M5 M - Systematisch probieren statt raten

Diesen aiMOOC als Battle spielen: Mathematik, Klasse 5-6, M-Niveau

Einleitung

M5 M - Systematisch probieren statt raten zeigt Dir eine wichtige Strategie beim mathematischen Problemlösen: Du probierst nicht zufällig irgendwelche Werte aus, sondern gehst geordnet, nachvollziehbar und vollständig vor.

Beim systematischen Probieren willst Du drei Fragen beantworten:

Frage	Woran erkennst Du eine gute Lösung?
Wie starte ich?	Du wählst einen sinnvollen ersten Versuch.
Wie gehe ich weiter?	Du veränderst immer nur einen Wert oder gehst in einer festen Reihenfolge vor.
Wann bin ich fertig?	Du kannst begründen, warum keine sinnvolle Möglichkeit fehlt.

Ein mathematischer Versuch kann zum Beispiel so aussehen:

$\text{Versuch}\to \text{prüfen}\to \text{Ergebnis notieren}\to \text{nächsten Versuch wählen}$

Nicht jeder Versuch muss richtig sein. Wichtig ist, dass jeder Versuch Dir neue Informationen liefert.

Merksatz aufklappen

Raten bedeutet: ohne erkennbare Ordnung ausprobieren.
Systematisch probieren bedeutet: Versuche nach einem Plan ordnen, dokumentieren und am Ende prüfen, ob alle sinnvollen Möglichkeiten berücksichtigt wurden.

Lernziele

Nach diesem aiMOOC kannst Du:

1. systematisches Probieren von zufälligem Raten unterscheiden.
2. Versuche in einer Tabelle geordnet dokumentieren.
3. einen Startwert und eine sinnvolle Schrittweite festlegen.
4. Bedingungen nacheinander überprüfen.
5. Baumskizzen nutzen, wenn mehrere Entscheidungen kombiniert werden.
6. durch eine Stop-Regel begründen, wann Du alle sinnvollen Möglichkeiten untersucht hast.
7. Doppelzählungen erkennen und vermeiden.
8. einen Lösungsweg mit Zahlen, Tabellen, Skizzen und $\text{Rechnungen}$ nachvollziehbar darstellen.

Ein Bild für geordnetes Denken

Eine Zahlengerade hilft Dir, Versuche in einer festen Reihenfolge zu planen.

Beispiel: Gesucht ist eine natürliche Zahl zwischen $0$ und $9$. Statt die Zahlen durcheinander zu testen, kannst Du geordnet von links nach rechts prüfen:

$0\to 1\to 2\to 3\to 4\to 5\to 6\to 7\to 8\to 9$

Das ist noch keine schwierige Mathematik. Aber genau diese Ordnung wird bei größeren Problemen wichtig.

Was bedeutet systematisches Probieren?

Beim systematischen Probieren gibt es meistens eine Menge möglicher Werte und eine oder mehrere Bedingungen.

Beispiel:

Gesucht sind zwei natürliche Zahlen $a$ und $b$ mit

$a+b=12$

und zusätzlich

$a>b$.

Statt wahllos Zahlenpaare zu nennen, kannst Du eine geordnete Tabelle anlegen:

Versuch	$a$	$b$	Prüfung $a+b=12$	Prüfung $a>b$	Ergebnis
1	0	12	$0+12=12$ ✓	✗	nicht passend
2	1	11	$1+11=12$ ✓	✗	nicht passend
3	2	10	$2+10=12$ ✓	✗	nicht passend
4	3	9	$3+9=12$ ✓	✗	nicht passend
5	4	8	$4+8=12$ ✓	✗	nicht passend
6	5	7	$5+7=12$ ✓	✗	nicht passend
7	6	6	$6+6=12$ ✓	✗	nicht passend
8	7	5	$7+5=12$ ✓	✓	passend

Schon nach dem ersten passenden Ergebnis darfst Du nur dann aufhören, wenn wirklich nur eine Lösung gesucht ist. Wenn die Aufgabe nach allen Möglichkeiten fragt, musst Du weiterarbeiten.

Die Fünf-Schritte-Methode

Schritt	Leitfrage	Mathematische Handlung
1. Verstehen	Was ist gesucht?	Bedingungen markieren und Wertebereich festlegen.
2. Ordnen	Wo beginne ich?	Startwert und Reihenfolge festlegen.
3. Probieren	Was verändere ich?	Möglichst nur einen Wert kontrolliert verändern.
4. Dokumentieren	Was habe ich schon geprüft?	Tabelle, Baumskizze oder Zahlengerade führen.
5. Vollständigkeit prüfen	Kann noch eine Möglichkeit fehlen?	Stop-Regel, Symmetrie oder feste Reihenfolge begründen.

