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Diesen aiMOOC als Battle spielen: Deutsch, Klasse 5-6, M-Niveau

M5 M - Gemeinsame Teiler und Vielfache

Einleitung

Wann lassen sich 24 rote und 36 blaue Karten in möglichst viele gleich große Gruppen aufteilen, ohne dass etwas übrig bleibt? Wann treffen sich zwei regelmäßig fahrende Busse wieder gleichzeitig, wenn einer alle 6 Minuten und der andere alle 8 Minuten kommt? Hinter beiden Fragen steckt dieselbe Grundidee: Du vergleichst Zahlen und suchst passende gemeinsame Teiler oder gemeinsame Vielfache.

In diesem aiMOOC für Klasse 5 auf M-Niveau entdeckst Du die Begriffe handelnd, visuell und rechnerisch. Du arbeitest mit Zahlentafeln, Mengen, Zahlengeraden, Vielfachenreihen, Tabellen, Animationen und interaktiven Suchaufgaben. Die wichtigsten Schreibweisen werden mit mathematischen Symbolen dargestellt.

Frage	Mathematische Idee	Typische Anwendung
Was teilt mehrere Zahlen ohne Rest?	$T (a) \cap T (b)$	Gruppen bilden, Packungen, gleich große Abschnitte
Welcher gemeinsame Teiler ist der größte?	$ggT (a, b)$	größtmögliche gleich große Gruppen
Welche Zahlen tauchen in mehreren Vielfachenreihen auf?	$V (a) \cap V (b)$	wiederkehrende Abläufe
Welches gemeinsame Vielfache ist das kleinste?	$kgV (a, b)$	erstes gemeinsames Wiederauftreten

Animierte Darstellung von Einmaleins- und Vielfachenreihen

Beobachtungsauftrag: Schau auf die Animation und suche Stellen, an denen verschiedene Reihen dieselbe Zahl erreichen. Genau solche Treffer sind für gemeinsame Vielfache wichtig.

Lernziele

Am Ende kannst Du ...	Woran erkennst Du das?
Teiler bestimmen	Du findest alle Zahlen, durch die eine Zahl ohne Rest teilbar ist.
gemeinsame Teiler finden	Du vergleichst zwei Teilermengen und bildest ihre Schnittmenge.
den größten gemeinsamen Teiler bestimmen	Du erkennst das größte Element der gemeinsamen Teilermenge.
Vielfache bilden	Du erzeugst Vielfachenreihen durch fortgesetztes Multiplizieren.
gemeinsame Vielfache und das kgV bestimmen	Du vergleichst Vielfachenreihen und findest den ersten gemeinsamen Treffer.
Sachprobleme zuordnen	Du entscheidest begründet, ob ein Teiler- oder Vielfachenproblem vorliegt.

Grundidee: Teilen und Vervielfachen

Teiler: Passt die Zahl ohne Rest hinein?

Eine natürliche Zahl $d$ heißt Teiler einer natürlichen Zahl $n$ , wenn $n$ ohne Rest durch $d$ geteilt werden kann. Man schreibt:

$d ∣ n$

Das bedeutet: Es gibt eine natürliche Zahl $k$ mit

$n = d \cdot k$ .

Beispiel:

$4 ∣ 20$ , denn $20 = 4 \cdot 5$ .

Dagegen gilt:

$6 ∤ 20$ , denn $20 : 6$ hat einen Rest.

Die Menge aller positiven Teiler von $n$ heißt Teilermenge $T (n)$ .

$T (12) = {1, 2, 3, 4, 6, 12}$

Ein nützlicher Trick ist die Suche nach Teilerpaaren:

Produkt	Teilerpaar von 24
$1 \cdot 24 = 24$	1 und 24
$2 \cdot 12 = 24$	2 und 12
$3 \cdot 8 = 24$	3 und 8
$4 \cdot 6 = 24$	4 und 6

Damit erhältst Du:

$T (24) = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}$ .

Bildauftrag: Beginne bei 60 und suche im Teilbarkeitsnetz Zahlen, die 60 ohne Rest teilen. Vergleiche das Netz anschließend mit $T (60)$ .

