M6 E - Den Betrag einer Zahl verstehen

Einleitung

Der Betrag einer Zahl beschreibt ihren Abstand von $0$ auf der Zahlengeraden. Ein Abstand ist niemals negativ. Deshalb ist auch ein Betrag immer größer oder gleich $0$.

Das wichtigste Beispiel dieses aiMOOCs lautet:

$|-5|=5$

Die Zahl $-5$ liegt fünf Einheiten links von $0$. Ihr Abstand von $0$ beträgt deshalb $5$. Genau dieser Abstand ist ihr Betrag.

Dieser aiMOOC richtet sich an Lernende der Klasse 6 auf E-Niveau. Du lernst, Vorzeichen, Zahl und Betrag sicher zu unterscheiden, Beträge an der Zahlengeraden abzulesen und die Idee des Abstands auf neue Situationen zu übertragen.

Lernziele

Das kannst Du nach dem aiMOOC	Mathematische Darstellung
den Betrag als Abstand von $0$ erklären	$|x|=\text{Abstand von }x\text{ zu }0$
positive und negative Zahlen unterscheiden	$-5<0<5$
Zahl, Vorzeichen und Betrag auseinanderhalten	Zahl: $-5$, Vorzeichen: $-$, Betrag: $5$
Gegenzahlen erkennen	$-5$ und $5$
Beträge berechnen	$|-8|=8,|8|=8,|0|=0$
Deine Entscheidung mit einer Zahlengeraden begründen	gleiche Entfernung von $0$ bedeutet gleicher Betrag

Die Zahlengerade als Abstandsmodell

Auf einer waagerechten Zahlengeraden liegen negative Zahlen links von $0$ und positive Zahlen rechts von $0$. Die Zahl $0$ ist weder positiv noch negativ.

Betrachte die beiden Zahlen $-5$ und $5$:

Zahl	Lage auf der Zahlengeraden	Abstand von $0$	Betrag
$-5$	fünf Einheiten links von $0$	$5$	$|-5|=5$
$5$	fünf Einheiten rechts von $0$	$5$	$|5|=5$

Merksatz: Zahlen, die gleich weit von $0$ entfernt sind, haben denselben Betrag.

$|-5|=|5|=5$

Dynamische Zahlengerade: Ziehen, beobachten, begründen

In der folgenden GeoGebra-Aktivität kannst Du Zahl und Gegenzahl verändern. Beobachte dabei besonders die Entfernung zum Nullpunkt.

Beobachtungsauftrag	Deine Leitfrage
Verschiebe die Zahl auf die negative Seite.	Was geschieht mit ihrem Betrag, wenn sie weiter von $0$ entfernt wird?
Erzeuge die Gegenzahl.	Warum haben Zahl und Gegenzahl denselben Betrag?
Setze die Zahl auf $0$.	Warum gilt $|0|=0$?

Abstand sichtbar machen

Der Betrag misst eine Länge auf der Zahlengeraden. Deshalb ist die Richtung für den Betrag unwichtig.

$-5⟶0\text{Abstand }5$ $0⟶5\text{Abstand }5$

Das Minuszeichen bei $-5$ sagt Dir, auf welcher Seite von $0$ die Zahl liegt. Der Betrag sagt Dir, wie weit die Zahl von $0$ entfernt ist.

Vorzeichen, Zahl und Betrag unterscheiden

Diese drei Begriffe dürfen nicht verwechselt werden:

Begriff	Beispiel	Bedeutung
Vorzeichen	$-$	zeigt bei $-5$ die negative Richtung beziehungsweise Lage an
Zahl	$-5$	der vollständige Zahlenwert mit seiner Lage auf der Zahlengeraden
Betrag	$|-5|=5$	Abstand der Zahl $-5$ von $0$

Für eine positive Zahl kann das Pluszeichen mitgeschrieben oder weggelassen werden:

$+5=5$

Bei einer negativen Zahl gehört das Minuszeichen zur Schreibweise der Zahl:

$-5\ne 5$

Aber ihre Beträge sind gleich:

$|-5|=|5|$

Zahl und Gegenzahl

Zwei Zahlen, die auf verschiedenen Seiten von $0$ liegen und gleich weit von $0$ entfernt sind, heißen Gegenzahlen.

$-7⟷0⟷7$

Für Gegenzahlen gilt:

$-7+7=0$

und

$|-7|=|7|=7$

Die Zahl $0$ ist ihre eigene Gegenzahl.