Kurzform:

Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle \boxed{\text{Verstehen} \rightarrow \text{Ordnen} \rightarrow \text{Probieren} \rightarrow \text{Dokumentieren} \rightarrow \text{Prüfen}}}

Beispiel 1: Ein Zahlenrätsel mit Stellenwerten

Gesucht ist eine zweistellige Zahl.

Bedingungen:

1. Die Quersumme ist $9$.
2. Die Zehnerziffer ist um $3$ größer als die Einerziffer.

Bezeichne die Zehnerziffer mit $z$ und die Einerziffer mit $e$.

Dann gilt:

$z+e=9$

und

$z=e+3$.

Du kannst die Einerziffer geordnet von $0$ an testen.

$e$	notwendiges $z=e+3$	Quersumme $z+e$	passt?
0	3	$3+0=3$	✗
1	4	$4+1=5$	✗
2	5	$5+2=7$	✗
3	6	$6+3=9$	✓

Damit ist die Zahl

Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle \boxed{63}} .

Warum dürfen wir jetzt aufhören? Wenn $e$ größer wird, wird auch $z=e+3$ größer. Dadurch wächst die Quersumme weiter:

$9,11,13,\dots$

Sie kann also nicht noch einmal $9$ werden.

Interaktives Stellenwertmodell

Zehner	Einer	Zahl	Quersumme
6	{ 3 }	{ 63 }	{ 9 }

Ein Stellenwertmodell macht sichtbar:

$63=6\cdot 10+3\cdot 1$.

Ein Abakus veranschaulicht Stellenwerte und geordnetes Zählen. Für unser Zahlenrätsel ist besonders wichtig, Zehner und Einer getrennt zu betrachten.

Beispiel 2: Rechtecke systematisch untersuchen

Ein Rechteck soll einen Umfang von $20\text{cm}$ haben. Die Seitenlängen sollen ganze Zentimeter sein.

Für Länge $l$ und Breite $b$ gilt:

$2l+2b=20$

also

$l+b=10$.

Wenn Du alle sinnvollen Rechtecke suchst, reicht es, geordnet mit der kleineren Seitenlänge zu beginnen.

Versuch	$b$	$l=10-b$	Umfang	Fläche $A=l\cdot b$
1	1	9	$2\cdot 1+2\cdot 9=20$	$9{\text{cm}}^2$
2	2	8	$2\cdot 2+2\cdot 8=20$	$16{\text{cm}}^2$
3	3	7	$2\cdot 3+2\cdot 7=20$	$21{\text{cm}}^2$
4	4	6	$2\cdot 4+2\cdot 6=20$	$24{\text{cm}}^2$
5	5	5	$2\cdot 5+2\cdot 5=20$	$25{\text{cm}}^2$

Warum endet die Tabelle bei $5$?

Das Paar $(6,4)$ beschreibt dasselbe Rechteck wie $(4,6)$. Ab dort würden nur vertauschte Seitenlängen entstehen.

Die Stop-Regel lautet deshalb:

$b\le l$.

So vermeidest Du Doppelzählungen.

Visuelle Schritt-für-Schritt-Erklärung

Schritt 1 öffnen: Bedingung vereinfachen

$2l+2b=20$
Beide Seiten werden durch $2$ geteilt:
$l+b=10$.

Schritt 2 öffnen: Kleinste Breite wählen

Beginne mit $b=1$.
Dann muss $l=9$ gelten.

Schritt 3 öffnen: Immer um 1 verändern

$(1,9)\to (2,8)\to (3,7)\to (4,6)\to (5,5)$

Schritt 4 öffnen: Stop-Regel prüfen

Nach $(5,5)$ käme $(6,4)$. Dieses Rechteck ist bereits als $(4,6)$ enthalten. Deshalb ist die Liste vollständig.

Beispiel 3: Alle Möglichkeiten mit einer Baumskizze

Du stellst ein Pausenfrühstück zusammen.

Es gibt:

1. zwei Getränke: Wasser oder Saft
2. drei Snacks: Apfel, Banane oder Brot

Wie viele verschiedene Kombinationen gibt es?

Eine Baumskizze verhindert, dass Du Möglichkeiten vergisst.