Vielfache: Immer wieder dieselbe Schrittweite

Ein Vielfaches einer Zahl entsteht, wenn Du die Zahl mit $1, 2, 3, \dots$ multiplizierst.

Für $6$ gilt:

$V (6) = {6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, \dots}$ .

Die Punkte zeigen: Eine positive Zahl besitzt unendlich viele positive Vielfache.

Faktor	Rechnung	Vielfaches von 6
$1$	$1 \cdot 6$	$6$
$2$	$2 \cdot 6$	$12$
$3$	$3 \cdot 6$	$18$
$4$	$4 \cdot 6$	$24$
$5$	$5 \cdot 6$	$30$

Suchauftrag: Suche in der Tafel die Produkte der 4er- und 6er-Reihe. Welche Zahlen erscheinen in beiden Reihen?

Teiler und Vielfache gehören zusammen

Die Aussagen

$4 ∣ 20$

und

$20 \in V (4)$

beschreiben dieselbe Beziehung aus zwei Blickrichtungen.

Blickrichtung	Aussage	Beispiel
Teiler	$a$ teilt $b$	$5 ∣ 30$
Vielfaches	$b$ ist ein Vielfaches von $a$	$30 = 6 \cdot 5$

Merksatz: Wenn $a$ ein Teiler von $b$ ist, dann ist $b$ ein Vielfaches von $a$ .

Gemeinsame Teiler entdecken

Zwei Teilermengen vergleichen

Bestimme zuerst beide Teilermengen.

$T (12) = {1, 2, 3, 4, 6, 12}$

$T (18) = {1, 2, 3, 6, 9, 18}$

Die Zahlen, die in beiden Mengen liegen, sind die gemeinsamen Teiler:

$T (12) \cap T (18) = {1, 2, 3, 6}$ .

Als Mengenmodell:

Nur Teiler von 12	Gemeinsame Teiler	Nur Teiler von 18
$4, 12$	$1, 2, 3, 6$	$9, 18$

Der größte gemeinsame Teiler ist daher:

$ggT (12, 18) = 6$ .

Schritt für Schritt zum ggT

Schritt	Handlung	Beispiel 24 und 36
1	Bestimme $T (24)$ .	${1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}$
2	Bestimme $T (36)$ .	${1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36}$
3	Markiere die gemeinsamen Teiler.	${1, 2, 3, 4, 6, 12}$
4	Wähle den größten gemeinsamen Teiler.	$ggT (24, 36) = 12$

Kontrolle: $24 : 12 = 2$ und $36 : 12 = 3$ . Beide Divisionen haben Rest $0$ .

Anwendung: Gruppeneinteilung

Eine Klasse hat 24 rote und 36 blaue Spielkarten. Es sollen möglichst viele identische Materialgruppen entstehen. Jede Gruppe soll gleich viele rote und gleich viele blaue Karten erhalten, und keine Karte darf übrig bleiben.

Gesucht ist die größte Zahl, die 24 und 36 ohne Rest teilt:

$ggT (24, 36) = 12$ .

Also sind 12 Gruppen möglich.

Pro Gruppe:

$24 : 12 = 2$ rote Karten,

$36 : 12 = 3$ blaue Karten.

Anzahl Gruppen	Rote Karten je Gruppe	Blaue Karten je Gruppe	Rest?
12	2	3	nein

Entscheidungssignal: Formulierungen wie „möglichst viele gleich große Gruppen“, „ohne Rest aufteilen“ oder „gleich lange Abschnitte“ führen häufig zu gemeinsamen Teilern oder zum ggT.

Gemeinsame Vielfache entdecken

Zwei Vielfachenreihen vergleichen

Für $6$ und $8$ :

$V (6) = {6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, 66, 72, \dots}$

$V (8) = {8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72, \dots}$

Gemeinsame Vielfache sind zum Beispiel:

$24, 48, 72, \dots$

Das kleinste gemeinsame Vielfache ist:

$kgV (6, 8) = 24$ .

