M5 M - Vierecke nach Eigenschaften untersuchen

Diesen aiMOOC als Battle spielen: Mathematik, Klasse 5-6, M-Niveau

Einleitung

Vierecke begegnen Dir überall: in Fenstern, Fliesen, Displays, Schildern, Spielfeldern und Bauplänen. In diesem aiMOOC untersuchst Du Vierecke nicht nur nach ihrem Aussehen, sondern nach mathematisch überprüfbaren Eigenschaften. Dabei vergleichst Du besonders Quadrate, Rechtecke, Parallelogramme und Trapeze.

Du arbeitest auf M-Niveau in Klasse 5. Wichtig ist deshalb nicht nur, eine Figur zu benennen. Du sollst auch erklären können, warum eine Figur zu einer bestimmten Figurenklasse gehört und welche Beziehungen zwischen den Figurenklassen bestehen.

Lernziele

Nach diesem aiMOOC kannst Du Vierecke anhand von Seiten, Parallelität, Winkeln und Symmetrien untersuchen. Du kannst Eigenschaften mit mathematischen Zeichen notieren und erste Beziehungen zwischen Figurenklassen begründen.

Du kannst ...	Mathematische Leitfrage
Seiten vergleichen	Welche Seiten sind gleich lang?
Parallelität untersuchen	Welche gegenüberliegenden Seiten sind parallel?
Winkel prüfen	Gibt es rechte Winkel mit $90^{\circ }$?
Symmetrien finden	Gibt es Spiegelachsen oder eine Drehung um $180^{\circ }$?
Figuren einordnen	Ist eine Figur zugleich Mitglied mehrerer Figurenklassen?

Grundbegriffe und mathematische Zeichen

Ein Viereck besitzt vier Eckpunkte, vier Seiten und vier Innenwinkel. Wir bezeichnen ein Viereck zum Beispiel mit $ABCD$.

Schreibweise	Bedeutung	Beispiel
$AB=CD$	Die beiden Seiten sind gleich lang.	Gegenüberliegende Seiten eines Rechtecks
$AB\parallel CD$	Die beiden Seiten sind parallel.	Ein Parallelpaar eines Trapezes
$\mathrm{\angle }A=90^{\circ }$	Am Eckpunkt $A$ liegt ein rechter Winkel.	Ecke eines Rechtecks
$\alpha +\beta +\gamma +\delta =360^{\circ }$	Die Innenwinkelsumme jedes einfachen Vierecks beträgt $360^{\circ }$.	Kontrolle von Winkelangaben

Merke: Parallel bedeutet: Zwei Geraden haben überall denselben Abstand und schneiden sich nicht.

Vierecke Schritt für Schritt untersuchen

Untersuche eine Figur immer in einer festen Reihenfolge. So verlässt Du Dich nicht nur auf Dein Augenmaß.

Schritt	Prüffrage	Was Du markieren kannst
1	Hat die Figur genau vier Seiten?	Eckpunkte $A,B,C,D$
2	Welche Seiten sind gleich lang?	gleiche Striche an gleich langen Seiten
3	Welche Gegenseiten sind parallel?	gleiche Pfeilmarkierungen
4	Welche Winkel sind rechte Winkel?	kleines Quadrat für $90^{\circ }$
5	Welche Symmetrien bleiben erhalten?	Spiegelachsen oder Drehzentrum
6	Zu welchen Figurenklassen passt die Figur?	mehrere passende Namen sind möglich

Das Quadrat

Ein Quadrat besitzt vier gleich lange Seiten und vier rechte Winkel.

Für ein Quadrat $ABCD$ gilt:

$AB=BC=CD=DA$

und

$\mathrm{\angle }A=\mathrm{\angle }B=\mathrm{\angle }C=\mathrm{\angle }D=90^{\circ }$.

Außerdem sind die gegenüberliegenden Seiten parallel:

$AB\parallel CD$

und

$BC\parallel AD$.

Ein Quadrat besitzt vier Spiegelachsen. Es bleibt außerdem bei einer Drehung um $180^{\circ }$ um seinen Mittelpunkt unverändert.

Beobachtungsauftrag: Verfolge die Animation. Suche die vier Spiegelungen und die Drehungen, bei denen das Quadrat wieder genau auf sich selbst passt.