Start
├── Wasser
│   ├── Apfel
│   ├── Banane
│   └── Brot
└── Saft
    ├── Apfel
    ├── Banane
    └── Brot

Die sechs Möglichkeiten sind:

Nummer	Getränk	Snack
1	Wasser	Apfel
2	Wasser	Banane
3	Wasser	Brot
4	Saft	Apfel
5	Saft	Banane
6	Saft	Brot

Mit dem Zählprinzip kannst Du kontrollieren:

$2\cdot 3=6$.

Das Commons-Bild zeigt ein mathematisches Baumdiagramm. Auch wenn dort Wahrscheinlichkeiten dargestellt werden, ist die Grundidee dieselbe: Jede Verzweigung hält mögliche Fortsetzungen geordnet fest.

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Das Video behandelt Baumdiagramm und Zählprinzip auf dem Niveau der Klasse 5.

Alle Äste mitnehmen

Ein häufiger Fehler ist, nur einen Ast vollständig zu verfolgen und danach aufzuhören.

Falsch gedacht:

$\text{Wasser}\to \text{Apfel}$

und dann: „Ich habe eine Möglichkeit gefunden.“

Richtig gedacht:

$\text{Jeder Getränkezweig}\to \text{alle drei Snackzweige}$.

Kontrollfrage:

$\text{Anzahl der vollständigen Pfade}=2\cdot 3=6$.

Beispiel 4: Zahlen aus Ziffernkarten bilden

Du hast die Ziffernkarten

Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle \boxed{2}\qquad\boxed{5}\qquad\boxed{7}}

und sollst zweistellige Zahlen ohne Wiederholung einer Ziffer bilden.

Statt zu raten, legst Du zuerst die Zehnerziffer fest und ordnest danach die Einerziffern.

feste Zehnerziffer	mögliche Einerziffern	Zahlen
2	5, 7	25, 27
5	2, 7	52, 57
7	2, 5	72, 75

Es gibt

$3\cdot 2=6$

Möglichkeiten.

Eine Baumskizze zeigt dieselbe Ordnung:

2 ── 5  → 25
│
└── 7  → 27

5 ── 2  → 52
│
└── 7  → 57

7 ── 2  → 72
│
└── 5  → 75

Vollständigkeitscheck: Jede der drei Ziffern wurde genau einmal als Zehnerziffer gewählt. Zu jeder Zehnerziffer wurden die beiden anderen Ziffern als Einerziffer verwendet. Damit fehlt keine Möglichkeit.

Beispiel 5: Ein Zahlenrätsel mit zwei Bedingungen

Gesucht ist eine natürliche Zahl $n$ zwischen $10$ und $40$.

Sie soll:

1. durch $3$ teilbar sein,
2. beim Teilen durch $5$ den Rest $2$ lassen.

Statt jede Zahl von $10$ bis $40$ zu testen, nutzt Du die erste Bedingung als Filter.

Vielfache von $3$ im Bereich:

$12,15,18,21,24,27,30,33,36,39$.

Nun prüfst Du nur noch den Rest bei Division durch $5$.

Zahl	Darstellung bei Division durch 5	Rest	passt?
12	$12=2\cdot 5+2$	2	✓
15	$15=3\cdot 5+0$	0	✗
18	$18=3\cdot 5+3$	3	✗
21	$21=4\cdot 5+1$	1	✗
24	$24=4\cdot 5+4$	4	✗
27	$27=5\cdot 5+2$	2	✓
30	$30=6\cdot 5+0$	0	✗
33	$33=6\cdot 5+3$	3	✗
36	$36=7\cdot 5+1$	1	✗
39	$39=7\cdot 5+4$	4	✗

Lösungen:

Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle \boxed{12\text{ und }27}} .

Hier zeigt sich eine wichtige Verbesserung: Nicht alles ungefiltert probieren. Nutze Bedingungen früh, um die Zahl der Versuche zu verkleinern.

Systematisch probieren auf der Zahlengeraden

Du kannst eine Suchmenge auch als Zahlengeraden-Idee darstellen.

Beispiel:

$S=\{10,11,12,\dots ,40\}$.

Erster Filter:

$S_1=\{12,15,18,21,24,27,30,33,36,39\}$.

Zweiter Filter:

$S_2=\{12,27\}$.

Als Rechenweg:

$S\supset S_1\supset S_2$.

Du prüfst also nicht planlos, sondern verkleinerst die Menge Schritt für Schritt.

Beispiel 6: Ein Münzproblem mit geordneter Tabelle

Du möchtest genau $20$ Cent nur mit 5-Cent- und 10-Cent-Münzen legen.

Sei

$f=\text{Anzahl der 5-Cent-Münzen}$

und

$z=\text{Anzahl der 10-Cent-Münzen}$.