Bildauftrag: Suche in der kgV-Tabelle kleine Zahlenpaare, deren kgV gleich einer der beiden Zahlen ist. Was fällt Dir auf?

Zahlentafel: Treffer sichtbar machen

In der folgenden Tafel bedeutet „4“: Vielfaches von 4, „6“: Vielfaches von 6 und „4&6“: gemeinsames Vielfaches.

1	2	3	4 (4)	5	6 (6)	7	8 (4)
9	10	11	12 (4&6)	13	14	15	16 (4)
17	18 (6)	19	20 (4)	21	22	23	24 (4&6)
25	26	27	28 (4)	29	30 (6)	31	32 (4)
33	34	35	36 (4&6)	37	38	39	40 (4)
41	42 (6)	43	44 (4)	45	46	47	48 (4&6)

Daraus liest Du:

$V (4) \cap V (6) = {12, 24, 36, 48, \dots}$

und damit

$kgV (4, 6) = 12$ .

Dynamische Zahlengerade

Auf einer Zahlengeraden lassen sich Vielfache als gleich große Sprünge darstellen. Bei Vielfachen von $4$ springst Du in Viererschritten, bei Vielfachen von $6$ in Sechserschritten. Gemeinsame Landepunkte sind gemeinsame Vielfache.

Zahlengerade als Grundmodell für gleich große Sprünge

Interaktiver Auftrag: Verändere die Zahlen im GeoGebra-Material. Beobachte, welche Vielfachen auf dem Zahlenstrahl markiert werden, und überprüfe Aussagen zur Teilbarkeit.

Schritt für Schritt zum kgV

Schritt	Handlung	Beispiel 9 und 12
1	Schreibe einige Vielfache von 9 auf.	$9, 18, 27, 36, 45, \dots$
2	Schreibe einige Vielfache von 12 auf.	$12, 24, 36, 48, \dots$
3	Suche den ersten gemeinsamen Treffer.	$36$
4	Notiere das Ergebnis.	$kgV (9, 12) = 36$

Anwendung: Regelmäßig wiederkehrende Ereignisse

Bus A fährt alle 6 Minuten, Bus B alle 8 Minuten. Beide fahren jetzt gleichzeitig ab. Nach wie vielen Minuten fahren sie wieder gleichzeitig ab?

Die Abfahrtszeiten nach jetzt sind Vielfache:

$V (6) = {6, 12, 18, 24, \dots}$

$V (8) = {8, 16, 24, \dots}$

Der erste gemeinsame Zeitpunkt ist:

$kgV (6, 8) = 24$ .

Also fahren beide nach 24 Minuten wieder gleichzeitig ab.

Entscheidungssignal: Wörter wie „alle ... Minuten“, „regelmäßig“, „wieder gleichzeitig“ oder „erster gemeinsamer Zeitpunkt“ führen häufig zu gemeinsamen Vielfachen oder zum kgV.

ggT oder kgV? So entscheidest Du

Situation	Frage an Dich	Passendes Werkzeug
Dinge ohne Rest in gleichartige Gruppen aufteilen	Welche Gruppenzahl teilt alle Anzahlen?	gemeinsame Teiler, oft $ggT$
Strecken in möglichst lange gleich große Abschnitte teilen	Welche Abschnittslänge teilt alle Längen?	gemeinsame Teiler, oft $ggT$
Zwei Abläufe wiederholen sich regelmäßig	Wann treffen die Zeitreihen erstmals zusammen?	gemeinsame Vielfache, oft $kgV$
Mehrere Rhythmen sollen wieder gleichzeitig starten	Was ist der kleinste gemeinsame Wiederholungszeitpunkt?	$kgV$

Kurztest im Kopf:

„größtmöglich aufteilen“ $\to$ eher ggT.

„frühestmöglich wieder gemeinsam“ $\to$ eher kgV.

Rechenhilfen für Klasse 5

Teiler systematisch mit Teilerpaaren suchen

Bei $48$ suchst Du Produkte mit Ergebnis 48:

$1 \cdot 48, 2 \cdot 24, 3 \cdot 16, 4 \cdot 12, 6 \cdot 8$ .