Das Rechteck

Ein Rechteck besitzt vier rechte Winkel. Gegenüberliegende Seiten sind jeweils gleich lang und parallel.

Für ein Rechteck $ABCD$ gilt:

$\mathrm{\angle }A=\mathrm{\angle }B=\mathrm{\angle }C=\mathrm{\angle }D=90^{\circ }$,

$AB=CD$ und $BC=AD$,

sowie

$AB\parallel CD$ und $BC\parallel AD$.

Ein Rechteck besitzt zwei Spiegelachsen. Zusätzlich ist es bei einer Drehung um $180^{\circ }$ punktsymmetrisch.

Wichtige Denkfrage: Ein Quadrat erfüllt ebenfalls alle Rechteck-Eigenschaften. Deshalb ist jedes Quadrat auch ein Rechteck. Ein Rechteck muss aber nicht vier gleich lange Seiten besitzen und ist deshalb nicht immer ein Quadrat.

Vom Rechteck zum Parallelogramm

Ein Parallelogramm besitzt zwei Paare paralleler Gegenseiten.

$AB\parallel CD$

und

$BC\parallel AD$.

Gegenüberliegende Seiten sind gleich lang:

$AB=CD$

und

$BC=AD$.

Gegenüberliegende Winkel sind gleich groß:

$\mathrm{\angle }A=\mathrm{\angle }C$

und

$\mathrm{\angle }B=\mathrm{\angle }D$.

Beobachtungsauftrag: Achte in der Animation darauf, welche Eigenschaften trotz Veränderung der Form erhalten bleiben. Genau solche Eigenschaften nennt man in einer Untersuchung invariant: Sie ändern sich bei der betrachteten Veränderung nicht.

Ein allgemeines Parallelogramm besitzt normalerweise keine Spiegelachse. Es ist aber punktsymmetrisch: Nach einer Drehung um $180^{\circ }$ um seinen Mittelpunkt passt es wieder auf sich selbst.

Das Trapez

In diesem aiMOOC verwenden wir die einschließende Definition: Ein Trapez ist ein Viereck mit mindestens einem Paar paralleler gegenüberliegender Seiten.

Beispiel:

$AB\parallel CD$.

Für ein Trapez müssen weder alle Seiten gleich lang noch alle Winkel gleich groß sein. Ein allgemeines Trapez muss auch keine Spiegelachse besitzen.

Wichtig für die Figurenfamilie: Weil ein Parallelogramm sogar zwei Paare paralleler Gegenseiten besitzt, erfüllt es die Bedingung „mindestens ein Paar“. Deshalb ist jedes Parallelogramm in dieser Definition auch ein Trapez.

Eigenschaften im direkten Vergleich

Figurenklasse	Seiten	Parallelität	Winkel	Symmetrie, die immer gilt
Quadrat	vier gleich lange Seiten	zwei Paare	vier rechte Winkel	vier Spiegelachsen und $180^{\circ }$-Drehsymmetrie
Rechteck	gegenüberliegende Seiten gleich lang	zwei Paare	vier rechte Winkel	zwei Spiegelachsen und $180^{\circ }$-Drehsymmetrie
Parallelogramm	gegenüberliegende Seiten gleich lang	zwei Paare	gegenüberliegende Winkel gleich groß	$180^{\circ }$-Drehsymmetrie
Trapez	keine feste Längengleichheit erforderlich	mindestens ein Paar	keine rechten Winkel vorgeschrieben	keine Symmetrie vorgeschrieben

Achtung: Die Tabelle nennt Eigenschaften, die für jede Figur der jeweiligen Klasse gelten. Einzelne besondere Trapeze oder Parallelogramme können zusätzliche Symmetrien besitzen.

Symmetrien untersuchen

Eine Figur ist achsensymmetrisch, wenn sie an einer Geraden gespiegelt werden kann und danach genau auf sich selbst liegt. Eine Figur ist punktsymmetrisch, wenn eine Drehung um $180^{\circ }$ um einen Punkt die Figur auf sich selbst abbildet.