Es gilt:

$5f+10z=20$.

Wir ordnen nach der Anzahl der 10-Cent-Münzen.

$z$	Wert der 10-Cent-Münzen	fehlender Betrag	notwendiges $f$	Möglichkeit
0	$0$	$20$	4	$4\cdot 5=20$
1	$10$	$10$	2	$2\cdot 5+1\cdot 10=20$
2	$20$	$0$	0	$2\cdot 10=20$

Mehr als zwei 10-Cent-Münzen sind nicht sinnvoll, denn

$3\cdot 10=30>20$.

Damit liefert die Ungleichung

$10z\le 20$

die Stop-Regel

$z\le 2$.

Interaktive Versuchsanordnung

Anzahl 10-Cent-Münzen	Anzahl 5-Cent-Münzen	Gesamtwert
0	{ 4 }	20 Cent
1	{ 2 }	20 Cent
2	{ 0 }	20 Cent

Die drei Zeilen zeigen gleichzeitig, dass alle sinnvollen Werte für $z$ von $0$ bis $2$ geprüft wurden.

Vom Raten zum Plan

Vergleiche zwei Lösungswege für dieselbe Aufgabe.

Aufgabe: Finde zwei natürliche Zahlen mit Summe $14$ und Produkt größer als $40$.

Unsicheres Raten	Systematisches Probieren
„Vielleicht 2 und 12?“	Beginne mit $(0,14)$.
„Dann vielleicht 8 und 6?“	Erhöhe die erste Zahl immer um $1$ und senke die zweite um $1$.
„Vielleicht 5 und 9?“	Notiere jedes Paar und prüfe das Produkt.
Keine Sicherheit, ob etwas fehlt.	Stoppe bei vertauschten Paaren und begründe die Vollständigkeit.

Systematische Tabelle:

Paar	Summe	Produkt	Produkt $>40$?
$(0,14)$	14	0	✗
$(1,13)$	14	13	✗
$(2,12)$	14	24	✗
$(3,11)$	14	33	✗
$(4,10)$	14	40	✗
$(5,9)$	14	45	✓
$(6,8)$	14	48	✓
$(7,7)$	14	49	✓

Danach würden nur vertauschte Paare folgen:

$(8,6),(9,5),\dots$.

Wenn die Reihenfolge der beiden Zahlen keine Rolle spielt, sind diese bereits erfasst.

Wie prüfst Du Vollständigkeit?

Eine Lösung ist erst dann überzeugend, wenn Du erklären kannst, warum keine sinnvolle Möglichkeit fehlt.

Nutze diesen Vollständigkeits-Check:

Prüffrage	Beispiel
Habe ich einen klaren Startwert?	$b=1$
Verändere ich nach einer festen Regel?	$b\to b+1$
Dokumentiere ich jeden Versuch?	Eine Zeile pro Versuch.
Überspringe ich keinen erlaubten Wert?	$1,2,3,4,5$ ohne Lücke.
Erkenne ich Doppelungen?	$(4,6)$ und $(6,4)$ beschreiben dasselbe Rechteck.
Habe ich eine Stop-Regel?	Ende bei $b=l$.
Kann ich die Anzahl kontrollieren?	Bei zwei Getränken und drei Snacks: $2\cdot 3=6$.

Drei Arten von Stop-Regeln

1. Wertebereich erreicht

$0\le x\le 9$

Wenn Du $0,1,\dots ,9$ geprüft hast, gibt es keine weitere erlaubte Ziffer.

2. Vertauschungen beginnen

Bei Paaren mit fester Summe:

$(1,9),(2,8),(3,7),(4,6),(5,5)$.

Danach entstehen nur Spiegelungen:

$(6,4),(7,3),\dots$.

3. Eine Grenze wird überschritten

Beim Münzproblem:

$10z\le 20$.

Für $z=3$ wäre schon

$30>20$.

Also musst Du $z=3,4,\dots$ nicht mehr testen.

Baumdiagramm und Zählprinzip

Ein Baumdiagramm ist besonders nützlich, wenn eine Aufgabe aus mehreren aufeinanderfolgenden Entscheidungen besteht.

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Das Video zeigt anschaulich, wie Baumdiagramme helfen, alle Möglichkeiten geordnet zu finden.

Für zwei Entscheidungsschritte mit $m$ Möglichkeiten im ersten Schritt und $n$ Möglichkeiten im zweiten Schritt gilt häufig:

$\text{Anzahl aller Kombinationen}=m\cdot n$.

Beispiel:

$2\text{ Getränke}\cdot 3\text{ Snacks}=6\text{ Kombinationen}$.