Damit:

$T (48) = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48}$ .

Du kannst die Suche beenden, sobald sich die Paare nur noch in umgekehrter Reihenfolge wiederholen würden.

Teilbarkeitsregeln als Beschleuniger

Teiler	Schnelltest	Beispiel
2	letzte Ziffer ist gerade	$246$ ist durch 2 teilbar
3	Quersumme ist durch 3 teilbar	$231 : 2 + 3 + 1 = 6$
5	letzte Ziffer ist 0 oder 5	$145$ ist durch 5 teilbar
10	letzte Ziffer ist 0	$320$ ist durch 10 teilbar

Diese Regeln helfen beim Finden von Teilern, ersetzen aber nicht die vollständige Kontrolle, wenn alle Teiler gesucht sind.

Interaktiver ggT-kgV-Check

Forscherauftrag: Wähle zwei Zahlen mit den Schiebereglern. Berechne ggT und kgV zuerst selbst und kontrolliere danach im Applet. Suche anschließend drei Zahlenpaare, bei denen der ggT 1 ist.

Medien: Erklärvideos

Das folgende Video erklärt den größten gemeinsamen Teiler anschaulich und knüpft an Teilermengen an.

Das folgende Video erklärt das kleinste gemeinsame Vielfache und zeigt, wie gemeinsame Vielfache gefunden werden.

Videoauftrag: Stoppe jeweils vor einer Beispiel-Lösung. Berechne selbst weiter und vergleiche erst danach.

Forscherfenster: Ein animierter Rechenweg

Für große Zahlen gibt es weitere Verfahren zur Bestimmung des ggT. Der euklidische Algorithmus ist in Klasse 5 noch kein Pflichtstoff, aber die Animation zeigt eine spannende Idee: Immer wieder werden passende Reststücke betrachtet, bis die gemeinsame Größe sichtbar wird.

Nur zum Entdecken: Beschreibe, was sich in der Animation von Schritt zu Schritt verändert. Du musst das Verfahren noch nicht selbst anwenden können.

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Welche Zahl ist ein gemeinsamer Teiler von 12 und 18? (6) (!4) (!8) (!9)

Was ist der größte gemeinsame Teiler von 8 und 12? (4) (!2) (!8) (!24)

Welche Zahl ist ein gemeinsames Vielfaches von 4 und 6? (24) (!8) (!10) (!18)

Was ist das kleinste gemeinsame Vielfache von 6 und 8? (24) (!12) (!18) (!48)

Welche Aussage beschreibt einen Teiler richtig? (Ein Teiler teilt eine Zahl ohne Rest) (!Ein Teiler ist immer größer als die Zahl) (!Ein Teiler entsteht nur durch Addition) (!Jede Zahl hat genau zwei Teiler)

Welche Menge ist die Teilermenge von 10? (1 2 5 10) (!1 2 4 10) (!2 5 10 20) (!1 3 5 10)

24 rote und 36 blaue Karten sollen in möglichst viele identische Gruppen ohne Rest verteilt werden. Wie viele Gruppen sind möglich? (12) (!6) (!18) (!24)

Zwei Signale ertönen alle 5 Minuten und alle 8 Minuten gleichzeitig beginnend. Nach wie vielen Minuten ertönen sie wieder gemeinsam? (40) (!13) (!20) (!80)

Welche Schreibweise bedeutet 5 teilt 30? (5 teilt 30 ohne Rest) (!30 teilt 5 ohne Rest) (!5 ist kein Teiler von 30) (!30 ist kleiner als 5)

Welche Frage passt typischerweise zum kgV? (Wann treten zwei regelmäßige Ereignisse erstmals wieder gemeinsam auf) (!Wie viele Teiler hat eine Primzahl) (!Wie groß ist der Rest einer beliebigen Division) (!Welche Zahl ist der größte Teiler nur einer einzigen Zahl)

