eines Bruchs steht unter dem Bruchstrich?
Zaehler	Welcher Teil eines Bruchs steht über dem Bruchstrich?
Kuerzen	Wie heißt das Teilen von Zähler und Nenner durch denselben Faktor?
Gegenzahl	Wie heißt die Zahl mit gleichem Betrag und entgegengesetztem Vorzeichen?

Lückentext

Vervollständige den Text.

Bei der Addition ungleichnamiger Brüche benötigt man zuerst einen gemeinsamen .

Eine Subtraktion kann als Addition der geschrieben werden.

Beim Multiplizieren von Brüchen werden die Zähler miteinander und die miteinander multipliziert.

Bei der Division durch einen Bruch multipliziert man mit seinem .

Das Produkt zweier negativer Zahlen ist .

Das Produkt einer positiven und einer negativen Zahl ist .

Der Abstand einer rationalen Zahl von null heißt .

Beim Multiplizieren mit einem positiven Bruch zwischen null und eins wird der Betrag .

Beim Dividieren durch einen positiven Bruch zwischen null und eins wird der Betrag .

Durch die Zahl null darf man nicht .

Offene Aufgaben

Leicht

1. Zahlengerade zeichnen: Zeichne eine Zahlengerade von $-2$ bis $2$ und markiere $-\frac{3}{2}$, $-\frac{1}{4}$, $\frac{2}{3}$ und $\frac{5}{4}$. Begründe die Reihenfolge.
2. Bruchmodell gestalten: Stelle $\frac{3}{4}$, $\frac{5}{6}$ und $\frac{7}{8}$ jeweils mit einem Kreis- oder Rechteckmodell dar.
3. Vorzeichen erklären: Erfinde vier Multiplikationen mit positiven und negativen Brüchen, sodass alle vier Vorzeichenkombinationen vorkommen.
4. Fehler finden: Prüfe die falsche Rechnung $-\frac{2}{3}+\frac{1}{4}=-\frac{1}{7}$, markiere den Fehler und korrigiere ihn.

Standard

1. Rechenplakat: Gestalte ein übersichtliches Lernplakat zu Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division von rationalen Zahlen in Bruchdarstellung. Verwende für jede Rechenart mindestens ein negatives Beispiel.
2. Erklärvideo: Produziere ein kurzes Video, in dem Du $-\frac{3}{4}-(-\frac{2}{5})$ Schritt für Schritt erklärst.
3. Rechenkette entwickeln: Erstelle eine Rechenkette mit mindestens sechs rationalen Zahlen in Bruchdarstellung. Das Endergebnis soll positiv sein. Tausche die Aufgabe mit einer anderen Person und kontrolliert gegenseitig.
4. Größenvergleich: Finde je drei Beispiele, bei denen Multiplikation den Betrag kleiner beziehungsweise größer macht. Begründe jedes Beispiel ohne Taschenrechner.

Schwer

1. Fehleranalyse: Erstelle fünf typische Fehlerlösungen zu rationalen Brüchen und schreibe zu jedem Fehler eine verständliche Diagnose und Korrektur.
2. Sachproblem modellieren: Entwickle eine Alltagssituation mit Gewinn und Verlust oder Höhenänderungen, die mindestens drei verschiedene Grundrechenarten mit negativen Brüchen erfordert.
3. Regel begründen: Erkläre mit einem eigenen Modell, warum die Division durch $\frac{1}{n}$ dasselbe bewirkt wie die Multiplikation mit $n$.
4. Digitale Lernstation: Erstelle mit GeoGebra oder einem vergleichbaren dynamischen Mathematikwerkzeug eine interaktive Darstellung, mit der Mitschülerinnen und Mitschüler die Wirkung eines Faktors zwischen $0$ und $1$ auf den Betrag einer Zahl untersuchen können.

Lernkontrolle

1. Strategie begründen: Berechne $-\frac{5}{6}+\frac{7}{9}$ und erkläre, wie Du bereits vor der vollständigen Rechnung das Vorzeichen des Ergebnisses einschätzen kannst.
2. Fehleranalyse bei Subtraktion: Eine Person behauptet $-\frac{2}{3}-(-\frac{1}{6})=-\frac{5}{6}$. Erkläre genau, an welcher Stelle die Denkweise falsch ist.
3. Ergebnisgröße beurteilen: Entscheide ohne vollständige Rechnung, ob der Betrag von $-\frac{7}{8}\cdot \frac{3}{5}$ größer oder kleiner als $\frac{7}{8}$ sein muss. Begründe.
4. Division deuten: Erkläre, warum $\frac{3}{4}:\frac{1}{2}$ größer als $\frac{3}{4}$ ist, obwohl „geteilt“ im Alltag oft mit „kleiner werden“ verbunden wird.
5. Darstellungen verknüpfen: Stelle $-\frac{1}{2}+\frac{3}{4}$ sowohl rechnerisch als auch auf einer Zahlengerade dar und erkläre, wie beide Darstellungen zusammenpassen.
6. Transferaufgabe: Erfinde zwei verschiedene Rechnungen mit rationalen Zahlen in Bruchdarstellung, deren Ergebnis $-\frac{2}{3}$ ist. Nutze dabei zwei verschiedene Grundrechenarten und begründe Deine Konstruktion.

Lernnachweis

Für einen Lernnachweis zu diesem Thema solltest Du zeigen können, dass Du

1. rationale Zahlen in Bruchdarstellung auf einer Zahlengerade einordnest,
2. Brüche sicher erweiterst und kürzt,
3. ungleichnamige Brüche auf einen geeigneten gemeinsamen Nenner bringst,
4. positive und negative Brüche korrekt addierst und subtrahierst,
5. rationale Brüche korrekt multiplizierst und vor dem Rechnen sinnvoll kürzt,
6. durch einen Bruch mithilfe seines Kehrwerts dividierst,
7. die Vorzeichenregeln bei Multiplikation und Division begründest,
8. die Wirkung von Faktoren und Divisoren auf den Betrag eines Ergebnisses erklärst,
9. Ergebnisse mit Überschlag, Zahlengerade oder Umkehroperation kontrollierst,
10. mathematische Rechenwege verständlich mit Fachbegriffen und Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle \LaTeX} -Schreibweise darstellst.

Weiterführende Medien und interaktive Übungen

Freie Wikimedia-Commons-Medien im aiMOOC:

1. 

2. 

3. 

4. 

Interaktive GeoGebra-Materialien:

Die dynamischen Darstellungen eignen sich besonders dazu, Brüche zu verschieben, Flächenanteile zu verändern und Rechenwege unmittelbar zu überprüfen.

Verknüpfte Lernbereiche

Rationale Zahlen Bruchrechnung Zahlengerade Betrag Gegenzahl Erweitern Kürzen Addition Subtraktion Multiplikation Division Kehrwert Vorzeichen