Das Zählprinzip ist ein guter Kontrollmechanismus für Deine Baumskizze.

Zahlenrätsel-Werkstatt

Rätsel A: Ziffernsumme

Gesucht ist eine zweistellige Zahl. Die Ziffernsumme ist $10$, und die Zehnerziffer ist größer als die Einerziffer.

Systematische Möglichkeiten mit $z+e=10$:

$z$	$e$	Zahl	$z>e$?
1	9	19	✗
2	8	28	✗
3	7	37	✗
4	6	46	✗
5	5	55	✗
6	4	64	✓
7	3	73	✓
8	2	82	✓
9	1	91	✓

Lösungsmenge:

$L=\{64,73,82,91\}$.

Rätsel B: Feste Differenz

Gesucht sind zwei natürliche Zahlen $a$ und $b$ mit

$a+b=18$

und

$a-b=4$.

Systematisch:

$b$	$a=18-b$	$a-b$	passt?
0	18	18	✗
1	17	16	✗
2	16	14	✗
3	15	12	✗
4	14	10	✗
5	13	8	✗
6	12	6	✗
7	11	4	✓

Lösung:

Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle \boxed{a=11,\quad b=7}} .

Rätsel C: Drei aufeinanderfolgende Zahlen

Gesucht sind drei aufeinanderfolgende natürliche Zahlen mit Summe $36$.

Wenn die kleinste Zahl $n$ heißt, sind die drei Zahlen

$n,n+1,n+2$.

Geordnete Versuche:

$n$	drei Zahlen	Summe	Bewertung
8	8, 9, 10	27	zu klein
9	9, 10, 11	30	zu klein
10	10, 11, 12	33	zu klein
11	11, 12, 13	36	✓

Weil die Summe bei jedem Schritt um $3$ steigt, musst Du nach $36$ nicht weiterprobieren.

Gute Dokumentation

Eine gute Versuchstabelle macht Deinen Denkweg sichtbar.

Vorlage:

Versuch	gewählter Wert	daraus folgender Wert	Prüfung 1	Prüfung 2	Ergebnis
1
2
3

Du kannst zusätzlich mit Symbolen arbeiten:

$✓=\text{Bedingung erfüllt}$

$\times =\text{Bedingung nicht erfüllt}$.

Noch besser ist eine kurze Begründung:

$24=4\cdot 5+4\Rightarrow \text{Rest }4$.

So kann jemand anderes Deinen Lösungsweg prüfen.

Typische Fehler und wie Du sie vermeidest

Typischer Fehler	Bessere Strategie
Werte werden durcheinander probiert.	Feste Reihenfolge wählen.
Ein Versuch wird nicht notiert.	Jede Möglichkeit bekommt eine Tabellenzeile oder einen Ast.
Nach der ersten passenden Lösung wird aufgehört.	Aufgabenwort beachten: „eine Lösung“ oder „alle Lösungen“?
Bedingungen werden gleichzeitig im Kopf geprüft.	Bedingungen in getrennten Spalten kontrollieren.
Vertauschte Paare werden doppelt gezählt.	Stop-Regel bei Symmetrie nutzen.
Ein Ast im Baumdiagramm fehlt.	Für jeden ersten Ast alle zweiten Äste ergänzen.
Es gibt keine Begründung für das Ende.	Wertebereich, Überschreitung oder Doppelung als Stop-Regel nennen.

Mini-Labor: Systematisch statt zufällig

Aufgabe: Gesucht sind ganze Seitenlängen eines Rechtecks mit Fläche $24{\text{cm}}^2$.

Das Produkt soll also erfüllen:

$l\cdot b=24$.

Teste den kleineren Faktor geordnet:

$b$	$24:b$	ganzzahlig?	Rechteck
1	24	✓	$1\times 24$
2	12	✓	$2\times 12$
3	8	✓	$3\times 8$
4	6	✓	$4\times 6$
5	4,8	✗	keine ganzzahlige Seitenlänge

Bei $b=5$ ist $b$ bereits größer als der dazugehörige andere Faktor $\mathrm{4,8}$. Die ganzzahligen Faktorpaare sind daher vollständig erfasst:

$(1,24),(2,12),(3,8),(4,6)$.

Denkfrage

Warum ist $(6,4)$ nicht noch ein neues Rechteck?

Lösung anzeigen

Ein Rechteck mit Seiten $6\text{cm}$ und $4\text{cm}$ ist dasselbe wie ein Rechteck mit Seiten $4\text{cm}$ und $6\text{cm}$. Die Reihenfolge der Seiten ändert die Form nicht.