So bestimmst Du einen Betrag

Schritt für Schritt: Beispiel $|-5|$

Schritt	Was Du tust	Mathematische Darstellung
1	Markiere die Zahl auf der Zahlengeraden.	$-5$
2	Bestimme die Entfernung zum Nullpunkt.	Von $-5$ bis $0$ sind es $5$ Einheiten.
3	Schreibe den Abstand als Betrag.	$|-5|=5$

Weitere Beispiele

Ausdruck	Abstand von $0$	Ergebnis
$|9|$	$9$	$|9|=9$
$|-12|$	$12$	$|-12|=12$
$|0|$	$0$	$|0|=0$
$|-1|$	$1$	$|-1|=1$

Wichtig: Der Betrag ist nicht „das Minuszeichen wegmachen“ als bloßer Trick. Der mathematische Grund ist der Abstand von $0$.

E-Niveau: Die Regel in Symbolsprache

Für eine reelle Zahl $x$ kann man den Betrag so beschreiben:

$|x|=\{\begin{array}{cc}x,& \text{falls }x\ge 0,\\ -x,& \text{falls }x<0.\end{array}$

Bei $x=-5$ bedeutet die zweite Zeile:

$|-5|=-(-5)=5$

Das Ergebnis ist also wieder der nichtnegative Abstand zur Null.

Symmetrie und gleicher Betrag

Die Zahlengerade ist bezüglich $0$ symmetrisch. Zu jeder Zahl $a$ gehört die Gegenzahl $-a$. Beide haben denselben Betrag:

$|a|=|-a|$

Beispiel:

$|4|=|-4|=4$

Diese Symmetrie ist der Grund, warum zwei verschiedene Zahlen denselben Betrag besitzen können.

Dynamisches Abstands-Labor

In dieser GeoGebra-Aktivität kannst Du einen Punkt verschieben und gleichzeitig beobachten, wie sich Abstand und Betrag ändern.

Versuche besonders die Positionen $-6$, $-3$, $0$, $3$ und $6$. Vergleiche jeweils Zahl, Vorzeichen und Betrag.

Typische Fehler erkennen

Behauptung	Bewertung	Begründung
$|-5|=-5$	falsch	Ein Abstand kann nicht negativ sein. Richtig ist $|-5|=5$.
$|5|=5$	richtig	Die Zahl $5$ ist fünf Einheiten von $0$ entfernt.
$|0|=0$	richtig	Die Null hat von sich selbst den Abstand $0$.
$-|-5|=5$	falsch	Zuerst gilt $|-5|=5$, danach wirkt das Minus davor: $-|-5|=-5$.
$|-8|>|-3|$	richtig	$8>3$; die Zahl $-8$ ist weiter von $0$ entfernt.

Betrag im Alltag

Der Betrag ist besonders nützlich, wenn eine Richtung oder ein Vorzeichen vorhanden ist, aber Du nur die Größe eines Abstands wissen möchtest.

Temperatur

Bei $-4{}^{\circ }\mathrm{C}$ liegt die Temperatur vier Grad unter $0{}^{\circ }\mathrm{C}$. Bezogen auf den Nullpunkt der Skala gilt:

$|-4|=4$

$-4{}^{\circ }\mathrm{C}$ und $4{}^{\circ }\mathrm{C}$ sind trotzdem nicht dieselbe Temperatur. Sie haben nur denselben Abstand von $0{}^{\circ }\mathrm{C}$.

Höhe und Tiefe

Liegt ein Punkt $6\mathrm{m}$ unter einer gewählten Nullhöhe, kann man seine Lage mit $-6\mathrm{m}$ beschreiben. Der Abstand zur Nullhöhe beträgt:

$|-6|=6$

Ein Punkt bei $+6\mathrm{m}$ hat denselben Betrag, liegt aber auf der anderen Seite der Nullhöhe.

Guthaben und Schulden

Ein Kontostand von $-20\text{€}$ und ein Kontostand von $+20\text{€}$ haben denselben Betrag:

$|-20|=|20|=20$

Ihre Bedeutung ist dennoch verschieden: Das Vorzeichen beschreibt die Richtung der Abweichung von $0\text{€}$.

Video: Betrag an der Zahlengeraden

Das folgende deutschsprachige Erklärvideo des Cornelsen Verlags behandelt Betrag, Gegenzahl und Zahlengerade.

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Optional: Englische Vertiefung

Dieses Video der Khan Academy erklärt den Betrag ebenfalls als Abstand von $0$ auf der Zahlengeraden.

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Ausblick: Vom Betrag zum Funktionsgraphen

Auf E-Niveau kannst Du bereits einen Blick auf die Betragsfunktion werfen. Die Funktion

$y=|x|$

ordnet jeder Zahl $x$ ihren Abstand von $0$ zu.