Figur	Anzahl typischer Spiegelachsen	$180^{\circ }$-Drehsymmetrie
Quadrat	$4$	ja
Rechteck	$2$	ja
allgemeines Parallelogramm	$0$	ja
allgemeines Trapez	$0$	nein

Experiment mit Papier: Zeichne ein Rechteck und ein Quadrat auf kariertes Papier. Schneide beide aus und falte sie entlang vermuteter Spiegelachsen. Eine Faltlinie ist genau dann eine Spiegelachse, wenn beide Hälften deckungsgleich aufeinanderliegen.

Die Innenwinkelsumme als Kontrolle

Jedes einfache Viereck kann durch eine Diagonale in zwei Dreiecke zerlegt werden. Ein Dreieck besitzt eine Innenwinkelsumme von $180^{\circ }$. Daher gilt:

$180^{\circ }+180^{\circ }=360^{\circ }$

und damit für jedes Viereck:

$\alpha +\beta +\gamma +\delta =360^{\circ }$.

Beispiel: Sind drei Winkel $90^{\circ }$, dann ist der vierte Winkel

$360^{\circ }-90^{\circ }-90^{\circ }-90^{\circ }=90^{\circ }$.

Damit besitzt das Viereck vier rechte Winkel und ist ein Rechteck. Sind zusätzlich alle vier Seiten gleich lang, ist es sogar ein Quadrat.

Figurenklassen: Das Haus der Vierecke

Mathematische Figurenklassen können ineinander enthalten sein. Das bedeutet: Eine Figur kann gleichzeitig mehrere richtige Namen besitzen.

Für die hier verwendete Trapezdefinition gilt:

$\text{Quadrate}\subset \text{Rechtecke}\subset \text{Parallelogramme}\subset \text{Trapeze}\subset \text{Vierecke}$.

Das Zeichen $\subset$ bedeutet hier: Die linke Figurenklasse ist in der rechten enthalten.

Beispiel: Jedes Quadrat ist ein Rechteck, weil es vier rechte Winkel besitzt. Jedes Quadrat ist außerdem ein Parallelogramm, weil beide Paare gegenüberliegender Seiten parallel sind. Damit ist jedes Quadrat auch ein Trapez.

Aber die Umkehrung gilt nicht: Ein allgemeines Trapez muss kein Parallelogramm sein. Ein allgemeines Parallelogramm muss kein Rechteck sein. Ein Rechteck muss kein Quadrat sein.

Visuelle Schritt-für-Schritt-Entscheidung

Frage	Wenn ja ...	Wenn nein ...
Hat das Viereck vier rechte Winkel?	Prüfe als Nächstes die Seitenlängen.	Prüfe die Parallelität der Gegenseiten.
Sind bei vier rechten Winkeln alle Seiten gleich lang?	Quadrat	Rechteck
Sind zwei Paare Gegenseiten parallel?	Parallelogramm oder eine speziellere Form	Prüfe auf mindestens ein Parallelpaar.
Gibt es mindestens ein Paar paralleler Gegenseiten?	Trapez	anderes Viereck

Strategie: Beginne nicht beim Namen. Beginne bei den Eigenschaften und leite den Namen daraus ab.

Dynamische Geometrie: Eigenschaften beim Ziehen beobachten

Mit dynamischer Geometrie kannst Du Eckpunkte bewegen. Dadurch erkennst Du besonders gut, welche Eigenschaften für eine Figurenklasse erhalten bleiben.

Arbeitsauftrag zur dynamischen Geometrie:

1. Ziehen und beobachten: Bewege Eckpunkte verschiedener Vierecke und notiere, welche Eigenschaften sich verändern.
2. Parallelität prüfen: Achte darauf, ob parallele Seiten beim Ziehen parallel bleiben.
3. Rechte Winkel beobachten: Prüfe, welche Figurtypen ihre rechten Winkel zwingend behalten.
4. Symmetrie testen: Beobachte, ob eine Spiegelachse oder $180^{\circ }$-Drehsymmetrie erhalten bleibt.
5. Figurenklasse begründen: Formuliere zu jeder Figur einen Satz der Form „Die Figur ist ein ..., weil ...“.

Dynamisches Figurenlabor: Die Familie der Vierecke

Forscherfrage: Kannst Du durch Verschieben von Punkten eine Figur so verändern, dass sie von einer allgemeineren in eine speziellere Figurenklasse wechselt? Suche zum Beispiel eine Stellung, in der aus einem Parallelogramm ein Rechteck und anschließend ein Quadrat wird.