Medien- und Lizenzhinweise

Die eingebundenen Bilder stammen von Wikimedia Commons. Die Lizenzangaben und Urheberinformationen befinden sich jeweils auf der Dateibeschreibungsseite. Eingesetzt werden hier unter anderem freie beziehungsweise frei nachnutzbare Dateien zur Zahlengeraden, zu Baumdiagrammen und zum Schulabakus.

Die YouTube-Videos werden über die übliche Einbettungsfunktion eingebunden und nicht als Kopie in den aiMOOC übernommen. Sie dienen als ergänzende Erklärung. Die mathematischen Aufgaben dieses aiMOOCs sind unabhängig von den Videos vollständig bearbeitbar.

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Was unterscheidet systematisches Probieren am deutlichsten vom Raten? (Die Versuche folgen einer nachvollziehbaren Ordnung) (!Man probiert möglichst viele Werte gleichzeitig) (!Man notiert nur richtige Versuche) (!Man beginnt immer mit der größten Zahl)

Welche Dokumentation eignet sich besonders, wenn Zahlenwerte schrittweise geprüft werden? (Eine Versuchstabelle) (!Eine ungeordnete Stichwortsammlung) (!Nur das Endergebnis) (!Eine Zeichnung ohne Zahlen)

Was ist eine Stop-Regel? (Eine Begründung dafür, warum keine weiteren sinnvollen Versuche nötig sind) (!Eine Regel, nach der jede Aufgabe nach drei Versuchen endet) (!Eine Regel, die falsche Ergebnisse verbietet) (!Eine Regel, nach der nur gerade Zahlen geprüft werden)

Welche Liste untersucht natürliche Zahlen von 2 bis 6 vollständig und geordnet? (2 3 4 5 6) (!2 4 3 6) (!3 5 6) (!6 2 5)

Warum kann man bei Rechteckseiten vertauschte Paare oft weglassen? (Weil die vertauschten Seiten dasselbe Rechteck beschreiben) (!Weil eine Seite immer länger als 10 sein muss) (!Weil Rechtecke nur gerade Seitenlängen haben) (!Weil man höchstens drei Versuche machen darf)

Wozu dient eine Baumskizze bei Kombinationsaufgaben? (Sie hilft alle möglichen Entscheidungswege geordnet darzustellen) (!Sie ersetzt jede Rechnung durch eine Zeichnung) (!Sie zeigt nur die richtige Möglichkeit) (!Sie sortiert Zahlen automatisch nach Größe)

Welche Rechnung kontrolliert zwei Getränke und drei Snacks? (2 mal 3 gleich 6) (!2 plus 3 gleich 5) (!3 minus 2 gleich 1) (!6 geteilt durch 3 gleich 1)

Was solltest Du tun, wenn eine Aufgabe nach allen Lösungen fragt? (Nach der ersten Lösung weiterprüfen bis die Vollständigkeit begründet ist) (!Nach der ersten Lösung sofort aufhören) (!Nur ungerade Werte ausprobieren) (!Die Versuche nicht notieren)

Welche Veränderung ist beim systematischen Probieren besonders günstig? (Möglichst nach einer festen Regel nur einen Wert verändern) (!In jedem Versuch alle Werte zufällig ändern) (!Nach jedem Versuch die Aufgabe neu formulieren) (!Nur Werte wählen die schon einmal vorkamen)

Woran erkennst Du eine vollständige Versuchsliste? (Start Reihenfolge und Ende sind begründet und kein erlaubter Fall wurde übersprungen) (!Die Liste enthält mindestens zehn Zeilen) (!Alle Zahlen in der Liste sind gerade) (!Die letzte Zahl ist immer 100)

Memory

Systematisch probieren	Geordnet nach einem Plan testen
Versuchstabelle	Geordnete Dokumentation einzelner Versuche
Baumskizze	Darstellung mehrerer Entscheidungswege
Startwert	Erster sinnvoller Wert einer Suchreihe
Schrittweite	Regelmäßige Veränderung von Versuch zu Versuch
Stop-Regel	Begründung für das Ende der Suche
Doppelzählung	Gleiche Möglichkeit wird mehrfach erfasst
Vollständigkeitscheck	Prüfung ob keine sinnvolle Möglichkeit fehlt

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Thema
Startwert	erster geplanter Versuch
Schrittweite	festgelegte Veränderung zum nächsten Versuch
Versuchstabelle	übersichtliche Dokumentation
Baumskizze	geordnete Darstellung verzweigter Möglichkeiten
Stop-Regel	begründetes Ende der Suche
Vollständigkeitscheck	Kontrolle ob alle sinnvollen Fälle berücksichtigt wurden