Die beiden Äste des Graphen sind spiegelbildlich. Das passt zur Regel

$|x|=|-x|$

Für Klasse 6 reicht es, diese Symmetrie zu erkennen; eine vollständige Funktionsuntersuchung folgt erst später.

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Was beschreibt der Betrag einer Zahl? (Den Abstand der Zahl von 0) (!Das Vorzeichen der Zahl) (!Die Anzahl der Ziffern) (!Nur den Abstand zur nächsten positiven Zahl)

Welchen Wert hat der Ausdruck |-5|? (5) (!-5) (!0) (!10)

Welchen Wert hat der Ausdruck |7|? (7) (!-7) (!0) (!14)

Welchen Wert hat der Ausdruck |0|? (0) (!1) (!-1) (!Der Ausdruck ist nicht definiert)

Welche beiden Zahlen haben denselben Betrag? (-6 und 6) (!-6 und 5) (!-4 und 3) (!0 und 1)

Welche Aussage über Gegenzahlen ist richtig? (Sie liegen gleich weit von 0 entfernt auf verschiedenen Seiten) (!Sie haben immer verschiedene Beträge) (!Sie sind immer beide negativ) (!Sie liegen an derselben Stelle der Zahlengeraden)

Welches Vorzeichen hat die Zahl -8? (Minus) (!Plus) (!Kein Vorzeichen) (!Betragszeichen)

Warum kann ein Betrag nicht negativ sein? (Weil ein Betrag einen Abstand beschreibt) (!Weil negative Zahlen keine Beträge haben) (!Weil Beträge nur bei positiven Zahlen erlaubt sind) (!Weil die Null negativ ist)

Welche Aussage ist richtig? (|-9|=9) (!|-9|=-9) (!|9|=-9) (!|-9|=0)

Eine Zahl liegt vier Einheiten links von 0. Welche Zahl ist gemeint? (-4) (!4) (!0) (!8)

Memory

Betrag	Abstand zur Null
Gegenzahl	Spiegelpunkt am Nullpunkt
Minuszeichen	negative Richtung
Pluszeichen	positive Richtung
Nullpunkt	Ursprung der Zahlengeraden
Betragsstriche	Schreibweise des Absolutbetrags

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Thema
Betragsausdruck	beschreibt den Abstand von der Null
Gegenzahlpaar	liegt symmetrisch zum Nullpunkt
Minuszeichen	kennzeichnet eine negative Zahl
Betragsstriche	umschließen die Zahl beim Bilden des Betrags
Null	besitzt als einzige Zahl den Betrag Null

Kreuzworträtsel

Betrag	Wie heißt der Abstand einer Zahl von Null in mathematischer Kurzform?
Abstand	Was misst der Betrag auf der Zahlengeraden?
Nullpunkt	Wie heißt der Bezugspunkt für den Betrag auf der Zahlengeraden?
Gegenzahl	Wie heißt die symmetrisch zu einer Zahl liegende Zahl?
Vorzeichen	Wie heißt das Plus- oder Minuszeichen vor einer Zahl?
Zahlengerade	Auf welcher Darstellung kann man den Betrag als Strecke sehen?

Lückentext

Vervollständige den Text.

Der Betrag einer Zahl beschreibt ihren von der Null.

Die Zahl $-5$ hat das als Vorzeichen.

Für $-5$ gilt $|-5|=$ .

Die Zahlen $-7$ und $7$ heißen .

Gegenzahlen besitzen denselben .

Die Zahl $0$ hat den Betrag .

Auf einer waagerechten Zahlengeraden liegen negative Zahlen von der Null.

Ein Betrag ist immer .

Offene Aufgaben

Leicht

1. Zahlengerade zeichnen: Zeichne eine Zahlengerade von $-10$ bis $10$. Markiere $-6$, $-2$, $0$, $2$ und $6$ und notiere jeweils den Betrag.
2. Betrag erklären: Erkläre in drei Sätzen, warum $|-5|=5$ gilt. Nutze die Wörter „Abstand“, „Null“ und „Zahlengerade“.
3. Gegenzahl finden: Erstelle fünf eigene Zahl-Gegenzahl-Paare und überprüfe jeweils mit einer Skizze, dass die Beträge gleich sind.
4. Fehler finden: Erfinde zwei typische falsche Aussagen zum Betrag und verbessere sie mit einer Begründung.

Standard

1. Temperatur und Betrag: Erstelle eine kleine Temperaturskala mit mindestens drei negativen und drei positiven Werten. Vergleiche Zahl, Vorzeichen und Betrag.
2. Abstandsplakat: Gestalte ein Lernplakat, das die Begriffe „Vorzeichen“, „Zahl“, „Gegenzahl“ und „Betrag“ mit einem gemeinsamen Beispiel erklärt.
3. Mathematikvideo: Produziere ein kurzes Erklärvideo, in dem Du an einer selbst gezeichneten Zahlengeraden $|-8|=8$ erklärst.
4. Partnerinterview Mathematik: Befrage eine Mitschülerin oder einen Mitschüler zu drei Betragsaufgaben. Dokumentiere, welche Begründungen verständlich waren und welche verbessert werden mussten.