Animierter Konstruktionsweg: Ein Quadrat entsteht

Beobachte die Konstruktion Schritt für Schritt. Entscheidend ist nicht nur, dass die Figur „quadratisch aussieht“. Für ein Quadrat müssen am Ende gleichzeitig gelten:

$AB=BC=CD=DA$

und

$\mathrm{\angle }A=\mathrm{\angle }B=\mathrm{\angle }C=\mathrm{\angle }D=90^{\circ }$.

Lernvideo: Eigenschaften besonderer Vierecke

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Achte beim Video besonders darauf, wie Eigenschaften verwendet werden, um Vierecke zu unterscheiden und wie daraus ein „Haus der Vierecke“ entsteht.

Zweites Lernvideo: Vierecke vergleichen

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Erstelle beim Anschauen eine Tabelle mit den Spalten Seiten, Parallelität, Winkel und Symmetrie. Trage nur Eigenschaften ein, die für die jeweilige Figurenklasse immer gelten.

Interaktive Sortierwerkstatt

Ordne jeder Eigenschaft die passende Figurenklasse zu. Denke daran, dass eine speziellere Figur zugleich Eigenschaften allgemeinerer Klassen besitzt.

Eigenschaft	Passende Figurenklasse
Vier gleich lange Seiten und vier rechte Winkel	Quadrat
Vier rechte Winkel	Rechteck
Zwei Paare paralleler Gegenseiten	Parallelogramm
Mindestens ein Paar paralleler Gegenseiten	Trapez
Vier Seiten	Viereck

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Wie viele Seiten hat jedes Viereck? (Vier) (!Drei) (!Fünf) (!Sechs)

Welche Eigenschaft besitzt jedes Rechteck? (Vier rechte Winkel) (!Vier gleich lange Seiten) (!Genau eine Spiegelachse) (!Genau ein Paar paralleler Seiten)

Welche Eigenschaft besitzt jedes Quadrat? (Vier gleich lange Seiten) (!Genau zwei gleich lange Seiten) (!Keinen rechten Winkel) (!Nur eine parallele Seite)

Wie viele Paare paralleler Gegenseiten besitzt jedes Parallelogramm? (Zwei Paare) (!Kein Paar) (!Genau ein Paar) (!Drei Paare)

Welche Trapezdefinition wird in diesem aiMOOC verwendet? (Mindestens ein Paar paralleler Gegenseiten) (!Keine parallelen Seiten) (!Vier gleich lange Seiten) (!Vier rechte Winkel)

Wie viele Spiegelachsen besitzt ein nicht quadratisches Rechteck? (Zwei) (!Keine) (!Eine) (!Vier)

Wie viele Spiegelachsen besitzt ein Quadrat? (Vier) (!Eine) (!Zwei) (!Drei)

Welche Symmetrie besitzt jedes Parallelogramm? (Eine Drehsymmetrie um 180 Grad) (!Immer vier Spiegelachsen) (!Immer genau eine Spiegelachse) (!Keine Symmetrie)

Welche Aussage über Figurenklassen ist richtig? (Jedes Quadrat ist ein Rechteck) (!Jedes Rechteck ist ein Quadrat) (!Jedes Trapez ist ein Rechteck) (!Jedes Viereck ist ein Parallelogramm)

Wie groß ist die Innenwinkelsumme eines Vierecks? (360 Grad) (!90 Grad) (!180 Grad) (!540 Grad)

Memory

Quadrat	vier gleich lange Seiten und vier rechte Winkel
Rechteck	vier rechte Winkel
Parallelogramm	zwei Paare paralleler Gegenseiten
Trapez	mindestens ein Paar paralleler Gegenseiten
Achsensymmetrie	Spiegelung an einer Geraden passt auf sich selbst
Punktsymmetrie	Drehung um 180 Grad passt auf sich selbst
parallel	Geraden schneiden sich nicht
rechter Winkel	Winkel mit 90 Grad

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Eigenschaft
Quadrat	vier gleich lange Seiten und vier rechte Winkel
Rechteck	vier rechte Winkel
Parallelogramm	zwei Paare paralleler Gegenseiten
Trapez	mindestens ein Paar paralleler Gegenseiten
Viereck	vier Seiten