Memory

Teilermenge	alle positiven Teiler einer Zahl
Vielfachenmenge	fortgesetzte Produkte mit 1 2 3 und so weiter
Schnittmenge	Elemente die in beiden Mengen vorkommen
größter gemeinsamer Teiler	größtes gemeinsames Element zweier Teilermengen
kleinstes gemeinsames Vielfaches	erster gemeinsamer Treffer zweier Vielfachenreihen
Gruppeneinteilung	typische Anwendung für gemeinsame Teiler
Wiederholungsrhythmus	typische Anwendung für gemeinsame Vielfache

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Thema
Teilermenge	Alle Zahlen die eine Zahl ohne Rest teilen
Vielfachenreihe	Zahlen in gleich großen Multiplikationsschritten
ggT	Größter gemeinsamer Teiler
kgV	Kleinstes gemeinsames Vielfaches
Schnittmenge	Gemeinsame Elemente zweier Mengen
Gruppenproblem	Aufteilen ohne Rest
Rhythmusproblem	Wiederkehrende Ereignisse treffen sich wieder

Kreuzworträtsel

Teiler	Wie heißt eine Zahl, die eine andere Zahl ohne Rest teilt?
Vielfache	Wie heißen Zahlen, die durch fortgesetztes Multiplizieren einer Ausgangszahl entstehen?
Schnittmenge	Wie heißt die Menge der Elemente, die in zwei Mengen gleichzeitig vorkommen?
Teilermenge	Wie heißt die Menge aller positiven Teiler einer Zahl?
Gruppierung	Welche Anwendungsidee passt zu möglichst vielen gleichartigen Gruppen ohne Rest?
Rhythmus	Welches Wort beschreibt regelmäßig wiederkehrende Ereignisse?

LearningApps

Lückentext

Eine Zahl ist ein

einer anderen Zahl, wenn die Division ohne Rest möglich ist.

Die Menge aller positiven Teiler heißt

.

Gemeinsame Teiler findet man durch den Vergleich zweier

.

Der größte gemeinsame Teiler wird mit

abgekürzt.

Vielfache entstehen durch fortgesetztes

.

Der erste gemeinsame Treffer zweier Vielfachenreihen ist das

.

Beim Aufteilen in möglichst viele gleichartige Gruppen hilft häufig der

.

Bei regelmäßig wiederkehrenden Ereignissen hilft häufig das

.

Die gemeinsamen Elemente zweier Mengen bilden die

.

Für 6 und 8 ist 24 das kleinste gemeinsame

.

Offene Aufgaben

Leicht

Teilerkarten: Schreibe die Zahlen von 1 bis 30 auf Karten. Wähle 18 und finde alle Karten, die 18 ohne Rest teilen. Ordne sie anschließend als Teilerpaare.
Vielfachen-Sprungbild: Zeichne eine Zahlengerade von 0 bis 60. Markiere die Vielfachen von 4 mit Bögen und die Vielfachen von 6 mit einer zweiten Bogenart. Kreise gemeinsame Landepunkte ein.
Zahlendetektiv: Suche in Deiner Umgebung fünf Zahlen auf Preisschildern, Hausnummern oder Seitenzahlen. Prüfe jeweils, ob sie durch 2, 3, 5 oder 10 teilbar sind.
Mengenmodell: Erstelle zwei Kreise als Mengendiagramm für die Teiler von 16 und 24. Trage gemeinsame Teiler in den Überlappungsbereich ein.

Standard

Gruppenplan: Plane für 30 rote und 45 blaue Spielfiguren möglichst viele gleich ausgestattete Gruppen. Dokumentiere Deinen Rechenweg und erkläre, warum keine größere Gruppenzahl möglich ist.
Busfahrplan: Erfinde zwei Buslinien mit unterschiedlichen Taktzeiten zwischen 4 und 12 Minuten. Bestimme, wann sie nach einem gemeinsamen Start wieder gleichzeitig abfahren, und stelle die Zeiten in einer Tabelle dar.
Vielfachen-Animation: Erstelle mit einer Präsentations- oder Animationssoftware eine kurze Animation, in der zwei Punktfiguren in unterschiedlichen Schrittweiten auf einer Zahlengerade springen. Zeige den ersten gemeinsamen Treffpunkt.
Rhythmus-Interview: Befrage jemanden zu einem regelmäßig wiederkehrenden Ablauf, zum Beispiel Training, Bus, Schicht oder Erinnerung. Formuliere daraus eine kgV-Aufgabe und löse sie.