Schwer

1. Betragsrätsel: Finde alle ganzen Zahlen $x$ mit $|x|=9$. Erkläre mit Symmetrie, warum es genau diese Lösungen gibt.
2. Vergleichen mit Beträgen: Ordne $-8$, $|-3|$, $-|-4|$, $|2|$ und $0$ auf einer Zahlengeraden und begründe die Reihenfolge.
3. Alltagsmodell entwickeln: Erfinde eine realistische Situation mit einer Nullmarke, positiven und negativen Werten. Erkläre, was dort Zahl, Vorzeichen und Betrag bedeuten.
4. Betragsfunktion entdecken: Untersuche mit einem dynamischen Mathematikwerkzeug die Punkte zu $y=|x|$ für $x=-5,-4,\dots ,5$. Beschreibe die Symmetrie des entstehenden Graphen.

Lernkontrolle

1. Begründen statt nur rechnen: Eine Schülerin behauptet: „$-7$ ist kleiner als $-3$, also muss auch sein Betrag kleiner sein.“ Prüfe die Aussage und erkläre den Denkfehler mit einer Zahlengeraden.
2. Transfer zur Temperatur: Morgens werden $-6{}^{\circ }\mathrm{C}$, mittags $2{}^{\circ }\mathrm{C}$ gemessen. Vergleiche sowohl die Temperaturen als auch ihre Abstände zu $0{}^{\circ }\mathrm{C}$. Erkläre, warum das zwei verschiedene Vergleiche sind.
3. Symmetrie nutzen: Ohne jeden Betrag einzeln auszurechnen: Begründe, warum $|-125|=|125|$ gilt.
4. Mehrere Lösungen: Bestimme alle ganzen Zahlen mit Betrag $4$ und erkläre, warum die Aufgabe zwei Lösungen besitzt. Untersuche anschließend, warum der Betrag $0$ nur eine Lösung liefert.
5. Darstellung wechseln: Übertrage die Aussage „Eine Zahl ist neun Einheiten von Null entfernt“ zuerst in eine Zahlengerade, dann in eine Betragsgleichung und schließlich in zwei mögliche Zahlenwerte.
6. Fehlersuche mit äußerem Minus: Vergleiche $|-6|$ und $-|-6|$. Beschreibe genau, an welcher Stelle das äußere Minuszeichen wirkt.
7. Eigene Regel formulieren: Formuliere eine allgemeine Regel dafür, wie Betrag und Gegenzahl zusammenhängen, und belege sie mit mindestens zwei selbst gewählten Beispielen.

Lernnachweis

Für einen erfolgreichen Lernnachweis solltest Du zeigen können, dass Du den Betrag nicht nur ausrechnest, sondern als Abstand verstehst.

Kompetenz	Das solltest Du zeigen können
Begriff verstehen	Du erklärst $|x|$ als Abstand von $x$ zu $0$.
Darstellen	Du markierst positive und negative Zahlen korrekt auf einer Zahlengeraden.
Unterscheiden	Du unterscheidest Vorzeichen, vollständige Zahl und Betrag.
Rechnen	Du bestimmst Beträge positiver Zahlen, negativer Zahlen und der Null sicher.
Begründen	Du erklärst mit Symmetrie, warum Gegenzahlen denselben Betrag haben.
Anwenden	Du überträgst den Betrag auf Temperatur, Höhe, Tiefe oder Kontostände.
Fehler analysieren	Du erkennst Aussagen wie $|-5|=-5$ als falsch und begründest die Korrektur.
E-Niveau	Du deutest einfache Ausdrücke mit Betrag und äußerem Vorzeichen und kannst die Regel $|x|=|-x|$ begründen.

OERs zum Thema

Der Wikipedia-Artikel zur Betragsfunktion bietet eine fachliche Vertiefung.

Weitere frei zugängliche interaktive Vertiefung:

Medienhinweis: Die im Lerntext eingebundenen Bilddateien stammen aus Wikimedia Commons. Die jeweilige freie Lizenz beziehungsweise Gemeinfreiheit ist auf der zugehörigen Dateibeschreibungsseite dokumentiert.

Verknüpfte Lernbereiche

Ganze Zahlen Zahlengerade Negative Zahlen Positive Zahlen Gegenzahl Betrag Abstand Koordinatensystem Temperatur