Drag and Drop: Symmetrien sortieren

Ordne den Symmetriebegriff zu.	Beschreibung
Vier Spiegelachsen	Quadrat
Zwei Spiegelachsen	nicht quadratisches Rechteck
Drehsymmetrie	allgemeines Parallelogramm
Keine Symmetrie vorgeschrieben	allgemeines Trapez
Spiegelung	Deckung an einer Achse

Kreuzworträtsel

Quadrat	Welches Viereck hat vier gleich lange Seiten und vier rechte Winkel?
Rechteck	Welches Viereck hat immer vier rechte Winkel?
Trapez	Welches Viereck besitzt in diesem Kurs mindestens ein Paar paralleler Gegenseiten?
Parallelogramm	Welches Viereck besitzt zwei Paare paralleler Gegenseiten?
Symmetrie	Wie heißt die Eigenschaft, bei der eine Figur durch Spiegelung oder Drehung auf sich selbst passt?
parallel	Wie nennt man zwei Geraden, die sich nicht schneiden und überall denselben Abstand haben?

Lückentext

Vervollständige den Text.

Ein Viereck besitzt immer Seiten. Ein Quadrat besitzt vier gleich lange Seiten und vier Winkel. Ein Rechteck besitzt immer rechte Winkel. Bei einem Parallelogramm sind zwei Paare gegenüberliegender Seiten . Ein Trapez besitzt in diesem aiMOOC mindestens Paar paralleler Gegenseiten. Ein allgemeines Parallelogramm ist bei einer Drehung um Grad symmetrisch. Ein nicht quadratisches Rechteck besitzt Spiegelachsen. Die Innenwinkelsumme eines Vierecks beträgt Grad. Jedes Quadrat ist auch ein . Die Figurenklasse der Rechtecke ist in der Figurenklasse der enthalten.

Offene Aufgaben

Leicht

1. Vierecke im Alltag: Fotografiere oder skizziere sechs Gegenstände mit viereckigen Formen. Ordne sie als Quadrat, Rechteck, Parallelogramm oder Trapez ein und begründe mindestens vier Zuordnungen mit Eigenschaften.
2. Eigenschaftskarten: Gestalte vier Karten für Quadrat, Rechteck, Parallelogramm und Trapez. Zeige auf jeder Karte Seiten, Parallelität, Winkel und Symmetrien mit Symbolen.
3. Symmetrie falten: Schneide ein Quadrat und ein nicht quadratisches Rechteck aus Papier aus. Finde durch Falten alle Spiegelachsen und dokumentiere sie mit Zeichnungen.
4. Geobrett: Spanne auf einem Geobrett oder Punktpapier je ein Quadrat, Rechteck, Parallelogramm und Trapez. Markiere parallele und gleich lange Seiten.

Standard

1. Vierecke sortieren: Zeichne zwölf unterschiedliche Vierecke. Erstelle ein eigenes Sortiersystem nach Parallelität, rechten Winkeln und Symmetrien und begründe Deine Entscheidung.
2. Dynamische Geometrie: Erzeuge in GeoGebra ein Parallelogramm mit beweglichen Punkten. Verändere die Figur und protokolliere, welche Eigenschaften immer erhalten bleiben.
3. Haus der Vierecke: Gestalte ein Plakat oder eine digitale Grafik zu $\text{Quadrat}\subset \text{Rechteck}\subset \text{Parallelogramm}\subset \text{Trapez}\subset \text{Viereck}$. Ergänze zu jedem Pfeil eine Begründung.
4. Fehlerdetektiv: Formuliere sechs Aussagen über Vierecke, davon drei richtige und drei falsche. Tausche sie mit einem Partner oder einer Partnerin und lasse jede Entscheidung begründen.

Schwer

1. Minimalbedingungen: Untersuche, welche möglichst wenigen Eigenschaften ausreichen, um ein Quadrat eindeutig zu erkennen. Vergleiche verschiedene Vorschläge und begründe sie.
2. Gegenbeispiel: Widerlege die Aussagen „Jedes Rechteck ist ein Quadrat“, „Jedes Trapez ist ein Parallelogramm“ und „Jedes Viereck besitzt eine Spiegelachse“ jeweils durch eine selbst gezeichnete Figur.
3. Vierecksinterview: Interviewe eine Person aus einem technischen, gestalterischen oder handwerklichen Beruf dazu, wo Rechtecke, Quadrate, Parallelogramme oder Trapeze in ihrem Arbeitsalltag vorkommen. Prüfe die Beispiele mathematisch.
4. Erklärvideo: Produziere ein kurzes Erklärvideo für Klasse 5, in dem Du zeigst, warum ein Quadrat gleichzeitig Rechteck, Parallelogramm und Trapez sein kann. Verwende Zeichnungen und mathematische Zeichen.