Schwer

ggT-oder-kgV-Challenge: Erfinde sechs Sachaufgaben, davon drei zu gemeinsamen Teilern und drei zu gemeinsamen Vielfachen. Tausche sie mit einer Partnerperson und begründet jeweils die Methodenwahl.
Fehlerwerkstatt: Erfinde drei typische Fehler beim Bestimmen von ggT oder kgV. Schreibe zu jedem Fehler eine falsche Lösung, eine Diagnose und eine verbesserte Lösung.
Schulhof-Rhythmen: Beobachte zwei regelmäßig wiederkehrende Abläufe in Schule oder Freizeit. Sammle passende Daten, vereinfache sie zu einem mathematischen Modell und prüfe, ob das kgV eine sinnvolle Antwort liefert.
Mini-Lernvideo: Produziere ein 2- bis 4-minütiges Erklärvideo, in dem Du den Unterschied zwischen ggT und kgV an zwei selbst gewählten Situationen erklärst. Nutze dabei Zahlentafel, Mengenmodell oder Zahlengerade.

Lernkontrolle

Werkzeug wählen: Erkläre ohne Rechnung, woran Du erkennst, ob eine Sachaufgabe eher mit gemeinsamen Teilern oder mit gemeinsamen Vielfachen gelöst wird. Formuliere je ein eigenes Beispiel.
Behauptung prüfen: Eine Schülerin sagt: „Das kgV zweier Zahlen ist immer ihr Produkt.“ Prüfe die Aussage mit mindestens zwei Gegenbeispielen und erkläre, wann sie trotzdem stimmen kann.
Darstellungen vergleichen: Zeige $kgV (4, 6) = 12$ auf zwei verschiedene Arten, zum Beispiel mit Vielfachenreihen und Zahlengerade. Erkläre, was in beiden Darstellungen gleich bleibt.
Gruppenproblem verändern: Aus 24 roten und 36 blauen Karten werden 24 rote und 42 blaue Karten. Untersuche, wie sich die maximale Anzahl identischer Gruppen verändert, und begründe das Ergebnis.
Falscher Treffpunkt: Jemand behauptet, $kgV (6, 8) = 48$ , weil 48 in beiden Reihen vorkommt. Erkläre genau, was an der Begründung fehlt und wie die korrekte Lösung gefunden wird.
Vergleich erklären: Erkläre einer jüngeren Person den Unterschied zwischen „gemeinsamer Teiler“ und „gemeinsames Vielfaches“, ohne die Wörter „kleiner“ oder „größer“ als einzige Begründung zu verwenden.

Lernnachweis

Für einen Lernnachweis zu diesem Thema solltest Du zeigen können, dass Du nicht nur Ergebnisse nennst, sondern Zusammenhänge begründest.

Kompetenz	Das solltest Du zeigen
Teiler verstehen	Teilermengen vollständig und systematisch bestimmen
gemeinsame Teiler nutzen	Schnittmengen bilden und den ggT aus ihnen ablesen
Vielfache verstehen	Vielfachenreihen korrekt fortsetzen und gemeinsame Treffer erkennen
kgV nutzen	den kleinsten gemeinsamen Treffer bestimmen und seine Bedeutung erklären
Probleme modellieren	Gruppeneinteilungen als Teilerproblem und Wiederholungsrhythmen als Vielfachenproblem erkennen
Darstellungen verwenden	Rechnungen mit Tabellen, Mengenmodell oder Zahlengerade erklären
Ergebnisse prüfen	mit Division, Vielfachenreihe oder Gegenprobe kontrollieren
mathematisch begründen	erklären, warum ein gefundener Teiler oder ein Vielfaches tatsächlich gemeinsam ist

OERs zum Thema

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