Kreuzworträtsel

Startwert	Wie heißt der erste bewusst gewählte Wert einer Suchreihe?
Tabelle	Wie heißt eine geordnete Darstellung in Zeilen und Spalten?
Baumdiagramm	Welche Darstellung nutzt Äste für verschiedene Möglichkeiten?
Vollständig	Wie nennt man eine Liste in der kein sinnvoller Fall fehlt?
Schrittweite	Wie heißt die festgelegte Veränderung zwischen zwei Versuchen?
Doppelung	Wie heißt es wenn dieselbe Möglichkeit unnötig mehrfach gezählt wird?

Lückentext

Vervollständige den Text.

Beim systematischen Probieren beginnst Du mit einem sinnvollen . Von Versuch zu Versuch folgst Du einer festen . Deine Ergebnisse hältst Du zum Beispiel in einer fest. Wenn eine Aufgabe aus mehreren Entscheidungen besteht, kann eine helfen. Vertauschte Fälle können manchmal zu einer führen. Eine begründete Grenze für das Ende der Suche nennt man . Am Schluss prüfst Du mit einem , ob keine sinnvolle Möglichkeit fehlt.

Interaktive Versuchstabelle

Aufgabe	Versuch	Ergebnis
$x+7=15$	$x=6$	{ zu klein }
$x+7=15$	$x=7$	{ zu klein }
$x+7=15$	$x=8$	{ passend }

Hier ist die geordnete Veränderung besonders einfach:

$6\to 7\to 8$.

Offene Aufgaben

Leicht

1. Versuchstabelle erstellen: Erfinde ein Zahlenrätsel mit einer gesuchten Zahl zwischen 1 und 20. Lege eine Versuchstabelle mit Startwert, Prüfung und Ergebnis an.
2. Zahlenkarten ordnen: Verwende die Ziffern 1, 4 und 8. Bilde alle zweistelligen Zahlen ohne Wiederholung und erkläre, warum Deine Liste vollständig ist.
3. Baumskizze zeichnen: Kombiniere zwei Getränke mit zwei Snacks. Zeichne alle Wege als Baum und kontrolliere die Anzahl mit einer Rechnung.
4. Fehlerdetektiv: Erstelle absichtlich eine unvollständige Versuchsliste. Tausche sie mit einer Partnerin oder einem Partner und lasse den fehlenden Fall finden.

Standard

1. Rechteck-Forscher: Finde alle Rechtecke mit ganzzahligen Seitenlängen und Umfang 24 cm. Dokumentiere jeden Fall und formuliere eine Stop-Regel.
2. Münzproblem: Finde alle Möglichkeiten, 30 Cent nur mit 5-Cent- und 10-Cent-Münzen zu legen. Erkläre, warum es keine weitere Möglichkeit gibt.
3. Zahlenrätsel entwickeln: Erfinde ein zweistelliges Zahlenrätsel mit mindestens zwei Bedingungen. Löse es anschließend selbst durch systematisches Probieren.
4. Strategien vergleichen: Löse dieselbe Aufgabe einmal durch ungeordnetes Probieren und einmal mit einer Tabelle. Vergleiche Zeit, Übersicht und Fehlerrisiko.

Schwer

1. Dreistufige Baumskizze: Plane Kombinationen aus zwei Oberteilen, drei Hosen und zwei Paar Schuhen. Stelle alle Möglichkeiten als Baum dar und überprüfe sie mit dem Zählprinzip.
2. Optimierungsaufgabe: Untersuche alle ganzzahligen Rechtecke mit Umfang 30 cm. Bestimme, welches die größte Fläche besitzt, und begründe die Vollständigkeit Deiner Suche.
3. Algorithmus beschreiben: Schreibe eine genaue Schrittfolge, mit der eine andere Person alle Zahlen zwischen 10 und 99 finden kann, deren Quersumme 12 ist.
4. Erklärvideo oder Fotostory: Produziere ein kurzes Lernmedium, in dem Du an einem eigenen Beispiel den Unterschied zwischen Raten und systematischem Probieren erklärst. Zeige dabei Startwert, Schrittregel, Dokumentation und Stop-Regel.