Lernkontrolle

1. Eigenschaften begründen: Ein Viereck hat vier rechte Winkel und die Seitenlängen $6\mathrm{c}\mathrm{m}$, $4\mathrm{c}\mathrm{m}$, $6\mathrm{c}\mathrm{m}$, $4\mathrm{c}\mathrm{m}$. Ordne es möglichst genau ein und begründe, warum es kein Quadrat sein muss.
2. Klassenbeziehung erklären: Begründe mit Eigenschaften, warum jedes Quadrat ein Parallelogramm ist. Die bloße Aussage „weil es so aussieht“ reicht nicht aus.
3. Gegenbeispiel entwickeln: Zeichne ein Trapez, das kein Parallelogramm ist. Markiere die parallelen Seiten und erkläre, welche zusätzliche Eigenschaft zum Parallelogramm fehlt.
4. Symmetrie vergleichen: Vergleiche Quadrat, nicht quadratisches Rechteck und allgemeines Parallelogramm. Erkläre, welche Symmetrien verloren gehen, wenn Du vom Quadrat zum Rechteck und dann zum allgemeinen Parallelogramm übergehst.
5. Unbekannten Winkel bestimmen: In einem Viereck sind drei Innenwinkel $80^{\circ }$, $110^{\circ }$ und $95^{\circ }$. Bestimme den vierten Winkel mit $\alpha +\beta +\gamma +\delta =360^{\circ }$ und erkläre Deinen Rechenweg.
6. Sortierregel bewerten: Eine Schülerin sagt: „Wenn ein Viereck zwei Paare paralleler Seiten hat, ist es immer nur ein Parallelogramm und kann nichts anderes sein.“ Bewerte die Aussage und nenne mindestens zwei speziellere Figuren, die ebenfalls zwei Paare paralleler Seiten besitzen.

Lernnachweis

Für einen Lernnachweis zu diesem Thema solltest Du zeigen, dass Du Eigenschaften nicht nur auswendig kennst, sondern auf neue Figuren anwenden und Beziehungen begründen kannst.

1. Du kannst Vierecke anhand von Seiten, Parallelität, Winkeln und Symmetrien beschreiben.
2. Du kannst die Zeichen $=$, $\parallel$ und Winkelangaben mit ${}^{\circ }$ sinnvoll verwenden.
3. Du kannst Quadrat, Rechteck, Parallelogramm und Trapez anhand notwendiger Eigenschaften unterscheiden.
4. Du kannst erklären, warum eine Figur gleichzeitig mehreren Figurenklassen angehören kann.
5. Du kannst die Beziehung $\text{Quadrat}\subset \text{Rechteck}\subset \text{Parallelogramm}\subset \text{Trapez}\subset \text{Viereck}$ mit Eigenschaften begründen.
6. Du kannst Symmetrieachsen und eine $180^{\circ }$-Drehsymmetrie an geeigneten Vierecken erkennen.
7. Du kannst die Innenwinkelsumme $360^{\circ }$ zur Kontrolle oder zur Bestimmung eines fehlenden Winkels nutzen.
8. Du kannst falsche Aussagen durch ein geeignetes Gegenbeispiel widerlegen.

OERs zum Thema

Der folgende Wikipedia-Artikel bietet zusätzliche Informationen zu Vierecken und ihren Beziehungen:

Die eingebundenen Abbildungen und Animationen stammen aus Wikimedia Commons. Die jeweiligen Dateibeschreibungsseiten dokumentieren Urheber, Lizenz oder Gemeinfreiheit. Die YouTube-Videos werden von der Originalplattform eingebettet; die Rechte verbleiben bei den jeweiligen Rechteinhabern.

Verknüpfte Lernbereiche

Vierecke Quadrat Rechteck Parallelogramm Trapez Parallelität Rechter Winkel Achsensymmetrie Punktsymmetrie Innenwinkelsumme Dynamische Geometrie