Lernkontrolle

1. Strategiewahl: Eine Aufgabe verlangt alle zweistelligen Zahlen aus den Ziffern 2, 4, 6 und 8 ohne Wiederholung. Entscheide, ob Tabelle oder Baumskizze geeigneter ist, und begründe Deine Wahl.
2. Fehleranalyse: Eine Schülerin prüft beim Umfang-20-Rechteck nur $(1,9),(3,7),(5,5)$. Erkläre, warum ihre Liste nicht vollständig ist, und verbessere den Lösungsweg.
3. Transfer auf Münzen: Entwickle für genau 40 Cent aus 10-Cent- und 20-Cent-Münzen eine geordnete Versuchstabelle und formuliere eine Stop-Regel.
4. Vollständigkeit begründen: Bei zwei Auswahlstufen gibt es vier Möglichkeiten im ersten Schritt und drei im zweiten. Erkläre mit Baumidee und Rechnung, wie Du kontrollieren kannst, ob wirklich alle Kombinationen erfasst wurden.
5. Doppelzählungen erkennen: Begründe, warum bei Rechtecken die Paare $(3,8)$ und $(8,3)$ nicht als zwei verschiedene Formen gezählt werden müssen.
6. Effizienz verbessern: Du suchst Zahlen zwischen 1 und 100, die durch 10 teilbar sind und zusätzlich eine zweite Bedingung erfüllen. Erkläre, warum es ungeschickt wäre, alle 100 Zahlen einzeln zu testen, und entwickle eine bessere Suchstrategie.
7. Eigene Stop-Regel: Formuliere zu einem selbst gewählten Zahlenrätsel eine Stop-Regel und erkläre, welche mathematische Eigenschaft sie rechtfertigt.

Lernnachweis

Für einen überzeugenden Lernnachweis zu M5 M - Systematisch probieren statt raten ist wichtig, dass Du nicht nur ein richtiges Ergebnis nennst, sondern Deinen Denkweg sichtbar machst.

1. Du formulierst die gesuchten Größen und Bedingungen.
2. Du legst einen sinnvollen Startwert fest.
3. Du beschreibst die Reihenfolge oder Schrittweite Deiner Versuche.
4. Du dokumentierst die Versuche übersichtlich, zum Beispiel in einer Tabelle oder Baumskizze.
5. Du überprüfst jede Bedingung nachvollziehbar mit Zahlen oder Rechnungen.
6. Du kennzeichnest passende und nicht passende Versuche.
7. Du vermeidest erkennbare Doppelzählungen.
8. Du formulierst eine begründete Stop-Regel.
9. Du erklärst, warum Deine Lösungsmenge vollständig ist.
10. Du kannst Deinen Weg so darstellen, dass eine andere Person ihn kontrollieren kann.

OERs zum Thema

Der Wikipedia-Artikel zu Versuch und Irrtum beschreibt das Ausprobieren als heuristische Methode des Problemlösens. Im Mathematikunterricht wird daraus eine besonders starke Strategie, wenn die Versuche bewusst geordnet, dokumentiert und auf Vollständigkeit geprüft werden.

Weitere frei zugängliche Medien in diesem aiMOOC stammen aus Wikimedia Commons, darunter die eingebundenen Darstellungen zu Zahlengeraden, Baumdiagrammen und Stellenwertmaterial.

Verknüpfte Lernbereiche

Systematisches Probieren Problemlösen Versuchstabelle Baumdiagramm Zählprinzip Zahlengerade Stellenwertsystem Quersumme Teilbarkeit Umfang Flächeninhalt Kombinatorik Mathematisch argumentieren

Zusammenfassung

Systematisches Probieren ist eine mathematische Strategie, wenn eine direkte Rechnung noch nicht offensichtlich ist oder wenn alle möglichen Fälle untersucht werden sollen.

Die Kernidee lautet:

Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle \boxed{\text{Nicht zufällig raten, sondern geordnet suchen.}}}

Ein vollständiger Lösungsweg enthält meistens:

$\text{Startwert}+\text{Schrittregel}+\text{Dokumentation}+\text{Prüfung}+\text{Stop-Regel}$.

Eine Versuchstabelle eignet sich besonders für Zahlenwerte:

Start	Veränderung	Prüfung	Ende
erster sinnvoller Wert	feste Schrittweite	Bedingungen kontrollieren	Stop-Regel begründen

Eine Baumskizze eignet sich besonders für Kombinationen:

$\text{erster Schritt}\to \text{zweiter Schritt}\to \text{vollständiger Weg}$.

Am Ende stellst Du Dir immer die wichtigste Frage:

Kann ich begründen, dass keine sinnvolle Möglichkeit fehlt?

Wenn Du diese Frage mit einer klaren mathematischen Begründung beantworten kannst, hast Du aus bloßem Probieren eine systematische Lösungsstrategie gemacht.